Giải tích các hàm nhiều biến

bé s¸ch to¸n häc cao cÊp - viƯn to¸n häc Đinh Thế Lục Phạm Huy Điển Tạ Duy Phợng Giải tích hàm nhiều biến Những nguyên lý tính toán thực hành nhà xuất đại học quốc gia hà nội Hội Đồng biên tập Hà Huy Khoái (Chủ tịch) Ngô Việt Trung Phạm Huy Điển (Th ký) Giải tích hàm nhiều biến Những nguyên lý tính toán thực hành Đinh Thế Lục Phạm Huy Điển Tạ Duy Phợng Bộ sách Toán học cao cÊp - ViƯn To¸n häc Lời nói đầu C uốn sách xem tập giáo trình giải tích hàm số biến, Nhà xuất Giáo dục ấn hành năm 1998, với tựa đề "Giải tích Tốn học: Những ngun lý tính tốn thực hành" Trong giáo trình khảo sát dãy số, chuỗi số, hàm số phép tính vi tích phân không gian chiều (trục số thực) Trong tập đối tượng khảo sát khơng gian nhiều chiều, khác biệt hai giáo trình Để xây dựng phép tính vi tích phân khơng gian nhiều chiều, trước hết phải hiểu rõ cấu trúc không gian Chương đề cập tới hai cấu trúc quan trọng không gian nhiều chiều, cấu trúc tuyến tính cấu trúc khoảng cách, thơng qua ví dụ điển hình khơng gian \ n Để giáo trình mang tính độc lập định, không gian xây dựng trực tiếp, mà khơng dựa vào khái niệm khơng gian tuyến tính tổng qt giáo trình Đại số tuyến tính Để tránh cồng kềnh, khái niệm kết chương chọn lọc tới mức tối thiểu từ mơn Đại số tuyến tính, Tơpơ Giải tích hàm, vừa đủ sử dụng cho chương sau, đồng thời dẫn dắt người học làm quen với mơn quan trọng Các chương từ đến không thiết lập không gian nhiều chiều biết Giải tích biến mà cịn đưa khái niệm xuất khơng gian nhiều chiều Chương trình bày kiến thức chuỗi Fourier phép biến đổi tích phân Fourier Chương cuối giới thiệu sơ lược hệ phương trình vi phân phương trình đạo hàm riêng Hai chương sau nhằm mục đích củng cố kiến thức vi tích phân học chương trước, rèn luyện kỹ tính tốn thực hành trang bị kiến thức để học viên tìm hiểu mơn học khác Vật lý, Cơ học, Sinh học, Nếu khái niệm, kết chứng minh Giải tích biến có tính trực quan cao, dễ hiển thị, sang khơng gian nhiều chiều tính trừu tượng tăng lên rõ rệt Tuy nhiên, đẹp Toán học nằm trừu tượng ích Tốn học nằm cụ thể Để hiểu rõ hai mặt Toán học đồng thời nhằm rèn luyện phương pháp suy luận tốn học cho sinh viên, giáo trình hai cách tiếp cận thường sử dụng đan xen nhau: cách từ cụ thể tới trừu tượng ngược lại, từ trừu tượng tới cụ thể tuỳ theo khái niệm, định lý Mỗi kết phát biểu chứng minh khơng gian tổng qt n chiều, người đọc hạn chế trường hợp n=2 n=3 để hiểu dễ dàng thấu đáo Trong tài liệu này, cố gắng đưa vào chứng minh đầy đủ định lý lớn “hóc búa” thường bị né tránh giáo trình hành Những chứng minh khó chứa đựng phương pháp suy luận điển hình cần cho việc rèn luyện tư (nhất học sinh cao học muốn sâu vào lĩnh vực Giải tích Tốn học) Người đọc i khơng cần nhớ chi tiết, mà cần hiểu chứng minh xem đạt yêu cầu Việc minh hoạ tính tốn khơng gian nhiều chiều vốn vấn đề khó khơng thực thủ cơng, chủ đề: Vẽ đồ thị không gian, tính tích phân bội, tính vi phân hàm ẩn vectơ nhiều biến, tính tốn biến đổi tích phân Fourier, giải phương trình đạo hàm riêng, Cái khó bắt đầu từ việc tìm cho ví dụ xử lý Chính vậy, lĩnh vực ln ln mơ hồ hầu hết học viên (từ đại học đến cao học) Nhằm xố bỏ tình trạng này, chúng tơi mạnh dạn đưa vào giáo trình phần hướng dẫn tính tốn thực hành máy, sau chương lý thuyết Qua người đọc thấy ngày nay, với máy tính phần mềm tốn học thơng dụng (có sẵn thị trường Internet), dịng lệnh đơn giản tương tự ngơn ngữ tốn học thơng thường, người ta "sờ thấy được" mà trước khơng thể hình dung Nếu chưa có sẵn chương trình tính tốn máy cá nhân, người đọc truy cập tới số trung tâm cung cấp dịch vụ tính tốn qua mạng (thường miễn phí) để thực hành tính tốn (bạn đọc có nhu cầu xin liên hệ với tác giả để biết thêm thông tin chi tiết) Đối với người học chưa có điều kiện tiếp xúc với máy tính, việc đọc phần có tác dụng, biết chế giao tiếp người với máy biết máy tính thay người q trình tính tốn Quan trọng hơn, qua ví dụ minh hoạ tính tốn máy trình bày sách, người học nắm kiến thức toán học cách sâu sắc hơn, tiếp cận tới điều mà trước tưởng khơng thể Khi khơng cịn bị mặc cảm tốn hóc búa, người ta thấy tốn học khơng cịn huyền bí tự tin việc đón nhận tốn khó nảy sinh từ thực tiễn sản xuất Chúng tơi hy vọng sách cẩm nang tốt cho muốn hiểu sâu sắc Giải tích tốn học nói chung, giải tích hàm số nhiều biến nói riêng Do đó, hữu ích học sinh cao học, thầy trò trường Tổng hợp, Sư phạm, Kỹ thuật, Tập thể tác giả xin chân thành cảm ơn giáo sư Nguyễn Duy Tiến (ĐHQG Hà Nội) giáo sư Đoàn Quỳnh (ĐHSP Hà Nội) đọc kỹ thảo cho nhận xét quý báu Việc trình bầy chủ đề phức tạp khơng thể tránh khỏi sai sót, mong tiếp tục nhận phê bình, góp ý đồng nghiệp học viên gửi theo địa chỉ: Viện Toán học, Trung tâm Khoa học Tự nhiên Công nghệ Quốc gia, 18-Đường Hoàng Quốc Việt, Quận Cầu Giấy, Hà Nội CÁC TÁC GIẢ ii Chương Không gian Rn & Không gian metric 1.1 Không gian Rn 1.1.1 Điểm không gian n-chiều 1.1.2 Vectơ không gian n-chiều 1.1.3 Tích vơ hướng 1.1.4 Chuẩn vectơ 1.1.5 Ánh xạ tuyến tính 1.2 Không gian metric 10 1.2.1 Định nghĩa ví dụ 10 1.2.2 Tập đóng tập mở không gian metric 12 1.2.3 Hội tụ không gian metric 15 1.2.4 Tính đầy đủ khơng gian metric 17 1.2.5 Tính compact khơng gian metric 19 1.2.6 Ánh xạ không gian metric 24 1.2.7 Không gian siêu metric 27 1.1 Không gian Rn Trong giáo trình làm việc khơng gian Rn - ví dụ đặc biệt khơng gian n-chiều Để giáo trình có tính độc lập định, chúng tơi trình bày lại cách ngắn gọn việc xây dựng không gian Rn Độc giả quan tâm đến lý thuyết không gian n-chiều nói chung xin xem giáo trình Đại số tuyến tính Độc giả học qua giáo trình Đại số tuyến tính bỏ qua phần Giải tích hàm nhiều biến 1.1.1 Điểm không gian n-chiều Ta quen thuộc với cách dùng số để biểu diễn điểm đường thẳng (khi đường thẳng cho sẵn đơn vị dài) Ta biết việc dùng cặp số (x,y) để biểu diễn điểm mặt phẳng có hệ tọa độ Descartes Tương tự vậy, người ta sử dụng số (x,y,z) để biểu diễn điểm khơng gian Đường thẳng cịn gọi khơng gian 1-chiều, mặt phẳng cịn gọi không gian 2-chiều, không gian vật lý xung quanh ta cịn gọi khơng gian 3-chiều Như vậy, số biểu diễn điểm không gian 1-chiều, cặp số biểu diễn điểm không gian 2-chiều, số biểu diễn điểm không gian 3-chiều Tuy rằng, ta cho minh họa hình học cách biểu diễn điểm khơng gian có số chiều lớn 3, cách khái quát hóa, người ta dùng n số để biểu diễn điểm không gian n-chiều Không gian n-chiều với n ≥ tưởng tượng khái qt hóa nhà tốn học, mà chúng thật tồn vật lý, kinh tế, xã hội Thí dụ để biểu diễn nhiệt độ điểm khơng gian xung quanh ta ngồi 3-chiều thông thường ta phải thêm chiều thời gian Hoặc để biểu diễn tình trạng sức khỏe người ta phải dùng nhiều số: chiều cao, trọng lượng, vịng ngực, huyết áp, độ thính, tầm nhìn Chính xác hơn, với số tự nhiên n cho trước, ta có: Định nghĩa Một điểm khơng gian n-chiều n số có thứ tự ( x1 , x2 , , xn ) Người ta thường ký hiệu điểm không gian n-chiều chữ đậm, thí dụ x, viết x = ( x1 , x2 , , xn ) Số xi số gọi tọa độ thứ i điểm x Giả sử có điểm không gian n-chiều a = (a1 , a2 , , an ) b = (b1 , b2 , , bn ) , ta định nghĩa tổng chúng (a+b) điểm không gian n-chiều với tọa độ (a1 + b1 , a2 + b2 , , an + bn ) , ta định nghĩa tích điểm a với số λ điểm với tọa độ (λa1 , λa2 , , λan ) Thí dụ Trong khơng gian 3-chiều, với a = (1,3,5), b = (2,0,1), λ = 7, ta có a+b = (3,3,6) λa = (7,21,35) Người ta ký hiệu điểm (trong khơng gian n-chiều) có tất tọa độ (tức = (0,0, ,0)) gọi điểm gốc, cịn -a điểm (-1)a (tức điểm có tọa độ ngược dấu với tọa độ điểm a) Khi dễ dàng kiểm tra phép tính thỏa mãn luật sau: Chương Không gian Rn không gian metric (1) (a + b) + c = a + (b + c) ; (2) a + b = b + a ; (3) λ(a + b) = λa + λb ; (4) (λ + µ)a = λa + µa (λµ)a = λ(µa) , với số λ, µ; (5) + a = a + = a với a ; (6) 1.a = a a + (-a) = Từ người ta quy ước viết a - b thay cho a +(- b) Chứng minh đẳng thức dễ dàng, người đọc tự làm tập Để làm thí dụ, chứng minh đẳng thức (3) Theo định nghĩa a + b = (a1 + b1 , , an + bn ) , nên λ (a + b) = (λ (a1 + b1 ), , λ (an + bn )) = (λa1 + λb1 , , λan + λbn ) = λa + λb 1.1.2 Vectơ không gian n-chiều Người ta gọi cặp điểm a, b không gian n-chiều vectơ buộc (hay vectơ định vị) không gian n-chiều Vectơ xác định cặp điểm a, b ký hiệu ab Người ta gọi a điểm đầu, b điểm cuối, gọi ab vectơ định vị a Hai vectơ ab cd gọi tương đẳng chúng thỏa mãn điều kiện b−a = d −c b a b-a Hình 1.1 Theo định nghĩa đó, vectơ ab tương đẳng với vectơ định vị gốc có điểm cuối b-a Rõ ràng, có vectơ định vị gốc tương đẳng với vectơ cho trước (vì dễ thấy vectơ tương đẳng mà định vị gốc điểm cuối chúng trùng nhau) Điều minh họa trường hợp 2-chiều hình vẽ bên Vectơ định vị gốc xác định hoàn tồn điểm cuối nó, khơng gian n-chiều ta có mối tương quan 1-1 điểm vectơ định vị gốc Như n số xem tọa độ điểm a hay vectơ định vị gốc 0a , thuận tiện người ta viết vectơ cách đơn giản a hay chí a, trường hợp khơng sợ xảy nhầm lẫn Hai vectơ ab cd gọi song song tồn số λ ≠ cho b − a = λ (d − c ) Khi số λ dương ta nói chúng hướng (hay chiều), trường hợp ngược lại ta nói chúng ngược hướng (hay ngược chiều) Giải tích hàm nhiều biến Như vậy, hai vectơ song song với vectơ định vị gốc tương đẳng với chúng sai khác hệ số (khác 0) Nghĩa là, khái niệm song song hồn tồn phù hợp với biết trường hợp khơng gian 2-chiều 3-chiều (trong giáo trình Hình học giải tích) 1.1.3 Tích vơ hướng Định nghĩa Tích vô hướng vectơ a = (a1 , a2 , , an ) b = (b1 , b2 , , bn ) số (ký hiệu a.b ) xác định sau: a.b := a1b1 + a2b2 + + an bn (Trong số giáo trình, để phân biệt tích vơ hướng vectơ với tích thơng thường số, người ta cịn ký hiệu tích vơ hướng vectơ a b (a,b) hay a , b Tuy nhiên, giáo trình này, cần phân định rõ khác biệt vectơ với số thông thường, dùng phông chữ đậm để biểu diễn vectơ, không xảy lẫn lộn khái niệm nói Vì vậy, sử dụng cách ký hiệu đơn giản trình bày trên, nhiều tài liệu nước nay, sử dụng ký hiệu thấy cần thiết) Tính chất Từ định nghĩa ta thấy tích vơ hướng vectơ có tính chất sau: 1) a.b = b.a ; 2) a.(b + c ) = a.b + a.c = (b + c ).a ; 3) (α.a ).b = α.(a.b) , với số α ; 4) a.a ≥ , a.a = a = Chứng minh Việc kiểm tra Tính chất dễ dàng dành lại cho người đọc Ta kiểm tra tính chất cịn lại Đẳng thức đầu Tính chất suy từ nhận xét sau a.( b + c) = a1 (b1 + c1 ) + a2 (b2 + c2 ) + + an (bn + cn ) = = (a1b1 + a2b2 + + an bn ) + (a1c1 + a2 c2 + + an cn ) = a.b + a c đẳng thức sau suy từ Tính chất Phần xi Tính chất có từ định nghĩa, cịn phần ngược lại rút từ nhận xét số (a1 , a2 , , an ) có phần tử khác 0, thí dụ , a.a = a12 + a22 + + an2 ≥ ai2 > Các tính chất kiểm tra xong Chương Không gian Rn không gian metric Để cho thuận tiện người ta hay viết a thay cho a.a Lưu ý quy ước mang tính hình thức khơng có liên quan đến phép lũy thừa (hồn tồn vơ nghĩa viết a ) Tuy nhiên người đọc dễ dàng kiểm tra “hằng đẳng thức” tương tự sau đây: (a + b) = a + 2a.b + b , (a − b) = a − 2a.b + b Hai vectơ a b gọi vng góc với a.b = Trong trường hợp không gian 2-chiều 3-chiều khái niệm vng góc hồn tồn trùng hợp với khái niệm vng góc thơng thường 1.1.4 Chuẩn vectơ Bổ đề sau có tên bất đẳng thức Schwarz đóng vai trị quan trọng lý thuyết vectơ Bổ đề (Schwarz) Với vectơ a, b ta ln có (a.b) ≤ (a.a ).(b.b) Chứng minh Với a = bất đẳng thức hiển nhiên Khi a ≠ từ Tính chất ta có (t a + b, t a + b) ≥ , với số t Suy a 2t + 2abt + b ≥ , với t Theo định lý dấu tam thức bậc (biến t) ta có: (ab) − a b ≤ Đây điều cần chứng minh Định nghĩa Chuẩn (hay độ dài) vectơ a, ký hiệu ||a||, số xác định sau: ||a|| = a.a Dưới dạng tọa độ cơng thức có nghĩa ||a|| = a12 + a22 + + an2 , trường hợp khơng gian 2-chiều 3-chiều hồn tồn trùng hợp với cơng thức tính độ dài theo định lý Pythagoras Rõ ràng vectơ có chuẩn tất tọa độ Từ bổ đề Schwarz, sau lấy vế, ta thu công thức hay sử dụng sau |(a.b)| ≤ ||a||.||b|| 323 Chương Hệ phương trình vi phân ∂U ∂U ∂U + + X n +f =0 ∂ x1 ∂ xn ∂z X1 (4) Đây phương trình tuyến tính hàm số U cần tìm Giả sử hệ phương trình đối xứng tương ứng phương trình dx dx1 dx2 = = = n = dz X1 X2 Xn f có n tích phân độc lập ϕ1 ( x1 , x2 , , xn , z ) , ϕ2 ( x1 , x2 , , xn , z ) , , ϕn ( x1 , x2 , , xn , z ) Khi hàm số U = Φ (ϕ1 , , ϕn ) nghiệm tổng quát hệ phương trình (4), nghiệm tổng qt phương trình (3) có dạng U = Φ (ϕ1 , , ϕn ) = Thí dụ Muốn giải phương trình x ∂u ∂u ∂u +y +z = xyz ta lưu ý hệ ∂x ∂y ∂z dy dz phương trình đối xứng dx = = = du có ba tích phân độc lập x y z xyz y ϕ1 = , ϕ2 = z , ϕ 3= xyz − 3u Vậy hệ cho có nghiệm tổng quát x x y Φ ( , z , xyz − 3u ) = x x 9.2.4 Phương trình vi phân đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai biến độc lập (x,y) có dạng a ∂ 2z ∂ 2z ∂ 2z ∂z ∂z b c + + + F ( x, y , z , , ) = , 2 x y x ∂y ∂ ∂ ∂ ∂x ∂ y a,b,c hàm khả vi liên tục tới cấp hai theo hai biến (x,y) a2 + b2 + c2 > Một số dạng đặc biệt Dạng 1) ∂ 2z = F ( x, y ) ; ∂ x2 2) ∂ 2z = F ( x, y ) ; ∂ y2 3) ∂ 2z = F ( x, y ) ∂ x∂ y 324 Giải tích hàm nhiều biến Thí dụ Ta giải phương trình ∂ 2z = x − y cách tích phân hai vế ∂ x∂ y ∂z = xy − y + ψ ( x) Tích phân hai vế phương trình ∂x theo x ta nghiệm phương trình cho z = x y − y x + ∫ ψ ( x)dx + ϕ ( y ) , 2 ψ ( x) ϕ ( y ) hàm theo y thu Dạng 1) a ∂ 2z ∂z +d = F ( x, y ) ; ∂ x ∂x 2) b ∂ 2z ∂z +d = F ( x, y ) ; ∂ x∂ y ∂x 3) b ∂ 2z ∂z +e = F ( x, y ) ; ∂ y∂ x ∂y 4) c ∂ 2z ∂z +e = F ( x, y ) ∂y ∂y Đây phương trình bậc biến phụ thuộc q = ∂z ) ∂y p = ∂z ∂x (hoặc ∂z ∂ 2z ∂z +2 = (9 x + 6)e3 x+2 y ta coi p = ∂ ∂ x x ∂x biến phụ thuộc, x biến độc lập, y số, phương trình trở thành phương ∂p trình vi phân cấp một: x + p = (9 x + 6)e3 x+2 y Nhân hai vế phương trình ∂x ∂p với x ta x + xp = (9 x + x)e3 x+2 y Tích phân vế theo x ta ∂x được: Thí dụ Để giải phương trình x x p = ∫ (9 x + x)e3 x+2 y dx = x e3 x+2 y + φ 1( y ) Suy p= ∂z = 3e3 x+2 y + 12 φ 1( y ) ∂x x Vậy nghiệm phương trình cho z = e3 x+2 y − φ 1( y ) + φ2 ( y ) x Dạng 325 Chương Hệ phương trình vi phân 1) a 2) b ∂ 2z ∂ 2z ∂z + b +d = F ( x, y ) ; ∂ x∂ y ∂x ∂ x2 ∂ 2z ∂ 2z ∂z +c +e = F ( x, y ) ∂ x∂ y ∂ y ∂y Đây phương trình đạo hàm riêng tuyến tính bậc p (hoặc q) x, y biến độc lập Thí dụ Ta giải phương trình x ∂ 2z ∂ 2z ∂z − +2 = xy cách đặt y ∂ x∂ y ∂x ∂ x2 ∂z , phương trình coi phương trình đạo hàm riêng ∂x ∂p ∂p tuyến tính cấp khơng nhất: x −y = xy − p Để giải theo ∂x ∂y phương pháp Mục 9.1.3 ta lập hệ phương trình vi phân thường p= dp dx = dy = x − y xy − p Dễ dàng kiểm tra, hệ có hai tích phân độc lập ϕ 1= xy ϕ 2= Do nghiệm tổng quát phương trình cấp p= p − 2x y2 p − x = ψ ( xy ) Suy y2 ∂z = xy + y ψ ( xy ) ∂x z = x y + y ∫ ψ ( xy )dx + φ( y ) = x y + φ 1( xy ) + φ( y ) Dạng 1) a ∂ 2z ∂z +d + mz = F ( x, y ) ; ∂x ∂x 2) c ∂ 2z ∂z +e + nz = F ( x, y ) ∂y ∂y Đây phương trình vi phân thường tuyến tính cấp hai p (hoặc q) x (hoặc y) biến độc lập ∂ 2z ∂z − 2x + x z = ( x − 2)e3 x+2 y phương trình vi phân ∂ y ∂y thường tuyến tính cấp hai khơng Nó có nghiệm Thí dụ Phương trình x+2 y z = e xy φ 1( x) + xe xy φ ( x) + e x−2 326 Giải tích hàm nhiều biến Phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai Xét phương trình tuyến tính cấp hai ∂ 2u n n ∂u ∑ aij ( x) ∂ xi ∂ x j + ∑ bi ( x) ∂ xi + c( x)u = f ( x) , i , j =1 (*) i=1 aij ( x) = a ji ( x) Dạng toàn phương n ∑ aij ( x)ξi ξ j i , j =1 gọi đa thức đặc trưng phương trình (*) Cố định điểm x = ( x10 , , xn0 ) giả sử hàm số aij ( x), bi ( x), c( x) f ( x) n xác định lân cận điểm Dùng phép biến đổi ξ j = ∑ α sj ηs , s=1 j=1, ,n, ta đưa đa thức đặc trưng dạng n ∑ aij ξi ξ j = i , j =1 n ∑ a*sl ηs ηl s ,l =1 Hơn nữa, từ giáo trình đại số tuyến tính ta biết rằng, tồn phép biến đổi tuyến tính thực, khơng suy biến đưa dạng tồn phương n ∑ aij ( x0 )ξi ξ j dạng i , j =1 n ∑ al*η l2 với al* = ±1 Số số hạng mang dấu dương, âm, l =1 bất biến phép biến đổi không suy biến Với phép biến đổi phương trình (*) trở thành n ∑ al* l =1 ∂ 2u ∂u ∂u = F ( y1 , , yn , u , , , ) ∂ y1 ∂ yn ∂ y 2l (**) với al* = ±1 Dạng (**) gọi dạng tắc phương trình (*) điểm x Dựa dạng tắc người ta phân loại phương trình tuyến tính cấp hai dạng sau: 1) Phương trình (*) điểm x gọi elliptic tất hệ số (**) khác không mang dấu, tức al* = al* = −1 với l = 1, ,n Chương Hệ phương trình vi phân 327 2) Phương trình (*) điểm x gọi hyperbolic tất hệ số (**) khác khơng có số hạng trái dấu với n −1 số hạng lại 3) Phương trình (2.1) điểm x gọi parabolic có hệ số al*0 (2.3) khơng, tất số hạng lại dấu hệ số số ∂u khác không hạng ∂ yi0 Như để nghiên cứu phương trình (*) người ta cần tập trung nghiên cứu lớp phương trình elliptic, hyperbolic parabolic Bài tập tính tốn thực hành Chương Hệ phương trình vi phân thường 327 1.1 Khái niệm 327 1.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính 328 1.3 Hệ phương trình vi phân tuyến tính khơng 328 1.4 Hệ phương trình vi phân với hệ số không đổi 328 Phương trình đạo hàm riêng 328 Thực hành tính tốn máy 329 3.1 Giải hệ phương trình vi phân thông thường 329 3.2 Tìm nghiệm dạng khác phương pháp tuỳ chọn 330 3.3 Giải phương trình vi phân đạo hàm riêng 332 3.4 Vẽ đồ thị nghiệm phương trình vi phân 334 Hệ phương trình vi phân thường 1.1 Khái niệm Bài Hãy tìm tích phân độc lập hệ phương trình sau: dy dz 1) dx = = ; x y z dy dz 3) dx = ; = cos x cos x cos x cos y dy 2) dx = = dz ; x y x+ y dy 4) dx = = dz z( x + z) − y( y + z) Bài Giải tốn Cauchy cho hệ phương trình sau:  dx  = x − y  x = −1 dt với điều kiện ban đầu  t = 1)    dy y=0   xy =  dt   dx  = e− x cos y   x =  dt  với điều kiện ban đầu  2)  t =   y =  dy −x  = − e sin y    dt 328 Giải tích hàm nhiều biến 1.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính Giải hệ phương trình vi phân tuyến tính sau:  dx = x + y    dt  1)   dy  = 3x + y    dt  dx  = y − x dt 2)   dy  dt = y − x    dx = 2x − y − z   dt    dy 3)  = 12 x − y −12 z dt      dz = −4 x + y + z   dt  dx  = x − y + z  dt  dy 4)  = x + y − z  dt  dz  dt = x − y  1.3 Hệ phương trình vi phân tuyến tính khơng Giải hệ phương trình vi phân tuyến tính khơng sau:   dx = x − y + 2e3t dy     = y + z + cos x   dt dx 2)  1)     dy   dz = − y − z + sin x = x + y + 5e−t      dt  dx 1.4 Hệ phương trình vi phân với hệ số không đổi Giải hệ phương trình vi phân tuyến tính sau phương pháp biến đổi ma trận:   dx = x + y  dx = x − y     dt dt   1)  2)    dy dy  = x − y  = −3x − y    dt  dt    dx = x − y  dx = x − y − z   dt dt       dy dy 3)  4)  = 3x − y − z  = 3x + y − z dt dt       dz =     dz = x − y x+z      dt  dt Phương trình đạo hàm riêng Bài Giải phương trình tuyến tính cấp sau: 329 Bài tập tính tốn thực hành Chương ∂z ∂z +x =0; ∂x ∂y ∂u ∂u ∂u 3) x +y +z =0; ∂x ∂y ∂z ∂z ∂z 5) x −z =0; ∂x ∂y 1) y ∂z ∂z + ( y + x2 ) =0; ∂x ∂y ∂ u ( x, y , z ) ∂ u ( x y.z ) 4) x + yz =0; ∂x ∂y ∂u ∂u ∂u + y3 + y2 z =0 6) ( x3 + xy ) ∂x ∂y ∂z 2) x Bài Giải phương trình tuyến tính cấp khơng sau: ∂z ∂z − x2 = yz ; ∂x ∂y ∂u ∂u 3) +3 = sin( xy ) ; ∂x ∂y 1) xy ∂z ∂z + 2y = x2 y + z ; ∂x ∂y ∂z ∂z 4) ( z − y ) + xz = xy ∂x ∂y 2) x Bài Giải phương trình đạo hàm riêng cấp hai cấp cao sau: 1) ∂u ∂2u +7 = xy ; ∂x ∂ x∂ y 2) ∂2u ∂2u − =0; ∂ x2 ∂ y2 3) ∂ 5u =0; ∂ x2∂ y3 4) ∂ 5u = sin( xy ) ∂ x2∂ y3 Thực hành tính tốn máy 3.1 Giải hệ phương trình vi phân thơng thường Giải phương trình vi phân thường chương trình Maple lệnh dsolve, trình bày giáo trình giải tích biến Dưới nhắc lại bổ xung thêm số tập Các bước giải phương trình hệ vi phân tương tự giải phương trình vi phân bậc Nghiệm tổng quát hệ phương trình vi phân bậc phụ thuộc vào tham số tự Thí dụ Giải hệ phương trình vi phân với điều kiện ban đầu:  dy   =z  dx    dz = y     dx y (0) = 0, z (0) = Bước Gán tên sys (viết tắt chữ system - hệ) cho hệ phương trình: [> sys:={diff(y(x),x)=z(x),diff(z(x),x)=y(x),y(0)=0,z(0)=2}; sys := ∂ y ( x) = z ( x), ∂ z ( x) = y ( x), y (0) = 0, z (0) = ∂x ∂x { Bước Gán tên cho nghiệm: } 330 Giải tích hàm nhiều biến [> fcns:={y(x),z(x)}; fcns := { y ( x), z ( x)} Bước Giải hệ phương trình vi phân: [> dsolve(sys,fcns); { y ( x) = e x − e− x , z ( x) = e− x + e x } Thí dụ Giải hệ phương trình vi phân thường cấp (khơng có điều kiện ban đầu) sau:  y '' = z       z '' = y Chú ý đưa phương trình hệ bậc ta có hệ phương trình Bước Gán tên sys cho hệ phương trình cần giải: [> sys:=(D@@2)(y)(x)=z(x),(D@@2)(z)(x)= y(x); sys := ( D )( y )( x) = z ( x), ( D )( z )( x) = y ( x) Bước Giải hệ phương trình vi phân lệnh [> dsolve({sys},{y(x),z(x)}); { y ( x) = _ C1e(− x ) + _ C1e x + _ C1cos( x) − _ C e− x + _ C e x + _ C 2sin( x) 4 4 + _ C e− x + _ C e x − _ C 3cos( x) − _ C 4sin( x) + _ C e x − _ C e− x , 4 2 4 z ( x) = _ C1e− x + _ C1e x − _ C1cos( x) − _ C 2sin( x) + _ C 2e x − _ C 2e− x + 4 2 4 1 1 1 −x x −x x + _ C 3e + _ C 3e + _ C 3cos( x) − _ C 4e + _ C 4e + _ C 4sin( x)} 4 4 3.2 Tìm nghiệm dạng khác phương pháp tuỳ chọn Trong trường hợp tổng quát, lệnh giải phương trình vi phân có cú pháp là: [> dsolve(deqns,vars,keyword); Trong deqns phương trình vi phân, vars biến nghiệm, phần keyword cho phép ta xác định phương pháp giải dạng biểu diễn nghiệm Cách biểu diễn mặc định "chính xác " (exact) Nếu chọn cách biểu diễn nghiệm ta cho giá trị phần keyword Nếu cách biểu diễn không thành (như ta thấy ví dụ đây), khơng phải ý ta muốn, ta yêu cầu máy cho ta cách biểu diễn sau đây: 331 Bài tập tính tốn thực hành Chương ♦ Với keyword cho dạng type=series máy cho ta nghiệm dạng chuỗi ♦ Với keyword cho dạng type=numeric máy sử dụng phương pháp số (có khối lượng lớn phương pháp MAPLE để giải phương trình vi phân) Kết máy cho ta nghiệm dạng hàm tượng trưng mà đánh giá giá trị số điểm ♦ Với keyword cho dạng ouput=basic máy cho ta tập hàm sở mà tập nghiệm căng (như bao tuyến tính) Nếu phương trình khơng phải máy cho ta thêm nghiệm riêng, để nghiệm biểu diễn qua tập nghiệm sở nghiệm riêng Thông thường, nghiệm cho dạng hàm ẩn (tức phương trình hay hệ phương trình tạo tích phân đầu), dạng biến phụ thuộc tham số Nếu ta muốn bắt phải cho ta nghiệm dạng hiển (tức hàm số y theo x ) ta cho keyword explicit=true (Vì khả thường khó xảy nên giá trị mặc định explicit=false ) Muốn có nghiệm biểu diễn thông qua hàm đặc biệt kiểu Dirac(.), Heaviside(.), ta phải cho keyword method=laplace  dy   = z− y−x   với giá trị ban đầu y (0) = 0, z (0) = Thí dụ Giải hệ  dx  dz = y     dx 1) Theo phương pháp mặc định sẵn máy, ta dùng lệnh: [> sys:=diff(y(x),x)=z(x)-y(x)-x,diff(z(x),x)=y(x): fcns:={y(x),z(x)}: [> dsolve({sys,y(0)=0,z(0)=1},fcns);   z ( x) = e(− (    (− ( − 5e 10 +1) x +1) x )−1 )+ 10 ( 12 ( 5e ( 12 ( 5e −1) x −1) x ) + x + 1, y( x) = ) + 1− e( 12 ( −1) x ) (−12 ( −1 e 2) Muốn tìm nghiệm dạng chuỗi, ta dùng lệnh [> dsolve({sys,y(0)=0,z(0)=1},fcns,type=series); { y ( x) = x − x + x3 − x + x5 + O ( x ), 24 15 1 z ( x) = + x − x + x − x5 + O ( x )} 24 +1) x )       332 Giải tích hàm nhiều biến 3) Tìm nghiệm dạng lưới điểm số ta dùng lệnh: [> F:=dsolve({sys,y(0)=0,z(0)=1},fcns,type=numeric); F := proc(rkf45_x) end và, tiếp theo, để biết giá trị nghiệm điểm ta dùng lệnh [> F(1); [x = 1, y(x) = 343731408276753914, z(x) = 1.25897207653682308] [> F(1.5); [x = 1.5, y(x) = 237649509495644756, z(x) = 1.40935827136441327] [> F(1.7); [x = 1.7, y(x) = 163416733680997378, z(x) = 1.44974926864546538] Thí dụ Tìm nghiệm phương trình vi phân cấp hai y " = x y (với điều kiện ban đầu y (0) = , y '(0) = ) dạng lưới điểm số, chương trình mang tên dverk78, cho giá trị nghiệm đạo hàm điểm x = 1, x = 1.5, x = 1.7 dạng bảng số liệu: [> deq3:={(D@@2)(y)(x)=2*x^3*y(x),y(0)=1,D(y)(0)=1}; [> s:=dsolve(deq3,{y(x)},type=numeric,method=dverk78, value=array([1.0,1.5,1.7])); s :=   ∂   x, y(x), y(x)  ∂x      2.17013243525314170   1.50000000000000000 4.26826796627041372   1.69999999999999996 6.71039854665199442   1.93603788311791480    8.36391691654069902   17.2757972122874470   Thí dụ Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp khơng xy "+ y '+ y = x cho biết hệ sở (basis) tập nghiệm với nghiệm riêng: [> solve(2*x*diff(y(x),x$2)+diff(y(x),x)+3*y(x)=x,y(x), output=basis);    14   x cos( x ) , x sin( x )  , − + x        x x 3.3 Giải phương trình vi phân đạo hàm riêng Muốn giải phương trình vi phân đạo hàm riêng ta dùng lệnh pdesolve với cú pháp: Bài tập tính tốn thực hành Chương 333 [> pdesolve(pt,s); pt phương trình đạo hàm riêng cần giải, s nghiệm (hàm nhiều biến) cần tìm Đối với nhiều phương trình vi phân đạo hàm riêng, lệnh pdesolve cho ta nghiệm dạng hiển Hàm tùy ý thường kí hiệu _F1,_F2,v.v Dưới số ví dụ giải phương trình đạo hàm riêng Maple Phương trình đạo hàm riêng cấp Thí dụ Giải phương trình y ∂z ∂z +x =0 ∂x ∂y [>pdesolve(y*diff(z(x,y),x)+x*diff(z(x,y),y)=0,z(x,y)); z ( x, y ) = F1 (−x + y ) Thí dụ Giải phương trình x ∂z ∂z + ( y + x2 ) =0 ∂x ∂y [>pdesolve(x*diff(z(x,y),x)+(y+x^2)*diff(z(x,y),y)=0,z(x,y));  y − x   z ( x, y ) = F1   x  Phương trình tuyến tính cấp khơng Thí dụ Giải phương trình y ∂z =z ∂x [>pdesolve(y*diff(z(x,y),x)=z(x,y),z(x,y)); x z ( x, y ) = e y F1 ( y ) Thí dụ Giải phương trình ∂z = z ∂x [>pdesolve(diff(z(x,y),x)=z(x,y),z(x,y)); z ( x, y ) = e x F1 ( y ) Chú ý phương trình đạo hàm riêng (trong lệnh pdesolve hàm z phụ thuộc vào hai biến x, y ) khơng phải phương trình vi phân thường dz = z dx ( z hàm biến x ) Vì nghiệm tổng quát phụ thuộc vào hàm F1 ( y ) , số trường hợp phương trình vi phân thường Thí dụ Giải phương trình ∂u ∂u +3 = sin( xy ) ∂x ∂y 334 Giải tích hàm nhiều biến [>pdesolve(diff(u(x,y),x)+3*diff(u(x,y),y)=sin(x*y),u(x,y)); Nghiệm viết thông qua hàm đặc biệt Phương trình đạo hàm riêng cấp hai Thí dụ Giải phương trình ∂u ∂2u +7 = xy ∂x ∂ x∂ y [>pdesolve(3*diff(g(x,y),x)+7*diff(g(x,y),x,y)=x*y,g(x,y)); − y g ( x, y ) = x y − x + F1 ( y ) + e F2 ( x) 18 Thí dụ Giải phương trình ∂2u ∂2u − =0 ∂ x2 ∂ y2 [>pdesolve(diff(u(x,y),x,x)-diff(u(x,y),y,y)=0,u(x,y)); u ( x, y ) = F1 ( y + x) + F2 ( y − x) Phương trình đạo hàm riêng cấp cao Thí dụ Giải phương trình ∂ 5u =0 ∂ x2∂ y3 [>pde:=D[1,1,2,2,2](U)(x,y)=0; pde := D[1,1, 2, 2, 2](U )( x, y ) = [>pdesolve(pde,U(x,y)); U ( x, y ) = F1 ( y ) + F2 ( y ) x + F3 ( x) + F4 ( x) y + F5 ( x) y 3.4 Vẽ đồ thị nghiệm phương trình vi phân Vẽ đồ thị nghiệm hệ phương trình vi phân thường Để vẽ đồ thị nghiệm hệ phương trình vi phân, ta cần gọi gói cơng cụ : [> with(DEtools): Và tiến hành vẽ đồ thị nghiệm hệ phương trình vi phân lệnh: [>DEplot(deqns,vars,trange,inits,eqns); lệnh [>DEplot(deqns,vars,trange,inits,xrange,yrange,eqns); Trong đó: deqns vars - bảng phương trình vi phân bậc phương trình vi phân cấp cao - biến phụ thuộc bảng biến phụ thuộc Bài tập tính tốn thực hành Chương trange inits yrange xrange eqns 335 - miền thay đổi biến độc lập - điều kiện ban đầu xác định đường cong nghiệm cần vẽ - miền thay đổi biến phụ thuộc thứ - miền thay đổi biến phụ thuộc thứ hai - tuỳ chọn (màu, tiêu đề, độ đậm nhạt đồ thị, )  x ' = x(1 − y ) Thí dụ Vẽ đồ thị nghiệm hệ phương trình vi phân   với  y ' = 0,3 y ( x −1) biến độc lập t thay đổi đoạn [-2,2], biến phụ thuộc x thay đổi đoạn [1,2], biến phụ thuộc y thay đổi đoạn [-1,2], thêm tiêu đề (tuỳ chọn) là: ‘Lotka-Volterra model’ (Mơ hình Lotka-Volterra) [> DEplot({diff(x(t),t)=x(t)*(1-y(t)), diff(y(t),t)=.3*y(t)* (x(t)-1)},[x(t),y(t)],t=2 2,x=-1 2,y=-1 2, title=`Lotka-Volterra model`); Hình 9.1 Vẽ đồ thị nghiệm phương trình vi phân thường không gian ba chiều Để vẽ đồ thị nghiệm phương trình vi phân khơng gian ba chiều ta phải dùng lệnh DEplot3d thay cho DEplot trên: [> DEplot3d(deqns,vars,trange,inits,xrange,yrange,eqns);   x ' = y với điều Thí dụ Vẽ đồ thị nghiệm hệ phương trình vi phân    y ' = − sin x − y  10   kiện ban đầu [x(0)=0, y(0)=1]; t thay đổi đoạn [-10,10] [> DEplot3d({diff(x(t),t)=y(t),diff(y(t),t)=-sin(x(t))y(t)/10},{x(t),y(t)},t=-10 10,stepsize=.1, [[x(0)=1,y(0)=1]],linecolor=t); 336 Giải tích hàm nhiều biến Hình 9.2 Ta vẽ đồ thị hai nhiều nghiệm phương trình vi phân (với điều kiện ban đầu khác nhau) hình Vẽ đồ thị nghiệm phương trình vi phân đạo hàm riêng Vẽ đồ thị nghiệm phương trình đạo hàm riêng lệnh PDEplot(.) Thí dụ Vẽ đồ thị nghiệm phương trình ∂u ∂u + cos x = sin y ∂x ∂y [>PDEplot(D[1](u)(x,y)+cos(2*x)*D[2 ](u)(x,y)=-sin(y),u(x,y), [0,s,1+s^2],s=-2 2); Hình 9.3 Thí dụ Vẽ đồ thị nghiệm phương trình ( y + z ( x, y ) + x ) ∂ z ( x, y ) ∂ z ( x, y ) − xy + z ( x, y ) x = ∂x ∂y [>PDEplot((y^2+z(x,y)^2+x^2)*diff(z(x,y),x)-2*x*y* diff(z(x,y),y)+2*z(x,y)*x=0,z(x,y),[t,t, sin(Pi*t/0.1)/10],t=0 0.1); Hình 9.4 ... dàng: 1) Cho f g hai hàm liên tục a Khi hàm f + g , f g , f / g (nếu g (a ) ≠ ) hàm liên tục a 44 Giải tích hàm nhiều biến 2) Cho f hàm liên tục a ϕ hàm biến liên tục f (a ) Khi hàm hợp ϕ D f liên... f hàm biến Tuy định lý Cantor hàm nhiều biến Cụ thể hàm liên tục tập compact liên tục tập (cách chứng minh hoàn toàn tương tự trường hợp hàm biến) Một kết quan trọng trình bày chương trước hàm. .. tích vô hướng khái niệm khoảng cách Không gian có tên gọi khơng gian Euclid n-chiều ký hiệu Rn Đây khơng gian có nhiều tính chất thú vị đóng vai trị tảng suốt giáo trình Giải tích hàm nhiều biến