Bài giảng Toán tài chính: Phần 1 cung cấp cho người học những kiến thức như: lãi suất (interest rate); tài khoản vãng lai (current account); chiết khấu thương phiếu (commercail paper discounting); chuỗi tiền tệ (annuities). Mời các bạn cùng tham khảo!
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ HUẾ KHOA TÀI CHÍNH – NGÂN HÀNG BÀI GIẢNG TỐN TÀI CHÍNH Thời lượng: 60 tiết Biên soạn: Trần Thị Bích Ngọc MỤC LỤC CHƯƠNG 1: LÃI SUẤT (INTEREST RATE) 1.1.Lợi tức (interest) tỷ suất lợi tức (lãi suất – interest rate) 1.1.1.Lợi tức 1.1.2.Tỷ suất lợi tức (lãi suất) 1.2.Lãi suất hiệu dụng (effective interest rate) 1.3.Lãi đơn (Simple Interest) lãi kép (Composed Interest) 1.3.1.Lãi đơn (Simple Interest) 1.3.2.Lãi kép (Composed Interest) 1.3.3.So sánh lãi đơn lãi kép 1.4.Vốn hoá (capitalization) hoá (actualisation) 1.4.1.Vốn hoá (capitalization) 1.4.2.Hiện hoá (actualization) 1.5.Lãi suất chiết khấu hiệu dụng (effective rate of discount) 1.5.1.Lãi suất chiết khấu hiệu dụng 1.5.2.Mối quan hệ lãi suất hiệu dụng lãi suất chiết khấu hiệu dụng kỳ 1.5.3.Chiết khấu đơn 10 1.5.4.Chiết khấu kép 10 1.6.Lãi suất danh nghĩa 11 1.7.Lãi suất chiết khấu danh nghĩa 12 Tổng kết chương 12 Bài tập 14 CHƯƠNG 2: TÀI KHOẢN VÃNG LAI (CURRENT ACCOUNT) 16 2.1.Tổng quan 16 2.1.1.Khái niệm 16 2.1.2.Các nghiệp vụ tài khoản vãng lai 16 2.1.3.Số dư tài khoản vãng lai 16 2.1.4.Lợi tức tài khoản vãng lai 16 2.1.4.1.Lãi suất 16 2.1.4.2.Ngày khóa sổ tài khoản 16 2.1.4.3.Ngày giá trị 16 2.2.Tài khoản vãng lai có lãi suất qua lại bất biến 17 2.2.1.Trình bày tài khoản vãng lai theo phương pháp trực tiếp 17 2.2.2.Trình bày tài khoản vãng lai theo phương pháp gián tiếp 18 2.2.3.Trình bày tài khoản vãng lai theo phương pháp Hambourg (Phương pháp rút số dư) 20 2.2.3.1.Trình bày theo thứ tự thời gian nghiệp vụ phát sinh 21 2.2.3.2.Trình bày theo thứ tự thời gian ngày giá trị 23 2.3.Tài khoản vãng lai có lãi suất không qua lại biến đổi 24 Tóm tắt chương 26 Bài tập 27 CHƯƠNG 3: CHIẾT KHẤU THƯƠNG PHIẾU (COMMERCAIL PAPER DISCOUNTING) 29 3.1.Tổng quan 29 3.1.1.Thương phiếu (Commercial Paper) 29 3.1.2.Chiết khấu thương phiếu (Commercial Paper Discounting) 29 3.1.2.1.Khái niệm 29 3.1.2.2.Ý nghĩa 29 3.1.2.3.Điều kiện chiết khấu thương phiếu 29 3.1.3.Một số thuật ngữ liên quan 30 3.1.3.1.Mệnh giá thương phiếu 30 3.1.3.2.Thời hạn (kỳ hạn) chiết khấu 30 3.1.3.3.Lãi suất chiết khấu 30 3.1.3.4.Tiền chiết khấu 30 3.2.Chiết khấu thương phiếu theo lãi đơn 30 3.2.1.Chiết khấu thương mại chiết khấu hợp lý 30 3.2.1.1.Chiết khấu thương mại 30 3.2.1.2.Chiết khấu hợp lý 31 3.2.1.3.So sánh chiết khấu thương mại chiết khấu hợp lý 31 3.2.2.Thực hành chiết khấu 31 3.2.2.1.Chi phí chiết khấu (AGIO) 31 3.2.2.2.Giá trị giá trị lại 32 3.2.2.3.Lãi suất chi phí chiết khấu 32 3.2.2.4.Lãi suất chiết khấu thực tế 32 3.2.3.Sự tương đương hai thương phiếu 33 3.2.3.1.Khái niệm 33 3.2.3.2.Xác định thời điểm tương đương 33 3.2.3.Kỳ hạn trung bình thương phiếu 35 3.3.Chiết khấu thương phiếu theo lãi kép 35 3.3.1.Hiện giá thương phiếu 35 3.3.2.Tiền chiết khấu 36 3.3.3.Thực hành chiết khấu 36 3.3.4.Sự tương đương thương phiếu theo lãi kép 36 3.3.4.1.Sự tương đương hai thương phiếu 36 3.3.4.2.Sự tương đương hai nhóm thương phiếu 37 3.3.4.3.Thay thương phiếu thương phiếu khác 37 3.3.4.4.Thay nhiều thương phiếu thương phiếu 37 3.3.5.So sánh chiết khấu theo lãi đơn chiết khấu theo lãi kép 38 3.3.5.1.Theo phương pháp lãi đơn 38 3.3.5.2.Theo phương pháp lãi kép 38 3.3.5.3.So sánh Ec, Er E’’ 38 Bài tập 39 Tổng kết chương 41 CHƯƠNG 4: CHUỖI TIỀN TỆ (ANNUITIES) 46 4.1.Các nguyên tắc 46 4.1.1.Phương trình giá trị 46 4.1.2.Kỳ hạn trung bình khoản vay 49 4.2.Chuỗi tiền tệ đơn giản 50 4.2.1.Khái niệm 50 4.2.2.Chuỗi tiền tệ phát sinh cuối kỳ 50 4.2.2.1.Giá trị 50 4.2.2.2.Giá trị tích luỹ (giá trị tương lai) 53 4.3.2.Chuỗi tiền tệ phát sinh đầu kỳ 56 4.2.3.1.Giá trị 56 4.2.3.2.Giá trị tích luỹ (giá trị tương lai) 57 4.3.Chuỗi tiền tệ tổng quát 28 4.3.1.Chuỗi tiền tệ với lãi suất áp dụng kỳ không giống 58 4.3.1.1.Tình 58 4.3.1.2.Tình 58 4.3.2.Chuỗi tiền tệ với kỳ phát sinh khơng trùng với kỳ vốn hố 58 4.3.3.Chuỗi tiền tệ phát sinh có quy luật 59 4.3.3.1.Chuỗi tiền tệ biến đổi theo cấp số cộng 59 4.3.3.2.Chuỗi tiền tệ biến đổi theo cấp số nhân 61 Tổng kết chương 62 Bài tập 64 CHƯƠNG 5: ĐẦU TƯ DÀI HẠN (INVESTEMENT) 67 5.1.Tổng quan 67 5.1.1.Khái niệm 67 5.1.2.Chi phí đầu tư 67 5.1.3.Thu nhập đầu tư 67 5.1.4.Chi phí sử dụng vốn đầu tư 68 5.2.Hiệu kinh tế đầu tư dài hạn 69 5.2.1.Giá trị ròng đầu tư ( NPV: Net Present Value) 69 5.2.2.Tỷ suất hoàn vốn nội (IRR: Internal Rate of Return) 71 5.2.3.Thời gian hoàn vốn 74 5.3.Hiệu kinh tế đầu tư dài hạn có tính đến rủi ro 75 5.3.1.Rủi ro đầu tư 75 5.3.1.1 Mức rủi ro, δ 76 5.3.1.2 Hệ số rủi ro, Hδ 76 5.3.2.Hiệu kinh tế đầu tư điều kiện có rủi ro 76 Tổng kết chương 78 Bài tập 80 CHƯƠNG 6: TRÁI KHỎAN 83 6.1.Tổng quan 83 6.1.1.Khái niệm trái khoản 83 6.1.2.Các loại trái khoản 83 6.1.2.1.Khoản vay trung dài hạn 83 6.1.2.2.Cho thuê tài 83 6.2.Các phương thức toán nợ 83 6.2.1.Trả vốn vay (vốn gốc) lãi lần đáo hạn 83 6.2.1.1.Phương thức hoàn trả 84 6.2.1.2.Đặc điểm 84 6.2.1.3.Người vay toán nợ cách lập quỹ trả nợ 84 6.2.1.4.Bảng hoàn trái 84 6.2.2.Trả lãi cuối định kỳ, nợ gốc trả đáo hạn 85 6.2.2.1.Phương thức hoàn trả 85 6.2.2.2.Đặc điểm 85 6.2.2.3.Người toán nợ cách lập quỹ trả nợ 85 6.2.2.4.Lãi suất thực người vay phải chịu 86 6.2.2.5.Bảng hoàn trái 86 6.2.3.Trả nợ dần định kỳ 86 6.2.3.1.Trả nợ dần định kỳ với kỳ khoản cố định 88 6.2.3.2.Trả nợ dần định kỳ với phần trả nợ gốc 90 6.2.3.3 Trả nợ dần định kỳ với tiền lãi trả nhiều lần kỳ, phần nợ gốc trả lần cuối kỳ 91 6.2.3.4.Trả nợ dần định kỳ với kỳ khoản cố định điều kiền lãi suất thay đổi 91 6.3.Định giá trái khoản tỷ suất sinh lợi (lợi suất đầu tư) trái khoản 94 6.3.1.Trái khoản trả dần định kỳ với kỳ khoản cố định 94 6.3.1.1.Định giá trái khoản 94 6.3.1.2.Tỷ suất sinh lợi của trái khoản 94 6.3.2.Trái khoản trả lãi định kỳ, nợ gốc trả đáo hạn 95 6.3.2.1.Định giá trái khoản 96 6.3.2.2.Tỷ suất sinh lợi trái khoản 96 6.3.3.Trái khoản toán cuối định kỳ, phần nợ gốc trả kỳ 96 6.3.3.1.Định giá trái khoản 96 6.3.3.2.Tỷ suất sinh lợi 97 Tổng kết chương 97 Bài tập 99 CHƯƠNG 7: TRÁI PHIẾU (BONDS) 102 7.1.Tổng quan 102 7.1.1.Khái niệm 102 7.1.2.Các yếu tố trái phiếu 102 7.1.2.1.Mệnh giá (face value), C 102 7.1.2.2 Giá phát hành (issue value), E 102 7.1.2.3.Lãi suất trái phiếu, i 103 7.1.2.4.Thời hạn trái phiếu (Manurity period) 103 7.1.2.5.Giá hoàn trái (Redemption Price), R 103 7.2.Các phương thức hoàn trả trái phiếu 103 7.2.1.Trái phiếu toán lần đáo hạn 103 7.2.2.Trái phiếu trả lãi định kỳ, nợ gốc trả đáo hạn (trái phiếu coupon) 103 7.2.3.Trái phiếu toán kỳ khoản cố định 103 7.2.3.1.Đồ thị toán 104 7.2.3.2.Các công thức liên hệ 104 7.2.3.3.Bảng hoàn trái 107 7.2.4.Trái phiếu tốn với số lượng trái phiếu hồn trả kỳ 109 7.2.4.1.Công thức liên hệ 109 7.2.4.2.Bảng hoàn trái-trái phiếu 109 7.3.Định giá trái phiếu – Tỷ suất sinh lợi (Lợi suất đầu tư) trái phiếu –Lãi suất chi phí trái phiếu 111 7.3.1.Định giá trái phiếu 111 7.3.2.Tỷ suất sinh lợi (lợi suất đẩu tư) trái phiếu nhà đầu tư 112 7.3.2.1.Lợi suất danh nghĩa 112 7.3.2.2.Lợi suất hành 112 7.3.2.3.Lợi suất đáo hạn 113 7.3.3.Lãi suất chi phí trái phiếu (đối với nhà phát hành) 113 7.4.Thư giá trái phiếu 114 Tổng kết chương 115 Bài tập 116 CHƯƠNG 8: CỔ PHIẾU (SHARES) 119 8.1.Tổng quan 119 8.1.1.Khái niệm cổ phiếu 119 8.1.2.Đặc điểm cổ phiếu 119 8.1.3.Các loại cổ phiếu 119 8.1.3.1.Cổ phiếu thường (common stocks) 119 8.1.3.2.Cổ phiếu ưu đãi (preferred shares) 120 8.1.4.Các loại giá cổ phiếu 120 8.1.4.1 Mệnh giá (par-value) 120 8.1.4.2.Thư giá (book-value) 121 8.1.4.3 Hiện giá cổ phiếu (Present Value) 121 8.1.4.4 Thị giá (Market Value) 121 8.2.Cổ tức 121 8.2.1.Khái niệm 121 8.2.2.Phân phối lợi nhuận tính cổ tức 121 8.3.Quyền mua cổ phần (Quyền dự định, chứng quyền, quyền mua trước, quyền tiên mãi) 122 8.3.1.Khái niệm 122 8.3.2.Giá quyền mua cổ phần 122 8.4.Định giá cổ phiếu 124 8.4.1.Thu nhập đầu tư cổ phiếu 124 8.4.2.Định giá cổ phiếu theo luồng thu nhập cổ tức 124 8.4.2.1.Cổ phiếu ưu đãi 125 8.4.2.2.Cổ phiếu thường 125 8.5.Định giá doanh nghiệp 127 8.5.1.Kỹ thuật định giá doanh nghiệp sở thị trường chứng khoán 128 8.5.2.Kỹ thuật định giá doanh nghiệp sở tỷ lệ giá thu nhập (PER: Price-Earnings Ratio) 128 8.5.3.Kỹ thuật định giá doanh nghiệp sở hoá thu nhập đầu tư 127 Tóm tắt chương 129 Bài tập 131 Tốn tài - Trần Thị Bích Ngọc CHƯƠNG LÃI SUẤT (INTEREST RATE) Mục tiêu chương: Giá trị tiền tệ theo thời gian khái niệm tài Một khoản tiền gửi vào ngân hàng hôm nay, sau thời gian sau tạo nên số tiền tích luỹ cao số tiền bỏ ban đầu Sự thay đổi số lượng tiền sau thời gian biểu giá trị theo thời gian đồng tiền Ý nghĩa tiền phải xem xét hai khía cạnh: số lượng thời gian Giá trị đồng tiền theo thời gian biểu qua lợi tức tỷ suất lợi tức (lãi suất) Các khái niệm trình bày chương bên cạnh hai phương thức tính lợi tức (lãi đơn, lãi kép), loại lãi suất (lãi suất hiệu dụng, lãi suất chiết khấu, lãi suất danh nghĩa) Ngoài ra, sinh viên biết cách xác định giá trị khoản vốn thời điểm định (vốn hoá, hoá) sau học xong chương Số tiết: tiết Tiết 1, 2, 3: 1.1 Lợi tức (interest) tỷ suất lợi tức (lãi suất – interest rate) 1.1.1 Lợi tức Lợi tức khái niệm xem xét hai góc độ khác nhau: góc độ người cho vay người vay Ở góc độ người cho vay hay nhà đầu tư vốn, lợi tức số tiền tăng thêm số vốn đầu tư ban đầu khoảng thời gian định Khi nhà đầu tư đem đầu tư khoản vốn, nhà đầu tư thu giá trị tương lai lớn giá trị bỏ ban đầu khoản chênh lệch gọi lợi tức Ở góc độ người vay hay người sử dụng vốn, lợi tức số tiền mà người vay phải trả cho người cho vay (là người chủ sở hữu vốn) để sử dụng vốn thời gian định Trong thời gian cho vay, người cho vay gặp phải rủi ro như: người vay khơng trả lãi khơng hồn trả vốn vay Những rủi ro ảnh hưởng đến mức lợi tức mà người cho vay dự kiến tương lai Khoản tiền vay (hay bỏ vay) ban đầu gọi vốn gốc Số tiền nhận từ khoản vốn gốc sau khoản thời gian định gọi giá trị tích luỹ 1.1.2 Tỷ suất lợi tức (lãi suất) Tỷ suất lợi tức (lãi suất) tỷ số lợi tức thu (phải trả) so với vốn đầu tư (vốn vay) đơn vị thời gian Lãi thu (phải trả) đơn vị thời gian Lãi suất = Vốn gốc Đơn vị thời gian năm (trừ trường hợp cụ thể khác) Lãi suất hiệu dụng (effective interest rate) Giả sử ta đầu tư khoản tiền ban đầu VND mong muốn nhận khoản tiền sau khoảng thời gian t a(t) Ở đây, ta mặc định đơn vị t năm (trừ trường hợp cụ thể khác) Hàm số a(t) gọi hàm vốn hoá (function of capitalization) Hàm vốn hố có dạng sau: 1.2 Tốn tài - Trần Thị Bích Ngọc - a(t) = + i.t (i>0) a(t) 2 10 12 10 12 t - a(t) = (1 + i)t (i>0) a(t) 2 t Trong đó, i lã i suất Ta rút đặc điểm hàm vốn hoá sau: a(0) = a(t) hàm đồng biến a(t) hàm liên tục lợi tức tăng liên tục Tốn tài - Trần Thị Bích Ngọc Về mặt tốn học, a(t) hàm nghịch biến Tuy nhiên, trường hợp xảy thực tế Có số tình huống, hàm a(t) khơng liên tục mà liên tục đoạn Ví dụ : a(t) = (1+i.[t]) a(t) = (1+i)[t] Trong : [t] phần nguyên t (ví dụ [1.75]=1) Giả sử vốn gốc đầu tư ban đầu k, k>0 Chúng ta mong muốn giá trị tích luỹ từ khoảng đầu tư ban đầu sau t kỳ A(t) Hàm A(t) gọi hàm tích lũy vốn Ta có : A(t) = k.a(t) với đặc điểm sau : A(0) = k A(t) hàm đồng biến A(t) hàm liên tục lợi tức tăng liên tục Khi đó, lợi tức kỳ thứ n : In = A(n) – A(n-1) Trong đó, A(n) A(n-1) giá trị tích luỹ vốn sau n (n – 1) kỳ Do đó, chênh lệch hai giá trị lợi tức kỳ thứ n Lãi suất hiệu dụng kỳ thứ n, ký hiệu in, tỷ số khoản lợi tức thu kỳ thứ n số vốn tích luỹ vào đầu kỳ thứ n : A (n ) A( n 1) I( n ) in (1) A( n 1) A (n 1) Trong đó, n số nguyên > Lãi suất hiệu dụng viết theo hàm vốn hố sau : a (n ) a (n 1) a (n ) in (2) a (n 1) a (n 1) Ví dụ: Lãi suất hiệu dụng kỳ thứ 1, i1, : I A(1) A (0) i1 A (0) A(0) a (1) a (0) a (1) hay i1 a (1) (vì a(0) = 1) a (0) a (0) => a(1) = + i1 Nói khác, i1 lợi tức mà 1VND bỏ đầu tư vào đầu kỳ thứ mang lại vào cuối kỳ thứ (lợi tức trả vào cuối kỳ) Ghi : Khái niệm « lãi suất hiệu dụng » sử dụng nhằm phân biệt với lãi suất danh nghĩa (sẽ trình bày phần sau) Trong trường hợp lãi suất hiệu dụng, lợi tức trả lần kỳ Ngược lại, trường hợp lãi suất danh nghĩa, lợi tức trả nhiều lần kỳ Ở đây, lợi tức trả vào cuối kỳ Trường hợp lợi tức trả vào đầu kỳ trình bày phần sau Khi đó, lãi suất sử dụng gọi lãi suất chiết khấu Vốn gốc đầu tư số suốt giai đoạn đầu tư, không thêm vào không rút Lãi suất hiệu dụng thường trình bày dạng thập phân Từ phương trình (1), ta có : A(n) = A(n-1) + in.A(n-1) = (1+in).A(n-1) Do đó: A(1) = A(0) + i1.A(0) = (1+i1).A(0) A(2) = A(1) + i2.A(1) = (1+i2).A(1) = (1+i2).(1+i1).A(0) … Toán tài - Trần Thị Bích Ngọc A(n) = A(n-1) + in.A(n-1) = (1+in).A(n-1) = (1+in)… (1+i2).(1+i1).A(0) Ví dụ: Một khoản vốn gốc 1.000.000 VND đầu tư năm Lãi suất hiệu dụng năm 7,5%, năm thứ hai 7% năm thứ ba 6,5% Giá trị tích luỹ vào cuối năm thứ ba bao nhiêu? Giải: A(3) = (1+i3).(1+i2).(1+i1).A(0) = (1+7,5%).(1+7%).(1+6,5%).1000000 = 1.225.016 VND 1.3 Lãi đơn (Simple Interest) lãi kép (Composed Interest) Trong phần trình hai trường hợp điển hình hàm vốn hố: trường hợp lãi đơn trường hợp lãi kép 1.3.1 Lãi đơn (Simple Interest) Phương thức tính lãi theo lãi đơn phương thức tính tốn mà tiền lãi sau kỳ khơng nhập vào vốn để tính lãi cho kỳ sau Tiền lãi kỳ tính theo vốn gốc ban đầu Giả sử khoản vốn gốc đầu tư ban đầu 1VND kỳ thu khoản lợi tức không đổi i (ở lưu ý giá trị không đổi lợi tức, lãi suất hiệu dụng) Do đó, hàm vốn hố, ta có: a(1) = + i a(2) = + i + i = + i.2 … a(t) = 1+ i.t với t N Trước đây, ta định nghĩa hàm vốn hoá với t số ngun dương Tuy nhiên, hàm vốn hố định nghĩa với số thực t Khi đó, hàm vốn hố trường hợp lãi đơn là: a(t) = 1+ i.t (t 0) (3) i gọi lãi suất đơn Hàm tích lũy vốn trường hợp là: A(t) = k.a(t) = k(1+ i.t) (4) Lợi tức kỳ là: I = k.i (5) Trong đó: k vốn đầu tư ban đầu, i lãi suất đơn Ghi chú: Trong trường hợp lãi đơn, lãi suất hiệu dụng kỳ thứ n tính theo cơng thức sau: a (n ) a (n 1) i.n [1 i.(n 1)] i in a (n 1) i.(n 1) i.(n 1) i in (6) i.(n 1) => n tăng, lãi suất hiệu dụng in giảm Ví dụ: Một khoản vốn gốc 5.000.000VND đầu tư năm với lãi suất đơn 7% Giá trị tích luỹ khoản vốn vào cuối năm thứ bao nhiêu? A(3) = k(1+ i.3) = 5.000.000 (1+0,07x3) = 6.050.000 VND Chú ý: Lãi đơn chủ yếu dùng cho đầu tư ngắn hạn Trong số trường hợp, thời gian đầu tư tính xác theo ngày (ví dụ: A gửi số tiền vào ngân hàng vào ngày 01/09/2007 với lãi suất 9% rút tổng giá trị tích luỹ vào ngày 13/10/2007), lợi tức tính theo cơng thức sau: Tốn tài - Trần Thị Bích Ngọc (1 i) n1 (1 4%) 5 2.000.000 8.903.645 i 4% V01 < V0 = 10.000.000 Do đó, để đạt giá V0, ta phải thêm vào kỳ khoản cuối (5) khoản x cho: V0 V01 x x (V0 V01 )(1 i) n1 (1 i) n1 x = (10.000.000 - 8.903.645)(1+4%)5 = 1.333.884 Vậy, a5 = a + x = 2.000.000 + 1.333.884 = 3.333.884 Cách 2: Chọn n = (1 i) n (1 4%) 6 V02 a 2.000.000 10.484.274 i 4% V02 > V0 = 10.000.000 VND Để đạt giá V0, ta giảm bớt kỳ khoản cuối (6) khoản x cho: V0 V02 x x (V02 V0 )(1 i) n n2 (1 i) x = (10.484.274 - 10.000.000)(1+4%)6 = 612.761 Vậy a6 = a – x = 2.000.000 - 612.761 = 1.387.239 Trường hợp 1: Lãi suất áp dụng cho kỳ: i(12)/12 = 9,6%/12 = 0,008 V0 i (1 i) n V0 = a1 x => a1 = i (1 i) n V0 i 100.000.000 x 0,008 a1 3.207.972 n (1 i) (1 0,008) 36 Trường hợp 2: Lãi suất áp dụng cho kỳ: i(12)/12 = 10,8%/12 = 0,009 V0 i (1 i ) n V0 = a2 x => a2 = i (1 i) n V0 i 100.000.000 x 0,009 a2 2.574.851 n (1 i) (1 0,009) 48 4.2.2.2.Giá trị tích luỹ (giá trị tương lai) a Đồ thị biểu diễn V01 a Đầu vào Vn n-1 n a a a a Kỳ Đầu Vn: Giá trị tích luỹ (giá trị tương lai) chuỗi tiền tệ Chọn thời điểm t = n làm thời điểm so sánh, ta có: 53 Tốn tài - Trần Thị Bích Ngọc Vn = a + a(1+i) + a(1+i)2 + …+ a(1+i)n-2 + a(1+i)n-1 Vế phải dạng tổng cấp số nhân n số hạng với số hạng a, công bội (1+i) (1 i) n Vn a i Ví dụ: Để thành lập số vốn, doanh nghiệp gửi vào tài khoản cuối năm số tiền không đổi 10 triệu VND Cho biết số tiền tài khoản vào lúc doanh nghiệp ký gởi tiền lần thứ 6, lãi suất 8,5%/năm (1 0,085) V6 = 10.000.000 x = 74.290.295 VND 0,085 b Hệ từ cơng thức tính Vn chuỗi tiền tệ Tính kỳ khoản a: Vn i (1 i) n Vn a a i (1 i) n Tính lãi suất i: (1 i) n (1 i) n Vn Vn a i i a Ta sử dụng bảng tài hay dùng cơng thức nội suy để tính i Tính số kỳ khoản n: V i ln( n 1) n (1 i) a Vn a n i ln(1 i) Trong trường hợp n số nguyên, ta cần phải biện luận thêm Gọi n1: số nguyên nhỏ gần với n n2: số nguyên lớn gần với n Có cách để quy trịn số n: * Cách 1: Chọn n = n1 nghĩa quy tròn n sang số nguyên nhỏ gần Lúc Vn1 < Vn Do đó, để đạt giá trị Vn sau n1 kỳ khoản, phải thêm vào kỳ khoản cuối số thiếu (Vn – Vn1): an1 = a + (Vn – Vn1) * Cách 2: Chọn n = n2 nghĩa quy tròn n sang số nguyên lớn gần Lúc Vn2 > Vn Do đó, để đạt giá trị Vn sau n2 kỳ khoản, phải giảm bớt kỳ khoản cuối số thừa (Vn2 – Vn): an1 = a - (Vn2 – Vn) * Cách 3: Chọn n = n1 thay tăng thêm số tiền kỳ khoản cuối cùng, ta để Vn1 tài khoản thêm thời gian x để Vn1 tiếp tục phát sinh lợi tức (kép) đạt giá trị Vn V ln( n ) Vn1 Ta có : Vn = Vn1(1+i)x => x ln(1 i) Ví dụ : Một người gửi tiết kiệm ngân hàng vào cuối quý khoản tiền Nếu người gửi lần khoản tiền triệu VND, lãi suất danh nghĩa ngân hàng i(4) = 8,4% sau năm, người thu khoản tiền 54 Tốn tài - Trần Thị Bích Ngọc Nếu người thu vốn lẫn lãi 40.463.286 VND sau ba năm, lãi suất tiết kiệm ngân hàng i(4) = 8,4% phải gửi vào ngân hàng quý khoản tiền Xác định lãi suất tiền gửi tiết kiệm danh nghĩa i(4) ngân hàng biết: cuối quý người gửi vào ngân hàng khoản tiền triệu VND sau năm tháng thu khoản tiền 43.800.000 VND Nếu lãi suất gửi tiết kiệm danh nghĩa ngân hàng i(4) = 8%, cuối quý, người gửi khoản tiền 2,5 triệu VND sau kỳ gửi, ông ta thu 42.000.000 VND Giải : a = 2.000.000 n = năm = quý 8,4% i(4) = 8,4% => i = = 2,1%/quý (1 i) (1 2,1%) V8 a 2.000.000 x 17.226.710 i 2,1% n = năm = 12 quý 8,4% i(4) = 8,4% => i = = 2,1%/quý V12 = 40.463.286 VND (1 i)12 V12 = a i V12 i 40.463.286 x 2,1% a 3.000.000 12 (1 i) (1 2,1%)12 a = 4.000.000 n = năm tháng = 10 quý V10 = 43.800.000 (1 i)10 (1 i)10 V10 43.800.000 V10 a 10,95 i i a 4.000.000 Ta tính i phương pháp nội suy: (1 i)10 Đặt s i (1 i1 )10 (1 2,0%)10 Chọn : i 2,0% s1 10,9497 i1 2,0% (1 i )10 (1 2,1%)10 10,9999 i2 2,1% s s1 Ta có công thức nội suy : i i (i i1 ) s s1 10,95 10,9497 i 2% (2,1% 2,0%) 2% 10,9999 10,9497 i(4) = 4.i = 4.2% = 8% a = 2.500.000 8% i(4) = 8% => i = = 2%/quý Vn = 42.000.000 i 2,1% s 55 Tốn tài - Trần Thị Bích Ngọc (1 i) n Vn = a i Vn i 42.000.000 x 2% 1) 1) ln( 2.500.000 a = ln(1 i) ln(1 2%) n = 14,63 ln( => n= Cách 1: Chọn n = 14 (1 2%) 14 (1 i)14 V14 = a = 2.500.000 x = 39.934.845 i 2% Kỳ khoản 14, ông ta phải gửi vào tài khoản số tiền : a14 = a + (Vn - V14) = 2.500.000 + (42.000.000 - 39.934.845) a14 = 4.565.155 Cách 2: Chọn n = 15 (1 2%) 15 (1 i)15 V15 = a = 2.500.000 x = 43.233.542 i 2% Kỳ khoản 15, ông ta phải gửi vào tài khoản số tiền là: a15 = a - (V15 – Vn) = 2.500.000 - (43.233.542 - 42.000.000) a15 = 1.266.458 Cách 3: Chọn n = 14 V14 = 39.934.845 Để đạt số tiền 42.000.000 VND, ông ta để V14 tài khoản thời gian x: V ln( n ) ln( 42.000.000 ) Vn1 39.934.845 = 2,546 quý x= = ln(1 i' ) ln(1 2%) = tháng 19 ngày 4.2.3 Chuỗi tiền tệ phát sinh đầu kỳ Xét chuỗi tiền tệ gồm khoản tiền a phát sinh vào đầu kỳ suốt n kỳ Lãi suất áp dụng cho kỳ i Chuỗi tiền tệ gọi chuỗi tiền tệ phát sinh đầu kỳ 4.2.3.1.Giá trị Đồ thị biểu diễn Dòng vào V0’ n-1 a a a a n Kỳ Dòng V0’: Giá trị chuỗi tiền tệ Chọn thời điểm t = làm thời điểm so sánh, ta có: 56 Tốn tài - Trần Thị Bích Ngọc V0’ = a + a (1 i ) + a (1 i ) +…+ a (1 i ) n + a (1 i ) n 1 Vo’ tổng cấp số nhân với n số hạng, số hạng a (1 i ) n 1 công bội (1+i) V0’ = a (1 i ) n 1 V0’ = a (1+i) (1 i ) n (1 i ) 1 (1 i ) n i Ví dụ: Lấy lại ví dụ việc người mua bàn ủi cách trả góp Thay trả vào cuối tháng, ông trả tiền vào đầu tháng Trường hợp này, người mua bàn ủi với giá bao nhiêu? i = i(12)/12 = 9,6%/12 = 0,8% (1 0,008) 12 V0’ = 1.000.000 x (1 + 0,008) x = 11.489.803 VND 0,008 4.2.3.2.Giá trị tích luỹ (giá trị tương lai) Đồ thị biểu diễn Dòng vào Vn ’ n-1 a a a a n Kỳ Dòng Vn’: Giá trị tích luỹ (tương lai) chuỗi tiền tệ Vn’ = a(1+i) + a(1+i)2 + …+ a(1+i)n-1 + a(1+i)n Vế phải dạng tổng cấp số nhân n số hạng với số hạng a(1+i), công bội (1+i) (1 i ) n Vn’ = a(1+i) (1 i ) Vn’ = a(1+i) (1 i ) n i Ví dụ: Để thành lập số vốn, doanh nghiệp gửi vào tài khoản đầu năm số tiền không đổi 10 triệu VND Cho biết số tiền tài khoản vào lúc doanh nghiệp ký gởi tiền lần thứ 6, lãi suất 8,5%/năm (1 0,085) V6 = 10.000.000 x = 74.290.295 VND 0,085 57 Tốn tài - Trần Thị Bích Ngọc V6’ = 10.000.000 x (1+0,085) (1 0,085) = 80.604.970 VND 0,085 Tiết 4, 5, : 4.3 Chuỗi tiền tệ tổng quát Ở phần trên, ta tìm hiểu chuỗi tiền tệ đơn giản Đó chuỗi tiền tệ với lãi suất áp dụng kỳ kỳ phát sinh trùng với kỳ vốn hoá Trong phần này, chuỗi tiền tệ tổng quát giới thiệu : Chuỗi tiền tệ với lãi suất áp dụng kỳ không giống Chuỗi tiền tệ với kỳ phát sinh không trùng với kỳ vốn hố Chuỗi tiền tệ phát sinh có quy luật (biến đổi theo cấp số nhân cấp số cộng) 4.3.1 Chuỗi tiền tệ với lãi suất áp dụng kỳ khơng giống Giả sử có chuỗi tiền tệ gồm n kỳ với số tiền phát sinh a 1, a2, … , an tương ứng vào cuối kỳ thứ 1, 2, …, n Lãi suất áp dụng kỳ thứ k ik Đối với trường hợp này, có hai tình nảy sinh: 4.3.1.1.Tình 1: ik kỳ thứ k áp dụng cho tất khoản tiền phát sinh kỳ Khi đó, giá trị chuỗi tiền tệ : a a2 a3 an V0= + + +…+ i (1 i )(1 i ) (1 i )(1 i )(1 i ) (1 i )(1 i )(1 i ) (1 i n ) Giá trị tương lai : Vn = a1(1+i2)(1+i3)(1+i4)…(1+in) + a2(1+i3)(1+i4)…(1+in) + a3(1+i4)…(1+in) + … + an 4.3.1.2.Tình 2: ik kỳ thứ k áp dụng cho khoản tiền phát sinh kỳ Khi đó, giá trị chuỗi tiền tệ : a1 a2 a3 an V0 = + + +…+ (1 i ) (1 i ) (1 i ) (1 i n ) n Giá trị tương lai : Vn = a1(1+i)n-1 + a2(1+i)n-2 + + a3(1+i)n-3 + … + an 4.3.2 Chuỗi tiền tệ với kỳ phát sinh không trùng với kỳ vốn hoá Giả sử chuỗi tiền tệ có số tiền phát sinh vào cuối quý kỳ vốn hoá lại cuối tháng Trong trường hợp này, ta tính lãi suất tương ứng với lãi suất cho cho kỳ vốn hoá lãi suất trùng với kỳ phát sinh Ví dụ : A muốn có số tiền 40.000.000 VND cách gửi vào ngân hàng cuối tháng khoản tiền a năm Lãi suất danh nghĩa ngân hàng i (12) = 8,4%, vốn hoá cuối tháng Xác định số tiền a Để xác định lãi suất áp dụng với tháng tương ứng với i(12), trước hết, ta xác định lãi suất danh nghĩa i(2) vốn hóa tháng Ta có : i ( 2) i (12) 12 (1 + )² = (1 + ) 12 i ( 2) 8,4% 12 (1 + )² = (1 + ) 12 i(2) = 8,548379% i ( 2) Lãi suất áp dụng tháng chuỗi tiền tệ: i = = 4,2741895% 58 Toán tài - Trần Thị Bích Ngọc Phương trình giá trị: 40.000.000 = a x (1 4,2741895%) 2.5 4,2741895% => a = 3.289.506 VND Ví dụ : B vay khoản tiền 50.000.000 VND phải trả vào cuối quý khoản tiền năm Nếu lãi suất khoản vay lãi suất danh nghĩa i(2) = 8% vốn hoá tháng số tiền mà B phải trả cuối quý bao nhiêu? Tương tự ví dụ trên, ta xác định lãi suất danh nghĩa i(4) vốn hoá cuối quý i ( 4) i ( 2) (1 + ) = (1 + ) i ( 4) 8% (1 + ) = (1 + ) i(4) = 7,921561% i ( 4) Lãi suất áp dụng quý chuỗi tiền tệ : i = = 1,98039% Phương trình giá trị : (1 1,98039%) 4.2 50.000.000 = a x => a = 5.829.527 VND 1,98039% Như vậy, chuỗi tiền tệ có kỳ phát sinh khơng trùng với kỳ vốn hoá : số kỳ phát sinh n kỳ/năm lãi suất lại vốn hoá m kỳ/năm i (m), m ≠ n Trước hết, ta tính lãi suất vốn hoá n kỳ/năm i(n) tương ứng với lãi suất cho i(m) công thức sau : i (n) n i (m) m (1 + ) = (1 + ) n m Khi đó, lãi suất áp dụng với kỳ chuỗi tiền tệ : i (n ) i= n 4.3.3 Chuỗi tiền tệ phát sinh có quy luật 4.3.3.1.Chuỗi tiền tệ biến đổi theo cấp số cộng Xét chuỗi tiền tệ biến đổi theo cấp số cộng có giá trị kỳ khoản a, công sai r, số kỳ phát sinh n lãi suất áp dụng kỳ i Ở đây, ta đặt giá thiết kỳ phát sinh trùng với kỳ vốn hoá Ta có: a1 = a a2 = a1 + r = a + r a3 = a2 + r = a + 2r … an = a + (n-1).r a Chuỗi tiền tệ phát sinh cuối kỳ Vo Vn a a+r a+(n-2)r n-1 a+(n-1)r n Kỳ 59 Toán tài - Trần Thị Bích Ngọc V0: Giá trị chuỗi tiền tệ Vn: Giá trị tích luỹ (tương lai) chuỗi tiền tệ Giá trị tích luỹ (tương lai), Vn: Giá trị tương lai thời điểm n chuỗi tiền tệ Vn: Vn = an + an-1(1+i) + an-2(1+i)2 + …+ a2(1+i)n-2 + a1(1+i)n-1 Vn = [a+(n-1)r] + [a+(n-2)r](1+i) + [a+(n-3)r](1+i)² + … + (a+r)(1+i)n-2 + a(1+i)n-1 Vn = [a + a(1+i) + a(1+i)2 + …+ a(1+i)n-2 + a(1+i)n-1] + [(n-1)r + (n-2)r(1+i) + (n-3)r(1+i)² + … + r(1+i)n-2] Đặt A = a + a(1+i) + a(1+i)2 + …+ a(1+i)n-2 + a(1+i)n-1 B = (n-1)r + (n-2)r(1+i) + (n-3)r(1+i)² + … + r(1+i)n-2 Ta có: (1 i ) n A = a i B = (n-1)r + (n-2)r(1+i) + (n-3)r(1+i)² + … + r(1+i)n-2 (1) B(1+i)=(n-1)r(1+i)+(n-2)r(1+i)²+(n-3)r(1+i)3+…+ r(1+i)n-1 (2) (2) – (1): B.i = (1-n)r + r(1+i) + r(1+i)² + r(1+i)3 + …+r(1+i)n-2+ (1+i)n-1 B.i = r+ r(1+i)+ r(1+i)² + r(1+i)3 +…+ r(1+i)n-2 + r(1+i)n-1 –n.r (1 i ) n B.i = r -n.r i r (1 i ) n n.r B= i i i n (1 i ) r (1 i ) n n.r r (1 i ) n n.r Vậy: Vn = A + B=a + =(a+ ) i i i i i i i n r (1 i ) n.r Vn = (a+ ) i i i Giá trị tại, V0: r (1 i ) n n.r V0 = Vn(1+i)-n = [(a+ ) ](1+i)-n i i i (1 i ) n n.r r V0 = (a + + n.r) i i i b Chuỗi tiền tệ phát sinh đầu kỳ Vo Vn a a+r a+(n-2)r a+(n-1)r n-2 n-1 n Kỳ Giá trị tích lũy (tương lai), Vn’: r (1 i ) n n.r Vn’ = Vn(1+i) = [(a+ ) ](1+i) i i i 60 Toán tài - Trần Thị Bích Ngọc Giá trị tại, V0’: r (1 i ) n n.r + n.r) ](1+i) i i i 4.3.3.2.Chuỗi tiền tệ biến đổi theo cấp số nhân Xét chuỗi tiền tệ biến đổi theo cấp số nhân có giá trị kỳ khoản a, công bội q, số kỳ phát sinh n lãi suất áp dụng kỳ i Ta có: a1 = a a2 = a1.q = a.q a3 = a2q = aq² … an = a.qn-1 a Chuỗi tiền tệ phát sinh cuối kỳ Vo Vn V0’ = V0(1+i) = [(a + a a.q a.qn-2 n-1 a.qn-1 n Kỳ Giá trị tích luỹ (tương lai), Vn’: Giá trị tương lai thời điểm n chuỗi tiền tệ Vn: Vn = an + an-1(1+i) + an-2(1+i)2 + …+ a2(1+i)n-2 + a1(1+i)n-1 Vn = a.qn-1+a.qn-2(1+i)+a.qn-3(1+i)² +…+ a.q.(1+i)n-2 + a(1+i)n-1 Vn = a[qn-1 + qn-2(1+i) + qn-3(1+i)² + … + q.(1+i)n-2 + (1+i)n-1] Đặt S = qn-1 + qn-2(1+i) + qn-3(1+i)² + … + q.(1+i)n-2 + (1+i)n-1 Ta thấy S tổng cấp số nhân với đặt điểm sau: Số hạng là: (1+i)n-1 Cơng bội là: q.(1+i)-1 Có n số hạng Suy : q n (1 i) n q n (1 i) n S = (1+i)n-1 x = q (1 i) q.(1 i) 1 Giá trị chuỗi tiền tệ thời điểm n là: q n (1 i) n Vn = a.S = a q (1 i) Giá trị (hiện giá), V0’: q n (1 i) n q n (1 i) n -n -n V0 = Vn(1+i) = a .(1+i) = a q (1 i) q (1 i) q n (1 i) n q (1 i) Chuỗi tiền tệ phát sinh đầu kỳ V0 = a b Vo Vn a.qn-2 a.qn-1 a a.q n-2 n-1 n Kỳ 61 Tốn tài - Trần Thị Bích Ngọc Giá trị tích luỹ (tương lai), Vn’: q n (1 i) n Vn’ = Vn(1+i) = a (1+i) q (1 i) Giá trị tại, V0’: q n (1 i) n V0’ = V0.(1+i) = a (1+i) q (1 i) Tóm tắt chương Phương trình giá trị: Tổng giá trị tích luỹ hay Tổng giá trị tích luỹ hay hố dịng tiền vào thời = hố dịng tiền thời điểm điểm so sánh so sánh * Kỳ hạn trung bình khoản vay (t ): kỳ hạn mà đó, thay người vay trả nhiều lần cho người cho vay khoản tiền s1, s2,…, sn thời điểm t1, t2, …, tn, người trả lần tổng số tiền (s1 + s2 + … + sn) thời điểm t* s1 s s n ln( ) t1 s1 (1 i) s (1 i) t s n (1 i) t n t* ln(1 i) Chuỗi tiền tệ: loạt khoản tiền phát sinh định kỳ theo khoảng thời gian Chuỗi tiền tệ đơn giản (còn gọi chuỗi tiền tệ đều): chuỗi tiền tệ cố định (số tiền phát sinh kỳ nhau) kỳ phát sinh chuỗi tiền tệ trùng với kỳ vốn hoá lợi tức Chuỗi tiền tệ phát sinh cuối kỳ: chuỗi tiền tệ gồm khoản tiền a phát sinh vào cuối kỳ suốt n kỳ Lãi suất áp dụng cho kỳ i (1 i) n + Giá trị tại, V0: V0 a i (1 i) n + Giá trị tích luỹ (giá trị tương lai), Vn: Vn a i Chuỗi tiền tệ phát sinh đầu kỳ : chuỗi tiền tệ gồm khoản tiền a phát sinh vào đầu kỳ suốt n kỳ Lãi suất áp dụng cho kỳ i (1 i ) n + Giá trị tại, V0’: V0’ = a (1+i) i (1 i ) n + Giá trị tích luỹ (giá trị tương lai): Vn’ = a(1+i) i Chuỗi tiền tệ tổng quát : Chuỗi tiền tệ với lãi suất áp dụng kỳ không giống nhau: Chuỗi tiền tệ gồm n kỳ với số tiền phát sinh a1, a2, … , an tương ứng vào cuối kỳ thứ 1, 2, …, n Lãi suất áp dụng kỳ thứ k ik + Tình 1: ik kỳ thứ k áp dụng cho tất khoản tiền phát sinh kỳ Giá trị tại: a3 a a2 an V0= + + +…+ i (1 i )(1 i ) (1 i )(1 i )(1 i ) (1 i )(1 i )(1 i ) (1 i n ) Giá trị tương lai: 62 Toán tài - Trần Thị Bích Ngọc Vn = a1(1+i2)(1+i3)(1+i4)…(1+in) + a2(1+i3)(1+i4)…(1+in) + a3(1+i4)…(1+in) + … + an + Tình 2: ik kỳ thứ k áp dụng cho khoản tiền phát sinh kỳ a1 a2 a3 an Giá trị : V0 = + + +…+ (1 i1 ) (1 i ) (1 i ) (1 i n ) n Giá trị tương lai : Vn = a1(1+i)n-1 + a2(1+i)n-2 + + a3(1+i)n-3 + … + an Chuỗi tiền tệ với kỳ phát sinh khơng trùng với kỳ vốn hố: số kỳ phát sinh n kỳ/năm lãi suất lại vốn hoá m kỳ/năm i(m), m ≠ n + Mối quan hệ lãi suất vốn hoá n kỳ/năm i(n) tương ứng với lãi suất danh i (n) n i (m) m nghĩa i(m): (1 + ) = (1 + ) n m i (n ) + Lãi suất áp dụng với kỳ chuỗi tiền tệ: i= n Sử dụng lãi suất để tính giá trị hay giá trị tích lũy cho chuỗi tiền tệ Chuỗi tiền tệ phát sinh có quy luật Chuỗi tiền tệ biến đổi theo cấp số cộng: chuỗi tiền tệ có giá trị kỳ khoản a, công sai r, số kỳ phát sinh n lãi suất áp dụng kỳ i: ak = a + (k-1).r ( ≤ k ≤ n) + Chuỗi tiền tệ phát sinh cuối kỳ: r (1 i ) n n.r Giá trị tương lai, Vn: Vn = (a+ ) i i i n r (1 i ) n.r Giá trị tại, V0 : V0 = (a + + n.r) i i i + Chuỗi tiền tệ phát sinh đầu kỳ: r (1 i ) n n.r Giá trị tích lũy (tương lai),Vn’: Vn’ = [(a+ ) ](1+i) i i i (1 i ) n n.r r + n.r) ](1+i) i i i Chuỗi tiền tệ biến đổi theo cấp số nhân: chuỗi tiền tệ có giá trị kỳ khoản a, công bội q, số kỳ phát sinh n lãi suất áp dụng kỳ i: ak = ak-1.q = aqk-1 + Chuỗi tiền tệ phát sinh cuối kỳ: q n (1 i) n Giá trị tích luỹ (tương lai): Vn = a q (1 i) Giá trị tại, V0’:V0’ = [(a + Giá trị (hiện giá): V0 = a + q n (1 i) n q (1 i) Chuỗi tiền tệ phát sinh đầu kỳ: q n (1 i) n (1+i) q (1 i) Giá trị tích luỹ (tương lai): Vn’ = a Giá trị tại: q n (1 i) n (1+i) q (1 i) V0’= a 63 Toán tài - Trần Thị Bích Ngọc Bài tập Hoa vay Lá khoản tiền 25.000.000 VND với điều kiện sau: Cuối năm thứ 2, Hoa trả 8.000.000 VND Cuối năm thứ 3, Hoa trả 11.000.000 VND Cuối năm thứ 5, Hoa trả 14.000.000 VND Xác định lãi suất khoản vay Đ.S 8,1473% Cành vay Cây số tiền với lãi suất 8,5% Cành phải phải trả số tiền 10.000.000 VND, 20.000.000 VND, 40.000.000 VND 50.000.000 VND vào cuối năm thứ 2, 4, 5, Xác định thời hạn trung bình khoản vay Đ.S 5,316 năm Hãy xác định giá trị giá trị tương lai chuỗi tiền tệ phát sinh cuối kỳ gồm 10 kỳ, số tiền trả kỳ 10 triệu đồng, lãi suất 7,8%/ kỳ Đ.S 143.496.978,5 VND 67.710.364 VND Một doanh nghiệp X vay vốn Ngân hàng Y với điều kiện sau: Mỗi quý, doanh nghiệp phải trả ngân hàng 150 triệu đồng Thời hạn vay năm Lãi suất danh nghĩa 8%/năm, vốn hoá quý Lần trả sau ngày ký hợp đồng Xác định số vốn doanh nghiệp vay Đ.S 1.586.301.183 VND Một người muốn có số tiền 100 triệu đồng tương lai Người gửi vào ngân hàng số tiền vào đầu năm, liên tiếp năm Lãi suất tiền gửi ngân hàng 7,5%/năm Xác định số tiền người phải gửi năm Đ.S 16.015.322,6 VND Một doanh nghiệp vay khoản tiền vòng 10 năm Vào đầu năm, doanh nghiệp phải trả số tiền 200 triệu đồng Tổng số tiền mà doanh nghiệp phải trả 3,33 tỷ Tính lãi suất vay vốn mà doanh nghiệp phải chịu Đ.S 9,095% Một khoản vay 650 triệu trả dần 16 qúy, cuối quý trả 50 triệu Xác định lãi suất vay áp dụng cho quý Tính lãi suất hiệu dụng (%/năm) tương ứng Đ.S 10,614% Một người mua thiết bị Nếu trả ngay, người phải trả 500 triệu đồng Nếu trả chậm, người trả dần vào đầu tháng số tiền 23 triệu đồng vòng năm, lãi suất danh nghĩa i(12) = 9% Người nên chọn phương thức Đ.S Phương thức trả Một công ty mua dây chuyền thiết bị Có ba phương thức tốn sau: Phương thức 1: Trả tỷ đồng Phương thức 2: Trả làm kỳ, kỳ trả 475.000.000 đồng, kỳ trả cách ngày nhận thiết bị năm, kỳ thứ hai sau kỳ năm kỳ cuối cách kỳ thứ hai năm 64 Tốn tài - Trần Thị Bích Ngọc - Phương thức 3: Trả năm, năm trả 300.000.000 đồng, kỳ trả năm sau ngày nhận thiết bị Công ty nên chọn phương thức tốn nào, biết lãi suất thỗ thuận hai bên mua bán 8,5%/năm Đ.S Phương thức Một cơng ty muốn có số tiền tích luỹ tỷ đồng Mỗi năm, cơng ty tích luỹ 100 triệu đồng Nếu gửi số tiền vào Ngân hàng vào đầu năm với lãi suất 9%/năm sau bao lâu, cơng ty đạt số vốn mong muốn Đ.S năm, kỳ cuối gửi 97.387.725 VND 10 A vay B khoản tiền sau: Cuối năm 1, 15.000.000 VND với lãi suất 8% Cuối năm 3, 20.000.000 VND với lãi suất 9% Cuối năm 5, 30.000.000 VND với lãi suất 9,5% A phải trả hết nợ cho B vào cuối năm thứ 10 Xác định số tiền A phải trả Đ.S 113.773.014 VND 11 A gửi vào ngân hàng vào cuối quý vòng năm khoản tiền sau: Trong năm đầu tiên, quý gửi 3.000.000 VND Trong năm thứ hai, quý gửi 3.500.000 VND Trong năm thứ ba, quý gửi 5.000.000 VND Lãi suất ngân hàng đưa sau: Trong năm đầu, i(4) = 9% Trong năm thứ ba, i(4) = 10% Xác định số tiền A nhận vào cuối năm thứ Đ.S 51.720.119 VND 12 Một khoản vay 100.000.000 VND trả 16 kỳ trả tiền, kỳ vào cuối quý Số tiền trả lần quý K, quý cuối 1,2K Lãi suất khoản vay i(4) = 10% Xác định K Đ.S 4.733.179 VND 13 Một chuỗi tiền tệ phát sinh cuối kỳ gồm 10 kỳ khoản, kỳ khoản 100 triệu đồng kỳ khoản sau nhiều kỳ khoản trước 20 triệu đồng, lãi suất 8,5%/kỳ Xác định giá giá trị tương lai chuỗi tiền tệ Đ.S 5.588.200.222 VND 12.634.828.172 VND 14 Một chuỗi tiền tệ phát sinh vào đầu kỳ gồm 15 kỳ, kỳ khoản 75 triệu đồng kỳ khoản sau tăng 15% so với kỳ khoản trước, lãi suất 8%/kỳ Xác định giá trị tương lai giá chuỗi tiền tệ Đ.S 5.754.089.910 VND 1.811.091.938 VND 15 Một người gửi vào Ngân hàng vào đầu năm khoản tiền sau: năm đầu tiên, năm gửi 50 triệu đồng năm tiếp theo, năm gửi 75 triệu đồng năm cuối cùng, năm gửi 80 triệu đồng 65 Tốn tài - Trần Thị Bích Ngọc Nếu lãi suất tiền gửi Ngân hàng áp dụng suốt thời gian 7,5%/năm cuối năm thứ 15, người có số tiền bao nhiêu? Đ.S 1.940.165.588 VND 16 Ông A gửi ngân hàng vào đầu quý triệu đồng liên tiếp năm, lãi suất tiền gửi 2,5%/qúy Kể từ đầu năm thứ tư, ông A rút quý 3,5 triệu đồng Xác định số tiền ơng A cịn lại tài khoản vào đầu năm thứ năm Đ.S 31.928.056 VND 17 Một người gửi tiền đặn vào ngân hàng vào cuối năm liên tiếp năm: Năm gửi 15 triệu đồng năm sau tăng năm trước triệu đồng Ba năm sau ngày gửi cuối cùng, người rút tiền đặn hàng năm khoản tiền bốn năm tài khoản kết tốn Xác định số tiền người rút năm biết lãi suất tiền gửi 8%/năm Đ.S 34.804.553 VND 18 Một công ty A bán trả chậm hệ thống thiết bị với tổng số tiền toán tỷ đồng, phương thức toán sau: trả 200 triệu đồng, số cịn lại tốn năm với số tiền trả năm Người mua thiết bị đề nghị với công ty trả lần vào cuối năm thứ hai sau ngày nhận thiết bị số tiền 900 triệu đồng Lãi suất trả chậm 10%/năm Cơng ty A có nên bán thiết bị không? Nếu công ty A đồng ý số tiền tốn 900 triệu đồng cơng ty nên yêu cầu người mua trả lúc hợp lý Đ.S Không nên Sau 1,150544 năm 66 Tốn tài - Trần Thị Bích Ngọc CHƯƠNG ĐẦU TƯ DÀI HẠN (INVESTMENT) Mục tiêu chương Đầu tư, nói cách đơn giản, việc sử dụng tiền nhằm mục đích sinh lợi Đây đặc trưng hàng đầu đầu tư Đối với doanh nghiệp, xem xét dự án để đầu tư, doanh nghiệp ln xem xét trước tính hiệu mặt tài dự án Nói cách khác, mối quan tâm chủ yếu doanh nghiệp khả sinh lợi vốn góp mà dự án mang lại Câu hỏi đặt tiêu đánh giá tính hiệu mặt tài dự án đầu tư ? Khi đứng trước nhiều dự án để chọn lựa, cần phải làm ? Trong điều kiện có rủi ro, tiêu đánh giá áp dụng sao? Chương đưa câu trả lời cho vấn đề nêu Số tiết : tiết Tiết 1, 2, : 5.1 Tổng quan 5.1.1 Khái niệm Đầu tư bỏ vốn (tư bản) dài hạn vào kinh doanh nhằm mục đích kiếm lời Đầu tư gồm: Đầu tư cho sản xuất kinh doanh xây dựng xí nghiệp, phân xưởng, đổi mới, thay tài sản cố định, tăng vốn lưu động Đầu tư tài cho vay, mua chứng khốn,… 5.1.2 Chi phí đầu tư Trong hoạt động đầu tư, người đầu tư phải tốn nhiều chi phí Đó chi phí khảo sát, thăm dò, thiết kế, xây dựng, mua sắm lắp đặt máy móc, thiết bị… mà nhà đầu tư phải bỏ thời gian xây dựng Đó số tiền vay, mua chứng khoán,… Tổng số tiền bỏ giai đoạn gọi tổng chi phí cho đầu tư ban đầu 5.1.3 Thu nhập đầu tư Sau thời gian xây dựng thời gian khai thác hoạt động kinh doanh Trong thời gian này, người ta phải dự đoán thu nhập đầu tư hàng năm Thu nhập đầu tư bao gồm tiền khấu hao tiền lãi sau thuế Thu nhập Tiền khấu hao Lãi sau thuế = + đầu tư năm k năm k năm k Tiền khấu hao năm k: tiền khấu hao tổng số tiền đầu tư gốc ban đầu Tiền khấu hao phụ thuộc vào giá trị tài sản cần tính khấu hao năm k phương pháp khấu hao áp dụng Ví dụ: Một đầu tư dài hạn với tổng số tiền đầu tư 500 triệu đồng khấu hao năm Tính tiền khấu hao năm theo phương pháp đường thẳng, theo phương pháp khấu hao nhanh giảm dần theo giá trị (hệ số khấu hao 2) theo phương pháp khấu hao nhanh giảm dần theo thời gian Tiền khấu hao Giá trị cần tính khấu hao Tỷ lệ khấu hao = X năm k năm k năm k 67 ... trình (1) , ta có : A(n) = A(n -1 ) + in.A(n -1 ) = (1+ in).A(n -1 ) Do đó: A (1) = A(0) + i1.A(0) = (1+ i1).A(0) A(2) = A (1) + i2.A (1) = (1+ i2).A (1) = (1+ i2). (1+ i1).A(0) … Tốn tài - Trần Thị Bích Ngọc A(n)... V0 = V 01 + V02 + V03 C3 C1 C2 C n n1 n2 (1 d) (1 d ) (1 d ) (1 d ) n Suy ra: C = C1 (1+ d)n-n1 + C2 (1+ d)n-n2 + C3 (1+ d)n-n3 C = 15 0 (1+ 7,5%) 4-2 + 80 (1+ 7,5%)4 -1 + 200 (1+ 7,5%) 4-3 C =... VND nhận lại số tiền 10 .000.000 VND vào cuối năm Ta có : A(n - 1) = (1 – dn).A(n) A(n - 2) = (1 – dn -1 ) .A(n - 1) = (1 – dn -1 ) . (1 – dn).A(n) … A(0) = (1 – d1)… (1 – dn -1 ) . (1 – dn).A(n) Từ cơng