Chương 1: Mô hình toán kinh tế doc

Các biến số của mô hình Mỗi yếu tố kinh tế được lượng hóa bằng một đại lượng x,y,z... Nếu tất cả các biến ngoại sinh xi đều thay đổi một lượng nhỏ xi thì độ thay đổi của y là:Nếu xi là

Chương 1: Mô hình toán kinh tế

1 Khái niệm về mô hình toán kinh tế

2 Cấu trúc mô hình toán kinh tế

3 Phân tích mô hình toán kinh tế

4 Áp dụng đối với một số mô hình kinh tế phổ

biến

(Tài liệu tham khảo: Mô hình toán kinh tế;

ĐHKTQD Hà nội-Nguyễn Quang Dong)

B2

1 Khái niệm về mô hình toán kinh tế

Mô hình của một đối tượng là sự phản ánh khách quan về đối tượng đó, bằng ngôn ngữ nói, viết, hình vẽ, hoặc ngôn ngữ chuyên ngành.

Mô hình của các đối tượng trong lĩnh vực kinh

tế, gọi là mô hình kinh tế.

Mô hình toán kinh tế, là mô hình kinh tế, được

TD1: Nghiên cứu quá trình hình thành giá của loại hàng hóa A trên thị trường.

Mô hình bằng lời:

Xét thị trường hàng hóa A, nơi có người bán,

người mua gặp nhau.

Với mức giá p, lượng hàng người bán muốn bán gọi là lượng hàng cung S, lượng hàng người mua muốn mua gọi là lượng hàng cầu D.

Khi cung lớn hơn cầu thì giá sẽ có xu hướng giảm, Khi cầu lớn hơn cung thì giá sẽ có xu hướng tăng Quá trình tiếp diễn như vậy, cho đến khi cung băng cầu, sẽ hình thành mức giá , gọi là mức giáp

Mô hình bằng hình bằng hình vẽ

Trong hệ trục tọa độ vuông góc p0q, ta vẽ đường cầu D, đường cung S, điểm hai đường cong gặp nhau là điểm cân bằng

q0

Mô hình toán kinh tế:

Với mỗi mức giá p, khối lương hàng cung là S=S(p); khối lượng hàng cầu D=D(p).

Do người bán sẵn sàng bán giá cao hơn nên S’(p)>0, do người mua muốn mua giá thấp hơn nên D’(p)<0

Tình huống cân bằng thị trường sẽ có khi S=D

Ta có mô hình toán kinh tế cân bằng thị trường

loại hàng hóa A (MHIA):

S=S(p) S’(p)>0 D=D(p) D’(p)<0 D(p)=S(p)

Khi muốn đề cập đến thu nhập M, và mức thuế T vào quá trình hình thành giá ta có mô hình toán kinh tế (MHIB):

S=S(p,M,T) S’p= dS/dp >0 D=(p,M,T) D’p= dD/dp<0 S(p,M,T)=D(p,M,T)

2 Cấu trúc mô hình toán kinh tế

2.1 Các biến số, tham số trong mô hình

2.2 Mối liên hệ giữa các biến số trong mô hình

2.1 Các biến số của mô hình

Mỗi yếu tố kinh tế được lượng hóa bằng một đại lượng x,y,z gọi là một biến số.

Biến nội sinh (biến được giải thích) Là các biến thể hiện các hiện tượng kinh tế, mà giá trị của chúng phụ thuộc vào các biến khác trong mô hình.

Biến ngoại sinh (biến giải thích) Là các biến độc lập với các biến khác, và giá trị của chúng được xem là tồn tại ngoài mô hình.

ngoại sinh α, β là các tham số

Trong mô hình MHIB của loại hàng hóa A, nếu S

= αpβTγ Khi đó các biến S,D,p là các biến nội sinh;

2.2 Mối liên hệ giữa các biến

Để mô tả các mối quan hệ kinh tế, các quy luật kinh tế trong các mô hình toán kinh tế người ta thường dùng các phương trình hoặc bất

Thí dụ:

PT định nghĩa:  = TR-TC (lợi nhuận=doanh chi phí); NX=EX-IM (Xuất khẩu ròng=xuất khẩu-nhập khẩu)

thu-PT hành vi: Trong mô hình MHIA: S = S(p);

D=D(p); S=D

Phương trình điều kiên: Trong mô hình hàm sản xuất bất phương trình xi0 là bất phương trình

điều kiện

3 Phân tích mô hình toán kinh tế

3.1 Đo lường sự thay đổi của biến nội sinh theo

biến ngoại sinh

3.2 Hệ số tăng trưởng (nhịp tăng trưởng)

3.3 Hệ số thay đổi (bổ sung, chuyển đổi)

3.1 Đo lường sự thay đổi của biến nội sinh

theo biến ngoại sinh

a) Sự thay đổi tuyệt đối

Xét quan hệ kinh tế y = f(x1,x2, xn) tại x=(x1,x2, ,xn)

Cho xi thay đổi một lượng nhỏ xi, khi đó y thay đổi một lượng tương ứng là:

y = f(x1,x2, ,xi+xi, ,xn) - f(x1,x2, ,xn)

Lượng thay đổi trung bình của y theo xi là:

Nếu f khả vi theo biến xi ta gọi xu hướng thay

đổi của biến nội sinh y theo biến ngoại sinh xi tại

x, là biên tế của y theo xi, kí hiệu My(xi)

i x

i

y x



 



Nếu tất cả các biến ngoại sinh xi đều thay đổi một lượng nhỏ xi thì độ thay đổi của y là:

Nếu xi là biến nội sinh phụ thộc vào một biến khác, thì ta sử dụng công thức tính vi phân của hàm hợp.

TD: Chi phí C(Q) phụ thuộc vào sản lượng Q và có

mô hình chi phí sản xuât của doanh nghiệp là:

b) Sự thay đổi tương đối

Ta gọi hệ số co giãn của biến y theo biến xi tại điểm x là:

Hệ số này cho biết tại x khi xi thay đổi 1% thì y

thay đổi %.

Nếu >0 thì xi và y biến thiên cùng chiều

Nếu <0 thì xi và y biến thiên ngược chiều

Nếu muốn đo lường sự thay đổi tương đối của y khi tất cả các biến ngoại sinh đều thay đổi cùng một tỷ lệ ta dùng hệ số co dãn chung.



y xi



n

y xi



Nếu gọi Mfi = là hàm cận biên của y theo xi;

Afi=y/xi là hàm trung bình của y theo xi khi đó ta có: y

qL = β; = α; q = α+β



3.2 Hệ số tăng trưởng (nhịp tăng trưởng)

Khi trong mô hình có biến ngoại sinh là biến thời gian t, giả sử y = f(x1,x2, ,xn,t), khi đó ta dùng hệ số tăng trưởng để đo sự thay đổi của biến nội sinh theo thời gian t.

Hệ số tăng trưởng của y là , thường ry

được theo theo tỷ lệ %

TD: Theo công thức tính lã gộp liên tục tại thời điểm

y

 



3.3 Hệ số bổ sung, chuyển đổi

Cho y = f(x1,x2, ,xn), nếu cho 2 biến ngoại sinh

xi, xj thay đổi và cố định các biến khác sao cho y không đổi Từ biểu thức vi phân của hàm y





Hệ số này cho biết khi gia giảm xj một đơn vị, thì phải gia giảm xi bao nhiêu đơn vị để y không thay đổi.

f / x dx

 

Nếu dxi/dxj<0 thì ta nói xi có thể thay thế được cho xj với tỷ lệ |dxi/dxj|, tỷ lệ này cho biết khi gia giảm xj một đơn vị, thì xi sẽ gia giảm bao nhiêu đơn vị để y không thay đổi, và gọi hệ số thay thế cận biên của xi cho xj.

Nếu dxi/dxj>0 thì ta nói xi xj có thể bổ sung được cho nhau với tỷ lệ dxi/dxj, và gọi là hệ số bổ sung cận biên của xi cho xj

Nếu dxi/dxj=0 thì ta nói xi, xj không thay thế được cho nhau hoặc không bổ sung được cho nhau.

4 Áp dụng phân tích một số mô hình

4.1 Mô hình tối ưu

4.2 Mô hình cân bằng thị trường

4.3 Mô hình kinh tế động

4.1 Mô hình tối ưu

4.1.1 Mô hình hàm sản xuất tối ưu về kỹ

4.1.1 Mô hình hàm sản xuất tối ưu về công

nghệ

Giả sử với công nghệ hiên có, doanh nghiệp có thể

sử dụng n yếu tố đầu vào ở mức x1,x2, ,xn, và thu được Q đơn vị sản phẩm đầu ra

Ta có quan hệ hàm Q=f(x1,x2, ,xn), và gọi là hàm sản xuất của doanh nghiệp

TD1: Với số liệu Việt Nam năm 1986-1995, người ta ước lượng được hàm sản xuất:

Q = 75114K0.175 L0.904 e0.0124t

Q là giá trị sản xuất, K là vốn, L là lao động, t là biến

TD2: Với số liệu nước Áo năm 1951-1955 trong

nông nghiệp người ta ước lượng được hàm sản xuất là:

Q = 2.439X0.0635 K0.6172 L0.3193

Q là giá trị sản xuất, K là vốn, L là lao động, X là

nguồn tài nguyên được khai thác

TD3: Hàm sản xuất dạng Cobb-Douglas là:

Q = aKα Lβa,α,β là các tham số, Q là sản lượng, K là vốn, L là lao động

Phân tích tác động của các yếu tố sản xuất tới sản lượng Q, trong mô hình Q=f(x1,x2, xn)

b) Xét quá trình sản xuất dài hạn.

Giả sử doanh nghiệp có khả năng thay đổi tất cả các yếu tố đầu vào, theo cùng một tỷ lệ.

Nếu f(x)>f(x) với >1, thì ta nói quy mô công nghệ sản xuất tăng có hiệu quả

Nếu f(x)<f(x) với >1, thì ta nói quy mô công nghệ sản xuất tăng không hiệu quả

Nếu f(x)= f(x) với >1, thì ta nói quy mô công nghệ sản xuất tăng không thay đổi hiệu quả

Để đo tính hiệu quả theo quy mô, ta dùng hệ số

co giãn toàn phần của q theo các yếu tố.

n

   

TD: Xét hàm sản xuất Cobb-Douglas Q=aKαLβ

Khi tăng quy mô sản xuất lên >1 lần ta có:

Q(K, L)= α+βQ, do vậy kết quả sản xuất tăng α+β

lần

Như vậy đối với hàm này, hiệu quả của việc tăng quy

mô sản xuất tùy thuộc vào α+β

Ta cũng có thể đo tính hiệu quả của việc tăng quy

mô sản xuất, của mô hình này qua hệ số co giãn toàn phần.

Q = Q

K + Q

L = α+β, do vậy khi tăng K,L thêm cùng một tỷ lệ 1% thì Q sẽ gia giảm (α+β)%

4.1.2 Mô hình hàm sản xuất tối ưu về kinh tế

Giả sử Q = f(x1,x2, xn) là hàm sản xuất của doanh nghiệp, và giá các yếu tố đầu vào là p1, p2, , pn

a) Tình huống cực tiểu chi phí: Gọi Q là mức sản lượng doanh nghiệp dự kiến sản xuất, như vậy có

ràng buộc f(x) = Q Đồng thời doanh nghiệp phải chi phí một khoản:

Ta có mô hình MHIC: Min{z = }

Với điều kiện: f(x) = Q

n

i i i=1

b) Tình huống cực đại sản lượng: Gọi K là kinh phí dự kiến đầu tư mua các yếu tố đầu vào, với

mức x yếu tố đầu vào để sản xuất được Q xản

lượng.

Ta có mô hinh MHID: Max{Q=f(x)}

n

i i i=1

p x



Phân tích mô hình MHIC

Lập hàm phụ Lagrange L = + [Q-f(x)]

Điều kiên cần để x là điểm cực trị



Vế trái của (2) là tỷ giá của hai yếu tố i,j; vế phải là

hệ số thay thế giữa hai yếu tố này

Vậy điều kiện cần của việc sử dụng tối ưu các yếu tốvốn ở mức: “tỷ lệ thay thế bằng tỷ lệ giá của

n

i i i=1

Gọi TC là tổng chi phí tối ưu để sản xuất được

lượng sản phẩm q, vậy TC=TC(Q,p1,p2, ,pn) là

hàm tổng chi phí của doanh nghiệp.

Với mô hình MHIC người ta tính được:

MC(Q) = *; MC(pi) = x*

i (4)

TD: Giả sử hàm sản xuất doanh nghiệp có dạng:

Q = 25K0.5L0.5; biết giá vốn pK=12, pL=3 a- Tính mức sử dụng K, L tối ưu để sản xuất được

mức sản lượng Q* = 1250

b- Tính hệ số co giãn của tổng chi phí theo sản lượng tại Q*

c- Nếu giá vốn và giá lao động tăng đều 10%, mức

sản lượng như trước, thì mức sử dụng vốn và lao động tối ưu sẽ thay đổi như thế nào?

d- Phân tích tác động của giá vốn, lao động tới tổng chi phí.

Giải: Theo mô hình MHIC ta có bài toán:

Min{z=12K+3L} với điều kiện 25K0.5L0.5 = 1250

a- Giải hệ phương trình (2)(3):

 K*=25; L*=100; *=12/25 b- Hệ số co giãn của TC theo Q tại Q*=1250 là:

Từ câu a-  TC(Q*) = 25*12+100*3=600

 AC(Q*) = 600/1250 = 0.48 Theo (4) ta có MC(Q*) = * = 12/25

 c- Vì giá của K,L tăng cùng tỷ lệ, mức sản lượng không đổi, do đó hệ (2)(3) không đổi, nên K*, L* không đổi

0.5 0.5

MQ / MQ p / p 25K L 1250

MC(Q*)AC(Q*)

 

TC

4.1.3 Mô hình tối đa hóa lợi nhuận của doanh

Hàm p=MC(Q) thể hiện mức cung của doanh nghiệp

và giá bán trên thị trường.

Khi sản phẩm độc quyền, doanh nghiệp toàn quyền quy định giá bán, do đó mức cung tối đa hóa lợi nhuận và mức cầu thị trường, bằng mức cung của doanh nghiệp Suy ra giá bán sản phẩm phụ thuộc vào mức cung của doanh nghiệp.

p=p(Q)  Q=Q(p) Khi đó Q=Q(p) gọi là hàm cầu xuôi

p=p(Q) gọi là hàm cầu ngược Với doanh nghiệp độc quyền, hàm cầu thường

được viết dạng hàm cầu ngược.

Nên ta có: R=p(Q)Q  MR(Q)=p(Q)+QMp(Q)

Do vậy điều kiện cần để có lợi nhuận cực đại là:

TD: Một doanh nghiệp có hàm doanh thu

TR = 58Q-0.5Q2

Hàm tổng chi phí TC = 1/3Q3 - 8.5Q2 + 97Q + FC

trong đó Q là sản lượng, FC là chi phí cố định

a) Với FC=4 hãy xác định mức sản lượng tối đa lợi nhuận

b) Phân tích tác động của chi phí cố định tới mức

sản lượng tối đa lợi nhuận và mức lợi nhuận tối đa

Giải: a) Điều kiện cần để có max là:

58-Q=Q2-17Q+97

 Q=3, Q=13; Kiểm tra điều kiện đủ của tối ưu ta cóQ*=13

TD: Một doanh cạnh tranh hoàn hảo, có hàm chi phí

mỗi sản phẩm là p.

a) Xác định hàm tổng chi phí TC với mức FC=20 khi p=39 hãy xác định mức sản lượng Q* để có lợi nhuận tối ưu.

b) Nếu giá p tăng 10% thì mức sản lượng, lợi nhuận tối ưu sẽ biến động như thế nào?

Chú ý: Giả sử doanh nghiệp có hàm sản xuất

Q=f(K,L), pK pL là giá vốn và lao động, p là giá bán của sản phẩm Xác định mức sử dụng vốn và lao

động đạt lợi nhuận cao nhất

Với sản phẩm cạnh tranh hoàn hảo có mô hình

 = pf(K,L)–pKK–pLL MaxVới sản phẩm độc quyền có mô hình

 = p(f(K,L)).f(K,L) – pKK – pLL MaxNgười ta chứng minh được:

Bài tập1: Một công ty cạnh tranh hoàn hảo có hàm tổng chi phí TC = Q3-Q2+1, Q1

a- Với giá thị trường là p, hãy viết phương trình xác định hàm cung của công ty

b- Phân tích tác động của p tới mức cung tối đa lợi

nhuận và mức lợi nhuận tối đa của công ty

HD: a- p = 3Q2-2Q

b- Tính dQ/dp>0; d/dp=Q*>0  kết luận

Bài tập 2: Một doanh nghiệp độc quyền có hàm cầu

ngược p = 490-2Q, và hàm tổng chi phí TC=0.5Q2AD0.5 trong đó q là sản lượng, AD là phí quảng cáo

a- Với AD=9, hãy xác định mức sản lượng và giá bán tối ưu

b- Phân tích tác động của chi phí quảng cáo AD tới

mức sản lượng, và giá bán tối ưu

HD: a- Q*=70, p*=350

b- Tính dQ/dAD<0; dp/dAD>0 suy ra KL

Bài tập 3: Một doanh nghiệp cạnh tranh hoàn hảo

có hàm sản xuất Q= K0.5+K0.5, với pK=6, pL=4, p=2a- Hãy xác định mức sử dụng vốn, lao động tối ưub- Phân tích tác động của giá vốn, giá lao động tới mức lợi nhuận tối đa

HD: a- K*=1/36; L*=1/16

b- d/dpK=-1/36<0; d/dpL=-1/16<0  KL

4.1.4 Mô hình thỏa dụng

Giả sử hộ gia đình mua và tiêu thụ n loại hàng hóa với khối lượng là x1,x2, ,xn, ta gọi vectơ x=(x1,x2, ,xn) làmột giỏ hàng, nhằm thỏa mãn về tâm lý, sinh lý thểchất và tinh thần

Sự thỏa mãn này được thể hiện qua hàm thỏa dụng U

= f(x,α,β) trong đó α,β là các tham số

Nếu hộ gia đình có một ngân sách là M, được dùng đểmua giỏ hàng nói trên ta gọi pi là giá một đơn vị hàng loại i, với mọi i=1,2, n

Mô hinh thỏa dụng như sau:

Điều kiện:

Tương tự như MHIC ta có điều kiện cần của nghiệm tối ưu là:

Nếu cố định sở thích, thì nghiệm tối ưu x* thỏa

phương trình: x*i = x*i(p1,p2, ,pn,M) với mọi

i=1,2 n là hàm cầu của loại hàng thứ i, và gọi là

hàm cầu Marshall

 1 2, n 

n

i i i=1

TD: Hàm thỏa dụng của hộ gia đình khi tiêu thụ loại hàng hóa A, B có dạng: U = 40xA0.25xB0.5 với giá

4.2 Mô hình cân bằng thị trường

4.2.1 Mô hình cân bằng riêng

4.2.2 Mô hình cân bằng vĩ mô

4.2.1 Mô hình cân bằng riêng

Thị trường gồm các tác nhân tham gia vào lực

lượng cung, cầu liên hệ với nhau bởi giá trong quátrình trao đổi

Giả sử hàm cung S=S(p,a,b), hàm cung D=D(p,α,β)

Ta có mô hình cân bằng thị trường riêng:

S = S(p,a,b); S/p>0

D = D(p,α,β); D/p<0

S = DVới S, D, p là biến nội sinh a,b,α,β là các biến ngoại sinh

TD: Giả sử hàm cung, hàn cầu có dạng:

S = -a + bp; a,b>0

D = α – βp; α,β>0

Ý nghĩa của các hệ số a,b,α,β:

Cho S=0 (không có cung)  p=a/b, vậy a/b làmức giá tối thiểu mà người sản xuất có thể chấp nhận

Cho D=0 (không có cầu)  p=α/β, vậy α/β là mức giá tối đa người tiêu dùng chấp nhận

Giá cân bằng: ,lượng hàng cân bằng:

a p

b

  



 

Bài tập 4: Hàm cầu của một loại hàng D=1.5M0.3p-0.2

và hàm cung S = 1.4p0.3, M là thu nhập, p là giá

a- Tính hệ số co giãn của hàm cầu theo p, theo M

b- Xem xét tác động của thu nhập M tới giá p

HD: a- Hàm cầu có dạng Cobb-Douglas suy ra

Dp=-0.2; D

M=0.3b- Tính p/M>0 (theo công thức đạo hàm của hàm ẩn từ phương trình S = D) Suy ra thu nhập

tăng thì giá cân bằng tăng và ngược lại

4.2.2 Mô cân bằng vĩ mô

Tổng cung: Xét thị trường hàng hóa dịch vụ, nên tổng cung của nền kinh tế được coi là ngoại sinh và

ký hiệu là Y, được đo bằng tổng sản phẩm quốc nội (GDP) hoặc tổng thu nhập quốc dân (GNP)

Tổng cầu bao gồm:

C- Nhu cầu tiêu dùng của dân cưI- Nhu cầu đầu tư của dân cưG- Nhu cầu tiêu dùng của chính phủEX- Nhu cầu cho xuất khẩu

+Tiêu dùng dân cư C=C0+β(Y-T); trong đó T là thuế, Y-T là thu nhập khả dụng, 0<β<1 là khuynh hướng tiêu dùng biên, C0 phần chi tiêu tự định không phụ

thuộc vào thu nhập

+ Đầu tư của dân cư: I = I0-αr với α>0; r là lãi suất

+ Tổng cầu trong nước: C+I+G+EX-IM

+ Thuế bằng thuế thu nhập cộng với các loại thuế

khác: T=+Y

Mô hình cân bằng vĩ mô

Y= C+I+G+EX-IMC=C0+β(Y-T) C0>0; 0<β<1

I = I -αr α>0

Trong đó Y,C,I,T là các biến nội sinh, các biến còn lại làngoại sinh.

Giải hệ phương trình trên với các ẩn là các biến nội sinh ta được:

Phân tích mô hinh: để nghiên cứu tác động của chính sách tài khóa, đối với mức sản xuất Y ta cần tính:

0 ( * * ) 1