Sự phân tích triết học các khuynh hướng khác nhau trong lập luận toán học

Sự phân tích tri ết học - Các khuynh hư ớng khác l ập luận toán học Trong khoảng 2500 năm tồn mình, tốn h ọc có nh ững biến đổi đáng kể chất Nh ững biến đổi diễn khái ni ệm sở cách l ập luận toán h ọc Ở đây, cần ý rằng, đặt vấn đề lập luận tốn học nói riêng nghiên cứu khoa học nói chung, với việc xác lập sở nhận thức luận đảm bảo tính chân lý tư tưởng khoa học, nhà khoa h ọc thường lấy tính phi mâu thu ẫn lơgíc làm tiêu chuẩn đạo Những biến đổi nói có mối liên hệ chặt chẽ với quan ểm triết học nhà toán học Xuất phát từ quan ểm triết học đa dạng khác nhau, nhiều khuynh hướng l ập luận toán học tiếp cận cách siêu hình chất tiền đề nhận thức luận tốn học từ đó, dẫn tới hạn chế lĩnh vực Từ thực tế đó, có th ể nhận xét rằng, có đứng l ập trường chủ nghĩa v ật biện chứng cho phép người ta thiết lập vấn đề lập luận toán học, xây dựng sở phù hợp với chất khoa học phát tri ển đưa tiền đề nhận thức luận toán học cách đ ắn Trước hết, ta tìm hi ểu bối cảnh đời lập luận toán học Như biết, trình độ lý thuyết, nhận thức khoa học nói chung, tốn h ọc nói riêng ln phải sử dụng trừu tượng hoá Toán học khoa học sử dụng nhiều trừu tượng mức độ trừu tượng đạt trình độ cao Thực vậy, lĩnh vực khoa học này, “Sự trừu tượng có sức mạnh lớn nhất”(1) Tuy nhiên, cho dù trừu tượng có thực “nghiêm túc”, “đúng đ ắn” đến đâu tri thức nhận có khả xa rời thực Vì vậy, để đảm bảo tính chân lý, tức lập luận cho tính hợp lý tri thức nhận được, cần phải xác lập sở chúng Tuy nhiên, m ới lý thứ yếu tính cấp bách vấn đề nằm chỗ khác Sau phát hi ện đại lượng biến thiên Đêcáctơ, người ta sử dụng phép tính tích phân vi phân đ ể nghiên cứu vận động Ta mô tả việc nghiên cứu sau: Người ta sử dụng hàm số: S = f (t) đ ể biểu thị vận động - Vận tốc tức thời thời điểm cụ thể t1 đạo hàm bậc hàm số thời điểm đó: V(t1) = f’(t1) - Gia tốc tức thời vận động đạo hàm bậc hai: a(t1) = f’’(t1) Như vậy, lần người ta sử dụng cơng cụ tốn học, phương pháp chặt chẽ, xác đ ể nghiên cứu vận động nói riêng, biện chứng khách quan nói chung Đ ặc biệt với phương th ức nghiên cứu vậy, người ta thu nh ận khối lượng đồ sộ thành tựu toán học Trong sử dụng phương pháp xác ch ặt chẽ vào nghiên cứu q trình có k ết vậy, vấn đề gây lo ngại cho nhiều nhà triết học toán học là: liệu việc sử dụng chúng để nghiên cứu đối tượng có thích hợp khơng? Có mâu thu ẫn bên phương pháp xác, ch ặt chẽ đến chi tiết bên nh ững đối tượng sống động, phong phú, đa dạng (vận động) hay khơng? Chính tình hình đ ó buộc nhà khoa h ọc phải nghiên cứu vấn đề lập luận (thiết lập sở) cho toán học Trong bối cảnh vậy, nhà toán học Canto xây dựng môn lý thuyết tập hợp Lý thuyết xem công cụ để “khuôn” sống động vận động vào “cái khung” xác, chặt chẽ Có thể coi tư tưởng ơng việc sử dụng lý thuyết tập hợp làm sở cho lập luận toán học ý tưởng để giải vấn đề Tư tưởng Canto thể chỗ, sử dụng lý thuyết tập hợp vào lập luận toán học, điều quan trọng tất lý thuyết tốn học có trình bày s lý thuyết tập hợp Phương pháp đư ợc coi phương pháp quy giản lý thuyết tập hợp Bản chất quy định chỗ, tất thuật ngữ lý thuyết tốn học có quy thuật ngữ lý thuyết tập hợp Từ lợi đó, vấn đề cịn lại cần phải chuyển mệnh đề lý thuyết tốn học có thành m ệnh đề lý thuy ết tập hợp Vì vậy, nhiệm vụ việc sử dụng lý thuyết tập hợp để lập luận toán học biến đổi mệnh đề lý thuyết toán học thành mệnh đề lý thuyết tập hợp Do lý thuyết toán học bao gồm tập hợp vô hạn mệnh đề, nên khó khăn việc thực biến đổi chỗ, khó giải thích cách rõ ràng, minh b ạch phán đoán toán h ọc thuật ngữ lý thuyết tập hợp Do đó, phương pháp quy v ề lý thuyết tập hợp Canto cần phải giả định trước phương pháp tiên đ ề hoá lý thuyết Trước năm 30 kỷ XX, việc lý thuyết toán học tiên đề hố (xây d ựng lại phương pháp tiên đ ề) xem điều đương nhiên Ở đây, vấn đề quan trọng chọn số hữu hạn tiên đ ề, bao ch ứa tất thông tin c ần thiết khách th ể lý thuy ết Từ hệ tiên đề chọn, rút đư ợc tất mệnh đề lại đường lơgíc Nói cách khác, b ất kỳ mệnh đề chân lý khách th ể lý thuyết rút từ tiên đề đường lơgíc Và v ậy, nhiệm vụ quy tất lý thuyết toán học lý thuyết tập hợp thực cách đầy đủ với lý thuyết sử dụng phương pháp tiên đ ề hoá Tuy nhiên, điều cần lưu ý là, đường lơgíc thu ần t cách l ập luận tốn học dựa vào lý thuyết tập hợp khơng th ể thực triệt để, loạt lý do: Thứ nhất, người ta phát hi ện thấy mâu thuẫn lơgíc từ định nghĩa khái niệm sở lý thuy ết tập hợp (tức mệnh đề nó) Một mâu thu ẫn Rátxen tìm thấy gọi nghịch lý Rátxen Thực chất nghịch lý là: d ựa vào nguyên t ắc lý thuyết tập hợp, người ta đưa khách th ể “tập hợp tất tập hợp”, “tập hợp tất tập hợp khơng t ự chứa với tư cách phần tử mình” Trên s nguyên t ắc lý thuyết tập hợp, người ta hồn tồn có th ể đưa kết luận rằng, tập hợp tất tập hợp khơng chứa với tư cách phần tử t ập Phán đốn chân thực, giả dối Như vậy, xu ất nghịch lý sinh t sở lý thuyết tập hợp Canto Đương nhiên, lý thuyết chứa đựng mâu thu ẫn lơgíc khơng th ể lấy làm sở tốn học Như vậy, l ập luận Canto, mâu thuẫn lơgíc thường kèm với ngun tắc lý thuyết tập hợp, đó, để loại bỏ mâu thuẫn số nguyên t ắc phải bị loại bỏ Tuy nhiên, điều thực chắn ảnh hưởng đến việc giữ lại nội dung quan trọng lý thuy ết tập hợp Cho nên, gi ả sử lý thuy ết này, phương thức cải biến chấp thuận mà người ta gạt bỏ nghịch lý Rátxen thì, xét t góc độ nhận thức luận lơgíc học, điều chưa ph ải luận chứng đầy đủ cho tính phi mâu thu ẫn lý thuyết tập hợp Nhận định xác, b ởi lý thuy ết tập hợp Canto lý thuyết có nội dung thu ần tuý Đối với lý thuyết vậy, khơng thể có khả nghiên cứu siêu lý thuyết xác tính phi mâu thuẫn nội dung hình th ức Do đó, khơng có s ự đảm bảo cách chắn lý thuy ết tập hợp khơng chứa đựng mâu thu ẫn lơgíc khác Tuy nhiên, có th ể khẳng định cách l ập luận có l ợi tất trường hợp mà việc vận dụng tập hợp định nghĩa chúng không dẫn đến mâu thuẫn lơgíc; ch ẳng hạn, với loại tập hợp vơ hạn khác nhau, tập hợp số thực, tập hợp điểm gọi đường, tập hợp hình hình học, v.v Trong nh ững trường hợp đó, người ta loại bỏ việc nghiên cứu “tập hợp tất tập hợp khơng tự chứa mình” Thứ hai, cách lập luận Canto không gi ải vấn đề cách tri ệt để chỗ, khơng xem cách lập luận có đầy đủ Nguyên nhân bắt nguồn từ sở lý thuy ết toán học chưa tiên đề hoá nhờ hệ tiên đề hữu hạn, chẳng hạn số học số tự nhiên ví dụ Trong trường hợp này, khơng th ể mơ tả tồn mệnh đề số học số tự nhiên hệ tiên đề hữu hạn Từ đó, nhận thấy rằng, mệnh đề chân lý số học số tự nhiên tồn không ph ụ thuộc vào số lượng tiên đ ề định trước, hệ tiên đề có bổ sung thêm nữa; đồng thời, số học tiên đề không đầy đủ phương di ện ngữ nghĩa Các lý thuyết toán học tương tự khơng đ ầy đủ Và, đó, rút gọn phần lý thuy ết tốn học, khơng thể khẳng định tất toán học t ồn quy gi ản lý thuyết tập hợp Về phương diện lý thuyết, khó khăn đ ại loại ngh ịch lý lý thuyết tập hợp gây d ẫn tới khủng hoảng lập luận tốn học Có thể khẳng định rằng, mâu thu ẫn lơgíc lý thuyết tập hợp Canto nguyên nhân khủng hoảng Điều thể chỗ, sở nhận thức luận lý thuy ết tập hợp bao gồm nguyên t ắc sâu sắc lý tưởng hố Chính ngun tắc cho phép hình thành khách thể giới tự nhiên thứ hai; đó, có tập hợp cần cho hoạt động nhận thức người Trong đó, tính chân lý c mệnh đề, kể mệnh đề sở lý thuyết tập hợp, lại xem xét b ằng phương pháp phân tích nh ững định nghĩa trừu tượng nên chưa có đầy đủ Do vậy, thấy ngun t ắc nêu khơng có lu ận đích thực chúng cần có thay đổi Rốt cuộc, thay đổi dẫn đến tính tất yếu phải thay đổi sở nhận thức luận lý thuyết tập hợp, nghĩa thay đổi nguyên tắc lý tưởng hoá mà lý thuy ết tập hợp sử dụng để thiết lập khách thể Cũng cần nói thêm rằng, số vấn đề chưa giải triệt để song cách lập luận ý đặc biệt, thực tế, nay, người ta không bắt gặp nghịch lý (mâu thu ẫn) đáng kể Bởi vậy, đến cuối kỷ XIX, lý thuy ết tập hợp xem tảng tồn tốn học cổ điển “Chương trình quy gi ản toán học tuý lý thuyết tập hợp, đại thể thực hoá”(2) Song, để khắc phục hạn chế nói trên, m ột số khuynh hướng lập luận toán học xuất * * * Chủ nghĩa Lơgíc Một ý tưởng tìm lối cho khủng hoảng cách lập luận toán học Canto đường hạn chế lý tưởng hoá mà lý thuyết tập hợp sử dụng Rátxen - nhà lơgíc h ọc người Anh Thực chất hạn chế việc ngăn cấm đưa vào lý thuy ết tập hợp khách thể tuỳ tiện, chẳng hạn “tập hợp tất tập hợp khơng t ự chứa với tư cách phần tử mình” Việc Rátxen thay đ ổi sở nhận thức luận toán học kéo theo thay đổi sở có lý thuyết tập hợp Từ đó, lý thuy ết tập hợp Rátxen trở thành lý thuy ết nghiên cứu đối tượng t ập hợp phân loại thành lớp dấu hiệu Vì vậy, người ta coi lý thuy ết ơng lý thuyết suy diễn hình thức Cách lập luận Rátxen thường gọi chủ nghĩa lơgíc Tên gọi hợp lý, lẽ thuật ngữ lý thuyết tập hợp ln ln có th ể giải thích thuật ngữ lơgíc tính phi mâu thuẫn lý thuyết toán học dựa vào tính phi mâu thu ẫn lơgíc học Dựa sở chủ nghĩa lơgíc, người ta xây dựng tốn học dạng mà phân bi ệt cách sâu sắc, tồn di ện với tốn học thơng thường (cịn gọi tốn học lơgíc) Tuy nhiên, ph ải hiểu rằng, phân biệt không đem l ại lợi tuyệt đối cho sở nhận thức luận tốn học Vì, thứ nhất, việc ngăn cấm định nghĩa đưa đ ến mâu thuẫn lơgíc mà vơ hình trung, ngư ời ta loại khỏi toán học khách th ể thành ph ần đóng vai trị b ản, thân chúng l ại không đưa đ ến mâu thuẫn lơgíc Thứ hai, tốn học lơgíc đơi tiếp nhận dạng quy giản khơng tự nhiên Ví dụ, số lớp đối tượng, theo b ản chất, người ta phải thông qua việc sử dụng số học số tự nhiên để quy giản Việc tiếp nhận sở nhận thức luận lý thuyết suy diễn hình thức loại bỏ nghịch lý lý thuyết tập hợp mà Rátxen nhà tốn học, lơgíc học khác phát hi ện Tuy vậy, khơng th ể chứng minh tính phi mâu thuẫn tổng quát lý thuyết suy diễn hình thức phương tiện siêu lý thuy ết Bởi vì, lý thuyết suy diễn hình thức ngơn ngữ phong phú đến mức khiến phương ti ện siêu lý thuy ết để chứng minh tính phi mâu thuẫn tự hình thức hố Những điểm thiếu chặt chẽ cách l ập luận chủ nghĩa lơgíc chỗ, tính chân lý tiền đề lý thuyết suy diễn hình thức xác nhận phương pháp phân tích đ ịnh nghĩa dựa sở định nghĩa thuật ngữ xuất phát, mà khơng có b ất kỳ quan hệ với thực Ngồi ra, quy giản tốn học lơgíc học khơng thể thực trường hợp mà lý thuyết chưa tiên đề hố hữu hạn Vì lý đó, lý thuyết suy diễn hình thức khơng đưa sở có khả thoả mãn cho tồn b ộ tốn học Do vậy, cách l ập luận toán học dựa sở chủ nghĩa lơgíc khơng phải cách lập luận hồn hảo Ngun nhân sâu xa d ẫn đến tính khơng hồn h ảo nh ững lý tưởng hoá mà đưa vào s nhận thức luận lý thuy ết suy diễn hình thức Một mặt, lý tưởng hố làm thu h ẹp cách đáng kể đối tượng tốn học; mặt khác, chúng khơng gi ải triệt để vấn đề tính chân lý s nhận thức luận thân lý thuy ết suy di ễn hình thức Chủ nghĩa hình thức Những người theo chủ nghĩa hình thức đưa cách ti ếp cận khác vấn đề lập luận toán học Người sáng lập khuynh hướng Himbơ - nhà toán học lơgíc h ọc người Đức, sống vào giai đoạn cuối kỷ XIX đầu kỷ XX Ông cho rằng, cách l ập luận lý thuyết toán học cần phải độc lập với nội dung dựa hình th ức lý thuyết mà Đồng thời, theo quan ểm chủ nghĩa hình thức, tính phi mâu thuẫn hình thức lý thuyết toán học xem tiêu chu ẩn lập luận Việc chứng minh tính phi mâu thuẫn đòi hỏi phải sử dụng phương pháp d ẫn dắt tính phi mâu thuẫn lý thuyết toán học nào, chẳng hạn số học số tự nhiên; sau đó, l ại đòi hỏi phải chứng minh phương pháp hình th ức cách tuý Điều làm h ạn chế việc sử dụng phương pháp khác để chứng minh tính phi mâu thu ẫn lý thuyết hình thức Theo chủ nghĩa hình thức, để thực việc lập luận toán học, trước hết, người ta cần phải hình thức hố lý thuyết tốn học, tách hình th ức khỏi nội dung dạng tuý đường trừu tượng hoá Hình thức hố tất lý thuyết tốn học nghĩa sử dụng ngôn ng ữ nhân tạo, ngôn ngữ ký hiệu để diễn tả luận điểm toán học Để thực điều này, cần phải diễn tả nội dung lý thuyết tốn học qua ngơn ngữ hình thức Nói cách khác, nhiệm vụ xây d ựng lý thuy ết tốn học hình thức hố hồn tồn phương diện nội dung Khi chứng minh tính phi mâu thuẫn lý thuyết hình thức xây dựng t phương pháp hình thức hố, sử dụng lý thuyết siêu tốn học hữu hạn Do nội dung hữu hạn siêu toán h ọc nên tính chân lý mệnh đề cần phải đạt mức độ tối đa tính rõ ràng trực giác Vì vậy, cách lập luận tốn học chủ nghĩa hình thức cần phải dựa thiết lập tính chân lý siêu tốn h ọc Từ đó, thấy rằng, cách làm này, m ối liên hệ sở nhận thức luận lơgíc tốn h ọc bị hạn chế chuyển sang siêu tốn h ọc mà đó, việc giải vấn đề tiến hành đơn gi ản rõ ràng Như vậy, nội dung chương trình Himbơ giả định trừu tượng hoá vấn đề chân lý s nhận thức luận trình l ập luận tốn học nhờ ngơn ngữ nhân tạo; đồng thời, gi ả định việc dịch chuyển vấn đề từ tốn học sang siêu tốn học Sự trừu tượng hố nội dung tốn học khơng phải gạt bỏ cách đơn gi ản mà mơ t ả qua hình th ức, tức hình thức hố giả định việc làm sáng tỏ hoàn toàn nội dung Với cách ti ếp cận vậy, phần tốn học hình th ức hoá đương nhiên đư ợc lập luận nhờ chương trình c Himbơ, nh ững phần cịn lại (chưa hình thức hố) phải dựa vào siêu toán học Mặc dù siêu toán học hữu hạn nghiên cứu khách thể vật chất hàng ký hiệu, cho phép s ự lý tưởng hóa sâu s ắc chúng Đi ều thể chỗ: thứ nhất, giả định cần thiết, hàng ký hi ệu lớn Điều có nghĩa kh ả thực khách thể siêu tốn học hữu hạn giả thiết khơng dạng thực mà dạng tiềm Thứ hai, giả định rằng, ký hi ệu khách thể xác, ch ặt chẽ khơng bị thay đổi q trình suy lu ận Thứ ba, giả định cách xa r ằng, việc đánh giá phán đốn v ề tính chất quan hệ ký hiệu tiến hành sở trực giác Về thực chất, lý tưởng hoá th ế xác định tiền đề nhận thức luận chủ nghĩa hình thức Những tiền đề định phương pháp tiêu chuẩn cho đánh giá tính chân lý phán đốn siêu tốn h ọc, sở đó, đánh giá tính chân lý c phán đoán toán h ọc Tuy vậy, chương trình c Himbơ lập luận tốn học khơng thể thực cách hồn h ảo, nguyên nhân sau: thứ nhất, qua hình thức ta diễn tả nội dung nó, lý thuyết phong phú, chẳng hạn số học số tự nhiên, khơng th ể mơ tả chúng cách đầy đủ; thứ hai, dường khơng có khả chứng minh tính phi mâu thuẫn số học phương pháp hình th ức hố t nhờ liệu rút siêu toán học Himbơ Chủ nghĩa trực giác Một khuynh hướng khác l ập luận toán học chủ nghĩa trực giác với đại biểu L.E.Brauơ, A.Gâytinh,… Ch ủ nghĩa trực giác đề cao tiêu chuẩn tính rõ ràng trực giác đánh giá nh ững giá trị chân lý phán đoán toán học Tuy nhiên, khác v ới quan điểm Himbơ, tiêu chu ẩn tính rõ ràng trực giác mà nh ững người theo chủ nghĩa nhà trực giác đưa l ại có tính chất chủ quan hồn tồn Điều phản ánh chỗ, tính chất lý tưởng hoá bị qui định sở nhận thức luận chủ nghĩa trực giác Ngược lại, tính trực giác siêu toán h ọc Himbơ mang tính khách quan Trong siêu tốn h ọc, dạng ký hiệu nghiên cứu cách trực tiếp, nghĩa khách th ể vật chất biểu thị qua ký hiệu lý tưởng hố với mục đích nhận kết luận chung tính chất chúng, ch ứ thực cách ch ủ quan Toán học trực giác khác với tốn học thơng thường chỗ, mặt, tiếp nhận lý tưởng hố tính thực cách yếu - sử dụng vô hạn tiềm Những lý tưởng hoá v ậy xác l ập lên tiền đề làm thành tiêu chu ẩn để đánh giá phán đoán toán h ọc Mặt khác, nhà tr ực giác luận gắn kết lý tưởng hoá v ới cách gi ải thích tâm v ề tính rõ ràng trực giác việc đánh giá phán đoán toán h ọc Trên th ực tế, việc tiếp nhận lý tưởng hoá – dạng hay d ạng khác – phụ thuộc vào nhiệm vụ khoa học thực tiễn, khơng phụ thuộc vào ều kiện có đạo trực giác, nhà tr ực giác quan ni ệm Cơ sở nhận thức luận toán học trực giác s ự tiếp nhận nguyên t ắc cho phép xây dựng khách th ể toán học dựa trừu tượng hoá tính thực cách tiềm năng; đồng thời, cho phép s dụng phương pháp trực giác để đánh giá tính chân lý c phán đoán toán h ọc Trong lập luận toán học, nhà trực giác quan niệm rằng, tất khách thể xây dựng nhờ lý tưởng hoá sâu s ắc so với lý tưởng hoá mà họ khởi xướng nằm đối tượng tốn học Khi đó, t ập hợp vơ hạn thực bị gạt bỏ tập hợp vô hạn tiềm thuộc đối tượng toán học Độ tin cậy quan niệm trực giác tính phi mâu thuẫn tốn học thiết lập sở dựa vào trình xây d ựng khách thể cho phép không d ẫn đến mâu thuẫn lơgíc Những người phê phán ch ủ nghĩa trực giác phát thấy thiếu sót chủ yếu cách lập luận trực giác là, toán h ọc trực giác, đối tượng toán học thơng thường bị thu hẹp lại Trong đó, tốn h ọc thơng thường trực giác tiếp nhận lại trở nên phong phú hơn, đa d ạng Như vậy, chủ nghĩa trực giác cố gắng xây dựng lập luận toán học cách dựa vào tiền đề nhận thức luận sử dụng vô hạn tiềm lo ại bỏ khỏi toán học tất khơng đư ợc thu gom l ại phạm vi Tuy nhiên, điều dẫn tới chỗ làm hạn chế tối đa thành phần làm thu hẹp phạm vi tốn học Đó ểm yếu chủ nghĩa trực giác Chủ nghĩa kiến thiết Một khuynh hướng khác l ập luận toán học đáng lưu tâm chủ nghĩa kiến thiết với đại biểu A.Triôtrơ, X.Clinhi, A.A.Mácc ốp… Khuynh hướng s dụng vô hạn tiềm song khác với chủ nghĩa trực giác, trước hết cách đặt vấn đề lập luận lý thuy ết toán học Từ quan điểm đại biểu theo trường phái này, nh ận thấy rằng, chủ nghĩa kiến thiết đặt vấn đề tách phận cấu trúc toán học nghiên c ứu dạng tuý, xem nhi ệm vụ chủ yếu Đi ều có ý nghĩa to l ớn mối liên hệ với phát triển tốn học tính tốn Cách l ập luận chủ nghĩa kiến thiết giả định cần thiết phải xây dựng cấu trúc lý thuyết tốn học đích thực Cũng giống chủ nghĩa trực giác, nguyên tắc lý tưởng hoá chủ nghĩa kiến thiết bị hạn chế phạm vi tính thực cách ti ềm việc xây dựng khách t hể toán học Tuy nhiên, tính hi ệu trình xây d ựng khách th ể tốn học đánh giá tính chân lý phán đốn khách th ể thể s định nghĩa xác hố nhờ thuật tốn, khơng phải dựa vào tính trực giác chủ quan chủ nghĩa trực giác quan ni ệm Do đó, tính rõ ràng tr ực giác khẳng định khách thể tốn học kiến thiết hồn tồn khơng liên hệ với đạo trực giác Nó đư ợc quy định đặc trưng lý tưởng hoá mà chủ nghĩa kiến thiết sử dụng vi ệc xây dựng cấu trúc toán h ọc Đương nhiên, xét t góc độ tiêu chuẩn chủ nghĩa kiến thiết, cách l ập luận khơng ph ải hồn h ảo, khơng ph ải tất tốn học cổ điển lập luận cách đầy đủ Ở đây, vấn đề đặt nh ững phận khơng phải cấu trúc tốn học bị loại bỏ khỏi tốn học Những phận đó, cách đơn gi ản, không nằm đối tượng toán học kiến thiết Cho nên, việc cần lập luận hay vứt bỏ chúng (những phận cấu trúc) không ph ải nhiệm vụ mà chủ nghĩa kiến thiết đặt Như vậy, tương tự khuynh hướng trực giác, khuynh hướng (chủ nghĩa) ki ến thiết lập luận tốn học khơng tránh khỏi làm thu hẹp đáng kể đối tượng toán học * * * Từ phân tích trên, có th ể rút nhận xét rằng, tất khuynh hướng lập luận toán học xem xét, m ột cách rõ ràng ho ặc không rõ ràng, trực tiếp hay gián tiếp, xuất phát từ lý tư ởng hoá sử dụng khác Những lý tưởng hố đó, mặt, cho phương thức để xây dựng khách thể tốn học, đánh giá tính chân lý c khẳng định chúng; mặt khác, đặt nhu cầu lập luận Do sử dụng lý tưởng hoá khác nhau, n ảy sinh phương th ức lập luận khác Nhìn chung, m ỗi cách lập luận có ưu điểm khuyết điểm định, mà không phương th ức số đem lại cho cách lập luận hoàn hảo Theo quan điểm chúng tôi, l ập trường chủ nghĩa vật biện chứng, cần phải khai thác tri ệt để ưu cách lập luận nhằm đảm bảo cho phát triển toán học phù hợp với yêu cầu mà nhận thức khoa học thực tiễn đặt Với cách nhìn v ậy, cách l ập luận bổ sung thống với trình phát tri ển tốn học nói riêng, khoa học nói chung Chính v ậy, với việc vận dụng cách lập luận khác vào nh ững phận, lý thuy ết toán học cụ thể, cần ý tới giá trị thực tiễn mà lý thuyết toán học cụ thể đem lại Đồng thời, việc đánh giá tính chân lý c tri thức toán học, bên cạnh tiêu chuẩn lơgíc mà cách l ập luận khác đưa ra, c ần sử dụng triệt để tiêu chuẩn thực tiễn Chỉ có vậy, đem lại cho toán h ọc sở lý luận thực tiễn vững (*) Phó giáo sư, ti ễn sĩ triết học, Phó vi ện trưởng Viện Triết học (1) G I Rudavin, Về chất tri thức toán học Nxb Tư tưởng, Mátxcơva, 1974, tr 39 (tiếng Nga) (2) Triết học giới đại Triết học Lơgíc h ọc Nxb Khoa h ọc, Mát xcơva, 1974, tr 10 (ti ếng Nga)  ... cận khác vấn đề lập luận toán học Người sáng lập khuynh hướng Himbơ - nhà tốn học lơgíc h ọc người Đức, sống vào giai đoạn cuối kỷ XIX đầu kỷ XX Ông cho rằng, cách l ập luận lý thuyết toán học. .. ến thiết lập luận tốn học khơng tránh khỏi làm thu hẹp đáng kể đối tượng tốn học * * * Từ phân tích trên, có th ể rút nhận xét rằng, tất khuynh hướng lập luận toán học xem xét, m ột cách rõ ràng... thiết, cách l ập luận không ph ải hồn h ảo, khơng ph ải tất toán học cổ điển lập luận cách đầy đủ Ở đây, vấn đề đặt nh ững phận khơng phải cấu trúc tốn học bị loại bỏ khỏi toán học Những phận đó, cách