BÀI tập ví dụ VI TÍCH PHÂN 1b CHƯƠNG đạo hàm PHẦN các bài TOÁN lý THUYẾT đạo hàm

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TP.HCM KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN co ng c om BTC ÔN THI HỌC KỲ KHÓA 2016 ng th an BÀI TẬP VÍ DỤ VI TÍCH PHÂN 1B du o CHƯƠNG: ĐẠO HÀM PHẦN: CÁC BÀI TOÁN LÝ THUYẾT ĐẠO HÀM cu u  Lâm Cương Đạt Cập nhật: 02/02/2017 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Khoa Cơng nghệ thơng tin – ĐH KHTN TP.HCM Ơn thi Học kỳ – Khóa 2016 Bài tập định nghĩa đạo hàm Tìm phương trình đường tiếp tuyến với đường cong điểm có tọa độ cho trước định nghĩa đạo hàm a y  4x  3x ,(2, 4) c y  x,(1,1) b y  x  3x  1,(2,3) 2x  ,(1,1) x2 c om d y  a ng Theo định nghĩa đạo hàm, ta có đạo hàm f(x) a là: th an co f (x)  f (a) 4x  3x  (4a  3a ) f (a)  lim  lim x a x a x a x a 4(x  a)  3(x  a)(x  a)  lim  lim   3(x  a)  x a x a (x  a)   6a ng Hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm (2,-4) là: f (2)   2.6  8 du o Phương trình tiếp tuyến điểm (2,-4) đồ thị hàm số là: u y  f (2)  (x  2)  f (2)  8(x  2)  ( 4)  8x  12 cu b Theo định nghĩa đạo hàm, ta có đạo hàm f(x) a là: f (x)  f (a) x  3x   (a  3a  1)  lim x a x a x a x a 2 (x  a)(x +ax+a )  3(x  a)  lim  lim  x +ax+a  3 x a x a (x  a) f (a)  lim  3a  Hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm (2,3) là: f (2)  3.22   Phương trình tiếp tuyến điểm (2,3) đồ thị hàm số là: CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Khoa Cơng nghệ thơng tin – ĐH KHTN TP.HCM Ơn thi Học kỳ – Khóa 2016 y  f (2)  (x  2)  f (2)  9(x  2)  c Theo định nghĩa đạo hàm, ta có đạo hàm f(x) a là: f (x)  f (a) x a  lim x a x a x a x a (x  a)  lim  lim x a x a (x  a).( x  a ) x a  a c om f (a)  lim Hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm (1,1) là: f (1)   an co 1 y  f (1)  (x  1)  f (1)  (x  1)   x  2 ng Phương trình tiếp tuyến điểm (1,1) đồ thị hàm số là: th d Theo định nghĩa đạo hàm, ta có đạo hàm f(x) a là: cu u du o ng 2x  2a   f (x)  f (a) x  a2 f (a)  lim  lim x a x  a x a x a (2x  1)(a  2)  (2a  1)(x  2) 4(x  a)  (x  a) (a  2)(x  2)  lim  lim x a x a (a  2)(x  2)(x  a) (x  a) 3  lim  x a (a  2)(x  2) (a  2) Hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm (1,1) là: f (1)   (1  2) Phương trình tiếp tuyến điểm (1,1) đồ thị hàm số là: 1 y  f (1)  (x  1)  f (1)  (x  1)   x  3 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Khoa Cơng nghệ thơng tin – ĐH KHTN TP.HCM Ơn thi Học kỳ – Khóa 2016 Nếu phương trình tiếp tuyến với đường cong y  f (x) điểm a = y  4x  , tìm f (2), f (2) Ta viết lại phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số a = y  4(x  2)  y  f (a)(x  a)  f (a) ng f (a)  f (2)  Vậy   f (a)  f (2)  c om Ta lại có, phương trình tiếp tuyến đồ thị điểm a có dạng co Bài tập đạo hàm hàm ẩn ng du o   a y.sin 2x  cos 2y,  ,  2 4 th an Dùng vi phân ẩn để tìm cơng thức đường tiếp tuyến đường cong điểm cho trước cu u b sin(x  y)  2x  2y,( , ) d x  2xy  y2  x  2,(1,2) (đồ thị hyperbola)  1 e x  y2  (2x  2y  x) ,  0,   2 (đồ thị cardioid) c x  xy  y2  3,(1,1) (đồ thị elipse) a   Xét đoạn cong ngắn đồ thị qua điểm  ,  , ta xem đồ thị hàm ẩn 2 4 y  f (x) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Khoa Cơng nghệ thơng tin – ĐH KHTN TP.HCM Ơn thi Học kỳ – Khóa 2016 Ta có: f (x).sin 2x  cos  2.f (x)  Lấy đạo hàm hai vế ta có: f (x).sin 2x  f (x).2.cos 2x  2.sin  2.f (x) .f (x)  f (x)  2f (x) cos(2x) sin(2x)  2sin  2f (x)  c om    .cos(2 )      Hệ số góc cua tiếp tuyến  ,  f      2 4   sin(2  )  2sin(2  ) 4 an b co          y  f    x    f    (x  )  2 2 4   ng   Phương trình tiếp tuyến đồ thị  ,  là: 2 4 th Xét đường cong ngắn đồ thị qua điểm ( , ) , ta xem đồ thị hàm ẩn y  f (x) du o Lấy đạo hàm hai vế ta có: ng Ta có: sin(x  f (x))  2x  2f (x) (1  f (x)).cos(x  f (x))   2f (x) u  cos(x  f (x))  cos(x  f (x)) cu  f (x)  Hệ số góc tiếp tuyến ( , ) f ()   cos(  )   cos(  ) Phương trình tiếp tuyến đồ thị ( , ) là: y  f ()  (x  )  f ()  (x  )   c Xét đường cong ngắn đồ thị qua điểm (1,1) , ta xem đồ thị hàm ẩn y  f (x) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Khoa Công nghệ thông tin – ĐH KHTN TP.HCM Ôn thi Học kỳ – Khóa 2016 Ta có: x  x.f (x)  f (x)  Lấy đạo hàm hai vế ta có: 2x  f (x)  x.f (x)  2.f (x).f (x)   f (x)   2x  f (x) 2.f (x)  x Hệ số góc tiếp tuyến ( , ) f ()   2.1   1 2.1  c om Phương trình tiếp tuyến đồ thị ( , ) là: y  f (1)  (x  1)  f (1)  (x  1)  d ng Xét đường cong ngắn đồ thị qua điểm (1, 2) , ta xem đồ thị hàm ẩn y  f (x) Ta có: x  2x.f (x)  f (x)  x  co an Lấy đạo hàm hai vế ta có: 2x  2.f (x)  2x  2.f (x) ng  f (x)   th 2x  2.f (x)  2x.f (x)   2.f (x).f (x)  du o Hệ số góc tiếp tuyến (1, 2) f (1)   2.1  2.2   2.1  2.2 e cu u Phương trình tiếp tuyến đồ thị (1, 2) là: y  f (1)  (x  1)  f (1)  (x  1)  2  1 Xét đường cong ngắn đồ thị qua điểm  0,  , ta xem đồ thị hàm ẩn  2 y  f (x)  Ta có: x   f (x)   2x  f  x    x 2  Lấy đạo hàm hai vế ta có: CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Khoa Cơng nghệ thơng tin – ĐH KHTN TP.HCM Ơn thi Học kỳ – Khóa 2016  2(4x  1) 2x   x  2x 2x  2f  x  f   x   2x  f  x    x  4x  4.f  x  f   x   1  f (x)  2  f  x    2.f  x   2.4.f  x  2x  f  x    x  c om   1 2(4.0  1) 2.0     x   2x 2    1 Hệ số góc tiếp tuyến  0,  f     1   2 1  1  2.4 2x     x  2  2   1 Phương trình tiếp tuyến đồ thị  0,  là: y  f (0)  (x  0)  f (0)  x   2 co Tính đạo hàm f  x   arcsin x ng Bài tập đạo hàm hàm ngược th an    Ta có x    ,  , hàm số g  x   sin x song ánh  2 ng Đặt y = sinx du o y  cos x   sin x   y Theo công thức đạo hàm hàm ngược ta có cu u d 1  arcsin y     dy y  y2 hay f   x   1 x2 Tính đạo hàm f(x)=arctanx    Ta có x    ,  y= tanx song ánh  2 y   tan x   y2 Theo công thức tính đạo hàm hàm ngược CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Khoa Cơng nghệ thơng tin – ĐH KHTN TP.HCM Ơn thi Học kỳ – Khóa 2016 d 1  arctan y     dy y  y2 hay  arctan x   1 x2 Bài tập dùng quy tắc Lopital để tính giới hạn *Chú ý cách trình bày* c om Đối với tốn sử dụng quy tắc Lopital để tính giới hạn, bạn nên xét xem thỏa điều kiện để sử dụng quy tắc hay chưa B1: Đặt f1  x   “đa thức tử số”, g1  x   “đa thức mẫu số” x a   co f1  x   lim g1  x    lim x a x a 0 tức lim dạng vô định ,  , hay ng  lim f1  x   lim g1  x   B2: Nếu  x a th f1  x  f  x  lim g1  x  x a g1  x  ng B4: Áp dụng Lopital lim x a an B3: Tìm f1  x  , g1  x  du o *Nếu lim dạng vô định* B5: Lặp lại B1 B2 sau biến đổi cu u B6: Áp dụng Lopital (liên tiếp) lim x a f1  x  f  x  f  x     lim n   lim x a  g1  x  x a g1  x    g x   n   (L) Ở tập dưới, sử dụng ký hiệu “  ” tức sử dụng biến đổi Lopital xét đến điều kiện Khi trình bày vào thi, bạn nên trình bày đầy đủ bước để tránh điểm ln(1  x)  x x 0 tan x lim CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Khoa Cơng nghệ thơng tin – ĐH KHTN TP.HCM Ơn thi Học kỳ – Khóa 2016 1 ln(1  x)  x   ln(1  x)  x (L) x 1 lim  lim  lim x 0 x 0 x 0 sin x tan x  tan x  cos3 x  x.cos3 x  lim x 0 2sin x(x  1) lim   x.cos3 x   1 x 0 lim  2sin x(x  1)   x 0 ln(1  x)  x 1  x 0 tan x c om  lim ln(tan x) cos 2x x co ng lim ln(tan x) lim  lim  lim cos x.sin x  lim  cos 2x 2sin 2x 4sin x.cos x  x x x x 4  cos 2x  4  ln(tan x) an (L) x.cos x  sin x cu x 0 x.arcsin  x  u lim du o ln(tan x)  1 cos 2x x  lim ng x th lim  4sin x.cos x   *dựa vào kết tập để tính đạo hàm hàm arcsin CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Khoa Công nghệ thông tin – ĐH KHTN TP.HCM Ôn thi Học kỳ – Khóa 2016 2x 2  arcsin(x )   x.arcsin  x   x.arcsin  x  (L)   lim 1 x4 lim  lim  x 0 x.cos x  sin x x 0 x 0  x.sinx  x.cos x  sin x  arcsin(x )  x  2x  arcsin(x )  x  2x (L)   lim  lim  x 0 x 0   x.sinx  x  x.sinx  x  x 0 2x sin(x) 1 x (L)  lim 1 x4 6x  x  2x arcsin(x ) x 0 2x sin x  (1  x )(sin x  x cos x)  lim   x sin x   x x.cos x 6x  x  2x arcsin(x )    ng  lim 2x arcsin(x ) c om 6x    2x sin x  (1  x )(sin x  x cos x)  16x   x  6x 2arcsin(x ) 1 x  lim x 0 2x cos x  (1  x )(2cos x  x sin x)  8x sin x  4x sin x  x cos x   th an co x 0 ng  16x 4 2  lim    x  6x arcsin(x )  x 0  x    lim x.cos x  sin x  cu x 0 x.arcsin  x  u x 0 du o lim  2x cos x  (1  x )(2cos x  x sin x)  8x sin x  4x  sin x  x cos x    2 Tính lim  x 1  3 2 arctan(x-1) x2  x  *dựa vào kết tập để tính đạo hàm hàm arctan CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Khoa Công nghệ thông tin – ĐH KHTN TP.HCM Ơn thi Học kỳ – Khóa 2016 lim arctan(x-1) x2  x   x 1  lim x  2x  2x   x 1 x2  x  2 x2  x   arctan(x-1) (L)  lim  x 1   x2  x   lim x 1 (2x  1) x  2x       lim x  x   x 1 lim (2x  1)  x  2x      lim  x 1 arctan(x-1) x2  x   c om x 1 0 tan x  x x 0 arcsin x  ln  x   co ng 10 Tìm lim an *dựa vào kết tập để tính đạo hàm hàm arcsin (L) tan x  x   tan x  x lim  lim  lim x 0 arcsin x  ln  x   x 0 arcsin x  ln 1  x   x 0   du o ng th tan x cu u tan x  x  x  1 (L)  lim  lim x 0 x 0 x 1 1 x2 tan x  x  1 x x  x  1 tan x 1 x2 x 1 x2  x  x  1 tan x  x  1 tan x  x 2 lim  tan x  x   x 0 cos x 1 x2    x 1  x  1 tan x  x cos x 1  0   x  lim   1  x 0  1 x  tan x  x  lim  0 x 0 arcsin x  ln  x   11 Tìm lim  ar tan x  x 0 tan x  CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Khoa Công nghệ thông tin – ĐH KHTN TP.HCM Ơn thi Học kỳ – Khóa 2016 *dựa vào kết tập để tính đạo hàm hàm arctan lim  arc tan x  tan x x  0  lim e tan x.ln(arctan x )  e lim tan x.ln(arctan x ) x 0 x  0    ln    tan x arctan x    tan x.arctan x.ln(arctan x)    lim  tan x.ln(arctan x)   lim     lim   xlim x 0 x 0 0 arctan x arctan x   x 0   arctan x       c om   1   (L) 1 x2  arctan x(x  1)  cos x   lim   lim  lim   lim  arctan x   x 0 x  x      cos x  x 0 2  1 x  x  1 arctan x   1 x2 lim 1 x 0 cos x lim  arctan x    ng   co x  0  lim  tan x.ln(arctan x)   0.1  tan x x  0 x     e0  cu u du o  x  x   12 Tìm lim  x 0  e  lim tan x.ln(arctan x ) x 0 th x  0  lim e tan x.ln(arctan x )  e ng  lim  arc tan x  an x  0  1  x  x lim  x 0  e  e lim 1 x 0   x2 1 ln(1 x ) x x x  x   e   lim  lim 1 x 0 x 0  x x e e  2 1 ln(1 x )   x 1 1 ln(x  1)  x 1 x  lim  ln(1  x)    lim  lim x 0 x x 0 x  x 0 x2 2x  (L) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt  Khoa Công nghệ thông tin – ĐH KHTN TP.HCM Ơn thi Học kỳ – Khóa 2016  lim x 0 x 1  lim  x  2x(x  1) 2(x  1) x 1 1 lim ln(1 x )    x   e  x e   x 0 cu u du o ng th an co ng c om  x  x    lim  x 0  e  CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ... đạo hàm f  x   arcsin x ng Bài tập đạo hàm hàm ngược th an    Ta có x    ,  , hàm số g  x   sin x song ánh  2 ng Đặt y = sinx du o y  cos x   sin x   y Theo công thức đạo. .. có, phương trình tiếp tuyến đồ thị điểm a có dạng co Bài tập đạo hàm hàm ẩn ng du o   a y.sin 2x  cos 2y,  ,  2 4 th an Dùng vi phân ẩn để tìm cơng thức đường tiếp tuyến đường cong điểm... KHTN TP.HCM Ơn thi Học kỳ – Khóa 2016 Bài tập định nghĩa đạo hàm Tìm phương trình đường tiếp tuyến với đường cong điểm có tọa độ cho trước định nghĩa đạo hàm a y  4x  3x ,(2, 4) c y  x,(1,1)