giai tich a1 duong minh duc giai tich a1 giai tich a1 duong minh duc giai tich a1 giai tich a1 duong minh duc giai tich a1 giai tich a1 duong minh duc giai tich a1 giai tich a1 duong minh duc giai tich a1 giai tich a1 duong minh duc giai tich a1 giai tich a1 duong minh duc giai tich a1
CHƯƠNG MỘT TẬP HỢP VÀ LÝ LUẬN CƠ BẢN TOÁN GIẢI TÍCH vấn đề thực tiển DƯƠNG MINH ĐỨC Đây slides giảng mơn Tốn Giải Tích dành cho sinh viên năm thứ Khoa Toán-Tin, trường Đại học Khoa Học, Đại học Quốc Gia Thành Phố Hồ Chí Minh, niên học 2007-2008 Bài giảng soạn theo : Giáo Trình Tốn Giải Tích 1, GS Dương Minh Đức, Nhà xuất Thống Kê, 2006 GIAI TICH - CHUONG diễn giải kết luận mơ hình tốn học kết luận tốn học TOÁN HỌC VÀ THỰC TIỂN GIAI TICH - CHUONG Một vấn đề giải bước sau : dùng tốn để mơ hình vấn đề : làm rõ gọn hơn, Chúng ta mơ hình vấn đề sau: số tập mua số nguyên lớn hay 1, số tiền chi trả số từ đến 3.500.000, số tập mua n số tiền phải trả 3000n Chúng ta thấy mơ hình khơng cịn vấn đề rắc rối : quĩ từ thiện, tập vở, tiền bạc học sinh nghèo dùng phương pháp tốn để giải tốn mơ hình diễn giải kết tốn học ngơn ngử thực tiển Thí dụ1 Giá tập 3.000$, quĩ tài trơ có 3.500.000$, hỏi mua tập cho học sinh nghèo? Và vấn đề biến thành : tìm số nguyên n lớn cho 3000n 3500000 Chúng ta mơ hình vấn đề sau: số tập mua số nguyên lớn hay 1, số tiền chi trả số từ đến 3.500.000, số tập GIAI TICH - CHUONG mua n số tiền phải trả 1là 3.000n Dùng kỹ thuật làm tốn thơng thường, tốn trở thành tìm số n lớn sau cho n 1166,66 Vậy ta có lời giải 1166 GIAI TICHquyễn - CHUONGsách 1 Thí dụ Chúng ta có hai hệ thống đo C nhiệt độ : Celcius Fahrenheit Nhiệt 100 độ để nước đóng băng 0o C 32o F, Nhiệt độ nước lúc bắt đầu sôi 100oC C 212oF Để làm nhiệt kế dùng nhà, phải lập bảng kê số đo hệ Fahrenheit tương ứng với số đo từ -20 đến 70 hệ Celcius, F Đặt C F số đo nhiệt độ vật C hệ Celcius hệ Fahrenheit Ta biết: C=0 F=32, C=100 Ta 100 phải tính F tương ứng với trị giá C từ C -20 đến 70 212 F 212 F C0 F 32 100 212 32 32 F 32 C 18 Vậy hay F 10 C 32 180 100 C -20 -15 -10 -5 10 15 20 25 30 35 F -4 14 23 32 41 50 59 68 77 86 95 Ta để ý 32 Đặt C F số đo nhiệt độ vật hệ Celcius hệ Fahrenheit Ta biết: C=0 F=32, C=100 Ta phải tính F tương ứng với trị GIAI TICH - CHUONG giá C từ -20 đến 70 C 40 45 50 55GIAI TICH 60 - CHUONG 65 170 F 104 113 122 131 140 149 158 A TẬP HỢP Thí dụ : Trong toán chuyển động quan tâm đến yếu tố thời gian, vận tốc khoảng đường di chuyển, yếu tố buộc phải xét tập hợp số thực Cho tập hợp E phần tử x E (ở x số, điểm liệu), lúc ta nói x E Trong việc mơ thí dụ trên, cần quan tâm đến vài số nguyên (chứ tất số nguyên) Trong vấn đề khác vậy, ta phải quan tâm đến số vật có chung vài tính chất Một tập thể số vật gọi tập hợp, vật gọi chung tên “phần tử” tập hợp Dùng lý thuyết tập hợp diễn tả dễ dàng số việc tốn học Ngồi khảo sát lúc số vấn đề khác biệt cách sử dụng khái niệm tập hợp ánh xạ Thí dụ : tính số phải trồng dọc theo đường, ta phải tìm lời giải tập hợp số nguyên dương Õ GIAI TICH - CHUONG F GIAI TICH - CHUONG 2 Ta thường mơ hình tập hợp số thực — tập hợp điểm đường thẳng D Số gán cho điểm A đường D, số thực dương x gán cho điểm M nằm phía bên phải A đường D với khoảng cách AM = x, số thực âm y gán cho điểm N nằm phía bên trái A đường D với khoảng cách NA = -y Thí dụ Để xét nghiệm phương trình x3 + 4x2 - = 0, Ta xác định tập hợp E = x : x3 + 4x2 - = 0 Ta có tập hợp thơng dụng tập hợp số nguyên dương Õ = 1,2, 3, , tập hợp số nguyên Ÿ = ,-3,-2,-1,0,1,2,3, , tập hợp số hữu tỉ – = m : m Ÿ nÕ , n tập hợp số thực — , tập hợp số phức ¬= x+iy : x y — , tập hợp trống tập hợp không chứa phần tử GIAI TICH - CHUONG x N A M GIAI TICH - CHUONG Năm 1881, ông John Venn (nhà tốn học người Anh) đề xuất việc mơ hình tập hợp X phần A mặt phẳng giới hạn đường cong X y 10 Mô hình tập hợp ơng Venn làm giản đơn nhiều tốn, thí dụ miền A mặt phẳng mơ hình tập hợp X có vài phần tử tập hợp có nhiều phần tử — Ở thấy tốn học nhìn vật theo nhiều cách, theo cách đó, X — nhìn theo ý nghĩa tập hợp, chúng đối sữ mơ nhau! Chúng ta thấy nhờ tính đồng hóa việc khác vậy, tốn có khái niệm chung cho vật : phần giao, phần hội tập hợp A Ta gán phần tử X điểm đánh dấu miền A Tuy nhiên nhiều lúc ta mơ hình X miền A, mà khơng cần đánh dấu điểm 11 gán A GIAI TICH - CHUONG GIAI TICH - CHUONG 12 3 Cho hai tập hợp A B Ta đặt y = sin x y=cos x E = x : x A x B , E phần giao A B ký hiệu A B A B X C 6 F = x : x A x B , F phần hợp A B ký hiệu A B Y D F Đặt X Y đồ thị hàm số y = cos x y = sin x , với x [0,6] Lúc XY tập hợp gồm điểm A , B, C, D, E F Các điểm chung GIAI TICH - CHUONG 14 đường thường gọi giao điểm AB GIAI TICH - CHUONG E 13 Thi dụ : Đặt A = {x — : sin x = 0} B = {x — : 2x2 + x - = 0} Cho hai tập hợp A B Ta đặt G = x : x A x B Ta ký hiệu G A \ B AB tập hợp nghiệm hệ phương trình sin x 0, 2 x x AB tập hợp nghiệm phương trình A\B (2x2 + x - ) sin x = GIAI TICH - CHUONG 15 GIAI TICH - CHUONG 16 4 Nếu A B, ta gọi B \ A phần bù A B Định nghĩa Cho hai tập hợp A B Ta nói A B rời A B = f, A A chứa B phần tử A thuộc B (lúc ta nói A tập B ký hiệu A B) A B Cho A tập hợp, ta đặt P (A) tập hợp tất tập hợp A A Thí dụ : A = { , a , }, lúc A B A B B A , lúc ta ký hiệu A = B GIAI TICH - CHUONG P (A) = { ,{2},{a},{},{2,a},{2, }, {a, },{2,a, }} 17 GIAI TICH - CHUONG 18 Để khảo sát thiết kế hệ thống máy lạnh giảng đường này, đo nhiệt độ số vị trí giãng đường (gọi A tập hợp vị trí đó) số thời điểm từ 7.00 sáng đến 6.00 chiều ngày Lúc quan tâm mợt lúc đến hai tập hợp : A [6,18] (các thời điểm mà ta đo nhiệt độ) Ta mơ hình việc tốn sau Thí dụ Gọi A tập hợp tất linh kiện cửa hàng máy tính ngày Một máy tính lắp ráp linh kiện coi tập A, phần tử P(A) Đặt M tập hợp máy tinh lắp ráp bán ngày hơm Lúc M tập P(A) Định nghĩa Cho A B hai tập hợp, ta đặt tích A B họ tất cặp (x,y) với x A y B ký hiệu A B Thí dụ Đặt A = {0,1,2, ,9} Lúc {1,9,2,4} tập A, số 1924 tập A GIAI TICH - CHUONG B\A B B Thí dụ: A = { , } B = {@,#,&}, lúc A B = {(2, @), (2, #), (2, &), (, @), (, #), (, &)} GIAI TICH - CHUONG 20 B A = {(@, 2), (@, ), (#, 2), (#, ), (&, 2), (&, ) } 19 5 Thí dụ: A = { , } B = {@,#,&}, lúc A B = {(2, @), (2, #), (2, &), (, @), (, #), (, &)} B A = {(@, 2), (@, ), (#, 2), (#, ), (&, 2), (&, ) } A B • B A @ # & (#,•) (&,•) & (2,&) (•,&) • (@,•) # (2,#) (•,#) (@,2) (#,2) (&,2) @ (2,@) (•,@) GIAI TICH - CHUONG Thí dụ: C = { m , n } D = {a,i,ơ}, lúc D C = {(a,m), (a, n), (i, m), (i,n), (ô,m), (ô,n) } C D = {(m,a), (m,i), (m,ơ), (n,a), (n,i), (n,ơ)} D C m a i ô am im oâm an n C oân in 21 m n a ma na i mi ni oâ moââ noâ D GIAI TICH - CHUONG Thí dụ: C = { , } D = {-1,-2,-3}, lúc CD = {(1,-1), (1,-2), (1,-3), (2,-1), (2,-2), (2,-3)} DC = {(-1, 1), (-1,2), (-2,1), (-2,2), (-3,1), (-3,2) } 22 Dùng biểu diển theo tích Descartes (b,d) d d [a,b]x[c,d] (a,c) c a GIAI TICH - CHUONG c b a b Nếu B = A, ta thường ký hiệu A A A2 Lúc A2 họ tất cặp (x,y) với x A y A, ta phải lưu ý trường hợp (x,y) khác (y,x), thí dụ M = (1,2) khác GIAI TICH - CHUONG N = (2,1) —2 23 M N 24 6 Liệt kê tất phần tử E Có hai toán liên quan đến tập hợp : xác định tập hợp chứng minh tập hợp chứa tập hợp khác Chúng ta xem phương pháp thông dụng sau dùng để giải vấn đề Thí dụ Xác định tập hợp : F = x Õ : 4x - 4x - x + x = , G = x Ÿ : 4x - 4x - x + x = , H = x – : 4x - 4x - x + x = , K = x — : 4x - 4x - x + x = A.1 Xác định tập hợp Để xác định tập hợp E ta có phương pháp sau : 4x - 4x - x + x = x(x - 1)(2x - 1)(2x + 1) Phương trình 4x - 4x - x + x = có nghiệm x = 0, , , Liệt kê tất phần tử E Định nghĩa lại tập hợp E cách giản dị Dùng đồ họa để diễn tả1 -tập hợp E GIAI TICH CHUONG F = 1 , G = 0, , 1 1 H = 0, 1, , GIAI vàTICH 1K- CHUONG = 1 0, 1, , 25 Định nghĩa lại tập hợp E cách giản dị Dùng Thí dụ Cho A B hai điểm mặt phẳng P Xác định tập hợp E = M P : AMB = 90o hình học phẳng ta thấy E đường tròn tâm O bán +x - < Dùng phương pháp xét dấu tam thức bậc hai ta có x2 + x - = (x - 1)(x +2 ) < -2 < x < Vậy E khoảng mở (-2, 1) GIAI TICH - CHUONG 2 26 đồ họa để diễn tả tập hợp E Dùng phương pháp giải hệ bất phương trình bậc chương trình trung học ta thấy E miền tam giác tơ màu vàng hình vẽ kính OA P hay E =M P : OM = OA Thí dụ Xác định tập hợp E = x — : Thí dụ Xác định tập hợp x E = (x,y) —— : 2x > y > y - < -x Đặt O trung điểm AB Dùng kết x2 27 GIAI TICH - CHUONG 1 28 7 Như E F có diễn tả sau: giả thiết : cho x thuộc E x thuộc F kết luận : cho x thuộc E chứng minh x thuộc F Bài toán Cho A, B C ba tập hợp khác trống cho A B B C Chứng minh A C A.2 Chứng minh tập hợp A chứa tập hợp B Cho hai tập hợp E F Ta thấy E F có nhiều ý nghĩa sau: giả thiết : với x thuộc E x thuộc F kết luận : với x thuộc E chứng minh x thuộc F Tuy nhiên ta xét lúc “mọi x” E Một kỹ thuật toán học giúp ta vượt qua khó khăn sau : Chỉ xét x E, x bất kỳ, nghĩa khơng có lựa chọn đặc biệt cho x Đây kỹ thuật “ăn một, nuốt tất cả” Kỹ thuật thuộc - CHUONG 29 nguyên lý “tập trung GIAI tư TICH tưởng” toán học Giải Cho x A , ta có x thuộc B Cho x B , ta có x thuộc C Cho x A , chứng minh x thuộc C GIAI TICH - CHUONG Cách viết bên không chuẩn: phần tử ba dịng khơng thiết giống nhau, ta không dùng ký hiệu để diễn tả số vật khác Đây kỹ thuật “khơng viết trùng ký hiệu” Ba dịng phải viết thành: Cho x A , ta có x thuộc B Cho z B , ta có z thuộc C Cho t A , chứng minh t thuộc C 30 Cho x A , ta có x thuộc B (1) Cho z B , ta có z thuộc C (2) Cho t A , chứng minh t thuộc C (3) Từ (3), ta xét yếu tố “giống giống khác khác” toán : “t A” “x A ” Ta làm cho chúng giống viết lại toán (1) (2) (3) Ta phải chứng minh (3) dựa vào hai giả thiết (1) (2) GIAI TICH - CHUONG Ta viết rõ giả thiết kết luận Cho t A , ta có t thuộc B (1’) Cho z B , ta có z thuộc C (2) Cho t A , chứng minh t thuộc C 31 GIAI TICH - CHUONG (3) 32 8 Cho t A , ta có t thuộc B (1’) Cho z B , ta có z thuộc C (2) Cho t A , chứng minh t thuộc C QUI TẮC GIẢI TOÁN Viết đánh số cẩn thận giả thiết kết luận toán, với yếu tố làm rõ (3) Ta xét yếu tố “giống giống khác khác” toán : “t B” “z B ” Ta làm cho chúng giống viết lại toán Cho t A , ta có t thuộc B (1’) Cho t B , ta có t thuộc C (2) Cho t A , chứng minh t thuộc C QUI TẮC GIẢI TỐN Khơng dùng ký hiệu cho hai việc khác (3) Bài toán giải xong GIAI TICH - CHUONG 33 GIAI TICH - CHUONG 34 B.Quan hệ tập hợp QUI TẮC GIẢI TOÁN Trong động nhiệt hay động nổ cần hệ thống piston cylinder, kích cở piston phải tương thích với kích cở cylinder : kích cở piston phải nhỏ hẵn kích cở cylinder, để piston chuyển động với ma sát nhỏ vận tốc nhanh cylinder, khơng q nhỏ để tạo lực nén cylinder Ta mơ hình tốn học sau: gọi r đường kính lịng cylinder s đường kính piston, ta phải có 0,998r s 0,999r Xét các yếu tố "giống giống khác khác" toán, cố gắng làm chúng dạng giống hẵn Sau viết lại toán với dạng mới, xét yếu tố giống giống khác khác dạng toán Lặp qui trình giải xong tốn Chủ yếu q trình tâm trung quan sát yếu tố cịn khác nhau, khơng nên để ý nhiều yếu tố hoàn toàn giống Như cần quan hệ thứ tự — GIAI TICH - CHUONG 35 GIAI TICH - CHUONG 36 9 Trong nông lâm ngư nghiệp thấy công việc thường tùy vào thời vụ, thí dụ khơng thể trồng lúa vào mùa q khơ hạn Để mơ hình vấn đề chúng làm sau: lấy đơn vị tháng, m n hai tháng cho khởi loại thời vụ, ta phải có số nguyên (dương hay âm k cho n – m = 12k Cho A tập thể nho nhỏ lồi người Trong tập hợp A có mối liên hệ khác nhau, x anh y tập thể A có dính dáng với mối liên hệ chẳng dính dáng với quan hệ khác Để mơ hình mối liên hệ tập A, ta làm sau: a b liên hệ với nhau, ta chấm điểm (a,b) lên tập tích A Như mối liên hệ A mơ hình tập A×A Như phải xét quan hệ tương đương tập hợp : n m có k Ÿ n – m = 12k GIAI TICH - CHUONG 37 GIAI TICH - CHUONG Cho B phần nằm bên đường chéo —2 hình vẽ bên Chứng minh B={ (x,y) —2 : x < y } Định nghĩa Cho tập hợp A khác trống cho B tập khác trống AA Ta nói xRy (x,y) B Lúc ta gọi R quan hệ A B B (a,b ) b a a B={(x,y) : x cho y | f (t ) | dt ' x, y [a, b], | x y | ( ') x Chứng minh G khả vi (a,b) G’(x) =f (x) x (a,b) (2 ') Cho > 0, có () > cho |f(u)-f(v)| < u, v [a,b], | u-v|< () (1) Cho ’ > 0, tìm (’) > cho G ( x h) G ( x ) ? | f ( x) | ' h,| h | ( ') (2) h Theo QTGT QTGT 7, ta làm rõ (2), phân hai trường hợp : h > h < Theo QTGT 5, ta viết yếu tố toán dạng y y | f (t ) | dt Mdt M | y x | x x Theo KTGT 6b, ta viết (2) thành Cho ’ > , tìm (’) > cho M|x – y| < ’ x , y [a, b] , |x – y | < (’) (2) Đặt (’) = (M+1)-1 ’ 620 Cho > 0, có () > cho |f(u)-f(v)| < u, v [a,b], | u-v|< () Cho ’ > 0, tìm (’) > cho (1) ? | xh f (t )dt f ( x ) | ' h x x f (x)dt f (x)h f (x) = ? | x h [ f (t ) f ( x )]dt | ' h x a x f (t )dt f (t )dt h a = xh 621f (t )dt h x (1) x h [ f (t ) f ( x )]dt | ' h x h,0 h ( ') (2") Theo QTGT 5, ta viết yếu tố toán dạng xh f (x)dt h x Cho > 0, có () > cho |f(t)-f(x)| < t [a,b], | t-x|< () (3) Cho ’ > 0, tìm (’) > cho x h ? | f (t ) f ( x) | dt ' h,0 h ( ') (4) h,0 h ( ') h Cho ’ > 0, tìm (’) > cho ? | x h Cho ’ > 0, tìm (’) > cho h,0 h ( ') (2') xh xh f (t )dt f ( x )dt | ' h x h x Cho > 0, có () > cho |f(u)-f(v)| < u, v [a,b], | u-v|< () Cho ’ > 0, tìm (’) > cho ? | G ( x h) G ( x ) h h>0 Theo QTGT 5, ta viết yếu tố (2’) dạng x h a 622 h,0 h ( ') (2") x 623 158 Cho > 0, có () > cho |f(t)-f(x)| < t [a,b], | t-x|< () Bài toán 127 Cho f hàm số thực liên tục [a,b] Giả sử có hàm số v liên tục [a,b] khả vi (a,b) v’(x) = f(x) với x (a, b) Lúc x f (t)dt v( x ) v(a) x [a, b] (3) Cho ’ > 0, tìm (’) > cho x h ? | f (t ) f ( x) | dt ' h,0 h ( ') (4) h x t x a Theo QTGT 5, ta viết yếu tố toán dạng x+h x Theo QTGT 5, ta viết yếu tố tốn dạng Đặt G ( x ) f (t )dt Cho > 0, có () > cho xh xh | f (t ) f ( x ) | dt dt h x h x ? x [a, b] a Định nghĩa Cho f hàm số thực liên tục [a,b] Cho hàm số v liên tục [a,b] khả vi (a,b) v’(x) = f(x) với x (a, b) Lúc ta nói Bài toán 129 Tính x a f (t )dt c 625 f (t )dt v(b) v(a) ( x x 5)dx Đặt v( x ) 18 x 14 x x với x [0,3] v nguyên hàm f (a,b), có số c x x (a,b) Bài toán 127 giúp ta tính tích phân hàm số f liên tục khoảng [a,b] sau : tìm hàm số v liên tục [a,b] khả vi (a,b) với v’(x) = f(x) với x (a,b) Lúc b a v( x ) x [a,b] u'( x ) v'( x ) G'( x ) = f (x) - f (x) = Bài toán 128 Cho f hàm số thực liên tục [a,b] Giả sử có hàm số v liên tục [a,b] khả vi (a,b) v’(x) = f(x) với x (a, b) Lúc x f (t)dt v(a) u(x) = v(x) - v(a) - G(x) = Ta thấy u(x) = u(x) - u(a), theo KTGT 21, ta xét u’ x v( x ) x [a,b] G(x) = v(x) - v(a) h,0 h ( ) (3') Cho ’ > 0, tìm (’) > cho x h ? | f (t ) f ( x) | dt ' h,0 h ( ') (4)624 h Viết lại toán x [a, b] a Dùng nhận xét bên ta có x [a, b] a f (t )dt tích phân xác định f [a, x ] 626 159 6519 627 ( x x 5)dx v(3) v(0) ( 18 x 14 x x ) Bài toán 130 Cho f hàm số thực liên tục khoảng đóng [a, b] Lúc có c (a, b) cho b a Bài toán 131 Cho u v hàm số thực khả vi liên tục (c, d), cho khoảng [a, b] chứa (c, d) Ta có b u(t )v(t )dt [u(b)v(b) u(a)v(a)] b u(t )v(t )dt f ( x )dx f (c)(b a) Theo QTGT 5, ta viết yếu tố tốn dạng x Đặt G( x ) f (t )dt x [a, b] a a b a b a a a b a a Theo QTGT 5, ta viết yếu tố toán dạng f ( x )dx f (c)(b a) ? f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx G(b) G(a) b a [u(t )v(t ) u(t )v(t )]dt u(b)v(b) u(a)v(a) ? c (a, b) cho G(b) – G(a) = f(c)(b-a) Theo KTGT 21, ta để ý G’(x) = f(x) với x (a, b) Dùng Định lý giá trị trung bình, ta có Đặt G(s) = u(s)v(s) với s (c, d) Ta có G’(x) = u‘(x)v(x) + u(x)v’(x) với x [a, b] Ta viết lại tốn Có c (a, b) : G(b) – G(a) = G’(c)(b-a) = f(c)(b-a) ? 628 Bài tốn 131 cho ta phương pháp tính tích phân phần cho hàm số có dạng tích: (ln x, arctg x, arcsin x, arccos x) (đa thức) Đặt u(x) = x v(x) = sin x a G'( t )dt G( b ) G( a ) ( 1') 629 Định lý (Taylor) Cho a, b, c d số thực cho [c,d] (a,b), f hàm khả vi đến cấp n khoảng mở (a,b), với n Đặt g(x) = f(x) – Pn-1(x,c) với x (c,d) Lúc (đa thức).(biểu thức lượng giác) Bài toán 132 Tính b (1) n 1 f (d ) f (c) x cos xdx k 1 n 1 d (d x ) f ( k ) (c) k f ( n ) ( x )dx (d c ) c k! (n 1)! g(x) = f(x) - Pn-1(x,c) x (c,d) Lúc u’(x) = v’(x) = cos x x cos xdx u( x )v( x )dx g(d ) d c u( )v( ) u(0)v(0) u( x )v( x )dx (d x )n 1 ( n ) f ( x )dx (n 1)! sin( x )dx cos cos 2 630 631 160 n 1 f ( d ) f (c ) k 1 n=1: n 1 d (d x ) f ( k ) (c) f ( n ) ( x )dx ( d c )k c k! (n 1)! m 1 f ( d ) f (c ) k 1 Xét n = m +1 d f (d ) f (c) f (1) ( x )dx c m f (d ) f (c) Giả sử n = m : m 1 f ( d ) f (c ) k 1 k 1 m 1 d (d x ) f ( k ) (c) f ( m ) ( x )dx ( d c)k c k! (m 1)! f (d ) f (c) k 1 m d (d x ) f ( k ) (c) k f ( m 1) ( x )dx ? (d c ) c k! m! c f (h(s))h '(s)ds h( d ) h(c ) Định nghĩa Cho hàm số thực f khoảng mở (a, b) Giả sử ? c f (h(s))h '(s)ds h( c ) d c | - u '( x )dx u(h(d )) u(h(c)) v '(s)ds v(d ) v(c) z f (t )dt xác định với [c, d] (a, b) Có số thực cho với số thực dương ta tìm số thực dương f ( x )dx d z f (t )dt | c < y, lúc có số nguyên dương m cho y < mx (hay m-1y < x ) KỸ THUẬT GIẢI TOÁN Cho A tập bị chặn — M œ — Để chứng minh sup A § M , ta làm sau : Chứng minh x § M " x œ A Cho B tập bị chặn — S œ — Để chứng minh S § inf B , ta làm sau : Chứng minh S § y " y œB 166 QUI TẮC GIẢI TOÁN 6b Nếu số bị bé số cụ thể hơn, thay chặn trực tiếp số đó, ta chặn số cụ thể tương ứng QUI TẮC GIẢI TOÁN 6c Nếu {an} hội tụ a Ta ước lượng |an| theo |a| sau Cho > ta có N() cho | an - a | < n > N() |an| | an- a| + |a| |a| + Nếu a : -1 |a| |a| - | an- a| | an| n > N(1) -1 n > N(2 |a| ) (1) (2) (3) KỸ THUẬT GIẢI TỐN Khi giải bất phương trình có “” với nhiều ẩn số Chúng ta thử giải phương trình có “=” ẩn số KỸ THUẬT GIẢI TOÁN Cho {xn} dãy số thực Cauchy a số thực Để chứng minh {xn } hội tụ a, ta cần tìm dãy { xnk } {xn } cho { xnk } hội tụ a KỸ THUẬT GIẢI TOÁN Cho {xn} dãy số thực Cauchy a số thực Để chứng minh {xn } hội tụ a, ta cần tìm dãy { xnm } {xn } cho { xnm } hội tụ a KỸ THUẬT GIẢI TOÁN 10 Để chứng minh dãy {xn} hội tụ, chưa biết giới hạn Ta cần chứng minh {xn} dãy Cauchy 167 KỸ THUẬT GIẢI TỐN 11 Trong tốn có giới hạn có sup inf, ta nên viết “{xn} hội a” dạng Cho > tìm N() N cho | xn - a | n N() KỸ THUẬT GIẢI TOÁN 12 Bản chất chuỗi số hội tụ số thực , nữa, giới hạn dãy số Để khảo sát chuỗi số, ta phải xét dãy {sn} tổng riêng phần Sau khảo sát giới hạn {sn}, giới hạn {sn} KỸ THUẬT GIẢI TOÁN 13 Để khảo sát dãy số {xn} , ta xét chuỗi số a m 1 m , với a1 = x1 , ak+1 = xk+1 – xk với số nguyên dương k Lúc dãy số {xn} dãy tổng riêng phần {sn} chuỗi Cho chuỗi số a m 1 m Để khảo sát dãy số {an} , ta để ý an = sn – sn-1 với số nguyên dương k , {sn} dãy tổng riêng phần chuỗi KỸ THUẬT GIẢI TỐN 14 Khi có số ngun N cho |an| bn n N Để chứng minh chuỗi a n 1 sánh KỸ THUẬT GIẢI TOÁN 15 Yếu tố “ f liên tục x” viết thành hai dạng tương đương : (i) Nếu {xn} hội tụ x, {f(xn)} hội tụ f(x) (ii) Cho > tìm > cho | f(y) - f(x) | < y A với | y – x | < (x) Ta thường dủng dạng (i) Thường ta dùng dạng dãy số 168 n hội tụ, ta nên xét hội tụ b n 1 n dùng tiêu chuẩn so Cho > ta có N() N cho n N() | xn - x | < fl Cho ’ > ta có M(’) N cho | f(xn) - f(x) | < ’ n M(’) (2) (1) Có ” > cho với m œ Õ ta có zm A với | f(zm ) - f(x) | ” (3) | zm– x | < cho Theo QTGT 6, ta để ý {xn} (1) hội tụ cịn {zm} (3) chưa hội tụ Để làm chúng giống nhau, ta nên dùng định lý BolzanoWeierstrass KỸ THUẬT GIẢI TOÁN 16 Để chứng minh hàm số liên tục, ta nên xét có phải tổng tích hàm số liên tục KỸ THUẬT GIẢI TOÁN 17 Nếu f '(x) |f (z) - f (x) | xuất toán, ta ta phải để ý dùng bất đẵng thức sau: Cho f hàm số thực khoảng mở (a,b) x (a,b) Giả sử f khả vi x (1) Có số thực M > cho |f (y) - f (x) | M|y-x| y, |y-x| < (2) Nếu f '(x) = : với số thực dương ()> cho : |f (t) - f (x) | |t-x| t, |t-x| < () (3) Nếu f '(x) : với số thực dương c