Bài 3. Một số phương trình lượng giác thường gặp

Bài Một số phương trình lượng giác thường gặp A Lý thuyết I Phương trình bậc hàm số lượng giác Định nghĩa Phương trình bậc hàm số lượng giác phương trình có dạng: at + b = (1) Trong đó; a, b số (a ≠ 0) t hàm số lượng giác - Ví dụ a) – 3sinx + = phương trình bậc sinx b) 6cotx + 10 = phương trình bậc cotx Cách giải Chuyển vế chia hai vế phương trình (1) cho a, ta đưa phương trình (1) phương trình lượng giác - Ví dụ Giải phương trình sau: a) 2sinx – = 0; b) 3tan x   Lời giải: a) Từ 2sinx – = 0, chuyển vế ta có: 2sinx = (2) Chia vế phương trình (2) cho 2, ta được: sinx = Vì > nên phương trình cho vơ nghiệm b) Từ 3tan x   , chuyển vế ta có: 3tan x  (3) Chia vế phương trình (3) cho  tan x  tan π π  x   kπ; k  6 ta được: tan x  3 Phương trình đưa phương trình bậc hàm số lượng giác - Phương pháp: Sử dụng công thức biến đổi lượng giác học để đưa phương trình bậc hàm số lượng giác đưa phương trình tích để giải phương trình - Ví dụ Giải phương trình: a) sin2x – cosx = 0; b) – 4sinx cosx cos2x = Lời giải: a) Ta có: sin2x – cosx =  2sinx cosx – cosx =  cosx (2sinx – 1) =  cosx =   2sin x   + Với cosx = x  π  kπ; k  + Với 2sinx – =  2sin x   sin x  π  x   k2π   ; k  x  π  π  k2π  5π  k2π  6 Vậy phương trình cho có nghiệm là: x  x 5π  k2π; k  b) – 4sinx cosx cos2x = π π  kπ ; x   k2π  – 2sin2x cos2x = (vì sin2x = 2sinx cosx)  – sin4x =  sin 4x = –  4x   π π kπ  k2π  x    ; k Vậy nghiệm phương trình cho x   π kπ  ; k II Phương trình bậc hai hàm số lượng giác Định nghĩa Phương trình bậc hai hàm số lượng giác phương trình có dạng: at2 + bt + c = Trong a; b; c số (a ≠ 0) t hàm số lượng giác - Ví dụ a) 3cos2x – 5cosx + = phương trình bậc hai cosx b) – 10tan2x + 10tanx = phương trình bậc hai tanx Cách giải Đặt biểu thức lượng giác làm ẩn phụ đặt điều kiện cho ẩn phụ (nếu có) giải phương trình theo ẩn phụ Cuối ta đưa việc giải phương trình lượng giác - Ví dụ Giải phương trình: 2cos2x – cosx = Lời giải: Đặt t = cosx với điều kiện: – ≤ t ≤ t  Ta phương trình bậc hai ẩn t là: 2t2 – 4t =   t   Trong hai nghiệm có nghiệm t = thỏa mãn Với t = cos x =  x π  kπ; k  Vậy phương trình cho có nghiệm x  π  kπ; k  Phương trình đưa dạng phương trình bậc hai hàm số lượng giác - Phương pháp: Sử dụng công thức lượng giác học để biến đổi đưa dạng phương trình bậc hai hàm số lượng giác - Ví dụ Giải phương trình 3sin2x – 6cosx – = Lời giải: Vì sin2x = – cos2x nên phương trình cho tương đương: 3(1 – cos2x) – 6cosx – =  – 3cos2 x – 6cosx = (*) Đăt t = cosx với điều kiện: – ≤ t ≤ , phương trình (*) trở thành:  t0 – 3t2 – 6t =   t   Trong hai nghiệm này, có nghiệm t = thỏa mãn Với t = thì; cosx =  x  π  kπ; k  Vậy phương trình cho có nghiệm x  π  kπ; k  - Ví dụ Giải phương trình: sin2x – 3sinx cosx + 2cos2x = (1) Lời giải: + Nếu cosx = sin2x = nên phương trình (1) có : VT(1) = VP(1) = Suy ra, cos x = khơng thỏa mãn phương trình (1) Vậy cosx ≠ + Vì cosx ≠ nên chia hai vế phương trình (1) cho cos2 x, ta được: tan2x – 3tanx + = (2) Đặt t = tanx, phương trình (2) trở thành: t2 – 3t + = t   t  Với t = tanx =  x  π  kπ; k  Với t = tanx =  x  arctan  kπ; k Vậy phương trình cho có nghiệm x  x  arctan  kπ; k π  kπ; k  III Phương trình bậc sinx cosx Công thức biến đổi biểu thức a.sinx + b.cosx Ta có cơng thức biến đổi sau: a sin x  b.cosx = Trong đó; cosα = a  b sin (x α) (1) a a  b2 ; sin α  b a  b2 Phương trình dạng: asinx + b.cosx = c Xét phương trình: asinx + bcosx = c (2) Với a; b; c  ; a, b không đồng thời - Nếu a = ; b ≠ a ≠ 0; b = phương trình (2) đưa phương trình lượng giác - Nếu a ≠ 0; b ≠ 0, ta áp dụng công thức (1) Ví dụ Giải phương trình: Lời giải: sin x  cosx = Theo công thức (1) ta có: sin x  cosx = ( 3) 1.sin(x  α)  2sin(x  α) Trong đó; cosα = π ; sin α  Ta lấy α  ta có: 2 π  sin x  cosx = 2sin  x   6  Khi đó; sin x  cosx = π π    2sin  x     sin  x   1 6 6   π π 2π  x    k2π  x   k2π ; k  Vậy phương trình có nghiệm x  2π  k2π ; k  B Bài tập tự luyện Bài Giải phương trình sau: a) 2sin2 x + 3sinx + = 0; b) cos2x – sinx + = 0; c) tanx + cotx = Lời giải: a) 2sin2 x + 3sinx + = (1) Đặt t = sinx với điều kiện: – ≤ t ≤ Phương trình (1) trở thành: 2t2 + 3t + =  t  1   1 (thỏa mãn điều kiện) t   Với t = – sinx = –  x   Với t  π  k2π; k  1 1  sinx  2 π  x    k2π   ; k  x  π   π  k2π  7π  k2π  6 7π π Vậy nghiệm phương trình cho x    k2π ; x   k2π π x  k2π; k  b) cos2x – sinx + =  – sin2x – sinx + =  – sin2 x – sinx + = (2) Đặt t = sinx với điều kiện: – ≤ t ≤ Phương trình (2) trở thành: – t2 – t + =  t 1   t  2 Trong hai nghiệm có nghiệm t = thỏa mãn Với t = sinx =  x  π  k2π; k  c) tanx + cotx = sin x  π kπ  sin 2x   2x  kπ  x   Điều kiện:  k  2 cos x  Ta có: tanx + cot x =  tan x   (3) tan x  Đặt t = tan x (với t ≠ 0), phương trình (3) trở thành: t 1 t  2  2 t t  t 1  2t Suy ra, t2 – 2t + =  t  (thỏa mãn) π Khi đó; tanx = nên x   kπ ;k  (thỏa mãn điều kiện) Bài Giải phương trình: a) 2sin2 x + 2sinx cosx – 4cos2x = 0; b) 3sin2x + sin2x + 3cos2x = Lời giải: a) 2sin2 x + 2sinx cosx – 4cos2x = (1) + Nếu cosx = sin2x = nên phương trình (1) có : VT(1) = VP(1) = Suy ra, cos x = không thỏa mãn phương trình (1) Vậy cosx ≠ + Vì cosx ≠ nên chia hai vế phương trình (1) cho cos2 x, ta được: 2tan2x + 2tanx – = (2) Đặt t = tanx, phương trình (2) trở thành: 2t2 + 2t – =  t 1   t  2 Với t = tanx =  x  π  kπ; k  Với t = –2 tanx = –  x  arctan  2  kπ; k Vậy phương trình cho có nghiệm x  x  arctan  2  kπ; k π  kπ; k  b) 3sin2x + sin2x + 3cos2x =  3sin2x + 2sinx cosx + cos2x = (2) + Nếu cosx = sin2x = nên phương trình (2) có : VT(2) = VP(2) = Suy ra, cos x = khơng thỏa mãn phương trình (2) Vậy cosx ≠ + Vì cosx ≠ nên chia hai vế phương trình (2) cho cos2 x, ta được: 3tan2x + 2tanx + = cos x  3tan2x + 2tanx + = 2(1 + tan2x)  tan2x + 2tanx + = (3) Đặt t = tanx, phương trình (3) trở thành: t2 + 2t + =  t  Với t = tanx =  x  π  kπ; k  Vậy phương trình cho có nghiệm x  π  kπ; k  Bài Giải phương trình sau: a) 2sinx + 3cosx = 4; b) sin x  2cosx = ; c) sin x  cosx = Lời giải: a) Ta có: 2sin x  cosx = 22  32 sin(x  α)  13 sin(x  α) Trong đó; cosα = ; sin α  13 13 Khi đó; 2sinx + 3cosx =  Vì 13 sin  x  α    sin  x  α   (1) 13 > nên phương trình (1) vơ nghiệm 13 Vậy phương trình cho vơ nghiệm b) sin x  2cosx = Ta có: sin x  cosx = Trong đó; cosα = ( 2)  ( 2) sin(x  α)  2sin(x  α) π 2 Ta lấy α  ta có: ; sin α  2 π  sin x  2cosx = 2sin  x   4  Khi đó; sin x  2cosx = π π    2sin  x     sin  x   1 4 4   π π 3π  x    k2π  x   k2π ; k  4 Vậy nghiệm phương trình x  3π  k2π ; k  c) sin x  cosx = Ta có: sin x  cosx = 12  ( 3) sin(x  α)  2sin(x  α) Trong đó; cosα = π Ta lấy α  ta có: ; sin α  2 π  sin x  3cosx = 2sin  x   3  Khi đó; sin x  cosx = π π    2sin  x     sin  x   1 3 3   π π π  x    k2π  x   k2π ; k  Vậy nghiệm phương trình x  π  k2π ; k  Bài Giải phương trình: sin 2x  cos x  sin x  3cos2x Lời giải: Ta có: sin 2x  cos x  sin x  3cos2x  sin 2x  cos 2x  sin x  3cosx Chia hai vế cho 12  ( 3)  ta được: 3  sin 2x  cos 2x  sin x  cosx 2 2 π π π π  cos sin 2x  sin cos2x = cos sin x  sin cosx 3 3 π  π     sin  2x    sin  x       π π   x  k2π  x  k2π  2x   x   k2π     π π k2π  k    π π 3x   k2π x    2x   π  x   k2π    3  Vậy nghiệm phương trình x  k2π; x  π k2π  k   ...3 Phương trình đưa phương trình bậc hàm số lượng giác - Phương pháp: Sử dụng công thức biến đổi lượng giác học để đưa phương trình bậc hàm số lượng giác đưa phương trình tích để giải phương trình. .. nghiệm phương trình cho x   π kπ  ; k II Phương trình bậc hai hàm số lượng giác Định nghĩa Phương trình bậc hai hàm số lượng giác phương trình có dạng: at2 + bt + c = Trong a; b; c số (a...  Vậy phương trình cho có nghiệm x  π  kπ; k  Phương trình đưa dạng phương trình bậc hai hàm số lượng giác - Phương pháp: Sử dụng công thức lượng giác học để biến đổi đưa dạng phương trình