Bài tập hệ phương trình bậc hai ẩn nâng cao Bản quyền tài liệu thuộc VnDoc A Lý thuyết Định nghĩa Hệ hai phương trình bậc hai ẩn hệ phương trình có dạng a1 x b1 y c1 a2 x b2 y c2 Trong a1 x b1 y c1 a2 x b2 y c2 phương trình bậc hai ẩn Mỗi nghiệm chung hai phương trình hệ gọi nghiệm hệ Giải hệ hai phương trình ta tìm tất nghiệm chung hai phương trình bậc hai ẩn có hệ Nếu hai phương trình hệ khơng có nghiệm chung ta nói hệ vơ nghiệm Hai hệ phương trình gọi tương đương chúng có tập nghiệm Minh họa hình học Mỗi phương trình bậc hai ẩn biểu diễn đường thẳng mặt phẳng tọa độ Do đó, mặt phẳng tọa độ, nghiệm hệ hai phương trình bậc hai ẩn biểu diễn điểm chung hai đường thẳng d1 : a1 x b1 y c1 d : ax2 by2 c2 Khi đó, nếu: d1 cắt d hệ có nghiệm tập nghiệm hệ biểu diễn giao điểm d1 d d1 // d hệ vơ nghiệm tập nghiệm tập rỗng d1 trùng với d hệ có vơ số nghiệm tập nghiệm biểu diễn d1 Các phương pháp giải hệ hai phương trình bậc hai ẩn 3.1 Phương pháp a1 x b1 y c1 a2 x b2 y c2 Để giải hệ phương trình phương pháp thế, ta làm sau: Giả sử a1 Bước 1: Rút ẩn x từ phương trình a1 x b1 y c1 , ta x Bước 2: Thay x c1 b1 y a1 c1 b1 y a1 vào phương trình a2 x b2 y c2 , ta phươn c1 b1 y b2 y c2 a1 trình ẩn a2 Bước 3: Giải phương trình ẩn trên, tìm giá trị y Bản quyền tài liệu thuộc VnDoc Tải tài liệu học tập, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí VnDoc Bước 4: Thay giá trị tìm ẩn y vào biểu thức x c1 b1 y , ta tìm giá a1 trị tương ứng x Cặp giá trị tìm hai ẩn nghiệm hệ cho ! Chú ý: Nếu a , phải có điều kiện b Khi rút y từ phương trình a1 x b1 y c1 Khi hệ số a1 , b1 , a2 , b2 số nguyên, ta thường rút ẩn mà hệ số có giá trị tuyệt đối nhỏ 3.2 Phương pháp cộng đại số a1 x b1 y c1 phương pháp cộng đại số, ta làm a2 x b2 y c2 Để giải hệ phương trình sau: Bước 1: Nhân hai vế phương trình với số thích hợp cho hệ số ẩn hệ phương trình số (hoặc đối nhau) Bước 2: Trừ (hoặc cộng) vế với vế hai phương trình để phương trình ẩn Thay hai phương trình hệ phương trình ẩn ta hệ Bước 3: Giải phương trình ẩn ta tìm giá trị ẩn Thay giá trị vừa tìm ẩn vào phương trình cịn lại hệ ta tìm giá trị tương ứng ẩn Cặp giá trị tương ứng vừa tìm hai ẩn nghiệm hệ phương trình cho Một số hệ phương trình nâng cao 4.1 Hệ đối xứng loại Định nghĩa: Một hệ phương trình ẩn x, y gọi hệ phương trình đối xứng loại phương trình ta đổi vai trị x, y cho phương trình khơng đổi Tính chất: Nếu x0 ; y0 nghiệm hệ y0 ; x0 nghiệm hệ S x y P x y Cách giải: Đặt điều kiện S P , quy hệ phương trình ẩn S, P 4.2 Hệ đối xứng loại Định nghĩa: Một hệ phương trình ẩn x, y gọi hệ phương trình đối xứng loại phương trình ta đổi vai trị x, y cho phương trình trở thành phương trình Tính chất: Nếu x0 ; y0 nghiệm hệ y0 ; x0 nghiệm hệ Bản quyền tài liệu thuộc VnDoc Tải tài liệu học tập, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí VnDoc Cách giải: Trừ vế với vế hai phương trình hệ ta phương trình x y f x , y có dạng x y f x, y 4.3 Hệ đẳng cấp Định nghĩa: Hệ đẳng cấp hệ chứa phương trình đẳng cấp phương trình hệ nhân chia cho tạo phương trình đẳng cấp + Ta thường gặp dạng hệ hình thức như: 2 2 2 ax bxy cy d ax bxy cy dx ey ax bxy cy d , , ,… 2 2 ex gxy hy k gx hxy ky lx my gx hx y kxy ly mx ny + Một số hệ phương trình tính đẳng cấp giấu biểu thức chứa đòi hỏi người giải cần tinh ý để phát Cách giải: Từ phương trình hệ ta nhân chia cho để tạp phương trình đẳng cấp bậc n : a1 x n ak x n k y k an y n Từ ta xét hai trường hợp: + y thay vào để tìm x + y ta đặt x ty thu phương trình a1t n ak t n k an Giải phương trình tìm t sau vào hệ ban đầu để tìm x, y (Cách làm tương tự với trường hợp y tx ) B Bài tập vận dụng Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: 1 x y 1 x y 15 Lời giải: Trước giải hệ phươn trình, ta phải đặt điều kiện cho ẩn để hệ phương trình có nghĩa Điều kiện: x 0; y 1 a b (Khi đặt ẩn ta lưu ý đặt điều kiện có) x y a b Khi hệ phương trình trở thành Sử dụng phương pháp 1 a b 15 a (tm) phương pháp cộng đại số để giải hệ phương trình, ta b (tm) Đặt Bản quyền tài liệu thuộc VnDoc Tải tài liệu học tập, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí VnDoc a Với b ( x; y ) (2;4) ta có 1 x x 2(tm) Vậy hệ phương trình có nghiệm 1 y 4(tm) y Áp dụng: Giải hệ phương trình sau: 4 x y 5 x y c) 40 40 x y x y x x y y 12 b) x x 2 y 12 y x 3 y 5 xy x y 5 xy a) Đáp số: x; y 12;25 Đáp số: x; y 9;1 Đáp số: x; y 144;36 x y x y 1 x y x 25 x y y 30 d) e) x; y 3;3 Đáp số: x; y 16;7 Đáp số: x; y 3;1 Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: x y xy 3 x y Lời giải: x y xy Ta biến đổi hệ phương trình thành 2 ( x y )( x xy y ) x y xy S x y Đặt điều kiện S P , hệ trở thành: P x y ( x y ) ( x y ) xy S P S ( S P ) Giải hệ với ẩn S, P Khi tìm S, P , ta tính nghiệm hệ phương trình x; y 0;2 x; y 2;0 Áp dụng: Giải hệ phương trình sau 2( x y ) 3 x y xy a, 3 x y Đáp số: x; y 2;3 x y xy x y Đáp số: x; y 3;3 c, e, x y 1 xy x y 1 x2 y2 Bản quyền tài liệu thuộc VnDoc x y 19 b, x; y 3;2 x y 8 xy Đáp số: x; y 8;64 x; y 64;8 x y xy x y Đáp số: x; y 4;4 d, x y 1 y x y 2 y xy 30 f, x y x y y y 11 Đáp số: x; y 1;2 x; y 2;1 Tải tài liệu học tập, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí VnDoc Đáp 5 x; y 1; số: 21 21 ; 2 hoặc x; y ;1 x; y Ví dụ 3: Giải hệ phương trình: x x y y y x Lời giải: Điều kiện x, y Trừ hai phương trình hệ cho ta thu được: x x y y 2 y x Vì x y x x y x y 2 x y y x y 2 x y nên phương trình cho tương đương với x y Thế x y vào hai phương trình ta nghiệm hệ phương 3 3 ; 2 trình x; y 0;0 x; y 1;1 Áp dụng: Giải hệ phương trình sau ( x 1) y y x a, y 1 x x y Đáp số: x; y 2;2 x; y 3;3 x; y 2;3 x; y 3;2 Ví dụ 4: x x x y b, y y y x Đáp số: x; y 0;0 Giải hệ phương trình: x x y y 2 x y 1 Lời giải: x y x y 2 x y Ta biến đổi hệ phương trình thành Đểy ý nhân chéo phương trình hệ ta phương trình đẳng cấp bậc 3: x y 8 x y x y Từ ta có lời giải sau: Vì x khơng nghiệm hệ nên ta đặt y tx Khi hệ trở thành: x x t x 2tx 1 t3 t x 1 t 2t 1 t t 1 3t 2 2 2 3t x t x 1 x 1 3t t 12t t t Bản quyền tài liệu thuộc VnDoc Tải tài liệu học tập, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí VnDoc x 1 3t x 3 Với t y x y 1 78 x 13 Với t Suy ta cặp nghiệm hệ phương trình 78 y 13 Áp dụng: Giải hệ phương trình sau 5x2 y 4xy y3 x y a, 2 xy x y x y Đáp số: x ; y 1;1 , x; y 1; 1 , 2 2 ; , x; y c, 2 2 ; 5 x; y 2 x y x y 2x x y x y x y 17 13 17 Đáp số: x; y ; e, x y xy x x 3x 3xy Đáp số: Ví dụ 5: x; y 9; 1 x2 y y b, 3 y x y x 1 x x 1 14 x; y ; Đáp số: 18 d, 3 3 x y x y x2 y2 2 2 ; ; , 2 2 5 x; y ; ; , 5 xy x y f, 3 xy x x y x Đáp số: x; y 1;1 , ; 9 Đáp số: x; y Cho hệ phương trình với tham số m m 1 x y m 1(1) x m 1 y 2(2) a, Giải hệ phương trình với m b, Giải biện luận hệ phương trình c, Tìm giá trị ngun m để hệ phương trình có nghiệm ngun d, Tìm giá trị nguyên m để nghiệm hệ phương trình thỏa mãn điều kiện x y nhỏ Lời giải: 11 x x y a, Với m hệ trở thành x y y 18 b, Rút y từ (1) y m 1 x m 1 Thay vào (2) Bản quyền tài liệu thuộc VnDoc Tải tài liệu học tập, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí VnDoc x m 1 x m 1 m x m 1(3) m2 m 1 + Nếu m x Khi y Hệ có nghiệm m m + Nếu m phương trình (3) trở thành x Hệ cho vơ nghiệm c, Ta phải có m 1 m 1 m m U 1 1 Với m x 2, y Với m x 2, y Vậy giá trị nguyên m -1 d, Ta có x y m2 m 2 1 m m m m t 1 1 7 t , ta có: x y t 2t t t m 16 4 8 Vậy x y t hay m 4 Đặt Áp dụng: Bài 1: Tìm giá trị m để nghiệm hệ phương trình sau số dương: mx y x y Đáp số: 1 m Bài 2: Tìm giá trị m để hai hệ phương trình sau tương đương: 2 x y mx y 2 3 x y x y Đáp số: m Bài 3: Tìm giá trị m để hệ phương trình sau vô nghiệm, vô số nghiệm: m 1 x m y m m 1 x my 3m Đáp số: m hệ vơ nghiệm, m 1 hệ có vơ số nghiệm Bài 4: Cho hệ phương trình với tham số m : m 1 x y 3m x m 1 y m a, Giải biện luận hệ phương trình theo m b, Tìm giá trị nguyên m để nghiệm hệ phương trình số nguyên c, Tìm giá trị m để hệ phương trình có nghiệm dương Đáp số: b, m 1; 2 c, m m Bài 5: Cho hệ phương trình với tham số m : mx y 3 x m 1 y 1 a, Giải hệ phương trình với m b, Giải biện luận hệ phương trình theo m Bản quyền tài liệu thuộc VnDoc Tải tài liệu học tập, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí VnDoc c, Tìm giá trị nguyên m để hệ phương trình có nghiệm số nguyên Đáp số: a, x; y 1; 1 c, m 3;3;1 Bài 6: Cho hệ phương trình với tham số m : x my m mx y 3m a, Giải biện luận hệ phương trình theo m b, Trong trường hợp hệ có nghiệm nhất, tìm giá trị m để tích xy nhỏ Đáp số: b, xy 1 m Tải thêm tài liệu tại: https://vndoc.com/tai-lieu-hoc-tap-lop-9 Bản quyền tài liệu thuộc VnDoc Tải tài liệu học tập, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí VnDoc ... n k y k an y n Từ ta xét hai trường hợp: + y thay vào để tìm x + y ta đặt x ty thu phương trình a1t n ak t n k an Giải phương trình tìm t sau vào hệ ban đầu để tìm... sau: Bước 1: Nhân hai vế phương trình với số thích hợp cho hệ số ẩn hệ phương trình số (hoặc đối nhau) Bước 2: Trừ (hoặc cộng) vế với vế hai phương trình để phương trình ẩn Thay hai phương trình... lại hệ ta tìm giá trị tương ứng ẩn Cặp giá trị tương ứng vừa tìm hai ẩn nghiệm hệ phương trình cho Một số hệ phương trình nâng cao 4.1 Hệ đối xứng loại Định nghĩa: Một hệ phương trình ẩn x,