PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THẠCH THẤT ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG TOÁN Năm học: 2021 – 2022 (Thời gian làm bài: 120 phút không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm 01 trang) x +3 Bài I (1,5 điểm) Cho biểu thức = , B A= x −1 x x −4 với x ≥ 0, x ≠ + − x −1 x +2 x+ x −2 1) Tính giá trị biểu thức A x = 25 2) Rút gọn B 3) Biết P= A ⋅ B Tìm giá trị lớn P Bài II (2,5 điểm) 1) Giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình: Một phân xưởng theo kế hoạch phải sản xuất 1000 đồ bảo hộ y tế phục vụ công tác phòng chống dịch bệnh thời gian quy định Nhưng tình hình diễn biến dịch bệnh phức tạp, để đáp ứng nhu cầu đồ bảo hộ y tế, ngày phân xưởng sản xuất vượt mức 20 đồ bảo hộ y tế nên phân xưởng hoàn thành kế hoạch sớm thời gian quy định ngày làm thêm 80 đồ bảo hộ y tế Hỏi theo kế hoạch ngày phân xưởng phải sản xuất đồ bảo hộ y tế? 2) Một hình cầu tích 288π (cm3) Tính diện tích mặt cầu đó? (cho π = 3,14) Bài III (2 điểm) x −3 − y = 1) Giải hệ phương trình 5 x − + = y với m tham số 2) Cho phương trình x + ( − m ) x + ( m − ) = a) Chứng minh với giá trị m phương trình ln có nghiệm x = b) Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm x= + Bài IV (3.5 điểm) Cho đường tròn ( O; R ) , dây CD cố định Lấy H trung điểm CD Trên tia đối tia DC lấy điểm M Từ M kẻ tiếp tuyến MA, MB với (O) (A, B tiếp điểm) Đường thẳng AB cắt đường thẳng MO, OH K N 1) Chứng minh tứ giác MNHK nội tiếp 2) Chứng minh OH ON = OK OM 3) Khi M di động tia đối tia DC chứng minh đường thẳng AB qua điểm cố định 1 4) Gọi P giao điểm AB CD Chứng minh = + MP MC MD Bài V ( 0,5 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = 2020 x + 2021 − x + 2022 HẾT − x2 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THẠCH THẤT HƯỚNG DẪN, BIỂU ĐIỂM CHẤM ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG TOÁN Năm học: 2021 - 2022 (Đáp án gồm 03 trang) BÀI Ý HƯỚNG DẪN Khi x 25 (TMĐK) thì A ĐIỂM 25 2 25 0,25đ Với x 0; x ta có: B (1,5đ) x x 1 x 4 x 2 x x 2 x x 1 x 4 x ( x 1)( x 2) 0,25đ B x ( x 2) 3( x 1) x 4 ( x 1)( x 2) ( x 1)( x 2) ( x 1)( x 2) B x x 3 x 3 x x x 1 ( x 1)( x 2) ( x 1)( x 2) 0,25đ B ( x 1)2 ( x 1)( x 2) 0,25đ x 1 x 2 Với x 0; x ta có: P A.B x x 1 x 1 x Do x0 x 22 x 3 1 x 2 x 2 1 max P 2 x 2 0,25đ 0,25đ Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x Vậy GTLN của P khi x Gọi số bộ đồ bảo hộ y tế mà phân xưởng sản xuất mỗi ngày theo kế 0,25đ hoạch là x ( x * , bộ) Số bộ đồ bảo hộ y tế phân xưởng sản xuất thực tế mỗi ngày là 0,25đ x 20 (bộ) 1000 0,25đ Thời gian phân xưởng sản xuất đồ bảo hộ y tế theo kế hoạch x (2,5đ) (ngày) Thời gian phân xưởng sản xuất đồ bảo hộ y tế thực tế là 0,25đ 1000 80 1080 (ngày) x 20 x 20 Vì phân xưởng đã hồn thành sớm hơn thời gian quy định là 1 ngày. Ta có phương trình: 0,75đ 1000 1080 1 x x 20 Giải phương trình tìm được x 100 (tmđk) Vậy số bộ đồ bảo hộ y tế phân xưởng sản xuất mỗi ngày theo kế 0,25đ hoạch là 100 bộ. Theo đề bài ta có: R3 288 R 6 (cm) 0,25đ Diện tích của mặt cầu đó là: S 4 R 4.3,14.6 452,16 (cm ) 0,25đ x3 y ĐKXĐ: x 3; y 5 x y Đặt a x a và b b , ta có hệ phương trình y (2đ) 0,25đ a 1 t / m a 7b 1 5a 7b b t / m 0,25đ x 3 1 x Do đó 1 Ta tìm được (thỏa mãn). y y 0,25đ Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm x; y 4; 7 0,25đ a) Thay x vào vế trái của phương trình ta được: 32 m m 3m 3m 15 đúng với mọi m 0,25đ Vậy phương trình có nghiệm x với mọi m 0,25đ b) Vì phương trình ln có nghiệm x nên để phương trình có nghiệm x thì theo định lý Vi-et ta có: m m m 0,25đ Vậy m thì phương trình trên có nghiệm x 0,25đ N A C H P O K 0,25đ D M (3,5đ) B Vì H là trung điểm CD nên OH vng góc CD , suy ra o (1) OHM=MHN=90 Vì OA = OB = R; MA = MB (tc 2 tt cắt nhau) nên OM là đường trung 0,25đ 0,25đ trực AB , suy ra M KN = 90o (2). Từ (1)(2) lập luận suy ra tứ giác MNHK nội tiếp. 0,25đ = OMH (cùng phụ KON ); OHM = OKN = 90o ONK 0,5đ nên ΔOKN ΔOHM g.g Suy ra 0,5đ ON OK = ON.OH = OK.OM OM OH Ta có: OK.OM = OA = R Vì CD cố định nên H cố định suy ra OH không đổi. 0,25đ OK.OM R2 = không đổi nên N cố định. OH OH Vậy AB luôn đi qua điểm cố định N Mà ON = 0,5đ 1 = + MP MC MD 2MC.MD = MP MD+MC MC.MD = MP.MH (*) 0,25đ (Do MC + MD = 2MH ) ΔMDA ΔMAC MC.MD = MA 2 (1) ΔMKP ΔMHO MP.MH = MK.MO (2) Tam giác ΔOAM vng tại A có đường cao AK MK.MO = MA (3) Từ (1), (2), (3) MC.MD = MP.MH (**) Từ (*) và (**) đpcm 0,25đ 0,25đ ĐK: 1 x x x 1 x Ta có: A (0,5đ) 2021 2020 x 2021 x 2022 x2 20211 x 1 x 1 x 1 x 2021 20211 x x x2 0,25đ 2021 2021 Dấu "=" xảy ra 20211 x x 2021 2021x x x Vậy MinA 2021 2021 x 2020 2022 Lưu ý: - Học sinh có cách làm khác cho điểm tương đương - Điểm toàn làm tròn đến 0,5 điểm./ - Hết 2020 2022 0,25đ ... (0,5đ) 2021 2020 x 2021 x 2022 x2 2021? ??1 x 1 x 1 x 1 x 2021 2021? ??1 x x x2 0,25đ 2021 2021 Dấu "=" xảy ra 2021? ??1 x x 2021 2021x ... x Vậy MinA 2021 2021 x 2020 2022 Lưu ý: - Học sinh có cách làm khác cho điểm tương đương - Điểm toàn làm tròn đến 0,5 điểm./ - Hết 2020 2022 0,25đ ... vng góc CD , suy ra o (1) OHM=MHN =90 Vì OA = OB = R; MA = MB (tc 2 tt cắt nhau) nên OM là đường trung 0,25đ 0,25đ trực AB , suy ra M KN =? ?90 o (2). Từ (1)(2) lập luận suy ra tứ giác