TOÁN HỌC VỚI NHỮNG HIỆN TƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ Ý NGHĨA THỰC TIỄN CỦA CHÚNG Như bi ết, tri ết học mácxít, ngẫu nhiên tất nhiên cặp phạm trù phép biện chứng vật, có ý nghĩa phương pháp luận thực tiễn lớn Trên th ực tế, tượng xảy th ế giới xung quanh ta th ật mn hình mn v ẻ Về đại thể, phân chúng làm hai lo ại: loại bao gồm tượng xảy có tính chất xác định biết trước, nhật thực, nguyệt thực, lên xuống thủy triều v.v., gọi tượng tất nhiên; loại thứ hai bao gồm tượng xảy tùy lúc không th ể dự đốn trước cách xác, s ố người sinh m ột ngày hành tinh chúng ta, số ngày n ắng, mưa m ột năm v.v., gọi hi ện tượng ngẫu nhiên Từ xưa đến nay, vi ệc nghiên cứu tượng ngẫu nhiên vấn đề phức tạp Trong thực tế, có nhi ều quan ểm trái ngược vậy, khó có th ể có câu trả lời mỹ mãn vấn đề Song, theo quan điểm vật biện chứng, tất tượng ngẫu nhiên t ất nhiên kết nguyên nhân S ự khác gi ữa chúng chỗ, tất nhiên g ắn liền với nguyên nhân b ản, nội vật, ngẫu nhiên k ết tác động số nguyên nhân bên Trong thực tế, có số quan điểm cho rằng, tượng tất nhiên xảy theo quy lu ật, tượng ngẫu nhiên x ảy khơng tn theo quy luật Theo chúng tơi, m ột quan ểm sai l ầm Bởi lẽ, theo quan ểm mácxít, v ề thực chất, tất nhiên ng ẫu nhiên tuân theo quy lu ật Ở đây, khác chúng chỗ, tất nhiên tuân theo m ột loại quy luật gọi quy luật động lực, ngẫu nhiên tuân theo m ột loại quy luật khác gọi quy lu ật thống kê Quy luật động lực quy lu ật mà đó, mối quan hệ nguyên nhân kết mối quan hệ đơn trị, nghĩa ứng với nguyên nhân có kết xác định Chính v ậy, biết trạng thái ban đ ầu hệ thống đó, có th ể tiên đốn xác tr ạng thái tương lai Ngược lại, quy luật thống kê quy luật mà đó, m ối quan hệ nguyên nhân kết mối quan hệ đa trị, nghĩa ứng với nguyên nhân có th ể có kết khác Vì v ậy, theo quy luật thống kê, biết trạng thái ban đầu hệ thống đó, người ta khơng thể tiên đốn xác đư ợc trạng thái tương lai mà dự báo với xác suất định Theo quan điểm vật mácxít, tất nhiên ng ẫu nhiên ln có mối quan hệ biện chứng sâu sắc Mối quan hệ biểu chỗ, tất nhiên vạch đường cho xun qua vơ s ố ngẫu nhiên, ng ẫu nhiên hình th ức thể t ất nhiên, bổ sung cho t ất nhiên T lập trường đó, có th ể nói, tất mà thấy thực cho ngẫu nhiên đ ều khơng ph ải ngẫu nhiên túy, mà ngẫu nhiên bao hàm t ất nhiên, có nghĩa đằng sau chúng bao gi ẩn nấp tất nhiên V ề điều này, Ph.Ăngghen nhấn mạnh: "Cái mà người ta cho t ất yếu lại hoàn toàn ngẫu nhiên túy cấu thành, đư ợc coi ngẫu nhiên, lại hình th ức, ẩn nấp tất yếu"(1) Vấn đề cần giải người có tìm sở để hiểu biết tượng ngẫu nhiên hay không? B ản thân chúng có quan hệ với quy luật vận động giới khách quan? N ếu thừa nhận ngẫu nhiên có tính khách quan hay ch ỉ kết hạn chế nhận thức chủ quan người? Nói cách khác, ngẫu nhiên thu ộc tính nhận thức thuộc tính đối tượng khách quan? Nh ững vấn đề đặt suốt trình lịch sử nhận thức người Đêmơcrít, nhà triết học vật cổ đại tiếng người Hy Lạp có nhi ều quan điểm tiến vấn đề này, song l ại mắc nhược điểm lớn phủ định tính ngẫu nhiên Theo ơng, m ọi tất yếu, định sẵn theo nguyên nhân chúng Nhược điểm cho thấy rõ chất định luận vật mang mầu sắc định mệnh Đêmơcrít Đ ến kỷ XVIII, Spinôda - nhà triết học vật Hà Lan, có đóng góp l ớn ơng đưa ngun lý v ề tính nhân qu ả bên giới Ở Spinơda, tính t ất yếu gạt bỏ can thiệp thần thánh, ông khơng giải thích cách đ ắn mối quan hệ tất yếu ngẫu nhiên Sai l ầm ơng phủ nhận tính khách quan c ngẫu nhiên khơng thấy trường hợp riêng tất yếu Theo Spinơda, t ự nhiên tuân thủ tính tất yếu cách nghiêm ng ặt, ngẫu nhiên bị loại trừ Ông coi ng ẫu nhiên mà nguyên nhân c nó, cịn tìm ngun nhân ng ẫu nhiên trở thành tất yếu, vậy, ngẫu nhiên hồn tồn ph ạm trù chủ quan Điều chứng tỏ Spinơda khơng thừa nhận tính khách quan c ngẫu nhiên Xuất phát từ nhận thức nêu trên, s ẽ xem xét ng ẫu nhiên nghiên cứu lý thuy ết toán học, lý thuy ết xác suất thống kê b ản Lý thuyết xác suất thống kê toán học đời nhằm nghiên cứu tượng ngẫu nhiên, phát hi ện quy lu ật hoạt động chúng, thúc đẩy khoa học phát triển, tăng cường khả nhận thức người giới khách quan Hiện tượng ngẫu nhiên r ất phổ biến th ực tiễn, từ vật lý vi mơ đến sinh học, hóa học, khí tượng học khoa h ọc xã hội, v.v Vì th ế, lý thuyết xác suất ngày có vị trí đặc biệt quan trọng khoa học nghiên cứu cách sâu s ắc Trong lý thuyết tốn học có nhiều quan niệm khái niệm xác suất, viết này, ch ỉ đề cập đến định nghĩa cổ điển xác suất định nghĩa xác suất nhờ tần suất Trong giáo trình tốn h ọc, xuất phát t quan niệm coi xác suất đại lượng thể mức độ xảy biến cố, người ta đưa định nghĩa cổ điển xác suất sau: "N ếu A bi ến cố có n(A) biến cố sơ cấp thích hợp với m ột khơng gian bi ến cố sơ cấp gồm n(Ω) bi ến cố khả suất tỷ số P (A) = gọi xác suất A"(2) Từ quan niệm trên, ta giả sử biến cố A phân chia thành A = A + A + + An nhóm n bi ến cố đầy đủ A , A , , A n phép thử có khả xuất xác suất biến cố s ố đo khả khách quan xu ất biến cố phép th g thực Định nghĩa v ề xác suất nhờ tần suất mô tả sau: "Gi ả sử ta tiến hành n phép thử độc lập, theo dõi s ự xuất biến cố A có liên quan Gọi n s ố phép thử tiến hành, n(A) s ố phép thử có A xuất hiện, tỉ số gọi tần suất A Trong toán học, người ta chứng minh xác suất biến cố A P(A) = Do đó, ta rút k ết luận rằng, số phép thử n đủ lớn ta lấy tần suất A thay cho xác su ất P(A) (mà ta chưa bi ết)"(3) Trong tốn học, khơng dùng nhi ều phép thử để chứng minh định lý, để nghiên cứu tốn học khơng có lý ngăn c ản nhà tốn học sử dụng nhiều phép th ử; đặc biệt th ời đại ngày nay, máy tính điện tử cho phép x lý nhanh k ết phép thử mang lại Thực chất việc sử dụng phép thử tốn học việc tìm xác suất biến cố ngẫu nhiên nhờ tần suất Việc làm khơng phải thời đại ngày đề cập đến, mà từ kỷ XVII, nhà toán học Thụy Sĩ - Bécnuli (1654 - 1705) ch ứng minh m ột định luật có ý nghĩa sau: "Khi s ố lần thí nghiệm nhi ều khả có sai lệch xác suất tần suất xuất hiện tượng nhỏ Nói cách khác, số lần thí nghi ệm nhiều tần suất xuất hiện tượng ngẫu nhiên A dao động cách ổn định gần giá trị P Giá trị gọi xác suất tượng ngẫu nhiên A Vậy dùng tần suất để thay xác suất"(4) Theo cách l ập luận trên, ta bi ết xác suất biến cố số đo khả khách quan việc xuất biến cố Nhưng, th ực tế cho thấy, biến cố có xác suất gần thường xuất cịn biến cố có xác su ất gần thường không xuất Các bi ến cố có xác suất gần (do bi ến cố đối có xác su ất gần 1) thường quan tâm Tuy nhiên, m ức độ quan tâm ph ụ thuộc vào tính ch ất, tầm quan trọng việc Chẳng hạn, xây d ựng đoạn đường hầm xuyên qua núi, xác su ất đoạn đường hỏng 0,01 Nó m ột đại lượng nhỏ bé bỏ qua được, với xác suất đó, việc sập hầm xảy gây hậu nghiêm trọng Nhưng sản xuất lô hàng tiêu dùng thông thư ờng quần áo v.v với xác suất bị phế phẩm 0,01 có th ể bỏ qua Từ lý thuyết xác suất đời, th ực tế có nhiều lý thuy ết ứng dụng nó, lý thuy ết trị chơi, lý thuyết xếp hàng, lý thuy ết phục vụ đám đông v.v Càng ngày, ngư ời ta nh ận thấy rằng, lĩnh v ực khẳng định "đúng", "sai" r ất so với lĩnh v ực khơng thể khẳng định "đúng" hay "sai", mà ch ỉ nói đến "xác suất" hay sai P (0 £ P £1) Ví d ụ, h ọc lượng tử, lưỡng tính sóng h ạt nên ta khơng th ể khẳng định vị trí hạt thời điểm xác định, mà nói đến xác suất để hạt vị trí Vào năm 1965, nhà toán h ọc Mỹ - L.A.Zadels mở đầu cho việc hình thành tốn học mờ - lĩnh vực toán học chuyên nghiên cứu tập hợp mờ, tức tập hợp khơng có ranh gi ới rõ rệt khơng th ể khẳng định phần tử thu ộc tập hợp hay khơng, mà nói đến xác suất P để phần tử thuộc tập hợp Trong th ực tế, có nhiều tập hợp mờ, chẳng hạn, M tập hợp ngày mưa năm 2005 h ỏi ngày 10/10/2005 có thu ộc M hay khơng? Ở đây, ta đưa câu tr ả lời với xác suất P Để làm rõ vấn đề, ta cần ý đến biến cố ngẫu nhiên r ất nhiều nguyên nhân ng ẫu nhiên gây ra, mà m ỗi nguyên nhân ch ỉ có ảnh hưởng nhỏ Việc tìm ều kiện để biến cố xảy với xác suất gần (hoặc gần 1) cách tùy ý nội dung m ệnh đề mang tên "luật số lớn" Ở đây, nguyên nhân đư ợc biểu thị biến ngẫu nhiên, tác dụng tổng hợp nguyên nhân thể "tổng" biến ngẫu nhiên theo m ột cách Tuy tượng ngẫu nhiên khơng đốn trư ớc được, song theo lý thuyết xác suất người ta nghiên cứu hệ thống tượng để rút quy lu ật số lớn chúng, đ ồng thời biểu diễn quy lu ật nhiều mơ hình tốn h ọc Từ đó, có th ể lợi dụng tượng ngẫu nhiên, chí tạo tượng ngẫu nhiên tuân theo quy lu ật số lớn để dùng vào nh ững tính tốn cụ thể Vấn đề cốt yếu chỗ, để hiểu tượng ngẫu nhiên, ta phải xem xét m ối quan hệ với số lớn yếu tố, khả Khi m ột tượng ngẫu nhiên x ảy có th ể coi tín hi ệu hay nhiều quy luật mà khoa h ọc chưa bi ết đến, hay biết phần Chính vậy, người ta thường nói "cái t ất nhiên bộc lộ bên qua ng ẫu nhiên" Trong toán học, lý thuyết xác suất thống kê nghiên cứu nhiều vấn đề có liên quan đến ngẫu nhiên, chủ yếu trình ng ẫu nhiên, dãy nh ững tượng ngẫu nhiên Quá trình ng ẫu nhiên, t ức trình bao gồm bước diễn thời điểm cụ thể ta khơng hoàn toàn xác đ ịnh được, xét việc xảy dãy rõ ràng ph ải tuân theo m ột quy luật chung Tóm l ại, tìm hiểu lý thuyết xác suất thống kê tức cố gắng tìm quy lu ật chung số lớn tượng, số lớn đối tượng mà tách đơn nh ất khơng nghiên c ứu cụ thể không th ể hiểu Trong lý thuy ết xác suất, định lý định lý số lớn biến cố Như vậy, phần lớn quy luật thống kê, quy lu ật tượng ngẫu nhiên nh ững quy luật nói số lớn Điều quan trọng, thông thường, nghiên cứu đối tượng thực tế, bao gi ta hiểu vận động quần thể lớn sở nghiên cứu vận động đối tượng cụ thể Trên thực tế, nhiều không bi ết hoạt động đối tượng cụ thể, lại hiểu hoạt động quần thể đối tượng dựa vào quy lu ật có tính ch ất thống kê, có tính ch ất xác suất Nói cách khác, đ ối với cụ thể ngẫu nhiên, đ ối với tồn thể lại có quy lu ật Chẳng hạn, ta xét chuy ển động chất khí bao gồm hàng tỉ phân tử đựng m ột bình Rõ ràng, khơng thể mơ tả vận động phân tử khí, l ại hồn tồn hiểu vận động chung chất khí Vì th ế, đưa kết luận rằng, bình đựng khí mà khơng có trao đ ổi lượng với bên ngồi phân t khí có xu hướng chuyển động tự với tốc độ ngày lớn Ở đây, vận động phân t khí nhận thức xem ng ẫu nhiên, hi ện tượng ngẫu nhiên l ại diễn tả quy lu ật số đông mà th ực chất quy lu ật có tính th ống kê số lớn phân t Ta xét thí dụ khác, tung đồng tiền đồng chất lên, rơi xuống, sấp, ngửa Điều tất nhiên được, khơng th ể tính tốn cách xác y ếu tố tác động đến đồng tiền để khẳng định rơi xu ống sấp hay ngửa Do vậy, chúng ta, đồng tiền rơi sấp hay ngửa ngẫu nhiên Như th ế, hoàn toàn b ất lực vi ệc nhận thức đồng tiền rơi sấp hay ngửa lần tung Song, tung đồng tiền lên nhi ều lần, hàng trăm, chí hàng nghìn l ần v.v s ẽ thấy số lần sấp số lần ngửa gần Do vậy, xét nhi ều lần tung, có th ể kết luận rằng, tỷ lệ số lần sấp ngửa xấp xỉ Đó quy lu ật ngẫu nhiên Như vậy, xét mặt nhận thức, nghiên c ứu ngẫu nhiên nh ằm tìm quy lu ật có tính chất xác định loạt kiện, loạt vật mà tách chúng thành t ừng đơn nh ất, cụ thể khơng hiểu được, đó, ph ải coi ngẫu nhiên Tóm lại, tốn học xem xét ngẫu nhiên thực chất tìm quy lu ật có tính tất yếu tượng, đối tượng vốn coi ngẫu nhiên Xét phương diện hình th ức, tất yếu ngẫu nhiên mâu thu ẫn với nhau, nên thực chất phi mâu thu ẫn ở chỗ, ngẫu nhiên đ ối với kiện đơn nhất, vật đơn nhất, cụ thể, t ất yếu luật số lớn, luật bao quát T nhận xét trên, có th ể đưa kết luận rằng, không th ể hiểu thành phần, yếu tố đơn tham gia vào tập hợp đó, l ại hiểu quy luật vận động chung tập hợp Điều h ết sức quan trọng khoa học đại, đặc biệt v ật lý học đại, h ọc lượng tử Trong học lượng tử, không th ể nghiên cứu vận động hạt ánh sáng, v ật lý thống kê lại vạch quy luật vận động chung khối khí, tập hợp hạt Ta xét thí nghiệm tượng nhiễu xạ xảy cho electron qua lỗ nhỏ chắn, sau rơi xu ống phát hi ện (màn phát kính ảnh) Quá trình di ễn biến sau: Cho dù người ta sử dụng thiết kế kỹ thuật tinh vi để xác định xác trạng thái ban đ ầu electron (lúc qua ch ắn) khơng có cách để tiên đốn xác ểm rơi electron phát hi ện, mà tiên đốn cách xác su ất dựa lý thuy ết cơ- lượng tử Đây tượng khác hẳn so với học cổ điển, theo định luận cổ điển, người ta tiên đốn xác ểm rơi hạt Nhưng cho nhiều electron qua l ỗ nhỏ m ột lúc electron rơi xu ống phát cách xác định, tạo thành vân nhiễu xạ (đó vịng tr ắng, vịng đen đồng tâm t ấm kính ảnh) Hiện tượng giải thích theo nhi ều quan ểm khác nhau, quan điểm siêu hình, thực chứng, quan ểm dựa tham số ẩn v.v Những người theo quan ểm siêu hình coi electron nh ững hạt cổ điển, nên thấy chúng không vận động theo quy ết định luận cổ điển họ kết luận khơng có hoạt động nguyên lý nhân qu ả cho electron có "tự ý chí" Điều có nghĩa th ế giới vi mơ khơng có quy ết định luận Xuất phát từ lập trường tâm ch ủ nghĩa, người theo phái thực chứng phủ nhận tính khách quan c mối liên hệ nhân không vật lý học đại, mà vật lý học cổ điển Để giải thích nguồn gốc tính thống kê h ọc lượng tử, họ cho đ ặc điểm trình tương tác gi ữa vi h ạt với dụng cụ vĩ mơ, mà q trình v ề nguyên tắc không th ể kiểm tra Đi đôi với việc thừa nhận trên, phái thực chứng cho rằng, quy lu ật thống kê học lượng tử có tính vơ định, có nghĩa vi h ạt có tự lựa chọn bẩm sinh v ậy, th ế giới vi mơ, khơng có s ự hoạt động nguyên lý nhân qu ả Theo quan điểm vật biện chứng, nguyên lý nhân qu ả hoạt động giới vi mơ, có ều c ần phải hiểu hoạt động nguyên lý nhân diễn Chủ nghĩa vật biện chứng giải thích tính thống kê học lượng tử sở phân tích m ối liên hệ nhân chu ỗi nhân quả, từ sau electron qua l ỗ nhỏ chắn đến rơi xuống phát mà người ta nhận biết được, nhờ chuỗi nhân đưa đến kết vĩ mơ có th ể nhìn thấy Chuỗi nhân diễn sau: thứ nhất, electron tác đ ộng lên chắn có lỗ nhỏ nguyên nhân, kết electron chuy ển sang trạng thái sóng biểu diễn hàm sóng theo phương trình: x = a cos 2p , a: biên đ ộ; T: chu kỳ = ; g: tần số; l: bước sóng; t: thời gian Ở thời điểm này, hạt tồn dạng tiềm năng, tính xác đ ịnh vị trí Thứ hai, đầu sóng electron tác động với số lượng lớn vi hạt kính ảnh phát hi ện Cịn hạt tiềm sóng electron qua đó, tương tác v ới vơ số vi hạt phát hi ện; vi hạt ln ln tình trạng chuyển động hỗn loạn tạo vô số nguyên nhân kh ả Trong đó, nguyên nhân kh ả có ều kiện thích hợp chuyển thành nguyên nhân hi ện thực gây kết thay đổi mặt vật lý hóa học vi hạt kính ảnh Từ đó, sinh phản ứng hóa học dây chuyền, lan số cực lớn nguyên tử nhờ vậy, người quan sát nhận thấy vị trí rơi electron (từ trạng thái tiềm không th ể xác định trở thành hi ện thực vị trí định, khơng thể tiên đốn được) Nhưng, có s ự đời nhiều êléctrơn kính ảnh theo chế nói trên, quy luật số lớn phát huy tác dụng làm cho ểm rơi xếp theo trật tự xác định, tạo thành vân nhi ễu xạ Như vậy, tính thống kê học lượng tử phân phối có tính xác suất hàm sóng; xu ất sau mối liên hệ nhân thứ nhất, cộng với chi phối điều kiện nguyên nhân, đ ầu sóng tiếp xúc với vi hạt phát hi ện Tóm lại, ứng dụng rộng rãi toán h ọc, nh ận thấy điều là, thực tế, tính tốn cho k ết tuyệt đối xác Ngay với trường hợp có cơng th ức xác đ ể tính tốn thơng qua hàm sơ c ấp, nhiều ph ải lịng với kết số gần Chính vậy, tình hình phát tri ển tốn học, vai trị đại lượng ngẫu nhiên tăng lên m ột cách nhanh chóng ều dễ hiểu Từ đó, lý thuyết xác suất thống kê ngày khẳng định vị trí quan trọng lĩnh v ực khoa học Xét thực tiễn, lý thuyết xác suất thống kê vượt lên hàng đầu s ố môn có nhi ều ứng dụng trở thành công cụ tối cần thiết cho nhiều ngành khoa học kỹ thuật khác (*) Giảng viên, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội (1) C.Mác Ph.Ăngghen Tồn tập, t.21 Nxb Chính trị Quốc gia, Hà Nội, 1995, tr.431 (2) Dẫn theo: Đinh Văn G ắng Lý thuyết xác suất thống kê Nxb Giáo dục, Hà Nội, 2003, tr.11 (3) Dẫn theo: Đinh Văn G ắng Sđd., tr.134 (4) Nguyễn Bá Đô, Hồ Châu Các câu chuyện toán học, t.1, “Tất nhiên ngẫu nhiên” Nxb Giáo d ục, Hà Nội, 2001, tr.8 ... ải coi ngẫu nhiên Tóm lại, tốn học xem xét ngẫu nhiên thực chất tìm quy lu ật có tính tất yếu tượng, đối tượng vốn coi ngẫu nhiên Xét phương diện hình th ức, tất yếu ngẫu nhiên mâu thu ẫn với nhau,... cứu lý thuy ết tốn học, lý thuy ết xác suất thống kê b ản Lý thuyết xác suất thống kê toán học đời nhằm nghiên cứu tượng ngẫu nhiên, phát hi ện quy lu ật hoạt động chúng, thúc đẩy khoa học phát... nhận thức người giới khách quan Hiện tượng ngẫu nhiên r ất phổ biến th ực tiễn, từ vật lý vi mơ đến sinh học, hóa học, khí tượng học khoa h ọc xã hội, v.v Vì th ế, lý thuyết xác suất ngày có vị