CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC QUY VỀ BẬC NHẤT Giải phương trình cos x(2 cos x  3)  Câu A C x  5  k , x    k ; k  ¢ x  5  k , x    k 2 ; k  ¢ B D x  5  k , x   k 2 ; k  ¢ x  2  k , x    k 2 ; k  ¢ Lời giải Chọn C    x   k  cos x   5    k 2 ; k  ¢ Ta có cos x cos x      x  cos x      x   5  k 2   Câu  Nghiệm phương trình 2.sin x.cos x  là: A x  k 2 B x   k C xk  Lời giải Chọn B Ta có 2.sin x.cos x   sin x  Câu  2x     k 2  x   k  k  ¢  Giải phương trình 4sin x cos x cos x   A x     k 2 ; k  ¢ B x     k ; k  ¢ C x      k ;k ¢ D x      k ;k ¢ Lời giải D x  k Chọn D 4sin x cos x cos x    2sin2xcos2x  1  sin4x  1  x      k ;k ¢ Nghiệm phương trình sin x.cos x.cos x  là: Câu x  k B xk  C xk  D xk  A Lời giải Chọn D 1  sin x.cos x   sin x   sin x   x  k sin x.cos x.cos x  xk Câu   k ¢ Nghiệm phương trình   sin x cos x    x  k   x     k 2 k ¢ A   :  x  k   x     k  k ¢ B   x  k 2   x     k 2  k ¢ C  D x   k 2 k  ¢   Lời giải Chọn A sin x   x  k     cos x    x     k 2  k  ¢  sin x cos x      Câu  Phương trình (sin x  1)(2 cos x  2)  có nghiệm A x   k 2 , k  ¢ B x   k , k  ¢ C x   k , k  ¢ D Cả A, B, C Lời giải Chọn D     sin x  1 x    k 2 x    k 2   2 (sin x  1)(2 cos x  2)      (k  ¢) cos x      x    k x    k 2    Câu A C Phương trình x  sin x  1  sin x   0 có nghiệm là:   k 2  k  ¢  B   k 2 x D x    k 2 x    k  k  ¢  , x   k 2 Lời giải Chọn A sin x  1    sin x  1 sin x   sin x   L   x    k 2  k  ¢   Câu  Phương trình   s in2x 2sin x   có nghiệm   x  k   x    k 2    x  3  k 2 A    x  k   x    k    x  3  k B    x  k   x    k 2   3 x   k 2 C  D   x  k   x    k 2    x     k 2  Lời giải Chọn A k  x   s in2x    s in2x 2sin x       x   k 2 x   k  ,  k  ¢    2sin x     x  3  k 2   Câu A  Trong nửa khoảng  0; 2  , phương trình sin x  sin x  có số nghiệm là: B C D Lời giải Chọn A k 2  x   x   x  k 2     sin x  sin   x   x    k 2 , k  ¢  x    x  k 2 Phương trình đề + Với x k 2 k 2    2   k   k  0;1; x  0;    Vì (vì k  ¢ ) 1     k       k  k 0 x   0; 2  2 + Với x    k 2 Vì (vì k  ¢ ) Vậy nửa khoảng Câu 10  0; 2  , phương trình có nghiệm là: x0 ; x 2 4 x ; ; x  Phương trình tương đương với phương trình sin x  cos2 x   A cos x  B cos x  1 C 2cos x   D (sin x  cos x)  Lời giải Chọn B Ta có sin x  cos x     cos x    cos x  1 4 Câu 11 Nghiệm phương trình sin x  cos x  A x x   k B x   k C x 3  k 2 D   k 2 Lời giải Chọn B Cách 1: sin x  cos x   cos x  sin x   cos x   x      k  x   k ,  k  ¢  Cách 2:    sin x  sin x  sin    sin x  sin     2  sin x  sin x        4 sin x  cos x   sin x  cos x   2    x   k 2   x  3  k 2    x     k 2   5    k 2  x   k  k  ¢  x   4 4 Giải phương trình : sin x  cos x  Câu 12 A C x   k , k ¢ x B   k 2 , k ¢ D x   k , k ¢ xk  , k ¢ Lời giải Chọn D sin x  cos x    sin x  cos x   2sin x cos x    sin 2 x   1    cos x    cos x   x  k 2  x  k Câu 13 Tổng hai nghiệm dương liên tiếp nhỏ phương trình 5 A  B 7 C sin x  cos x   D Lời giải Chọn B Ta có: sin x  cos6 x   sin x  cos x   sin x  sin x cos x  cos x  3  cos x  3cos x   sin x  cos x   3sin x cos x   sin 2 x    4   3cos x 2   cos x    cos x  cos 16 16 là: 2      x   k 2 x   k    k ¢  x   2  k 2 x     k    Suy phương trình có nghiệm dương nhỏ Vậy x1  x2  x1    x2   Câu 14 Giải phương  sin x  cos x    sin x  cos x    cos 2 x A C x  k  , k ¢ x  k  12 , k  ¢ B D x  k  24 , k  ¢ x  k  , k ¢ Lời giải Chọn C Ta có:  sin x  cos x    sin x  cos x    cos 2 x    3sin x cos x     2sin x cos x    cos 2 x   4sin 2 x   4cos 2 x  cos x  Câu 15 Phương trình sin x  cos4 x x  sin 2 có nghiệm là; trình  2  x   k   x    k 2 A     x   k   x    k B     x   k   x    k 2 C  D     x  12  k   x  3  k  Lời giải Chọn A Phương trình  sin x  cos4 x x  sin  sin x  cos x 2  2   x  k  x  x  k 2     , k ¢  cos   x   cos x      2   x    k 2    x   x  k 2   Câu 16 sin Các nghiệm thuộc khoảng  0;2  phương trình: x x  cos4  2 là:  5 9 ; ; ; A 6  2 4 5 ; ; ; B 3 3   3 ; ; C 2 D  3 5 7 ; ; ; 8 8 Lời giải Chọn B   x   k  5 x x sin  cos    sin x   4sin x   cos x     ,  k  ¢  2 8  x    k   2 4 5 ; ; ; x   0;2  0;2  Do nên nghiệm thuộc khoảng  phương trình 3 3 Phương trình  4cos x  tương đương với phương trình Câu 17 sau đây? A cos x  sin x   B cos x   C sin x  D Lời giải Chọn A   cos x   cos x         cos x   cos x  2   Ta có Câu 18 Cho phương trình cos x.cos x  cos x.cos x   Phương trình sau tương đương với phương trình A sin x  B cos x   1 C sin x  D cos x  Lời giải Chọn C cos x.cos x  cos x.cos x  1  cos x  cos8 x    cos x  cos8 x  2 sin x   sin x   cos x  cos x   2sin x.sin x   sin x  ( Do sin x  2sin x cos x ) Câu 19 Tìm số nghiệm x 0;14 nghiệm phương trình : cos3x  4cos2x  3cos x   A B C Lời giải Chọn D D Phương trình  4cos x  3cos x  4(2cos x  1)  3cos x    4cos3 x  8cos2 x   cos x   x  Vì x   0;14  x    k  3 5 7 ,x  ,x  ,x  2 2 Câu 20 Giải phương trình sin x.cos x   tan x    cot x   B x  k 2 , k  ¢ A Vơ nghiệm C x k , k ¢ D x  k , k ¢ Lời giải Chọn A sin x    sin x   x  k  cos x  Điều kiện:   sin x  cos x  sin x  cos x  pt  sin x.cos x    cos x sin x      sin x  cos x    sin x  Câu 21 2sin 3x   4sin x   (loại) Phương trình vơ nghiệm Số nghiệm thuộc   69  14 ; 10   phương trình là: A 40 B 32 C 41 D 46 Lời giải Chọn C 2sin x   sin x    2sin x  cos x    TH1: cos x    sin x  1 PT có dạng: 2sin x  cos x  3    3sin x  4sin x.1  4.0     s inx   TH2: cos x  PT có dạng: Vơ lý sin x     x    k 2   k  Z  x  7  k 2   PT (1) khơng có nghiệm thuộc  0;    (*) có nghiệm   0;    sin x  m có nghiệm   0;    m   0;1 Chú ý: dùng tính chất vi-et phương trình bậc để giải Câu 87 Tìm m để phương trình 2sin x   2m  1 sin x  m  có nghiệm    x    ;0    A 1  m  B  m  C 1  m  Lời giải Chọn D    x    ;0  1  sin x    Với  sin x     2sin x   2m  1 sin x  m  sin x  m D m  ¡   x    k 2  sin x     k  Z      x  7  k 2     ;0   có nghiệm   Vậy phương trình ln có nghiệm với m Câu 88 Các giá trị m   a; b  để phương trình cos x  sin x  3cos x  m  có nghiệm thì: A a  b  B a  b  12 C a  b  8 D a  b  Lời giải Chọn C cos x  sin x  3cos x  m  5(*)  cos x    cos x  3cos x  m    cos x  3cos x  m  Đặt cos x  t   1;1 , phương trình  t  3t  m  Bảng biến thiên: => Phương trình (*) có nghiệm  2  m    7  m  1 Vậy a  b  8 Chú ý: dùng tính chất vi-et phương trình bậc để giải Câu 89 Có giá trị nguyên m nhỏ 2022 để phương trình  tan x  tan x  cot x  m sin x có nghiệm ? A 2022 B 2020 C 2010 Lời giải D 2015 Chọn D  tan x  tanx  cot x  m sin x    cot x   tan x  tan x  cot x   m    tan x  cot x   tan x  cot x   m  2 Đặt t  tan x  cot x  t   tan x  cot x t   t  2 => Yêu cầu toán trở thành tìm m để phương trình  t    t   m  có nghiệm t   ; 2   2;    m  3t  t  có nghiệm t   ; 2   2;   Bảng biến thiên: => Phương trình có nghiệm  m  Vậy có 2015 giá trị m nhỏ 2022 Chú ý: dùng tính chất vi-et phương trình bậc để giải 6 m   a; b  Câu 90 Phương trình sin x  cos x  3sin x cos x  m   có nghiệm tích a.b bằng: A B 45 C 16 Lời giải Chọn C sin x  cos6 x  3sin x.cos x  m   3   sin 2 x  sin x  m   (*) 15 D  4m  3sin 2 x  6sin x  12 Đặt t  sin x, t   1;1 Xét f  t   3t  6t  12 Suy (*) có nghiệm Vậy ab   1;1   4m  15  15 m 4 45 16 Chú ý: dùng tính chất vi-et phương trình bậc để giải Câu 91 Phương trình cos  2020 x   cos  1010 x   m   có hai nghiệm m   a; b  tích a.b bằng: A a.b  567 B a.b   891 C a.b  891 D a.b  219 sin x   m  3 sin x  m2   Câu 92 Có giá trị nguyên m để phương trình  3   ; 2  có hai nghiệm thuộc ? A B C Vô số m Lời giải Chọn D sin x  1 sin x   m  3 sin x  m     sin x   m D Khơng có + Với sin x  1  x   có nghiệm x   k 2  k  ¢  3  3    ; 2     3   3  3   ; 2    ; 2    sin x  m  có nghiệm   khác + Phương trình có nghiệm  cos x   2m  1 cos x  m   Câu 93 Giá trị m để phương trình có nghiệm   3   ;  m   a; b   2  a  b là: A B 1 C D Lời giải Chọn B   cos x  cos x  m cos x   2m  1 cos x  m    2cos x   2m  1 cos x  m     3 x ; 2    3  cos x   1;0   cos x   ;  khơng có nghiệm thỏa mãn  2   3   ;  Phương trình có nghiệm  2   1  m   a  b     Câu 94 Phương trình cos x   2m  1 sin x  m        ;  có nghiệm   tất giá trị thỏa mãn: A m  B m  ¡ C m   1;1 D m   1;1 Lời giải Chọn B cos x   2m  1 sin  m     2sin x  2m sin x  sin x  m    2sin x  m  sin x    m  sin x    sin x  (1)    sin x  m   2sin x  1    sin x  m (2)  Giải (1): sin x        ;  ln có nghiệm    m phương trình có nghiệm Câu 95 Phương trình tan x  2m tan x   có nghiệm khi: A m B C D m Câu 96 Với giá trị m phương trình cos x  (2m  1) cos x  m   có nghiệm ? A B C D Câu 97 Tìm m để phương trình cos x  (2m  1) cos x  2m  có nghiệm A B C D Câu 98 Phương trình: cos x  (2m  1)sin x  m   (*) Tìm m để phương trình (*) có nghiệm khoảng A 1  m    ; 2  B 1  m  C 1  m  D 1  m  Câu 99 Có giá trị nguyên âm lớn 10 m để phương trình     cos x  1  2cos x  cos x  m    4sin x có hai nghiệm thuộc  ;  ? A B C D Lời giải Chọn A      ;  cos x  1  cos 2x  cos x  m    4sin x PT  có hai nghiệm  2    cos x  1  cos x   cos x  m    cos x  1  cos x  1   cos x  1  cos x   m    cos x  (1)  cos x      cos x  m  (2)  cos x  3  m   Giải (1): cos x  có hai nghiệm thuộc      ;      ;  => Phương trình có hai nghiệm thuộc  2   m3   m   m3      m  3   m  m 3 1    cos x    4  (2) vô nghiệm (2) Vậy có giá trị m thỏa mãn Chú ý: cos x   0;1 x  R Câu 100 Xác định m để phương trình (3cosx – 2)(2cosx + 3m – 1) = (1) có nghiệm phân biệt A B C D Có giá trị nguyên m để phương trình Câu 101 2  sin x  m  cos x  2sin  x       m  có nghiệm? B A C D vô số Xác đinh m để hai phương trình sau tương đương: Câu 102 cos x.cos x   cos x  cos 3x  1 cos3 x  m cos x    m    cos x   cos x  3cos x m  m   m   B  m  m  m   m  A   2 m  m   m   C  m  m  m   m  D  tan x cos x  m  tan x Câu 103 Cho phương trình Để phương trình vơ nghiệm, giá trị tham số m phải thỏa mãn điều kiện:  m0 A B  m  C 1 m  D m   hay m  2 Lời giải Chọn D Điều kiện x   k , k ¢ tan x cos x   m  cos x  tan x.cos2 x  m 2  tan x  cos x  8sin x.cos x  m   2sin 2 x  4sin x  2m  2sin 2 x  4sin x  m    1 Đặt  1 t  sin x  t   1;1 \  0   ,     m    4m trở thành 2t  4t  2m   Ta xét Nếu Nếu  1 có nghiệm, tức  2 có nghiệm to   1;1    m    có nghiệm kép t  , loại t    1;1 \  0    m   2 Nếu có nghiệm t 0m   nghiệm lại t    1;1 \  0    4m 1  1   1  t1     1  t     4m    1 m    2   phải có hai nghiệm thoả Khi  a  b  2   4m  2   4m   m      m  a   2 m  2   4m    4m  a    Giải ,    m  2 Giải  b ,  1 Khi đó, Vậy  1   4m  4   m  2   4m    4m   b     m có nghiệm vô nghiệm m Câu 104 Để phương trình: hợp tham số m là:    m   A 1  m  m sin x   m  1 sin x  3m  m       m   B 1  m   1  m  3  m   Lời giải Chọn B có nghiệm, giá trị thích  2  m    C 0  m  D t   m  1 t  3m  m    t   1;1 Đặt t  sin x Điều kiện Phương trình trở thành: (1) Đặt f  t   t   m  1 t  3m  m   Phương trình có nghiệm thuộc đoạn nghiệm thuộc  1;1  (1) có nghiệm thuộc  1;1 có hai  1;1     f  1     f  1    1  S   f  1 f  1     3m  8m  3  3m  4m  1   m  4m     3m  8m     3m  4m    1   m    m  ¡    m    1   1  m    m   m      3      m  1  m   1  m  m  1  m  m  Vậy CÁCH KHÁC: Dùng chức SOLVE máy tính cầm tay (như CASIO 570 VN Plus, …), kiểm tra giá trị khoảng  4   3; 4 đáp án D không thoả,  3   1;3 đáp án B phương trình có nghiệm Vậy chọn đáp án B 6 Câu 105 Để phương trình sin x  cos x  a | sin x | có nghiệm, điều kiện thích hợp cho tham số a là: A 0a a B C a D a Lời giải Chọn D     2 2 2 sin x  cos6 x  a | sin x |  sin x  cos x  3sin x.cos x sin x  cos x  a sin x   3sin x.cos2 x  a sin x   sin x  a sin x  sin x  4a sin x    1 Đặt t  sin x   t   1 trở thành 3t  4at     Để phương trình  1 có nghiệm phương trình   phải có nghiệm đoạn  0;1     4a  12  a  ¡   4   2  Xét phương trình , ta có:  , nên   ln có hai nghiệm phân biệt trái dấu Do nghiệm t1 , t2  t1  t2   2a  4a  12 0 t1    2a  4a  12  1 t2  thoả   2a  4a  12   a   2a  4a  12        2a  4a  12    4a  12  2a  b   2  2a  4a  12   4a  12   2a  c  Xét  a  , 2a  4a  12  2a  4a  2a  2a  2a  2a    4a  12     2a   b    4a  12   a  ¡    2a   4a  12  4a b     Xét ,  2a  4a  12  a  ¡   4a  12  a     c   3  a   4a  12   12a  4a a  c   Xét   , Câu 106 Cho phương trình: 3 a 4  sin x  cos4 x    sin x  cos6 x   4sin x  m m tham số Để phương trình vơ nghiệm, giá trị thích hợp m là:   m  1 B A 1  m  C 2  m   D m 25 hay m  Lời giải Chọn D  sin x  cos x    sin x  cos6 x   4sin x  m        sin 2 x  1  sin 2 x    cos x   m      4cos2 x  4sin 2 x   m   4cos x  2cos x   m   1 Đặt t  cos x  t   1;1  1 trở thành 4t  2t   m    ,   25  4m 1 Để tìm m cho   vơ nghiệm, ta tìm m cho   có nghiệm sau phủ định lại  1 có nghiệm   phải có nghiệm thoả to   1;1 Nếu Nếu    m   25 25 t    1;1 m   , 4 thoả  1 có nghiệm có nghiệm kép , nên    m   25 ,   phải có hai nghiệm phân biệt thoả   25  4m 1  1      25  4m 1  1    a  b  1  t1   1  t   m    1  25  4m  4  25  4m   a       25   25  m0 m 1  25  4m   25  4m  3    a   4 Giải , 1  25  4m  4 Giải  b , Kết hợp lại, Do 25  25  4m  5 25  4m       m  4  25  4m  1  25  4m   25  4m   b     1 có nghiệm  1 vơ nghiệm  m 25 m0 25 m  CÁCH KHÁC: Bài tóan cho trở thành tìm m cho phương trình 4t  2t   m (*) khơng có nghiệm t   1;1  P  : y  4t  2t   d : y  m Đặt  Số nghiệm phương trình (*) số giao điểm Phương trình (*) khơng có nghiệm giao t   1;1  1;1 Dựa vào đồ thị ta có m 25 m  khi  P   d   P   d  không sin x  cos x  2m.tan x 2 Cho phương trình: cos x  sin x , m tham Câu 107 số Để phương trình có nghiệm, giá trị thích hợp m A C m 1 m hay m 1 m hay B D m 1 m hay m 1 m hay Lời giải Chọn C Điều kiện: cos x   sin 2 x sin x pt   2m  3sin 2 x  8m sin 2 x   cos x cos x Đặt t  sin x,  1  t  1 Phương trình trở thành:  4 m  t1  3t  8mt      4m  t   16m  12 16m  12  1   ln có hai nghiệm trái dấu t2   t1 Vì a.c   Phương trình  4 m      4 m  1   Do có nghiệm 16m  12 1  m   16m  12   4m     16m  12   4m m   16m  12   1  ... (2), phương trình có nghiệm  a2   1 a 1   a2    a 1   a   a  DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC QUY VỀ BẬC HAI, BẬC CAO Phương trình bậc hai với hàm số lượng giác Dạng Đặt Điều... phương trình sau, phương trình phương trình bậc theo hàm số lượng giác B 2sin x  sin x  A 2sin x  sin x   C cos x  cos2 x   D tan x  cot x   Lời giải Chọn B Câu x Nghiệm phương trình. ..   Đặt t  cos x  1  t  1 Phương trình trở thành: t  3t   (pt vô nghiệm) Vậy phương trình cho vơ nghiêm Câu 44 A x  k 2 , k  ¢ Phương trình lượng giác: cos x  2cos x   có nghiệm