NGUYÊN HÀM I CÁC CÔNG THỨC: Đạo hàm hàm số bản, thường gặp 2.Bảng nguyên hàm -1- Bảng nguyên hàm nâng cao (Lưu ý: a ≠ 0) Thực ra, ta áp dụng tính chất sau đây: Nếu F(x) nguyên hàm f(x) thì: Cơng thức lượng giác: -2- BÀI TẬP: DẠNG 1: NGUN HÀM CĨ ĐIỀU KIỆN: 1/ Tìm nguyên hàm F(x) hàm số + x2 f ( x) = thỏa F(-1) = x f ( x ) = x (2 − x )2 thỏa F(-1) = f ( x ) = cos x(2 − tan x) thỏa F( π ) = f ( x ) = (4 x + 1)e x thỏa F(1) = -e 2/ Tìm nguyên hàm F(x) hàm số 3/ Tìm nguyên hàm F(x) hàm số 4/ Tìm nguyên hàm F(x) hàm số DẠNG 2: CM F(x) LÀ MỘT NGUYÊN HÀM CỦA f(x) 1/ CMR F ( x) = ( x + 1)e x nguyên hàm hàm số f ( x) = ( x + 1) e x 2/ CMR F ( x) = x ln x − x + nguyên hàm hàm số f ( x) = ln x ¡ + − cos x nguyên hàm hàm số 4/ Tìm m để F ( x) = mx + (3m + 2) x − x + nguyên hàm hàm số f ( x) = 3x + 10 x − 3/ CMR F ( x) = sin x + cos x G ( x) = TÍCH PHÂN b ∫ f(x)dx=F(x) a =F(b)-F(a) b a II CÁC DẠNG TÍCH PHÂN THƯỜNG GẶP: DẠNG 1: ĐA THỨC Dùng đẳng thức VD: Tính Đổi biến VD: Tính ∫ x( x − 1) dx -3- 1 Đặt t = x − ⇒ dt = dx, x = t + Đổi cận: ∫ (2 x − 1) dx = ∫ (4 x − x + 1)dx x3 = − x2 + x ÷ = 0 x = ⇒ t = x = ⇒ t = −1 0 −1 7 ∫ x( x − 1) dx = ∫ (t + 1).t dt Vậy: = ∫( −1 ) DẠNG 2: PHÂN THỨC HỮU TỈ Loại 1: Mẫu Loại 2: Tử đạo Loại 3: Không thuộc đơn thức hàm mẫu loại mẫu có nghiệm Chia tử cho mẫu VD: Tính ∫ 4x + 6x − dx 2x 2 1 = ∫ x + − ÷dx x 1 ( = x + 3x − ln x = 14 − ln ) Đổi biến đặt t = mẫu VD: Tính I= x −1 ∫1 x − x − dx t9 t8 t + t dt = + ÷ = − 72 −1 Tách thành tổng A,B VD: Tính Loại 4: khơng thuộc loại mẫu vơ nghiệm VD: Tính I =∫ 1 I =∫ dx x − 5x + dx x + x +1 1 =∫ dx Đ 1 3 ÷ x+ ÷ + 2 = dx ∫ t = x − x − ⇒ dt = ( x − ) dx ( x − 2)( x − 3) ặt: dt Xét: (nháp) ⇒ ( x − 1) dx = π π A B x+ = tan t , t ∈ − ; ÷ + = 2 2 Đổi cận: x − x − ( x − 2)( x − 3) x = ⇒ t = −3 ⇔ ( A + B) x − A − B = dx = dt cos t x = ⇒ t = − A + B = A = −1 ⇔ ⇔ Vậy: = + tan t ) dt ( −3 A − B = B = dt −3 −3 Vậy: π dt x =0⇒t = I=∫ = ∫ − 1 t −4 t I = ∫ + −4 ÷dx Đổi cận: x − x − 0 −3 x = ⇒ t = π = ln t −4 = ( − ln x − + ln x − ) Vậy: = ( ln − ln ) π = ln + ln − ln = ln 2 3 ( + tan t ) dt 3 I= = ln π∫ tan t + 4 Đặt = π 3 π3 π ∫ dt = tπ = 3π Chú ý: Nếu bậc tử ≥ bậc mẫu ta cần chia tử cho mẫu trước nhận dạng làm VD: Tính -4- 2 x2 x − 12 ∫1 x − x + 12 dx =∫1 1 + x − x + 12 ÷ dx 16 = ∫ 1 + − ÷dx x −1 x − 1 = ( x + 16 ln x − − ln x − ) = + 25ln − 16 ln DẠNG 3: HÀM CHỨA CĂN Loại 1:Biểu thức mgoài dạng đạo hàm hàm Đặt t = làm trước lấy dt VD: Tính I = ∫ Loại 2: Không thuộc loại TH1: a − x Đặt x = a sin t TH2: a + x Đặt x = a tan t x dx 2x +1 Đặt: t = x + ⇒ t = x + ⇒ tdt = dx VD: Tính I = ∫ x2 dx − x2 Đặt: x = sin t ⇒ dx = cos tdt π ⇒t = x = Đổi cận: x = ⇒ t = x = ⇒ t = Đổi cận: x = ⇒ t = t −1 3 3 t 2 Vậy: I = ∫1 t tdt = ∫1 t − dt = − t ÷ = ( 2 ) π I=∫ π sin t − sin t π π 0 sin t cos tdt cos t cos tdt = ∫ Vậy: = sin t.dt = − cos 2t dt ∫ ∫ π 1 1π 1 = t − sin2t ÷ 40 = − ÷ 2 2 2 DẠNG 4: HÀM LƯỢNG GIÁC β ∫ α 1/ I = sin x.cos xdx n m *) Nếu n = m = ta dùng công thức biến đổi tích thành tổng π π π VD: Tính ∫ cos x.cos xdx = ∫ ( cos x + cos x ) dx = sin x + sin x ÷ = 20 27 0 Loại 1: n,m chẵn dương Ta dùng công thức hạ bậc VD: Tính Loại 2: n lẽ dương Loại 3: m lẽ dương Loại 4: n,m chẵn âm Tách thành bậc chẵn bậc Đưa bậc chẵn hàm cosx đặt t = cosx VD: Tính Tách thành bậc chẵn bậc Đưa bậc chẵn hàm sinx đặt t = sinx VD: Tính Đưa tanx cotx VD: Tính -5- π I = ∫ cos xdx π π 0 + cos x = ∫ ÷ dx 0 π = ∫ (1 − cos x) sin xdx t = cos x ⇒ dt = − sin xdx (1 + cos x + cos 2 x)dx ∫ 40 x = ⇒ t = π Đổi cận: π 3 x = ⇒ t = = ∫ + 2cos x + cos x ÷ dx 0 2 π ( Đặt Đặt: ( ( ) 1 β ∫α f ( x).( sin x, cos x ) dx β β I = ∫ f ( x).sin xdx I = ∫ f ( x).cos xdx Tích phân phần Tích phân phần u = f ( x) du = f '( x)dx ⇒ Đặt: dv = sin xdx v = − cos x Đặt: α α π u = f ( x) du = f '( x)dx ⇒ dv = cos xdx v = sin x VD: Tính I = ∫ x.sin xdx VD: Tính I = ∫ ( − x ) cos xdx −π u = x du = 2dx ⇒ Đặt: dv = sin xdx v = − cos x π π Vậy: I = x.(− cos x) − ∫ 2.(− cos x)dx u = − x du = −dx ⇒ dv = cos xdx v = sin x Đặt: Vậy: I = (1 − x)sin x −π − = + 2sin x π =2 0 ∫ sin x.(−dx) −π = + (− cos x) −π = −1 + ( −1) = −2 DẠNG 5: HÀM SỐ MŨ -6- ) t3 = +t÷ = 0 t5 t7 = − ÷ = 35 2/ I = ( I = ∫ t + dt = ∫ t − t dt t = tan x ⇒ dt = Vậy: ) I = ∫ t − t dt t = t − ÷ = 0 ) cos1 ( x = ⇒ t = π x = ⇒ t = Vậy: π Đổi cận: x = ⇒ t = π x = ⇒ t = ) = ∫ tan x + Đổi cận: ) ( = ∫ sin x(1 − sin x) cos xdx t = sin x ⇒ dt = cos xdx 3 = x + sin x + sin4x ÷ I = ∫ − t ( −dt ) 32 8 0 1 = = ∫ − t dt 16 1 dx cos x cos x =∫ Vậy: π = ∫ sin x.cos x.cos xdx π Đặt π 0 π dx cos x I =∫ I = ∫ sin xdx = ∫ sin x.sin xdx I = ∫ sin x.cos3 xdx π = π π 2 x dx dx cos x 1/ DẠNG e f ( x) 2/ DẠNG g ( x).e f ( x ) tương tự hàm đa thức, hàm hữu tỉ, hàm thức Loại 1: g(x) dạng đạo hàm f(x) Đổi biến cách đặt t= f(x) du = g '( x)dx ⇒ f ( x) f ( x) dv = e dx v = ∫ e dx u = g ( x) x VD: Tính I = ∫ x.e dx Đặt: Đặt: t = x ⇒ dt = xdx ⇒ xdx = dt 2 x −1 VD: Tính I = ∫ x.e dx x = ⇒ t = Đổi cận: x = ⇒ t = 1 dt et Vậy: I = ∫ e = 2 = t Loại 2: g(x) không dạng đạo hàm f(x) Tích phân phần du = dx u = x ⇒ Đặt: x −1 x −1 dv = e dx v = e e 1 1 Vậy: I = x e2 x −1 − ∫ e2 x −1dx 2 0 e e e e2 + = − e x −1 = − + = 4 4e 4e DẠNG 6: HÀM SỐ lôgarit Loại 1: lnx nhân kèm x Loại 2: lnx không nhân kèm Đổi biến cách đặt t= lnx e VD: Tính I = ∫ e Tích phân phần u = ln x du = x dx ⇒ Đặt: dv = f ( x)dx v = f ( x)dx ∫ dx x (1 − ln x) x Đặt: t = ln x ⇒ dt = dx ln x dx x2 VD: Tính I = ∫ x = e ⇒ t = Đổi cận: x = ⇒ t = −1 e Vậy: I = ∫ dt = − ln − t −1 1− t x −1 = − ln + ln = ln du = dx u = ln x x ⇒ Đặt: dv = x dx v = − x Vậy: 2 1 11 I = ln x − ÷ − ∫ − ÷ dx x 1 x x 1 − ln = − ln − = − ln − − 1÷ = x1 2 2 III BÀI TẬP ÁP DỤNG: Tính tích phân sau 2 1/ ∫ ( x + 1) dx ln 2/ ∫ x ( x − 1) dx 3/ ∫ e (3.e x -7- −x − 5)dx 4/ x + 26 x dx x ∫ 1 7/ ∫ ( x + 1) x +1 dx (KD-2013) 2x + dx 8/ ∫ 2− x 2x +1 dx x2 + x 9/ ∫ 1 12/ ∫ x − x dx (KB-2013) 0 + x2 dx π 14/ ∫ x x + 1dx 0 17/ ∫ cos3 xdx π ∫ ( cos 18/ π 21/ ∫ x ( + sin x ) dx (KD-2012) π 22/ ∫ ( x + 1) sin xdx (KD-2014) 23/ π ∫ ln x + e x − x 2e x dx (KA-2010) 25/ ∫ x + e 28/ ∫ (4 x + 1)e dx x e π 24/ ∫ cos x +3 sin x dx 26/ ∫ e +1 x cos x 0 dx 27/ dx 29/ ∫ x (KD-2009) e −1 sin x cos xdx 30/ ∫( x 33/ + ln( x + 1) dx (KA-2012) 35/ ∫ x ) + e x dx ln x ∫1 x3 dx (KD-2008) ∫π e − 3 31/ ∫ x − ÷ln xdx (KD-2010) 32/ x 1 ln x dx (KB-2010) 34/ ∫ x (2 + ln x ) sin x dx 3sin x + 1 ) x − cos xdx (KA-2009) π 20/ ∫ cos x.cos xdx 3 π dx 19/ ∫ π sin x 4x −1 dx (KD-2011) 2x +1 + ∫ 15/ π 16/ ∫ sin xdx e 11/ ∫ x − x dx ∫x x + 3x + dx (KB-2014) 6/ ∫ x +x 1 10/ ∫ x − xdx 13/ x2 dx 5/ ∫ − x2 1 + ln x ∫ ( x + 1) dx (KB-2009) x2 −1 36/ ∫ ln xdx (KA-2013) x ỨNG DỤNG I DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG DẠNG 1: DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI TRỤC ĐỒ THỊ y = f ( x) VÀ TRỤC HOÀNH Trường hợp 1: Đã có cận x = a; x = b B1: Giải nghiệm pt f(x)=0 -8- b c b B2: Dùng công thức S = ∫ f ( x) dx = ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx = a a c c ∫ b f ( x )dx + a ∫ f ( x)dx với c c nghiệm pt f(x) = c ∈ [ a; b ] B3: Tính tích phân giá trị tuyệt đối Trường hợp 2: Chưa có cận B1: Giải nghiệm f(x) = dùng nghiệm lớn nghiệm nhỏ làm cận b c b B2: Dùng công thức S = ∫ f ( x) dx = ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx = a a c c ∫ b f ( x )dx + a ∫ f ( x)dx với c c nghiệm pt f(x) = c ∈ [ a; b ] B3: Tính tích phân giá trị tuyệt đối DẠNG 1: DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI TRỤC ĐỒ THỊ y = f ( x) VÀ y = g ( x) Trường hợp 1: Đã có cận x = a; x = b B1: Tính f(x) – g(x) B2: Giải nghiệm pt f(x) - g(x) =0 B3: Dùng công thức b c b a a c S = ∫ f ( x) − g ( x ) dx = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx + ∫ f ( x ) − g ( x ) dx = c ∫[ f ( x ) − g ( x ) ] dx + a b ∫ [ f ( x) − g ( x) ] dx c với c nghiệm pt f(x) = c ∈ [ a; b ] B4: Tính tích phân giá trị tuyệt đối Trường hợp 2: Chưa có cận B1: Tính f(x) – g(x) B2: Giải nghiệm pt f(x) - g(x) =0 B3: Dùng công thức b c b a a c S = ∫ f ( x) − g ( x ) dx = ∫ f ( x) − g ( x ) dx + ∫ f ( x ) − g ( x ) dx = c b a c ∫ [ f ( x) − g ( x) ] dx + ∫ [ f ( x) − g ( x) ] dx với c nghiệm pt f(x) = c ∈ [ a; b ] B4: Tính tích phân giá trị tuyệt đối II THỂ TÍCH VẬT THỂ TRỊN XOAY KHI XOAY HÌNH PHẲNG QUANH Ox: DẠNG 1: HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI ĐỒ THỊ y = f ( x) trục hoành : b V = π ∫ f ( x)dx a Nếu chưa có cận cận nghiệm pt f(x) = DẠNG 2: HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI ĐỒ THỊ y = f ( x) VÀ y = g ( x) : b V = π ∫ f ( x) − g ( x) dx a Nếu chưa có cận cận nghiệm pt f(x) –g(x) = III BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: (Diện tích dạng 1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: -9- ln x ; y = 0; x = e x 1/ y = x − x; y = 2/ y = 3/ y = x + x ; y = 0; x = 0; x = 4/ y = xe x ; y = 0; x = −1; x = 5/ y = −3 x + 1 ; y = 0; x = − ; x = x −1 Bài 2: (Diện tích dạng 2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường 1/ y = x − x; y = − x + x ln x ; y = x − x = e x 4/ y = x − x + 3; y = x + (KA-2014) 2/ y = x − + 3/ y = − x + x; y + x = 5/ y = x3 − tiếp tuyến điểm có tung độ -2 Bài 3: Tính Thể tích vật thể tròn xoay quay hình phẳng quanh Ox) 1/ y = − x ; y = 2/ y = cos x; y = 0; x = 0; x = π 3/ y = tan x; y = 0; x = 0; x = π 4/ y = ln x; y = 0; x = e 5/ y = x.e x ; y = 0; x = 0; x = 7/ y = x − x ; y = x 6/ y = − x ; y = - 10 - ...B ng nguyên hàm n ng cao (Lưu ý: a ≠ 0) Thực ra, ta áp d ng tính chất sau đây: Nếu F(x) nguyên hàm f(x) thì: C ng thức lư ng giác: -2- BÀI TẬP: D NG 1: NGUYÊN HÀM CĨ ĐIỀU KIỆN: 1/ Tìm ngun... NG D NG I DIỆN TÍCH HÌNH PH NG D NG 1: DIỆN TÍCH HÌNH PH NG GIỚI HẠN BỞI TRỤC ĐỒ THỊ y = f ( x) VÀ TRỤC HỒNH Trư ng hợp 1: Đã có cận x = a; x = b B1: Giải nghiệm pt f(x)=0 -8- b c b B2: D ng. .. cận B1: Giải nghiệm f(x) = d ng nghiệm lớn nghiệm nhỏ làm cận b c b B2: D ng c ng thức S = ∫ f ( x) dx = ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx = a a c c ∫ b f ( x )dx + a ∫ f ( x)dx với c c nghiệm pt f(x)