Mời các bạn cùng tham khảo cuốn sách Môn Toán phương pháp tọa độ trong không gian: Phần 1 được biên soạn bởi giáo viên Nguyễn Hoàng Việt hướng dẫn các bạn một số phương pháp tọa độ trong không gian. Phần 1 cuốn sách sẽ trình bày nội dung về phương pháp tọa độ véc tơ, tọa độ điểm; phương pháp mặt cầu; phương trình mặt phẳng. Mời các bạn cùng tham khảo.
Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Chương PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Bài TỌA ĐỘ VÉC TƠ - TỌA ĐỘ ĐIỂM A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Dạng 1.Tọa độ véc tơ Dạng 2.Tọa độ điểm Dạng 3.Hình chiếu, đối xứng qua trục, mặt toạ độ 11 Dạng 4.Tính diện tích thể tích 12 C BÀI TẬP TỰ LUYỆN 14 Bài PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU 17 A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ 17 B PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 17 Dạng 1.Xác định tâm I, bán kính r mặt cầu cho trước 17 Dạng 2.Mặt cầu dạng khai triển (S) : x2 +y +z −2ax−2by−2cz+d = (1) 18 Dạng 3.Lập phương trình mặt cầu 20 Dạng 4.Vị trí tương đối 24 C BÀI TẬP TỰ LUYỆN 26 Bài PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 29 A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ 29 B PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 31 Dạng 1.Xác định véc tơ pháp tuyến điểm thuộc mặt phẳng 31 Dạng 2.Lập phương trình mặt phẳng biết yếu tố liên quan 31 Dạng 3.Phương trình theo đoạn chắn 35 Dạng 4.Khoảng cách góc 36 Dạng 5.Vị trí tương đối hai mặt phẳng 38 Dạng 6.Vị trí tương đối mặt phẳng với mặt cầu 39 C BÀI TẬP TỰ LUYỆN 43 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Muåc luåc ii Mục lục Kết nối tri thức với sống Bài PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 46 A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ 46 B PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 49 Dạng 1.Xác định điểm thuộc véc tơ phương đường thẳng 49 Dạng 2.Viết phương trình đường thẳng biết vài yếu tố liên quan 50 Dạng 3.Vị trí tương đối hai đường thẳng 53 Dạng 4.Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng 55 Dạng 5.Góc khoảng cách 56 Dạng 6.Hình chiếu H điểm M lên mặt phẳng (P ) 58 Dạng 7.Hình chiếu H điểm M lên đường thẳng d 59 Gv Ths: Nguyễn Hoàng Việt C BÀI TẬP TỰ LUYỆN 61 Bài MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ A 66 PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 66 Dạng 1.Tìm max - cách thiết lập hàm khảo sát hàm 66 Dạng 2.Tìm max - cách sử dụng mối quan hệ đường cao đường xiên 68 Dạng 3.Tìm max – cách quy tìm hình chiếu điểm lên mặt.70 Dạng 4.Tìm max - cách quy tìm điều kiện ba điểm thẳng hàng73 Dạng 5.Tìm max liên quan đến phương trình theo đoạn chắn 74 B BÀI TẬP TỰ LUYỆN 76 Bài BỘ ĐỀ ÔN TẬP CUỐI CHƯƠNG 80 A ĐỀ SỐ 80 B ĐỀ SỐ 83 C ĐỀ SỐ 85 D ĐỀ SỐ 88 E ĐỀ SỐ 91 Bài ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM CÁC CHỦ ĐỀ 94 A ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM BÀI 94 B ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM BÀI 94 C ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM BÀI 94 D ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM BÀI 94 E ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM BÀI 94 Th.S Nguyễn Hoàng Việt – 0905.193.688 Việt Star iii Mục lục Kết nối tri thức với sống ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM CÁC ĐỀ TỔNG ÔN 94 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường F Việt Star Th.S Nguyễn Hoàng Việt – 0905.193.688 iv Kết nối tri thức với sống Gv Ths: Nguyễn Hoàng Việt Mục lục Th.S Nguyễn Hoàng Việt – 0905.193.688 Việt Star Chûúng PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN TRONG KHƠNG GIAN Bâi LÝ THUYẾT CẦN NHỚ Hệ trục tọa độ Oxyz ☼ Gồm ba trục đơi vng góc: trục Ox, trục Oy trục Oz #» #» #» ☼ Ba véc tơ đơn vị i = (1; 0; 0), j = (0; 1; 0), k = (0; 0; 1) z Chú ý: #» #» #» ① i ⊥ j; j ⊥ #» #» ② i = j = #» k #» #» #» k; i ⊥ k #» k = ☼ Các mặt phẳng (Oxy), (Oyz) (Oxz) gọi mặt phẳng tọa độ O #» j y #» i x Tọa độ véc tơ #» #» #» ☼ Cho #» v = (a, b, c) #» v = a· i +b· j +c· k #» ☼ Cho hai véc tơ #» a = (a1 ; a2 ; a3 ) b = (b1 ; b2 ; b3 ) Khi #» ① #» a ± b = (a1 ± b1 ; a2 ± b2 ; a3 ± b3 ) ② k #» a = (ka1 ; ka2 ; ka3 ), với k ∈ R a1 = b #» #» a = b2 Đặc biệt #» ③ #» a = b ⇔ a = ⇔ a1 = a2 = a3 = a3 = b a1 a2 a3 #» #» Ä #» #»ä ④ #» a phương với b ⇔ ∃k ∈ R : #» a = k · b , b = hay = = b1 b2 b3 (b1 b2 b3 = 0) Tích vô hướng ứng dụng #» ☼ Định nghĩa: Cho #» a = (a1 ; a2 ; a3 ) b = (b1 ; b2 ; b3 ) Khi Việt Star Th.S Nguyễn Hồng Việt – 0905.193.688 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường A TỌA ĐỘ VÉC TƠ - TỌA ĐỘ ĐIỂM TỌA ĐỘ VÉC TƠ - TỌA ĐỘ ĐIỂM Kết nối tri thức với sống Ä #»ä #» #» #» a , b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 a b cos #» a b = #» ☼ Các ứng dụng: a = ① Tính độ dài: #» a21 + a22 + a23 #»ä ② Tính góc: cos #» a, b = Ä #» #» a b = #» #» a b a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 Ä a21 + a22 + a23 b21 + b22 + b23 #» #»ä #» a, b = #» #» ③ Chứng minh vng góc: #» a ⊥ b ⇔ #» a b = ⇔ a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 = Tích có hướng ứng dụng Gv Ths: Nguyễn Hoàng Việt #» ☼ Cơng thức tọa độ: Cho #» = (1 ; a2 ; a3 ) b = (b1 ; b2 ; b3 ) Khi đó, tích có hướng hai véc #» tơ véc tơ kí hiệu #» a , b tính theo cơng thức sau: ỵ Å ã #»ó a2 a3 a3 a1 a1 a2 #» a, b = ; ; = (a2 b3 − b2 a3 ; a3 b1 − b3 a1 ; a1 b2 − b1 a2 ) b2 b3 b3 b1 b1 b2 ☼ Chú ý: ỵ #»ó #» ① Gọi #» n = #» a , b #» n ⊥ #» a #» n ⊥ b ỵ #»ó #» #» ② #» a phương với b ⇔ #» a, b = ỵ #»ó #» ③ Điều kiện véc tơ #» a , b , #» c đồng phẳng #» a , b #» c =0 Tọa độ điểm ☼ Xác định tọa độ điểm M (đặc biệt) hệ trục Oxyz: ① M ∈ Ox ⇒ M (x; 0; 0) ② M ∈ Oy ⇒ M (0; y; 0) ③ M ∈ Oz ⇒ M (0; 0; z) ④ M ∈ (Oxy) ⇒ M (x; y; 0) ⑤ M ∈ (Oyz) ⇒ M (0; y; z) ⑥ M ∈ (Oxz) ⇒ M (x; 0; z) ☼ Xác định tọa độ điểm M (khơng đặc biệt) z zM ① Chiếu vng góc điểm M lên (Oxy) thành M1 ; M ② Từ M1 , hạ vng góc vào trục Ox, Oy để xác định hoành xM tung yM ; ③ Từ M , hạ vng góc với trục Oz để xác định cao độ zM ; ④ Kết luận tọa độ M (xM ; yM ; zM ) yM O y xM x M1 ☼ Cho điểm A (xA ; yA ; zA ) , B (xB ; yB ; zB ), C (xC ; yC ; zC ) Ta có # » ① AB = (xB − xA ; yB − yA ; zB − zA ) » ② AB = (xB − xA )2 + (yB − yA )2 + (zB − zA )2 Th.S Nguyễn Hoàng Việt – 0905.193.688 Việt Star Chương PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Kết nối tri thức với sống xA + xB yA + yB zA + zB ; ; 2 xA + xB + xC yA + yB + yC zA + zB + zC ④ G trọng tâm ∆ABC G ; ; 3 # » # » ⑤ Điều kiện ba điểm A, B, C thẳng hàng: AB phương AC ③ M trung điểm đoạn AB M Cơng thức tính diện tích, thể tích SABC = ☼ Diện tích hình bình hành ABCD: ☼ Thể tích khối tứ diện ABCD: B ỵ # » # »ó AB, AC SABCD = VABCD = ỵ # » # »ó AB, AD ỵ # » # »ó # » AB, AC · AD PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN Tất tốn xét không gian Oxyz Dạng Tọa độ véc tơ #» #» #» ĄVí dụ Cho #» a b khác Điều kiện để #» a vng góc với b ỵ #»ó #» #» #» #» #» #» A #» B #» C #» D #» a − b = a + b = a b = a, b = ɓ Lời giải #» ĄVí dụ Cho véc tơ #» a = (1; −2; 1) , b = (1; −2; −1) Kết luận sau đúng? #» #» #» #» #» #» a = i −2j − k A #» B b = i −2j + k #» #» a + b = (2; −4; −2) a + b = (2; −4; 0) C #» D #» ɓ Lời giải #» #» ĄVí dụ Cho #» a = (1; −1; 3), b = (2; 0; −1) Tìm tọa độ véc-tơ #» u = #» a −3b A #» u = (4; 2; −9) B #» u = (−4; −2; 9) C #» u = (1; 3; −11) D #» u = (−4; −5; 9) ɓ Lời giải Việt Star Th.S Nguyễn Hoàng Việt – 0905.193.688 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường ☼ Diện tích tam giác ABC: TỌA ĐỘ VÉC TƠ - TỌA ĐỘ ĐIỂM Kết nối tri thức với sống #» ĄVí dụ Cho ba véctơ #» a = (−1; 1; 0) , b = (1; 1; 0), #» c = (1; 1; 1) Trong mệnh đề sau đây, mệnh đề nào√sai? √ #» #» a | = c | = A | #» B | #» C #» a⊥ b D #» c⊥b ɓ Lời giải Gv Ths: Nguyễn Hoàng Việt #» #» #»√ #»√ ĄVí dụ Cho hai véc-tơ #» u = i + k #» v = j + k Tính #» u · #» v A B C −3 D ɓ Lời giải ĄVí dụ Cho #» u = (2; −1; 1), #» v = (0; −3; −m) Tìm số thực m để #» u · #» v = A m = B m = C m = D m = −2 ɓ Lời giải #» #» ĄVí dụ hai véc-tơ #» a = (1; 2; 3) b = (2; −1;ỵ4) Tính tích có hướng #» a b ỵ 7.#»Cho ó ó #» a , b = (1; −3; 1) a , b = (11; −2; 5) A #» B #» ỵ #»ó ỵ #»ó C #» a , b = (3; 1; 7) D #» a , b = (11; 2; −5) ɓ Lời giải Th.S Nguyễn Hoàng Việt – 0905.193.688 Việt Star Chương PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Kết nối tri thức với sống #» ĄVí dụ Cho ba vectơ #» a = (1; 0; −2) , b = (−2; 1; 3) , #» c = (−4; 3; 5) Tìm hai số thực m, n #» #» #» cho m a + n b = c A m = 2; n = −3 B m = −2; n = −3 C m = 2; n = D m = −2; n = ɓ Lời giải #» #» ĄVí dụ Để hai vectơ a = (m; 2; 3) b = (1; n; 2)cùng phương, ta phải có 3 m = m = m = m = 2 A B C D 4 n = n = n = n = 3 3 ɓ Lời giải Ä #»ä #» ĄVí dụ 10 Cho vec tơ #» a = (1; −2; −1) b = (2; 1; −1) Giá trị cos #» a , b √ √ 1 2 A − B C D − 6 2 ɓ Lời giải Ä #»ä √ #» #» ĄVí dụ 11 Cho hai vectơ #» a b thỏa mãn | #» a | = 3, b = #» a , b = 300 Độ dài #» vectơ #» a − b A −54 B 54 C D ɓ Lời giải Việt Star Th.S Nguyễn Hoàng Việt – 0905.193.688 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường 31 Chương PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN B Kết nối tri thức với sống PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN Các ví dụ sau xét khơng gian Oxyz Dạng Xác định véc tơ pháp tuyến điểm thuộc mặt phẳng Cho mặt phẳng (P ) : Ax + By + Cz + D = Khi ○ Một véc tơ pháp tuyến #» n = (A; B; C) ĄVí dụ Cho mặt phẳng (P ) : 2x − 3y + 4z + = Véc-tơ sau véc-tơ pháp tuyến mặt phẳng (P )? n = (−3; 4; 5) n = (−4; −3; 2) n = (2; −3; 5) n = (2; −3; 4) A #» B #» C #» D #» ɓ Lời giải ĄVí dụ Véc-tơ pháp tuyến mặt phẳng (Oxz) A #» n = (1; 0; 0) B #» n = (0; 0; 1) C #» n = (1; 0; 1) D #» n = (0; 1; 0) ɓ Lời giải ĄVí dụ Vec-tơ sau vec-tơ pháp tuyến mặt phẳng (P ) : x + 3y − 5z + = A #» n = (−1; −3; 5) B #» n = (−2; −6; −10) #» #» C n = (−3; −9; 15) D n = (2; 6; −10) ɓ Lời giải Dạng Lập phương trình mặt phẳng biết yếu tố liên quan Đề cho (P ) qua điểm M (x0 , y0 , z0 ) véc tơ pháp tuyến n# P» = (a, b, c) Khi đó: (P ) : a(x − x0 ) + b(y − y0 ) + c(z − z0 ) = Việt Star Th.S Nguyễn Hoàng Việt – 0905.193.688 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường ○ Điểm thuộc (P ): Cho trước x, y Thay vào tìm z 32 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Kết nối tri thức với sống # » ○ (P )⊥AB n# P» = AB; ○ (P ) mặt phẳng trung trực đoạn AB (P ) qua trung điểm I AB # » n# P» = AB; ○ (P )⊥d n# » = u#», với u#» véc tơ phương d; P d d Gv Ths: Nguyễn Hoàng Việt » = (A, B, C) ○ (P ) ∥ (Q) : Ax + By + Cz + D = n# P» = n# Q #» #» chứa) với giá hai véc tơ #» a b , (với #» a b không Đề cho (P ) song song ỵ (hoăc ó #» phương) n# P» = #» a, b ỵ # » # »ó ○ (P ) qua ba điểm A, B, C phân biệt khơng thẳng hàng n# P» = AB, AC ; ỵ# » ó » ; ○ (P ) qua hai điểm A, B phân biệt vng góc với (Q) n# P» = AB, n# Q ỵ #» ó » ; ○ (P ) vng góc với (Q) (R) n# P» = Q, n# R î# » ó ○ (P ) qua hai điểm A, B phân biệt song song với d n# P» = AB, u#»d ; ỵ# » ó ○ (P ) qua điểm A chứa d n# P» = AM , u#»d , với M ∈ d ĄVí dụ Phương trình mặt phẳng qua điểm A(1; 2; 3) có véc-tơ pháp tuyến #» n = (−2; 0; 1) A −2x + z + = B −2y + z − = C −2x + z − = D −2x + y − = ɓ Lời giải ĄVí dụ Cho điểm A(0; 1; 2), B(2; −2; 1), C(−2; 0; 1) Phương trình mặt phẳng qua A vng góc với BC A 2x − y − = B −y + 2z − = C 2x − y + = D y + 2z − = ɓ Lời giải ĄVí dụ Cho hai điểm A(4; 0; 1) B(−2; 2; 3) Phương trình phương trình mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB? A 3x − y − z + = B 3x + y + z − = C 3x − y − z = D 6x − 2y − 2z − = ɓ Lời giải Th.S Nguyễn Hoàng Việt – 0905.193.688 Việt Star 33 Chương PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Kết nối tri thức với sống ĄVí dụ Phương trình cho phương trình mặt phẳng (Oyz)? A x = y + z B y − z = C y + z = D x = ɓ Lời giải ĄVí dụ Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A(1; 1; 4), B(2; 7; 9) C(0; 9; 13) A 2x + y + z + = B x − y + z − = C 7x − 2y + z − = D 2x + y − z − = ɓ Lời giải ĄVí dụ Mặt phẳng (P ) song song với (Oxy) qua điểm A(1; −2; 1) có phương trình phương trình sau đây? A z − = B 2x + y = C x − = D y + = ɓ Lời giải ĄVí dụ 10 Cho điểm M (2; 3; 2), (α) : 2x − 3y + 2z − = Phương trình mặt phẳng qua M song song với mặt phẳng (α) A 2x − 3y + 2z − = B 2x − 3y + 2z + = C 2x − 3y + z − = D 2x − 3y + 2z − = ɓ Lời giải Việt Star Th.S Nguyễn Hoàng Việt – 0905.193.688 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường 34 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Kết nối tri thức với sống ĄVí dụ 11 Viết phương trình mặt phẳng (P ) chứa Oz qua điểm P (3; −4; 7) A 4x − 3y = B 3x + 4y = C 4x + 3y = D −3x + 4y = ɓ Lời giải Gv Ths: Nguyễn Hoàng Việt ĄVí dụ 12 Viết phương trình mặt phẳng (P ) biết (P ) qua hai điểm M (0; −1; 0), N (−1; 1; 1) vng góc với mặt phẳng (Oxz) A (P ) : x + z + = B (P ) : x − z = C (P ) : z = D (P ) : x + z = ɓ Lời giải ĄVí dụ 13 Gọi (P ) mặt phẳng chứa trục Ox vng góc với mặt phẳng (Q) : x+y+z−3 = Phương trình mặt phẳng (P ) A y − z − = B y − 2z = C y + z = D y − z = ɓ Lời giải ĄVí dụ 14 Cho điểm A(1; 1; 1) hai mặt phẳng (Q) : y = 0, (P ) : 2x − y + 3z − = Viết phương trình mặt phẳng (R) chứa A, vng góc với hai mặt phẳng (P ), (Q) A 3x − y + 2z − = B 3x + y − 2z − = C 3x − 2z = D 3x − 2z − = ɓ Lời giải Th.S Nguyễn Hoàng Việt – 0905.193.688 Việt Star 35 Chương PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Kết nối tri thức với sống Dạng Phương trình theo đoạn chắn Đề cho (P ) qua A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với abc = x y z (P ) : + + = (phương trình theo đoạn chắn) a b c z C Thường gặp: ○ ∆ABC nhận M (x0 ; y0 ; z0 ) làm trọng tâm; ○ ∆ABC nhận M (x0 ; y0 ; z0 ) làm trực tâm; B O y A x ĄVí dụ 15 Mặt phẳng qua A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 4) có phương trình x y z x y z x y z A B 2x + 4y + 4z = C + + = D + + = + + = 1 2 4 2 ɓ Lời giải ĄVí dụ 16 Cho điểm M (1; 2; −3) Gọi M1 , M2 , M3 hình chiếu vng góc M lên trục Ox, Oy, Oz Phương trình mặt phẳng qua ba điểm M1 , M2 , M3 y z x y z y z y z + + = A x + − = B C x + + = D x + + = −1 3 2 3 ɓ Lời giải ĄVí dụ 17 Mặt phẳng sau cắt trục Ox, Oy, Oz điểm A, B, C cho tam giác ABC nhận điểm G 1; 2; trọng tâm? A x + 2y + 2z − = B 2x + y + 2z − = C 2x + 2y + z − = D 2x + 2y + 6z − = ĄVí dụ 18 Cho điểm M (1; 2; 5) Số mặt phẳng (α) qua M cắt trục Ox, Oy, Oz A, B, C mà OA = OB = OC = A B C D ɓ Lời giải Việt Star Th.S Nguyễn Hồng Việt – 0905.193.688 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường ○ VO.ABC nhỏ 36 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Kết nối tri thức với sống ĄVí dụ 19 Cho điểm H(1; 2; −3) Viết phương trình mặt phẳng (α) qua H cắt trục tọa độ Ox, Oy, Oz A, B, C cho H trực tâm tam giác ABC z x y A + + = B x + 2y + 3z + 14 = −3 C x + 2y − 3z − 14 = D x + y + z = Gv Ths: Nguyễn Hoàng Việt ɓ Lời giải ĄVí dụ 20 Cho mặt phẳng (P ) qua điểm M (2; −4; 1) chắn trục tọa độ Ox, Oy, Oz theo ba đoạn có độ dài đại số a, b, c Phương trình tổng quát mặt phẳng (P ) a, b, c theo thứ tự tạo thành cấp số nhân có cơng bội A 4x + 2y − z − = B 4x − 2y + z + = C 16x + 4y − 4z − = D 4x + 2y + z − = ɓ Lời giải Dạng Khoảng cách góc Th.S Nguyễn Hồng Việt – 0905.193.688 Việt Star 37 Chương PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN Kết nối tri thức với sống ĄVí dụ 21 Cho mặt phẳng (P ) : 2x + 2y − z + 16 = Điểm M (0; 1; −3), khoảng cách từ M đến (P ) √ 21 10 A B C D ɓ Lời giải A B C D √ 41 ɓ Lời giải ĄVí dụ 23 Cho hai điểm A(2; 2; −2) B(3; −1; 0) Đường thẳng AB cắt mặt phẳng (P ) : x + IA y − z + = điểm I Tỉ số IB A B C D ɓ Lời giải ĄVí dụ 24 Cho hai mặt phẳng (P ) : x + 2y − 2z + = (Q) : x + 2y − 2z − = Khoảng cách hai mặt phẳng (P ) (Q) 4 A B C D − 3 ɓ Lời giải ĄVí dụ 25 Cho mặt phẳng (P ) : x + 2y − 2z + = 0, mặt phẳng (Q) : x − 3y + 5z − = Cosin √ góc hai mặt phẳng √ (P ), (Q) 35 35 5 A B − C D − 7 7 Việt Star Th.S Nguyễn Hoàng Việt – 0905.193.688 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường ĄVí dụ 22 Khoảng cách từ A(−2; 1; −6) đến mặt phẳng (Oxy) 38 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Kết nối tri thức với sống ɓ Lời giải ĄVí dụ 26 Cho hai mặt phẳng (P ) : x + y − z + = (Q) : x − y + z − = Có điểm M trục Oy thỏa mãn M cách hai mặt phẳng (P ) (Q)? A B C D Gv Ths: Nguyễn Hoàng Việt ɓ Lời giải ĄVí dụ 27 Cho điểm A(1; 2; 3) mặt phẳng (P ) : x + y + z √ − = Mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P ) (Q) cách điểm A khoảng 3 Phương trình mặt phẳng (Q) A x + y + z + = x + y + z − = B x + y + z + = x + y + z + 15 = C x + y + z + = x + y + z − 15 = D x + y + z + = x + y − z − 15 = ɓ Lời giải Dạng Vị trí tương đối hai mặt phẳng ĄVí dụ 28 Cho mặt phẳng (P ) : − x + y + 3z + = Mặt phẳng song song với mặt phẳng (P ) có phương trình sau đây? A 2x − 2y − 6z + = B −2x + 2y + 3z + = C x − y + 3z − = D −x − y + 3z + = ɓ Lời giải Th.S Nguyễn Hoàng Việt – 0905.193.688 Việt Star 39 Chương PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Kết nối tri thức với sống ĄVí dụ 29 Cho mặt phẳng (P ) : 2x − y + 2z − = (Q) : x + my + z − = Tìm tham số m để hai mặt phẳng P Q vng góc với 1 A m = −4 B m=− C m= D m = 2 ĄVí dụ 30 Cho hai mặt phẳng (P ) : 2x + 4y + 3z − = (Q) : mx − ny − 6z + − Giá trị m, n cho (P ) ∥ (Q) A m = 4; n = −8 B m = n = C m = −4; n = D m = n = −4 ɓ Lời giải ĄVí dụ 31 Cho hai mặt phẳng (P ) : x + my + (m − 1)z + = (Q) : x + y + 2z = Tập hợp tất giá trị m để hai mặt phẳng không song song A (0; +∞) B R \ {−1; 1; 2} C (−∞; 3) D R ɓ Lời giải Dạng Vị trí tương đối mặt phẳng với mặt cầu Cho mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c), bán kính R mặt phẳng (P ) : Ax + By + Cz + D = Theo kết Chương II, ta có trường hợp sau: Việt Star Th.S Nguyễn Hoàng Việt – 0905.193.688 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường ɓ Lời giải 40 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Kết nối tri thức với sống Aa + Bb + Cc + D ① Nếu d (I, (P )) = √ > R (P ) (S) khơng có điểm chung A2 + B + C Aa + Bb + Cc + D = R (P ) tiếp xúc (S) ② Nếu d (I, (P )) = √ A2 + B + C Gv Ths: Nguyễn Hoàng Việt Aa + Bb + Cc + D ③ Nếu d (I, (P )) = √ < R (P ) cắt (S) A2 + B + C ĄVí dụ 32 Cho mặt cầu (S) : x2 + y + z − 4y + 6z − = mặt phẳng (P ) : x + y − z + = Trong mệnh đề sau, mệnh đề A (P ) tiếp xúc (S) B (P ) không cắt (S) C (P ) qua tâm (S) D (P ) cắt (S) ɓ Lời giải ĄVí dụ 33 Cho mặt cầu (S) : (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z + 1)2 = điểm A(3; 4; 0) thuộc (S) Phương trình mặt phẳng tiếp diện (S) A A x + y + z − = B 2x − 2y + z + = C 2x + 2y + z − 14 = D 2x − 2y − z + = ɓ Lời giải ĄVí dụ 34 Viết phương trình mặt cầu có tâm điểm I(1; 2; 4) tiếp xúc với mặt phẳng (P ) : 2x + 2y + z − = A (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z − 4)2 = B (x − 1)2 + (y + 2)2 + (z − 4)2 = C (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z − 4)2 = D (x + 1)2 + (y + 2)2 + (z + 4)2 = ɓ Lời giải Th.S Nguyễn Hoàng Việt – 0905.193.688 Việt Star 41 Chương PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Kết nối tri thức với sống ĄVí dụ 35 Cho mặt cầu (S) : x2 +y +z −6x+2y−2z−5 = mặt phẳng (P ) : x−2y−2z+6 = Biết mặt phẳng (P ) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường trịn (C) Tính bán kính đường trịn (C) √ √ A B C D ɓ Lời giải ĄVí dụ 36 Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua hai điểm A(0; 2; 1) B(−1; 4; 2) cắt mặt cầu (S) : x2 + y − 2x + 8y + 6z − = theo đường tròn (C) có bán kính lớn A (P ) : 2x + 3y + 4z − 10 = B (P ) : 2x + 5y − 4z − = C (P ) : 2x + 3y − 4z − = D (P ) : 2x − 3y − 4z + 10 = ɓ Lời giải √ ĄVí dụ 37 Mặt phẳng (P ) : x + 2y − z + = cắt mặt cầu (S) : x2 + y + z = theo giao tuyến đường trịn có diện tích 11π 9π 15π 7π A B C D 4 4 ɓ Lời giải ĄVí dụ 38 Cho mặt cầu (S) : x2 +y +z −2x+4y−6z+5 = mặt phẳng (α) : 2x+y+2z−15 = Mặt phẳng (P ) song song với (α) tiếp xúc với (S) A (P ) : 2x + y + 2z − 15 = B (P ) : 2x + y + 2z + 15 = C (P ) : 2x + y + 2z − = D (P ) : 2x + y + 2z + = ɓ Lời giải Việt Star Th.S Nguyễn Hoàng Việt – 0905.193.688 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường 42 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Kết nối tri thức với sống ĄVí dụ 39 Cho mặt phẳng (P ): x − 2y + 2z − = điểm I(−1; 2; −1) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I cắt mặt phẳng (P ) theo giao tuyến đường trịn có bán kính r = A (S): (x + 1)2 + (y − 2)2 + (z + 1)2 = 25 B (S): (x + 1)2 + (y − 2)2 + (z + 1)2 = 16 C (S): (x − 1)2 + (y + 2)2 + (z − 1)2 = 34 D (S): (x + 1)2 + (y − 2)2 + (z + 1)2 = 34 Gv Ths: Nguyễn Hoàng Việt ɓ Lời giải ĄVí dụ 40 Cho phương trình x2 + y + z − 2x − 4y − 6z − 11 = Viết phương trình mặt phẳng (α), biết (α) song song với (P ) : 2x + y − 2z + 11 = cắt mặt cầu (S) theo tiết diện đường trịn có chu vi 8π A 2x + y − 2x − 11 = B 2x − y − 2z − = C 2x + y − 2z − = D 2x + y − 2z − = ɓ Lời giải Th.S Nguyễn Hoàng Việt – 0905.193.688 Việt Star 43 Chương PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN C Kết nối tri thức với sống BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : 2x − 5y + = Một véc-tơ pháp tuyến (P ) n = (2; −5; 1) n = (2; −5; 0) n = (2; 5; 0) n = (−2; 5; 1) A #» B #» C #» D #» Câu Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α) : 2x + y − z + = Véc-tơ sau không véc-tơ pháp tuyến mặt phẳng (α)? A n#»4 = (4; 2; −2) B n#»2 = (−2; −1; 1) C n#»3 = (2; 1; 1) D n#»1 = (2; 1; −1) Câu Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P ) có véc-tơ pháp tuyến #» n = (2; −1; 1) Véc-tơ sau véc-tơ pháp tuyến (P )? B (−4; 2; 3) C (4; 2; −2) D (−2; 1; 1) Câu Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; −2) Véc-tơ véc-tơ pháp tuyến mặt phẳng (ABC)? A #» B #» C #» D #» n = (2; 2; −1) n = (−2; −2; 1) n = (2; −2; −1) n = (1; 1; −2) Câu Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(2; −1; 3), B(4; 0; 1) C(−10; 5; 3) Một véc-tơ pháp tuyến mặt phẳng (ABC) n = (1; 2; 2) n = (1; −2; 2) n = (1; 8; 2) n = (1; 2; 0) A #» B #» C #» D #» Câu Trong khơng gian Oxyz, phương trình sau phương trình mặt phẳng Oxz? A y = B x = C z = D y − = Câu Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 6; −7) B(3; 2; 1) Phương trình mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB A x − 2y + 4z + = C x − 2y + 3z + 17 = B x − 2y − 3z − = D x − 2y + 4z + 18 = Câu Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P ) qua điểm G(1; 1; 1) vng góc với đường thẳng OG có phương trình A x + y + z − = B x − y + z = C x + y − z − = D x + y + z = Câu Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm A(1; −2; 3) đến (P ) : x + 3y − 4z + = √ √ √ 26 17 26 A B C √ D 13 13 26 Câu 10 Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (α) : x−2y−2z+4 = (β) : −x+2y+2z−7 = Tính khoảng cách hai mặt phẳng (α) (β) A B −1 C D Câu 11 Trong khơng gian Oxyz, tính p q khoảng cách từ điểm M (5; −2; 0) đến mặt phẳng (Oxz) mặt phẳng (P ) : 3x − 4z + = A p = q = B p = q = C p = −2 q = D p = q = √ √ Câu 12 Góc hai mặt phẳng (P ) : 8x − 4y − 8z − 11 = (Q) : 2x − 2y + = A 90◦ B 30◦ C 45◦ D 60◦ Câu 13 Trong không gian Oxyz, gọi (α) mặt phẳng cắt ba trục tọa độ ba điểm A(4; 0; 0), B(0; −2; 0) C(0; 0; 6) Phương trình (α) x y z x y z + + = + + = A B −2 −1 Việt Star Th.S Nguyễn Hoàng Việt – 0905.193.688 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường A (4; −2; 2) 44 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG C Kết nối tri thức với sống x y z + + = −2 D 3x − 6y + 2z − = Câu 14 Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; m) Để mặt phẳng (ABC) hợp với mặt phẳng (Oxy) góc 60◦ giá trị m … 12 12 A m=± B m=± C m=± D m=± 5 Câu 15 Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P ) qua M (−1; 2; 4) chứa trục Oy có phương trình A (P ) : 4x − z = B (P ) : 4x + z = C (P ) : x − 4z = D (P ) : x + 4z = Câu 16 Trong không gian Oxyz, cho điểm M (3; −1; −2) mặt phẳng (P ) : 3x − y + 2z + = Phương trình phương trình mặt phẳng qua M song song với (P )? Gv Ths: Nguyễn Hoàng Việt A (Q) : 3x − y + 2z + = C (Q) : 3x − y + 2z − = B (Q) : 3x − y − 2z − = D (Q) : 3x + y − 2z − 14 = Câu 17 Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P ) : 3x−my−z+7 = 0, (Q) : 6x+5y−2z−4 = Xác định m để hai mặt phẳng (P ) (Q) song song với 5 A m = B m=− C m = −30 D m= 2 Câu 18 Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P ), biết (P ) tiếp xúc mặt cầu (S) : x2 + y + z − 2x − 2y − 2z − 22 = điểm M (4; −3; 1) A 3x − 4y − = C 4x − 3y + z − = B 4x − 3y + z − 26 = D 3x − 4y − 24 = Câu 19 Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P ), (Q) có phương trình x+y−z = 0, x − 2y + 3z = cho điểm M (1; −2; 5) Tìm phương trình mặt phẳng (α) qua điểm M đồng thời vng góc với hai mặt phẳng (P ), (Q) A 5x + 2y − z + 14 = C x − 4y − 3z − = B x − 4y − 3z + = D 5x + 2y − z + = Câu 20 Trong không gian Oxyz, cho điểm H(1; 2; 3) Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua điểm H cắt trục tọa độ ba điểm phân biệt A, B, C cho H trực tâm tam giác ABC y z A (P ) : x + + = B (P ) : x + 2y + 3z − 14 = x y z C (P ) : x + y + z − = D (P ) : + + = Câu 21 Trong không gian Oxyz, cho điểm M (−1; 0; 3) Hỏi có mặt phẳng (P ) qua điêm M cắt trục Ox, Oy, Oz A, B, C cho 3OA = 2OB = OC = 0? A B C D Câu 22 Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (α) qua M (1; −3; 8) chắn tia Oz đoạn thẳng dài gấp đôi đoạn thẳng mà chắn tia Ox Oy Giả sử (α) : ax + by + cz + d = 0, a+b+c với a, b, c, d số nguyên d = Tính S = d 5 A S=− B S= C S = D S = −3 4 Câu 23 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm điểm A(2; 2; 2), mặt phẳng (P ) : 2x + 2y + z + = cắt mặt cầu (S) theo thiết diện đường trịn có bán kính r = Diện tích mặt cầu (S) A 20π B 200π C 10π D 400π Th.S Nguyễn Hoàng Việt – 0905.193.688 Việt Star 45 Chương PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Kết nối tri thức với sống Câu 24 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) : (x − 3)2 + (y + 2)2 + (z + 1)2 = 25 mặt phẳng (P ) : 4x + 3z − 34 = Có mặt phẳng song song với (P ) tiếp xúc (S)? A B C Vô số D Câu 25 Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α) cắt tia Ox, Oy, Oz A, B, C cho độ dài OA, OB, OC theo thứ tự lập thành cấp số nhân có cơng bội Biết khoảng √ 91 cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng (α) Điểm sau thuộc mặt phẳng (α)? 91 A P (2; −1; 1) B N (1; 2; 2) C M (1; −2; 2) D Q(1; 2; −2) A (S) : (x − 1)2 + (y + 2)2 + (z − 3)2 = 25 C (S) : (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z − 3)2 = 25 B (S) : (x + 1)2 + (y − 2)2 + (z − 3)2 = 25 D (S) : (x + 1)2 + (y + 2)2 + (z + 3)2 = 25 Câu 27 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) : (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z + 1)2 = 25 Đường thẳng d cắt mặt cầu (S) hai điểm A, B Biết tiếp diện (S) A, B vng góc Tính độ dài AB √ √ 5 A AB = B AB = C AB = D AB = 2 Câu 28 Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2; 0; 0), M (1; 1; 1) Gọi (P ) mặt phẳng thay đổi qua A, M cắt trục Oy, Oz B(0; b; 0), C(0; 0; c) với b > 0, c > Khi diện tích tam giác ABC nhỏ nhất, tính giá trị tích bc A bc = B bc = 64 C bc = D bc = 16 Câu 29 Trong không gian Oxyz, cho điểm M (1; 2; 4) Gọi (P ) mặt phẳng qua M cắt tia Ox, Oy, Oz điểm A, B, C cho thể tích tứ diện OABC nhỏ (P ) qua điểm đây? A (0; 1; 3) B (2; 2; 0) C (1; 1; 2) D (−1; 1; 4) Câu 30 Trong khơng gian Oxyz, phương trình mặt phẳng (P ) qua điểm M (1; 2; 3) cắt tia 1 Ox, Oy, Oz điểm A, B, C cho T = + + đạt giá trị nhỏ 2 OA OB OC A x + 2y + 3z − 14 = C 6x + 3y + 2z − 18 = B 3x + 2y + z − 10 = D 6x − 3y + 2z − = ——HẾT—— Việt Star Th.S Nguyễn Hồng Việt – 0905.193.688 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Câu 26 Trong khơng gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; 3) mặt phẳng (P ) : 2x+y+2z+2 = Biết mặt phẳng (P ) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường trịn có bán kính Viết phương trình mặt cầu (S) ... (2; ? ?1; 19 ) x = (−2; 3; 19 ) x = (−2; −3; 19 ) x = (−2; ? ?1; 19 ) # » Câu Trong không gian Oxy, cho A (1; ? ?1; 2) B(? ?1; 0; 1) Tọa độ véc-tơ AB A (2; ? ?1; 1) B (−2; ? ?1; ? ?1) C (−2; 1; ? ?1) D (0; ? ?1; 3)... Đường F Việt Star Th.S Nguyễn Hoàng Việt – 0905 .19 3.688 iv Kết nối tri thức với sống Gv Ths: Nguyễn Hoàng Việt Mục lục Th.S Nguyễn Hoàng Việt – 0905 .19 3.688 Việt Star Chûúng PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ PHƯƠNG... Câu 14 Trong không gian Oxyz, cho ba véc-tơ #» a = (1; 2; 3), b = (−2; 0; 1) , #» c = (? ?1; 0; 1) Tọa độ #» #» #» #» #» véc-tơ n = a + b + c − i Th.S Nguyễn Hoàng Việt – 0905 .19 3.688 Việt Star 15