Ma trận nghịch đảo pptx

Ma trận nghòch đảo 1 Ma trận nghòch đảo Đònh nghóa Tìm ma trận nghòch đảo bằng ma trận phần bù đại số Tìm ma trận nghòch đảo bằng các phép biến đổi sơ cấp Tính chất Giải phương trình ma trận Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ma trận nghòch đảo Đònh nghóa Tìm ma trận nghòch đảo bằng ma trận phần bù đại số Tìm ma trận nghòch đảo bằng các phép biến đổi sơ cấp Tính chất Giải phương trình ma trận Ma trận nghòch đảo Đònh nghóa Ma trận nghòch đảo của A = (a ij ) n×n là A −1 thỏa AA −1 = A −1 A = I n . Khi đó A được gọi là ma trận khả nghòch. Để chứng minh B là ma trận nghòch đảo của A ta cần chứng tỏ AB = I n . Đònh nghóa A = (a ij ) n×n suy biến ⇔ |A| = 0. Đònh lý A = (a ij ) n×n khả nghòch ⇔ A không suy biến ⇔ |A| = 0. Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ma trận nghòch đảo Đònh nghóa Tìm ma trận nghòch đảo bằng ma trận phần bù đại số Tìm ma trận nghòch đảo bằng các phép biến đổi sơ cấp Tính chất Giải phương trình ma trận Ma trận nghòch đảo Ví dụ Cho biết các ma trận sau có khả nghòch hay không? A =  1 3 −2 6  B =   2 −3 −1 −3 5 0 1 −2 1   Ta có |A| = 12 = 0 nên A khả nghòch. Ta có |B| = 10 + 0 − 6 + 5 − 9 − 0 = 0 nên B không khả nghòch. Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ma trận nghòch đảo Đònh nghóa Tìm ma trận nghòch đảo bằng ma trận phần bù đại số Tìm ma trận nghòch đảo bằng các phép biến đổi sơ cấp Tính chất Giải phương trình ma trận Tìm ma trận nghòch đảo bằng ma trận phần bù đại số Đònh lý Cho A = (a ij ) n×n khả nghòch, A ij = (−1) i+j |M ij | được gọi là phần bù đại số của a ij và A p =    A 11 · · · A 1n . . . . . . . . . A n1 · · · A nn    được gọi là ma trận phần bù đại số của A. Khi đó A −1 = 1 |A| A T p Ví dụ a. Cho A =  a b c d  với |A| = ad − bc = 0 Ta có: A p =  + d − c − b + a  ⇒ A −1 = 1 ad − bc  d −b −c a  Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ma trận nghòch đảo Đònh nghóa Tìm ma trận nghòch đảo bằng ma trận phần bù đại số Tìm ma trận nghòch đảo bằng các phép biến đổi sơ cấp Tính chất Giải phương trình ma trận Tìm ma trận nghòch đảo bằng ma trận phần bù đại số b. Xác đònh ma trận nghòch đảo của A =  3 −2 1 1  Ta có |A| = 5 = 0 nên A khả nghòch. Vậy A −1 = 1 5  1 2 − 1 3  =      1 5 2 5 − 1 5 3 5      Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ma trận nghòch đảo Đònh nghóa Tìm ma trận nghòch đảo bằng ma trận phần bù đại số Tìm ma trận nghòch đảo bằng các phép biến đổi sơ cấp Tính chất Giải phương trình ma trận Tìm ma trận nghòch đảo bằng ma trận phần bù đại số c. Tìm ma trận nghòch đảo của A =   1 −2 0 1 −1 2 2 −3 3   Ta có |A| = 1 = 0 nên A khả nghòch. Ta có A p =             +     −1 2 −3 3     −     1 2 2 3     +     1 −1 2 −3     −     −2 0 −3 3     +     1 0 2 3     −     1 −2 2 −3     +     −2 0 −1 2     −     1 0 1 2     +     1 −2 1 −1                 =   3 1 −1 6 3 −1 −4 −2 1   Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ma trận nghòch đảo Đònh nghóa Tìm ma trận nghòch đảo bằng ma trận phần bù đại số Tìm ma trận nghòch đảo bằng các phép biến đổi sơ cấp Tính chất Giải phương trình ma trận Tìm ma trận nghòch đảo bằng ma trận phần bù đại số Từ đó, ta được A −1 = 1 |A| A T p = 1 1   3 6 −4 1 3 −2 −1 −1 1   =   3 6 −4 1 3 −2 −1 −1 1   Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ma trận nghòch đảo Đònh nghóa Tìm ma trận nghòch đảo bằng ma trận phần bù đại số Tìm ma trận nghòch đảo bằng các phép biến đổi sơ cấp Tính chất Giải phương trình ma trận Tìm ma trận nghòch đảo bằng các phép biến đổi sơ cấp Đònh lý Cho A = (a ij ) n×n khả nghòch, xét ma trận mở rộng (A|I n ). Bằng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa ma trận A về ma trận I n , khi đó ma trận I n sẽ biến thành A −1 . (A|I n ) biến đổi sơ cấp −→ trên dòng (I n |A −1 ) Ví dụ Tìm ma trận nghòch đảo của A =   1 −2 0 1 −1 2 2 −3 3   Ta có (A|I 3 ) =   1 −2 0 1 0 0 1 −1 2 0 1 0 2 −3 3 0 0 1   d 2 =d 2 −d 1 −→ d 3 =d 3 +(−2)d 1   1 −2 0 1 0 0 0 1 2 −1 1 0 0 1 3 −2 0 1   Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ma trận nghòch đảo Đònh nghóa Tìm ma trận nghòch đảo bằng ma trận phần bù đại số Tìm ma trận nghòch đảo bằng các phép biến đổi sơ cấp Tính chất Giải phương trình ma trận Tìm ma trận nghòch đảo bằng các phép biến đổi sơ cấp   1 −2 0 1 0 0 0 1 2 −1 1 0 0 1 3 −2 0 1   d 1 =d 1 +2d 2 −→ d 3 =d 3 −d 2   1 0 4 −1 2 0 0 1 2 −1 1 0 0 0 1 −1 −1 1   d 1 =d 1 −4d 3 −→ d 2 =d 2 −2d 3   1 0 0 3 6 −4 0 1 0 1 3 −2 0 0 1 −1 −1 1   Vậy A −1 =   3 6 −4 1 3 −2 −1 −1 1   Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ma trận nghòch đảo Đònh nghóa Tìm ma trận nghòch đảo bằng ma trận phần bù đại số Tìm ma trận nghòch đảo bằng các phép biến đổi sơ cấp Tính chất Giải phương trình ma trận Tính chất của ma trận nghòch đảo Tính chất (1) (A −1 ) −1 = A Tính chất (2) |A −1 | = 1 |A| Ví dụ: Cho A =   1 −2 0 1 −1 2 2 −3 3   . Tính |A −1 |. Ta có: AA −1 = I 3 ⇒ |AA −1 | = |I 3 | ⇒ |A||A −1 | = 1 ⇒ |A −1 | = 1 |A| = 1, vì |A| = 1. Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH [...].. .Ma trận nghòch đảo Đònh nghóa Tìm ma trận nghòch đảo bằng ma trận phần bù đại số Tìm ma trận nghòch đảo bằng các phép biến đổi sơ cấp Tính chất Giải phương trình ma trận Tính chất của ma trận nghòch đảo Tính chất (3) Cho A = (aij )n×n khả nghòch Khi đó |Ap | = |A|n−1 Tính chất (4) Cho A,B vuông cùng... Tìm ma trận nghòch đảo bằng ma trận phần bù đại số Tìm ma trận nghòch đảo bằng các phép biến đổi sơ cấp Tính chất Giải phương trình ma trận Ma trận nghòch đảo Giải phương trình ma trận Cho A = (aij )n×n và B = (bij )m×m 1 AX = C ⇔ A−1 AX = A−1 C ⇔ In X = A−1 C ⇔ X = A−1 C 2 XA = C ⇔ XAA−1 = CA−1 ⇔ XIn = CA−1 ⇔ X = CA−1 3 AXB = C ⇔ A−1 AXBB−1 = A−1 CB−1 ⇔ In XIm = A−1 CB−1 ⇔ X = A−1 CB−1 Ví dụ a Tìm ma. .. a Tìm ma trận X thỏa phương trình 1 1 1 2 X = 2 3 3 5 Ta có X = = 1 3 2 5 1 3 2 5 3 −2 1 2 −1 1 1 3 −1 = Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM 1 3 = −1 −1 1 2 2 5 1 1 3 −2 TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH −1 1 Ma trận nghòch đảo Đònh nghóa Tìm ma trận nghòch đảo bằng ma trận phần bù đại số Tìm ma trận nghòch đảo bằng các phép biến đổi sơ cấp Tính chất Giải phương trình ma trận Giải... nghóa Tìm ma trận nghòch đảo bằng ma trận phần bù đại số Tìm ma trận nghòch đảo bằng các phép biến đổi sơ cấp Tính chất Giải phương trình ma trận Giải phương trình ma trận Ví dụ   1 1 2 −1 5 1  và B =  2 b Cho A =  2 −2 −3 −7 1 Tìm ma trận X thỏa phương trình AX = B   −1 1 1 −3  1 1   12 5 7 Ta có |A| = 1, A−1 =  −5 −2 −3  ⇒ X = A−1 B = 1 1 1      12 5 7 1 −1 1 8 0 1 −3  =  −3 0 = . Ma trận nghòch đảo 1 Ma trận nghòch đảo Đònh nghóa Tìm ma trận nghòch đảo bằng ma trận phần bù đại số Tìm ma trận nghòch đảo bằng các phép. bằng ma trận phần bù đại số Tìm ma trận nghòch đảo bằng các phép biến đổi sơ cấp Tính chất Giải phương trình ma trận Ma trận nghòch đảo Đònh nghóa Ma trận