VI TICH PHAN 1b

VI TÍCH PHÂN 1B Bộ mơn Giải Tích, Khoa Tốn Tin Học Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên, Tp HCM Số thực Chuỗi số Hàm số liên tục Đạo hàm Tích phân Chuỗi Fourier Số thực Chuỗi số Hàm số liên tục Đạo hàm Tích phân Chuỗi Fourier VI TÍCH PHÂN 1B 2/320 Số thực Số thực Chuỗi số Hàm số liên tục Đạo hàm Tích phân Chuỗi Fourier Số thực ◮ Tập hợp ◮ Số thực ◮ Vài qui tắc suy luận ◮ Bài tập thực hành qui tắc suy luận đề tài số thực VI TÍCH PHÂN 1B 4/320 Số thực Tập hợp Chuỗi số Hàm số liên tục Đạo hàm Tích phân Chuỗi Fourier Tập hợp Tập hợp dùng để mô tả quần thể đối tượng phân biệt mà tư thể chọn vẹn ◮ ◮ ◮ Cho A tập hợp, ta viết x A có nghĩa x phần tử viết x … A có nghĩa x khơng phải phần tử A Để diễn tả tập hợp người ta dùng dấu móc f: : :g Trong dấu móc ta liệt kê tất phần tử tập hợp fx1 ; x2 ; : : : ; xn g, nêu lên thuộc tính chung (P) phần tử tập hợp cách viết fx W x thỏa mãn Pg Ta quy ước tập rỗng (hay tập trống) tập hợp khơng có phần tử Người ta thường ký hiệu tập rỗng ∅ VI TÍCH PHÂN 1B 5/320 Số thực Tập hợp Chuỗi số Hàm số liên tục Đạo hàm Tích phân Chuỗi Fourier Tập hợp trùng Ta nói tập A tập B trùng (hay nhau) viết A D B (đọc A B) chúng có phần tử, tức x A x B Khi chúng khụng trựng thỡ ta vit A Ô B Tp Ta nói A tập B phần tử A phần tử B Khi ta viết A  B (đọc: A nằm B), B  A (đọc B chứa A) Nếu A  B v A Ô B ta núi A tập thật B Quy ước: tập rỗng tập tập Chú ý: Mỗi phần từ x A tạo thành tập fxg A Cần phân biệt phần tử x tập hợp A (viết x A) với tập fxg tập hợp A (viết fxg  A) VI TÍCH PHÂN 1B 6/320 Số thực Tập hợp Chuỗi số Hàm số liên tục Đạo hàm Tích phân Chuỗi Fourier Hợp hai tập Hợp hai tập A B ký hiệu A [ B (đọc: A hợp B) tập gồm tất phần tử thuộc A thuộc B Nghĩa là, A [ B D fx W x A x Bg Giao hai tập Giao hai tập A B ký hiệu A \ B (đọc: A giap B) tập gồm tất phần tử vừa thuộc tập A lại vừa thuộc tập B Vậy A \ B D fx W x A x Bg Phần bù Phần bù A B ký hiệu B n A tập gồm tất phần tử thuộc tập B không thuộc tập A Đôi người ta gọi B nA hiệu B A Vậy B nA D fx W x b x … Bg VI TÍCH PHÂN 1B 7/320 Số thực Tập hợp Chuỗi số Hàm số liên tục Đạo hàm Tích phân Chuỗi Fourier Tính chất phép tính Cho A, B C tập hợp Khi ta có: ◮ Tính kết hợp ◮ ◮ ◮ Tính giao hốn ◮ ◮ ◮ A [ B [ C / D A [ B/ [ C , A \ B \ C / D A \ B/ \ C A [ B D B [ A, A \ B D B \ A Tính phân phối ◮ ◮ ◮ ◮ A [ B \ C / D A [ B/ \ A [ C / A \ B [ C / D A \ B/ [ A \ C / A n B [ C / D A n B/ \ A n C / A n B \ C / D A n B/ [ A n C / VI TÍCH PHÂN 1B 8/320 Số thực Tập hợp Chuỗi số Hàm số liên tục Đạo hàm Tích phân Chuỗi Fourier Tích tập hợp Cho tập hợp A B Tập hợp tất cặp điểm a; b/, với a A b B, lập thành tập hợp gọi tích hai tập A B, ký hiệu A  B Như vậy, phần tử z tập tích A  B biểu diễn dạng z D a; b/, với a A, b B, người ta gọi a; b thành phần (hay tọa độ z) VI TÍCH PHÂN 1B 9/320 Số thực Số thực ◮ ◮ Chuỗi số Hàm số liên tục Đạo hàm Tích phân Chuỗi Fourier Ký hiệu N tập số tự nhiên Z tập số nguyên Theo định nghĩa số hữu tỷ số có dạng m n n N, m Z m; n/ D (ước số chung lớn m n 1, hay m n hai số nguyên tố nhau) Ta ký hiệu Q tập số hữu tỷ.Những số không biểu diễn dạng gọi số vô tỷ ) Như vậy, tập số thực bao gồm tất số vô tỷ hữu tỷ, ký hiệu R VI TÍCH PHÂN 1B 10/320 Số thực Chuỗi số Hàm số liên tục Đạo hàm Tích phân Khai triển Fourier hàm số xác định Œ0;  Chuỗi Fourier Khai triển Fourier f xác định Œ0;  Thác triển lẻ cách đặt  f x/ x Œ0;  F x/ D f x/ x Œ ; 0/ F hàm số tuần hoàn xác định R, chu kỳ 2 Lưu ý F  f đoạn Œ0;  chuỗi Fourier F gồm hàm sin Đặt F x/ D  f x/ x Œ0;  x Œ ; 0/ F hàm số tuần hoàn xác định R, chu kỳ 2 Lưu ý F  f đoạn Œ0;  chuỗi Fourier F có hàm sin cos VI TÍCH PHÂN 1B 305/320 Số thực Chuỗi số Hàm số liên tục Đạo hàm Tích phân Khai triển Fourier hàm số xác định Œ0;  Chuỗi Fourier Ví dụ Khai triển hàm số f định f x/ D x thành chuỗi gồm hàm sin đoạn Œ0;  Sau khảo sát hội tụ chuỗi điểm x Œ0;  thành chuỗi gồm hàm cos đoạn Œ0;  Sau khảo sát hội tụ chuỗi điểm x Œ0;  thành chuỗi gồm hàm sin cos đoạn Œ0;  Sau khảo sát hội tụ chuỗi điểm x Œ0;  Giải Ta thác triển f thành hàm số F1 tuần hoàn, chu kỳ 2, lẻ F1  f Œ0;  theo cách (xem hình 4) Do đó, chuỗi Fourier F1 gồm hàm sin với hệ số bk tính quy tắc tích phân phần VI TÍCH PHÂN 1B 306/320 Số thực Chuỗi số Chuỗi Fourier Hàm số liên tục Đạo hàm Tích phân Chuỗi Fourier Hình: Đồ thị hàm F1 VI TÍCH PHÂN 1B 307/320 Số thực Chuỗi số Hàm số liên tục Chuỗi Fourier bk D  ˆ < Z  Đạo hàm Tích phân Chuỗi Fourier x sin kxdx D : : : (lấy tích phân phần) 2 k chẵn k k D 1; 2; : : : (25) D 2 4/ ˆ : 2.k  k lẻ k 3 P Vậy chuỗi sin F1 kD1 bk sin kx với bk tính (25) Tiếp theo ta khảo sát hội tụ chuỗi Ta thấy F1 tăng khúc m; m C 2/, m Z m số lẻ; 8x R; jF1 x/j   Vậy F1 thỏa giả thiết định lý 1, suy chuỗi hàm sin F1 có tổng F1 x/ điểm x m; m C 2/, m Z m lẻ (vì điểm F1 liên tục) VI TÍCH PHÂN 1B 308/320 Số thực Chuỗi số Chuỗi Fourier Hàm số liên tục Đạo hàm Tích phân Chuỗi Fourier Ngồi ra, F1 gián đoạn kiểu bước nhảy điểm x0 D 2k 1/, k Z F1 x0 / C F1 x0C / D Do chuỗi hội tụ x0 , số hạng chuỗi (8k Z; sin kx0 D 0) Nếu xét riêng đoạn Œ0;  F1 x/ D f x/ D x , ta có ( X x  x <  bk sin kx D (bk (25)) (26) x D  kD1 Chú thích thêm: Nếu ta xấp xỉ F1 x/  S7 x/ D X bk sin kx kD1 8x ; / với hệ số bk tính (25), hình trình bày đồ thị F1 màu xanh đồ thị S7 màu đỏ VI TÍCH PHÂN 1B 309/320 Số thực Chuỗi số Chuỗi Fourier Hàm số liên tục Đạo hàm Tích phân Chuỗi Fourier Ta thấy đồ thị S7 theo hình dáng đồ thị F1 , ý muốn nói đồ thị Sn ngày “khít” với đồ thị F1 n ! Hình: Đồ thị hàm F1 ghép chung với đồ thị hàm số S7 D VI TÍCH PHÂN 1B P7 kD1 bk sin kx 310/320 Số thực Chuỗi số Chuỗi Fourier Hàm số liên tục Đạo hàm Tích phân Chuỗi Fourier Ta thác triển f thành hàm số F2 chẵn, tuần hoàn, chu kỳ 2 F2  f Œ0;  theo cách (xem hình đây) Hình: Đồ thị hàm F2 VI TÍCH PHÂN 1B 311/320 Số thực Chuỗi số Hàm số liên tục Chuỗi Fourier Đạo hàm Tích phân Khi hệ số cos tính theo cơng thức ˆ Z  < 1/k k  k x cos kxdx D ak D 2 ˆ  : k D Chuỗi Fourier (27) Lưu ý hàm F2 thỏa giả thiết định lý F2 liên tục tồn R Do chuỗi cos F2 hội tụ F2 R, suy 1 kD1 kD1 2 X a0 X ak cos kx D 1/k cos kx D x : C C 8x Œ0; ; k Chú thích thêm: Nếu ta xấp xỉ n 2 X F2 x/  Cn x/ D C 1/k cos kx k kD1 VI TÍCH PHÂN 1B 8x R 312/320 Số thực Chuỗi số Chuỗi Fourier Hàm số liên tục Đạo hàm Tích phân Chuỗi Fourier đồ thị Cn ngày “gần sát” đồ thị F2 n ! Hình trình bày đồ thị F2 màu xanh đồ thị C2 màu đỏ Hình: Đồ thị hàm F2 ghép chung với đồ thị hàm số C2 VI TÍCH PHÂN 1B 313/320 Số thực Chuỗi số Chuỗi Fourier Hàm số liên tục Đạo hàm Tích phân Chuỗi Fourier Nếu ta đặt F hàm số tuần hoàn, chu kỳ 2, xác định R cho công thức ( x  x   F x/ D  x