QUAN điểm DUY vật BIỆN CHỨNG về đối TƯỢNG của TOÁN học

QUAN ĐIỂM DUY VẬT BIỆN CHỨNG VỀ ĐỐI TƯỢNG CỦA TỐN HỌC Do đặc tính trừu tượng tốn h ọc, toán học đại toán học xem khoa h ọc cấu trúc trừu tượng, mà vấn đề đối tượng toán học gây nên ý trường phái tri ết học Cũng từ hình thành quan ni ệm khác v ề chất tri thức toán h ọc Việc xem xét đối tượng toán học lập trường vật biện chứng giúp có cách nhìn đ ắn chất tốn học, vai trị tốn học phát triển khoa học, công ngh ệ đại, đồng thời tránh sa vào nh ững quan ni ệm tâm v ề chất tốn học đại nói riêng khoa học cơng ngh ệ đại nói chung Trong tốn học, vấn đề mối quan hệ tư tồn thể thành vấn đề mối quan hệ tri thức toán học thực khách quan Việc giải vấn đề chia làm hai trư ờng phái đối lập Những người vật cho khái ni ệm lý thuy ết tốn học phản ánh thuộc tính nh ững quan hệ giới khách quan Trái lại, người tâm cho r ằng tri thức toán học, tư tưởng sáng t ạo cách tuý tư người, tư tưởng tiên nghiệm, có trước kinh nghi ệm, tức tri th ức toán học biểu thị có trước, thứ nhất, cịn t ự nhiên thứ hai Cách tiếp cận cách khoa học đối tượng tốn học, có trừu tượng tốn học, khơng cho l ời giải vật chất tri thức tốn học, mà cịn phân tích có tính ch ất biện chứng q trình phát tri ển tốn học Trong việc tìm hi ểu đối tượng toán học, hai vấn đề cần quan tâm hàng đầu khách th ể hi ện thực đối tượng toán học toán học phản ánh đối tượng nào? Tốn h ọc phản ánh khía cạnh thực Các khoa học khác nghiên cứu hình thức vận động riêng biệt vật chất (như học, hoá học ) hay m ột số hình thức vận động quan h ệ qua lại (như lý hố, hố sinh ) Tốn h ọc khơng nghiên cứu hình thức vận động riêng biệt vật chất, mà nghiên c ứu số khía cạnh thực có quan hệ với tất hình th ức vận động vật chất Như Ph.Ăngghen vi ết "Tốn học t có đối tượng hình thức khơng gian quan h ệ số lượng giới thực"([1]) Như vậy, đặc trưng toán học với tư cách khoa học chỗ, phân tách nh ững quan h ệ số lượng hình thức không gian t ồn tất đối tượng tượng, xem chúng đ ối tượng khách th ể nghiên cứu Quan niệm toán học khoa h ọc quan hệ số lượng hình thức khơng gian giới thực đem l ại cho khả hi ểu biết cách đ ắn nội dung khách quan c đối tượng toán học khuynh hướng phát triển chung toán học Vấn đề chỗ, cách hi ểu hạn hẹp quan hệ số lượng hình thức khơng gian theo quan ni ệm siêu hình nên vi ệc lý giải đối tượng thực toán học gây nên khơng tranh cãi Quan ni ệm biện chứng cho phép có cách hi ểu đầy đủ hơn, sâu s ắn quan hệ số lượng hình th ức khơng gian Cho đến kỷ XIX, quan hệ số lượng hiểu cách hẹp Người ta hiểu số lượng đại lượng Vì đại lượng thông qua đơn vị lựa chọn biểu thị số, quan ni ệm số lượng liên tưởng với khái ni ệm số Tương ứng với điều đó, tốn học xem khoa h ọc nghiên cứu tính phụ thuộc khác đại lượng hay biểu thị số chúng L ịch sử toán học rằng, với phát tri ển khoa học thực tiễn xã hội, phạm vi quan hệ số lượng hình th ức khơng gian đư ợc tốn học nghiên cứu mở rộng không ng ừng Chẳng hạn, tốn học đại, cấu trúc tốn h ọc trừu tượng Để thấy rõ vấn đề đối tượng tốn học, cần tìm hi ểu thơng qua giai đo ạn phát triển tốn học a) Thời kỳ hình thành, b đầu từ thời cổ đại đến kỷ VII - VI trước công nguyên Những trung tâm lớn thời kỳ Babilon, Ai C ập, Trung Quốc, Ấn Độ Thời kỳ gọi thời kỳ tiền Hy Lạp Đây thời kỳ hình thành khái ni ệm toán học, thời kỳ mà tri thức toán học gắn liền với nhu cầu đời sống kinh t ế: trao đổi sản phẩm, đo đạc ruộng Các khái ni ệm toán học - số hình xuất phát trực tiếp từ khách th ể thực, tức vật thể cụ thể, cảm tính Vì vậy, thời kỳ này, quan hệ số lượng hình thức khơng gian g ắn liền với khách th ể cụ thể; thân toán học chưa xem khoa học lý thuyết trừu tượng b) Thời kỳ thứ hai, từ kỷ VI trước công nguyên đ ến đầu kỷ XVII Đây thời kỳ phát triển toán học đại lượng bất biến Từ kỷ VI đến kỷ III trước công nguyên (thời kỳ Hy Lạp cổ đại), toán học xem m ột khoa học lý thuyết trừu tượng Ở thời kỳ này, toán h ọc mở rộng trừu tượng hoá khái quát hoá, mà đối tượng nghiên cứu trực tiếp số hình Từ việc nghiên cứu này, người ta rút nh ững tính ch ất quan hệ số hình hình học Trên sở số học hình học, người ta xây d ựng nên nh ững môn lượng giác đ ại số sơ cấp Thành tựu bật thời kỳ - đánh dấu mức độ cao hồn thiện máy lơgíc toán học - việc sử dụng phương pháp tiền đề để xây dựng hình học Ơclít đ ối tượng trừu tượng: điểm, đường, mặt phẳng Vì vậy, đến giai đoạn này, quan h ệ số lượng hình thức khơng gian đư ợc trừu tượng khỏi khách thể cụ thể c) Thời kỳ thứ ba, từ kỷ XVIII đến kỷ XIX Đây thời kỳ gắn liền với mở rộng quan niệm quan hệ số lượng hình th ức khơng gian Khác với thời kỳ trước nghiên cứu đại lượng bất biến, thời kỳ này, toán học chuyển sang nghiên c ứu tính phụ thuộc đại lương bi ến thiên Ví dụ, y = ax (y,x đ ại lượng biến thiên) Cho nên, có th ể nói, thời kỳ phát triển toán học đại lượng biến thiên, tức toán học vào nghiên c ứu vận động trình Ngư ời tạo bước ngoặt đánh dấu phát triển toán học thời kỳ R Đêcáctơ Ph.Ăngghen nh ận xét: "Đại lượng khả biến Đêcáctơ đánh d ấu bước ngoặt toán h ọc Với đại lượng đó, vận động biện chứng vào tốn h ọc"(2) Ở đây, toán học xem khoa học đại lượng (không biến đổi biến đổi) Tuy nhiên, giai đoạn này, quan h ệ số lượng hình thức khơng gian không tách khỏi khách th ể hi ện thưc, mà tách kh ỏi đại lượng trừu tượng cụ thể (ví dụ, số hình); nữa, tốn học chuyển từ việc nghiên cứu đại lượng bất biến sang vi ệc nghiên cứu đại lượng khả biến d) Thời kỳ thứ tư, từ cuối kỷ XIX đến Thời kỳ bắt đầu phát minh c N.I.Lôbasépxk i, dẫn đến việc xuất lý thuyết hình học phi Ơclít Nhờ đó, đối tượng hình học mở rộng đáng kể: 1) Từ hệ tiên đề khái ni ệm xuất phát, có th ể cho ta giải thích khác nh ất có th ể xem chúng nh ững cấu trúc trừu tượng 2) Số chiều không gian đư ợc mở rộng Cùng với không gian chi ều thông thường, người ta xây dựng khơng gian tr ừu tượng nhiều chiều, chí vơ hạn chiều Những không gian sử dụng nhiều lĩnh vực khác khoa học tự nhiên, lĩnh vực kinh t ế xã hội học Thành tựu bật thứ hai thời kỳ thay đổi nghiên cứu đại số Nếu trước đây, đại số nghiên cứu vấn đề gắn liền với việc giải phương trình, bây gi ờ, nghiên cứu toán tử đại số khác nhau, đ ối tượng đại số đại cấu trúc trừu tượng khác Cách tiếp cận trừu tượng đối tượng đại số hình h ọc biểu thị cách đầy đủ nhờ phương ti ện lý thuyết tập hợp gắn liền với phương pháp tiên đ ề Sự đời lý thuyết tập hợp không tạo phương tiện mạnh mẽ cho việc lập luận tốn học, mà cịn tạo khả cho phát triển toán học Như vậy, toán học đại, đặc trưng quan trọng cấu trúc toán học trừu tư ợng Cho nên, có th ể gọi tốn học thời kỳ khoa học cấu trúc trừu tượng Trên s khái quát thành t ựu toán học đại, trường phái toán học Pháp mang tên Burbaki trình bày tồn lý thuyết toán học cấu trúc trừu tượng Các cấu trúc phản ánh quan h ệ phong phú đa d ạng số lượng hình thức không gian giới thực thông qua khách th ể trừu tượng, lý tưởng, nhằm khám phá quy lu ật mở rộng lĩnh vực ứng dụng tốn học Chính v ậy, giai đo ạn đại, quan hệ số lượng hình thức khơng gian mở rộng cách lý tưởng - cấu trúc trừu tượng Qua việc xem xét lịch sử phát triển tốn học, thấy, khía cạnh đặc thù thực mà toán học nghiên cứu quan h ệ số lượng hình thức khơng gian với cách hi ểu rộng chúng Tuy nhiên, đ ể phản ánh khía c ạnh thực, toán h ọc xây dựng nên khách th ể trừu tượng Những khách th ể trừu tượng đ ối tượng trực tiếp lý thuy ết toán học Chính vậy, để hiểu thực chất đối tượng tốn học, khơng thể khơng tìm hiểu đặc điểm trừu tượng tốn học Trừu tượng tốn học Tính trừu tượng khái ni ệm toán học quy định thực chất phản ánh tốn học Nó ln ln m ối quan tâm nhà khoa học Để hiểu rõ thực chất khái ni ệm lý thuy ết toán học, đ ối tượng tốn học, trước hết, phải tìm hiểu chất trừu tượng toán học Trong khoa học, trừu tượng hiểu theo hai nghĩa: 1) Tr ừu tượng phương pháp nghiên cứu tượng, thao tác tư mà thơng qua đó, người ta tách bỏ thuộc tính khơng b ản tập trung vào thuộc tính b ản 2) Trừu tượng kết trình tr ừu tượng hố Theo nghĩa này, tr ừu tượng tốn học đ ối tượng trực tiếp lý thuyết toán học Đặc trưng toán học quy định loạt đặc điểm quan trọng trừu tượng Những đặc điểm phân bi ệt trừu tuợng toán học với trừu tượng khoa h ọc khác Có thể kể số đặc trưng quan trọng sau đây: Sự trừu tượng toán học trừu tượng "có sức mạnh lớn nhất" Chúng ta biết rằng, khái ni ệm toán học phản ánh đối tượng trình, khái ni ệm hình ảnh phiến diện thực Để tách quan h ệ số lượng hình th ức khơng gian dạng t, nhà tốn h ọc phải sử dụng trừu tượng "có sức mạnh lớn nhất" Ở khoa học khác, trừu tượng hoá, người ta giữ lại thuộc tính chất lượng với quan hệ số lượng hình th ức khơng gian chúng Trái l ại, toán học, người ta phải vứt bỏ tất đặc điểm chất lượng, thuộc tính riêng bi ệt đối tượng tượng, giữ lại quan hệ số lượng hình thức khơng gian mà Thực tiễn phát triển khoa học cho thấy, chỗ mà nhà khoa h ọc kinh nghiệm dừng lại, nghiên c ứu tốn học bắt đầu So với q trình trừu tượng hố khoa h ọc kinh nghiệm q trình trừu tượng hố toán h ọc xa Sự trừu tượng toán học trừu tượng thực thông qua loạt mức độ Vì vậy, tốn h ọc xuất trừu tượng trừu tượng Chẳng hạn, khái ni ệm số Lúc đầu, chưa tách khỏi tập hợp để đếm vậy, bi ểu danh số Sau đó, tách kh ỏi tập cụ thể biểu khái niệm trừu tượng (như số cụ thể) Hai mức phân biệt với trừu tượng tương ứng khoa h ọc kinh nghi ệm Nhưng toán học xa hơn: giai đoạn hai, khái niệm số gắn liền với số trừu tượng cụ thể 1, 15 100 sau đó, đư ợc trừu tượng khỏi giá trị cụ thể số, từ xuất khái niệm số tự nhiên Khái ni ệm có ý nghĩa đ ặc biệt tốn học, cho kh ả trừu tượng khỏi số cụ thể đảm bảo chứng minh định lý dạng tổng quát Tuy nhiên, s ự trừu tượng tốn học cịn xa Chẳng hạn, từ số tự nhiên, có s ố hữu tỷ, số thực, số phức Trong đại số, từ công thức vật lý S = (rơi tự do) W = (w lượng; c dung tích v ật dẫn; u th ế hiệu cần nạp), toán học tách khỏi nội dung cụ thể nghiên cứu hàm số: y = Trong hình h ọc, từ hình học Ơclít, người ta xây dựng nên hình học phi Ơclít, hình học Tơpơ Sự trừu tượng toán học phần lớn thực với việc sử dụng khách thể lý tưởng Chẳng hạn, khái niệm "điểm", "đường", "m ặt phẳng" hình học Ơclít nh ững khách thể lý tưởng, chúng đư ợc tạo thông qua s ự lý tưởng hố Trong thực tế, khơng có ểm, đường, mặt phẳng giống biểu thị khái ni ệm tương ứng nói Nếu lý tưởng hoá hiểu rộng đến mức qu trình tạo khái niệm biểu thị thuộc tính thực biến dạng, mơ tả thuộc tính khơng có giới thực có th ể khẳng định rằng, khách th ể toán học lý tưởng, trừu tượng khách th ể xuất trực tiếp nhu cầu nội nghiên cứu toán học Chẳng hạn, số ảo (i) Sự trừu tượng tốn học trừu tượng tính thực Có số khái niệm vơ hạn sau: Trong th ế giới thực, đối tượng thuộc tính chúng vơ cùng, vô t ận Song, để nhận thức tập vơ hạn vậy, tốn học sử dụng trừu tượng tính thực để xây dựng nên khái ni ệm vơ hạn tốn học khác Toán học sử dụng số khái niệm vô hạn như: Vô hạn thực thể khả thực cách thực tế với số bước đủ lớn, qua ta nhận kết gần cần thiết cho mục đích Vô hạn tiềm - khả thực cách ti ềm tập vô hạn, phần tử không tồn cách đồng thời, mà xây dựng dần theo thuật toán xác định, cho vi ệc xây dựng xong ph ần tử thứ n tạo điều kiện để xây dựng phần tử thứ n + 1, trình c ứ tiếp tục diễn cách khơng có giới hạn Vơ hạn thực - khả thực cách tuyệt đối Trong tập vơ hạn, phần tử tồn bình đẳng đồng thời (tức thời) với Hai khái ni ệm vô hạn thực vô hạn tiềm trở thành hai khái ni ệm sở toán học Chúng bổ sung cho nhau, th ống với trình phát tri ển biện chứng toán học Nhiều hệ thống trừu tượng toán học, xuất sở kinh nghiệm thực tiễn hay trình phát tri ển lơgíc t khơng địi hỏi phải tiếp tục hướng tới kinh nghi ệm Trong toán học, nhiều khái niệm trừu tượng từ kinh nghiệm, số tự nhiên, điểm, đường, mặt phẳng, song không nh ất thiết phải kiểm tra kinh nghi ệm Ngoài ra, khái ni ệm xuất từ nhu cầu nội tốn học, hình học Lơbaxépxki, số ảo, không nh ất thiết phải kiểm tra kinh nghiệm trực tiếp Việc kiểm tra kinh nghi ệm khái ni ệm, lý thuyết toán học thực cách gián ti ếp - thông qua lý thuy ết khoa học có sử dụng khái niệm lý thuy ết toán học tương ứng Qua việc tìm hiểu đặc điểm trừu tượng tốn học, th ấy, trừu tượng toán học xa nhi ều trừu tượng tốn học khơng xuất phát từ nhu cầu thực tế, từ khách th ể thực, mà t nhu cầu phát triển nội tốn học Từ đó, vấn đề đặt là, ph ải trừu tượng th ế khơng có s thực tế, khơng có nguồn gốc khách quan? Sự thực khơng phải Tìm hi ểu trình xuất trừu tượng toán học, th chúng có nguồn gốc, sở sâu xa từ thực khách quan Ch ẳng hạn, để có số ảo (i), ph ải có số thực; để có số thực, phải có số hữu tỷ; để có số hữu tỷ, phải có số tự nhiên; để có số tự nhiên, phải có nhu cầu trao đổi sản vật thực tế Như vậy, đời số ảo, suy cho cùng, có nguồn gốc khách quan - từ khách thể thực Cũng tương tự vậy, để có hình học Lơbasépxki, phải có hình thức học Ơclít; để có hình học Ơclít, phải có nhu cầu đo đạc ruộng, mảnh đất Từ cho thấy, đời hình học Lơbasépxki có nguồn gốc sâu xa từ khách thể thực Cùng với vấn đề v ấn đề khả phản ánh thực trừu tượng toán học nào? Thực tiễn phát tri ển toán học cho thấy, khái niệm, lý thuyết toán học, dù đời từ nhu cầu thực tiễn hay từ nhu cầu nội toán học, trừu tượng chúng ph ản ánh thực khách quan cách đầy đủ hơn, sâu sắc Chẳng hạn, hình học Rieman - hình học cầu (ra đời từ hình học Ơclít - hình học phẳng), lại phản ánh hình thức khơng gi an xác thực hình h ọc Ơclít Đúng Lênin nh ận xét: "Tư duy, ti ến lên từ cụ thể đến trừu tượng khơng xa - - rời chân lý Những trừu tượng vật chất, quy luật tự nhiên, trừu tượng giá trị, v.v tóm lại, tất trừu tượng khoa học (đúng đắn, nghiêm túc, không tu ỳ tiện) phản ánh giới tự nhiên sâu sắc hơn, xác hơn, đ ầy đủ hơn" (3) * * * Qua phân tích v ề đối tuợng tốn học, có th ể đến số kết luận sau: Một là, tốn học hình thức phản ánh khái quát, r ất trừu tượng thực khách quan Có tình hình tốn học khơng phản ánh hình thức vận động cụ thể giới khách quan, mà phản ánh khía cạnh định (các quan h ệ số lượng hình thức khơng gian) có tất hình thức vận động Cũng v ậy, phản ánh toán học tạo thành nội dung quan tr ọng hình th ức phản ánh khác Thực tiễn phát triển khoa học rằng, tốn học trở thành cơng cụ nhận thức lý khoa học cụ thể việc sử dụng cơng cụ tốn học trở thành nhu cầu ngành khoa học Với nghĩa này, C.Mác khẳng định: để đánh giá mức độ phát tri ển ngành khoa h ọc đó, cần phải tính đến mức độ sử dụng tốn học Mặt khác, phát triển ngành khoa h ọc cụ thể tạo nhu cầu cung cấp “tư liệu” cho phát tri ển toán học Quan hệ toán học khoa học cụ thể mối quan hệ biên chứng Hai là, trình độ nào, tốn học kết phản ánh quan h ệ số lượng hình thức không gian khách thể thực Tuy nhiên, tốn h ọc khơng ph ản ánh thực cách cứng nhắc, siêu hình, mà ph ản ánh cách sáng t ạo, mang chất biện chứng sâu sắc Để phản ánh quan hệ số lượng hình thức khơng gian khách thể thực, tốn học sáng t ạo khái niệm, lý thuy ết ngày trừu tượng - thông qua trừu tượng toán học Nhờ đặc điểm riêng, trừu tượng toán học xa r ất nhiều so với khoa học cụ thể tạo cơng cụ tốn học ngày phản ánh cách xác hơn, sâu s ắc hơn, đầy đủ thực khách quan Đi ều thể đặc trưng bi ện chứng phản ánh toán học, đường biện chứng phát triển toán học Ba là, toán học đại ngày s ản sinh khái ni ệm mới, lý thuyết mới, có nhi ều khái niệm, lý thuy ết đời nhu cầu nội phát triển toán học nói riêng, phát triển khoa học, cơng ngh ệ nói chung Tuy nhiên, khơng p hải mà cho rằng, khái ni ệm toán học "sản phẩm tuý tư duy" Cần phải nhận thấy rằng, khái niệm khơng ch ỉ có nguồn gốc sâu xa từ thực khách quan, không kết qủa phản ánh thực khách quan, mà chúng cịn biểu sâu sắc tính bi ện chứng phản ánh toán học - phản ánh cách sáng t ạo q trình ngày đ ầy đủ hơn, xác hơn, sâu sắc Bước vào văn minh trí tuệ với thành t ựu kỳ diệu tin học (trong tốn học đóng vai t rị quan trọng, đặc biệt việc lập trình), việc nắm vững phương pháp luận vật biện chứng cho phép vững vàng vi ệc nhận biết giá trị thành qu ả toán học nói riêng, khoa học, cơng nghệ đại nói chung vận dụng chúng cách có hi ệu vào công xây dựng phát triển đất nước thời kỳ đẩy mạnh cơng nghi ệp hố, đại hố (1) C.Mác Ph.Ăngghen Tồn tập, t.20 Nxb Chính trị Quốc gia, Hà Nội, 1995, tr.37 (2) C.Mác Ph.Ăngghen Toàn (3) V.I.Lênin Toàn tập, t.29 Nxb tập, t.20 Nxb Chính trị Quốc gia, Hà Tiến bộ, Mátxcơva, 1981, tr.179 Nội 1994, tr 756  ... Trừu tượng kết trình tr ừu tượng hoá Theo nghĩa này, tr ừu tượng toán học đ ối tượng trực tiếp lý thuyết toán học Đặc trưng toán học quy định loạt đặc điểm quan trọng trừu tượng Những đặc điểm. .. trừu tượng Những khách th ể trừu tượng đ ối tượng trực tiếp lý thuy ết tốn học Chính vậy, để hiểu thực chất đối tượng tốn học, khơng thể khơng tìm hiểu đặc điểm trừu tượng toán học Trừu tượng. .. tượng tốn học Tính trừu tượng khái ni ệm toán học quy định thực chất phản ánh tốn học Nó ln ln m ối quan tâm nhà khoa học Để hiểu rõ thực chất khái ni ệm lý thuy ết toán học, đ ối tượng toán học,