bai giang dinh nghia va y nghia cua dao ham

ĐẠO HÀM BÀI GIẢNG ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM Mục tiêu  Kiến thức + Hiểu khái niệm đạo hàm, đạo hàm bên trái, đạo hàm bên phải, đạo hàm khoảng, đoạn + Nắm quan hệ tồn đạo hàm tính liên tục hàm số + Biết cách tìm hệ số góc tiếp tuyến viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm + Trình bày ứng dụng đạo hàm vào giải tốn vật lý  Kĩ + Tính đạo hàm hàm số điểm, khoảng cách dùng định nghĩa + Biết cách tìm hệ số góc tiếp tuyến viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm +   Vận dụng đạo hàm vào giải tốn vật lí Trang   I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Định nghĩa đạo hàm điểm Cho hàm số y  f  x  xác định khoảng  a; b  x0   a; b  Nếu tồn giới hạn (hữu hạn) lim x  x0 f  x   f  x0  giới hạn x  x0 gọi đạo hàm hàm số y  f  x  x0 kí hiệu f   x0  có nghĩa f   x0   lim x  x0 f  x   f  x0  y  lim x  x x  x0 Trong x  x  x0 gọi số gia đối số x x0 y  f  x   f  x0   f  x0  x   f  x0  gọi số gia tương ứng hàm số Đạo hàm bên trái, bên phải f   x0   lim f  x   f  x0  ; x  x0 f   x0   lim f  x   f  x0  x  x0 x  x0 x  x0 Hệ quả: Hàm f  x  có đạo hàm x0 tồn f   x0  f   x0  , đồng thời f   x0   f   x0  Đạo hàm khoảng, đoạn - Hàm số y  f  x  có đạo hàm  a; b  có đạo hàm điểm thuộc  a; b  - Hàm số y  f  x  có đạo hàm  a; b  f  x  + Có đạo hàm x   a; b  ; + Có đạo hàm trái f   b   ; + Có đạo hàm phải f   a   Quan hệ tồn đạo hàm tính liên tục hàm số Nếu hàm số y  f  x  có đạo hàm x0 liên tục x0 Ý nghĩa hình học đạo hàm Đạo hàm hàm số y  f  x  điểm x0 hệ số góc tiếp TOANMATH.com Chú ý: + Nếu y  f  x  gián đoạn x0 khơng có đạo hàm x0 Trang   tuyến M 0T đồ thị hàm số điểm M  x0 ; f  x0   + Nếu y  f  x  liên tục Phương trình tiếp tuyến x0 khơng có đạo hàm Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f  x  điểm x0 M  x0 ; f  x0   y  y0  f   x0  x  x0  y0  f  x0  Ý nghĩa vật lí đạo hàm + Vận tốc tức thời : v  t0   s  t0  ; + Gia tốc: a  t0   v  t0    s  t0   ; + Cường độ dòng điện tức thời: I  t0   Q  t0  SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA Đạo hàm điểm ĐẠO HÀM f   x0   lim x  x0 f  x   f  x0  y  lim x  x x  x0  x  x  x ; y  f  x   f  x   Đạo hàm trái f   x0   lim Đạo hàm bên Đạo hàm khoảng Hàm số y  f  x  có đạo hàm  a; b  có x  x0 f  x   f  x0  x  x0 Đạo hàm phải f   x0   lim x  x0 f  x   f  x0  x  x0 ; đạo hàm điểm thuộc  a; b  Đạo hàm đoạn Hàm số y  f  x  có đạo hàm  a; b  f   x  , x   a; b     f   b    f   a  TOANMATH.com Trang   Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f  x  điểm M  x0 ; f  x0   Ý nghĩa hình học y  y0  f   x0  x  x0  k  f   x0  hệ số góc tiếp tuyến Ý NGHĨA Vận tốc tức thời CỦA ĐẠO v  t   s   t0  ; HÀM Ý nghĩa vật lí Gia tốc tức thời a  t0   v  t0  ; Cường độ tức thời I  t   Q  t0  II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng Dùng định nghĩa tính đạo hàm Bài tốn Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm số điểm Phương pháp giải Ví dụ Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm số y  x  x0  Bước 1: Giả sử x số gia đối số x Hướng dẫn giải điểm x0 Tính y  f  x0  x   f  x0  Giả sử x số gia đối số x0  Ta có: y Bước 2: Lập tỉ số x y Bước 3: Tìm lim x  x y  f   x   f      x     2.22  3  2x  x   Tỉ số y 2x  x     2x  x x y  lim  2x    x  x x  lim TOANMATH.com Trang   Vậy f     y tồn hữu hạn x0 hàm x + Nếu lim x  y ; x  x số có đạo hàm f   x0   lim y không tồn hữu hạn x 0 x + Nếu lim x0 hàm số khơng có đạo hàm Ví dụ mẫu Ví dụ Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm số y  2x 1 x0  x 1 Hướng dẫn giải Giả sử x số gia đối số x0  Ta có: y  f   x   f  3    x   5  2x 3x ;      x  4  x 4   x  y 3x   x x.4   x    x  Do lim x  y 3x 3  lim  lim   x   x  x x.4   x    x  16 Vậy f   3  16 Ví dụ Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm số y  x  x0  Hướng dẫn giải Giả sử x số gia đối số x0  Ta có: y  f 1  x   f 1  1  x     y  x x lim x   2x  2x    2x ; 2x   ; 2x   y  lim   x  x 2x   Vậy f  1  Ví dụ Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm số y  sin x x0   Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang   Giả sử x số gia đối số x0    Ta có: y  f   x       x       x  f    sin   x   sin  cos    sin ; 3 3  3  x sin y   x   cos    x   x x sin y   x  Do lim  lim cos    x x  x x  3  x  nên lim y  lim cos    x   cos     x  x x  x 3  sin Vì lim x    Vậy f     3  x  12 , x  Ví dụ Chứng minh hàm số f  x    khơng có đạo hàm x  có đạo  x , x  hàm x  Hướng dẫn giải Ta có lim f  x   lim  x  1  1; lim f  x   lim   x    lim f  x   lim f  x  x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 Suy hàm số gián đoạn x  nên khơng có đạo hàm f   x   f   1  x   12  lim  x  lim  lim   x  x 0 x  x x Vậy hàm số y  f  x  có đạo hàm x  f     Ví dụ Chứng minh hàm số f  x   2x2  x  x 1 liên tục x  1 khơng có đạo hàm điểm Hướng dẫn giải Vì f  x  hàm số sơ cấp xác định x  1 nên liên tục  Ta có: f   1   lim    x 1  f   1   lim    x  1 TOANMATH.com f  x   f  1 2x  lim   1; x  1 x  x 1 f  x   f  1 x 1  lim   x  1 Trang     Do f   1   f   1  nên f  x  khơng có đạo hàm x  1     Ví dụ Cho đồ thị hàm số y  f  x  xác định khoảng  a; b  hình vẽ Dựa vào hình vẽ cho biết điểm x1 , x2 , x3 , x4 a, Hàm số có liên tục khơng? b, Hàm số có đạo hàm khơng? Tính đạo hàm có Hướng dẫn giải a, Hàm số gián đoạn điểm x1 , x3 đồ thị bị đứt điểm Hàm số liên tục x2 , x4 đồ thị đường liền nét qua điểm b, Tại điểm x1 , x3 hàm số khơng có đạo hàm hàm số gián đoạn điểm x1 , x3 Hàm số khơng có đạo hàm x2 đồ thị bị gãy (khơng có tiếp tuyến đó) Hàm số có đạo hàm x4 f   x4   x4 đồ thị hàm số có tiếp tuyến tiếp tuyến song song với trục hồnh (hệ số góc tiếp tuyến 0) Bài tốn Dùng định nghĩa tìm đạo hàm khoảng Phương pháp giải Bước 1: Giả sử x số gia đối số x Ví dụ Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm x0 số y  x khoảng  ;   ? Tính y  f  x0  x   f  x0  Hướng dẫn giải Bước 2: Lập tỉ số y x y x  x Bước 3: Tìm lim  Giả sử x số gia đối số x Ta có: y  f  x  x   f  x    x  x   x 2  2x.x   x  Hàm số y  f  x  có đạo hàm có đạo hàm điểm Tỉ số y  2x.x   x   x  x x x  a; b   a; b  TOANMATH.com Trang    Hàm số y  f  x  có đạo hàm  a; b  có đạo hàm điểm thuộc  a; b  đồng thời tồn đạo hàm y  lim  x  x   x x  x x  lim Vậy f   x   x trái f   b   đạo hàm phải f   a   Ví dụ mẫu Ví dụ Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm số y  x x 1 khoảng  ;1  1;   ? Hướng dẫn giải Giả sử x số gia đối số x Ta có y  f  x  x   f  x   x  x x x   x  x  x   x  x  1 x  1 y x 1   x x  x  x  1 x  1  x  x  1 x  1 y 1 1  lim  x  x x   x  x  1 x  1  x  1 lim Vậy f   x   1  x  1 Ví dụ Tính đạo hàm hàm số y  cos x khoảng  ;   ? Hướng dẫn giải Giả sử x số gia đối số x x  x  Ta có: y  f  x  x   f  x   cos  x  x   cos x  2sin  x   sin   x  x x  x   2sin  x  sin sin  x  sin   y  2      x  x x y  lim  lim x  x x 0 x  x  sin  x   sin     sin x x Vậy f   x    sin x Bài tốn Tìm điều kiện tham số để hàm số có đạo hàm Phương pháp giải TOANMATH.com Trang   Sử dụng tính chất  x2  x   Hàm f  x  có đạo hàm x0 Ví dụ Tìm m để hàm số f  x    x   2m x     tồn f   x0  f   x0  đồng thời có đạo hàm x  f   x0   f   x0  Hướng dẫn giải Ta có lim f  x   lim x 1 x 1 x2   2; f 1  2m x 1 Để hàm số có đạo hàm x  f  x  phải liên tục x 1, suy lim f  x   f 1  2m   m  x 1 Thay m  vào hàm số f  x  thỏa mãn có đạo hàm x 1 Ví dụ mẫu  x  x x  có đạo hàm x  Ví dụ Tìm a, b để hàm số f  x    ax  b x  Hướng dẫn giải Ta có lim f  x   lim  x  x   2; lim f  x   lim  ax  b   2a  b x  2 x2 x2 x2 Để hàm số có đạo hàm x  hàm số liên tục x  Do 2a  b  2  b  2a  Ta lại có: lim f  x   f  2 x  3x   lim  lim  x  1  1; x2 x2 x2 x2 lim f  x   f  2 ax  b   2  ax  b   lim  lim x2 x 2 x2 x2 x2 x 2 x 2 Do b  2a  nên lim x 2 ax  b  ax  2a   ax  2a  lim  lim a x2 x 2 x2 x2 x2 Để hàm số có đạo hàm x  lim x 2 f  x   f  2 f  x   f  2 a  a   lim   x2 x2 x2 b  2a  b  4 cos x, x  Ví dụ Chứng minh hàm số f  x     sin x, x  khơng có đạo hàm x  Hướng dẫn giải Ta có: lim f  x   lim cos x  1; lim f  x   lim   sin x    lim f  x   lim f  x  x 0 TOANMATH.com x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 Trang   Suy hàm số gián đoạn x  nên khơng có đạo hàm  x3 x   có đạo hàm x  Ví dụ Tìm a, b để hàm số f  x    ax  b x   Hướng dẫn giải Điều kiện cần  x3  1 Ta có f 1  ; lim f  x   lim    lim f  x   lim  ax  b   a  b x 1 x 1 x 1 x 1  3 Để hàm số f  x  có đạo hàm x  f  x  liên tục x  Do lim f  x   lim f  x   f 1  a  b  x 1 x 1 Điều kiện đủ: x3  f  x   f 1  3  lim x  x    lim f  1   lim x 1 x 1 x 1 x  x 1 f  1   lim x 1 f  x   f 1 f  x   f 1 ax  b   a  b  ax  a  lim  lim  lim  a x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Để hàm số f  x  có đạo hàm x  f  1   f  1   a   b   Vậy a  1; b   thỏa mãn yêu cầu toán Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Số gia hàm số f  x   x điểm x0  ứng với x  A B Câu 2: Biểu thức y A y  0, C D y hàm số y  x  tính theo x x x y  x B y   x   x.x, C y  x.x   x   2, y  x  x x D y   x  , y  x  x x y  x x Câu 3: Đạo hàm hàm số y  x  điểm x0  1 A -1 B C D Câu 4: Đạo hàm hàm số y  x  x điểm x0 2 A f   x0   lim  x   x   x   B f   x0   lim  x   x  x0  x0   x 0  C f   x0   lim  x0 x   x   x   x   TOANMATH.com D f   x0   lim  x  x0  1 x 0 Trang 10   Câu 15: Đạo hàm hàm số y  f  x   x khoảng  0;   A y  x B y  x D y  C y  x  x4  , x   Câu 16: Giá trị m để hàm số f  x    x  có đạo hàm x  m x   A m  B m  C m  D m  2 x   x  ax  b Câu 17: Cho hàm số y   , biết hàm số có đạo hàm điểm x   x  x  x  10 x  Giá trị ab A B C D -8  x4  x2  x  1  có đạo hàm  giá trị a  b Câu 18: Nếu hàm số f  x    x 1 ax  ax  b x  1  A -1 B C D -4 Dạng 2: Tìm hệ số góc tiếp tuyến viết phương trình tiếp tuyến điểm Phương pháp giải Cho hàm số y  f  x  có đồ thị  C  điểm Ví dụ Viết phương trình tiếp tuyến đường M  x0 ; y0    C   Hệ số góc tiếp tuyến x0 k  f   x0   Phương trình tiếp tuyến  C  điểm M  x0 ; y0  có dạng: y  y0  f   x0  x  x0  cong y  x  điểm  1; 1 Hướng dẫn giải      1  x     1  y lim  lim x  x x  x  3   lim  x   6x   x   k  y  1  Phương trình tiếp tuyến y    x  1  y  x  Viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc k tiếp tuyến + Gọi M  x0 ; y0  tiếp điểm, ta có f   x0   k 1 + Giải phương trình 1 tìm x0 , từ y0  f  x0  TOANMATH.com Trang 12   + Phương trình tiếp tuyến phải tìm có dạng y  k  x  x0   y0 Ví dụ mẫu Ví dụ Tìm hệ số góc tiếp tuyến parabol y  x x  Hướng dẫn giải 1  x   1 lim Ta có x x   lim   x   x  Vậy hệ số góc k  y 1  Ví dụ Cho hàm số y  x Tìm hệ số góc tiếp tuyến giao điểm đồ thị với đường thẳng y  3x  Hướng dẫn giải Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số y  x đường thẳng y  x  x  x3  3x      x  2 1  x   1 Tại x  ta có lim x  x  lim x   x    3x   Hệ số góc k1  y 1   2  x    2  lim Tại x  2 ta có x x   lim x   x    6x  12  12 Hệ số góc k2  y  2   12 Ví dụ Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y   x điểm có tung độ 27 Hướng dẫn giải Ta có: y  27  x  3   3  x   27 y  lim  lim   x   9x  27  27 x  x x 0  x  x lim    k  y  3  27 Phương trình tiếp tuyến y  27  27  x  3  y  27 x  54 Ví dụ Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  x , biết hệ số góc tiếp tuyến x 1  Hướng dẫn giải Gọi M  x0 ; y0  tọa độ tiếp điểm Ta có: TOANMATH.com Trang 13   y 1 1  lim  x  x x   x  x  1 x  1  x0  1 0 f   x0   lim  x0  1 f   x0   k         x0  1    9  x0  1  x0  2 + Với x0  ta có y0   4 , phương trình tiếp tuyến  4;   3 y + Với x0  2 ta có y0  16  x  4   y   x  9 , phương trình tiếp tuyến y  x  2   y   x  9 Ví dụ Chứng minh để đường thẳng G  : y  f  x  2   2;  3   d  : y  ax  b tiếp tuyến đồ thị hàm số a  f   x0  điểm  x0 ; f  x0   điều kiện cần đủ  ax0  b  f  x0  Hướng dẫn giải Đường thẳng y  ax  b tiếp tuyến đồ thị  G  : y  f  x  điểm  x0 ; f  x0   đồng thời xảy qua điểm  x0 ; f  x0   tức ax0  b  f  x0    d   G   Hệ số góc  d  đạo hàm f x0 , tức a  f   x0  Từ suy điều cần chứng minh Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Cho đồ thị hàm số f  x  khoảng  a; b  Biết điểm M ; M ; M , đồ thị hàm số có tiếp tuyến thể hình vẽ Dựa vào hình vẽ xét dấu f   x1  , f   x2  , f   x3  A f   x1   0, f   x2   0, f   x3   B f   x1   0, f   x2   0, f   x3   C f   x1   0, f   x2   0, f   x3   D f   x1   0, f   x2   0, f   x3   TOANMATH.com Trang 14   Câu 2: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  điểm có hồnh độ -1 x A x  y   B y  x  C y  x  D y   x  Câu 3: Tiếp tuyến đồ thị hàm số y   x3  x  điểm có hoành độ song song với đường thẳng y  ax  b Giá trị a  b A B C Câu 4: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  D -1 1 biết hệ số góc tiếp tuyến  x A x  y   x  y   B x  y   x  y   1 C y   x  y   x  4 D y   x Câu 5: Hệ số góc tiếp tuyến parabol y  x x  A B C Câu 6: Hệ số góc tiếp tuyến parabol D  y  x giao điểm parabol với đường thẳng y  x  A B C D Câu 7: Phương trình tiếp tuyến đường cong y  x3 điểm  1; 1 A y  3 x  B y  1 C y  x  D y  x  Câu 8: Phương trình tiếp tuyến đường cong y  x3 điểm có tung độ A y  12 x  16 B y  C y  12 x  24 D y  12 x  16 Câu 9: Phương trình tiếp tuyến đường cong y  điểm có hồnh độ -1 x A x  y   B y  x  C y  x  D y   x  Dạng Ứng dụng đạo hàm vật lý Phương pháp giải Vận tốc trung bình: vtb  s  t  t   s  t  t Ví dụ Một vật rơi tự có phương trình chuyển động s  gt , g  9,8m /s t tính giây a, Tính vận tốc trung bình chuyển động TOANMATH.com Trang 15   khoảng thời gian từ t đến t  t trường hợp t  0,1 t  b, Tính vận tốc tức thời chuyển động thời điểm t  5s Hướng dẫn giải a, 1 2 s  t  t   s  t  g  t  t   gt vtb   t t  gt  g t Với t  0,1 t  vtb  9,8.3  9,8.0,1  28,89  m /s  Vận tốc tức thời: v  t0   s  t0  b, 1 g   t   g 52 s  lim lim t 0 t t 0 t    lim  g  g t   49; t    v    s    49  m /s  Cường độ tức thời thời điểm t0 Ví dụ Cho biết điện lượng dây dẫn dòng điện với điện lượng Q  Q  t  I  t   Q  t0  theo thời gian biểu thị hàm số Q  6t  ( t tính giây, Q tính Coulomb) Tính cường độ dòng điện dây dẫn thời điểm t  10 Hướng dẫn giải Vì Q  t   nên cường độ dòng điện dây dẫn thời điểm t  10 I 10   Q 10   Ví dụ Một chất điểm có phương trình chuyển động s  f  t   t  t  ( t tính giây, s tính mét) Tính vận tốc tức thời chuyển động thời điểm t  Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 16   Ta có: lim t  t0 t  t    t0  t0   f  t   f  t0   lim  lim  t  t0  1  2t0  t  t0 t  t0 t  t0 t  t0 Vậy f   t0   2t0  Vận tốc tức thời chuyển động thời điểm t  vtt  f     2.2    m/s  Ví dụ Cho chuyển động xác định phương trình S  t  3t  9t  , t tính giây S tính mét Tính gia tốc thời điểm vận tốc triệt tiêu Hướng dẫn giải Ta có t  3t  9t    t03  3t0  9t0   f  t   f  t0  v  t0   lim  lim  3t0  6t0  9; t  t0 t  t t  t0 t  t0 a  t0   lim t t0 v  t   v  t0   3t  6t     3t02  6t0    6t   lim t t0 t  t0 t  t0 Do a  v  6t0  Khi vận tốc triệt tiêu ta có v  t    3t  6t    t  Khi gia tốc a  3  6.3   12m /s Ví dụ Cho biết điện lượng dây dẫn theo thời gian biểu thị hàm số Q  3t  8t  ( t tính giây, Q tính Coulomb) Tính thời điểm cường độ dòng điện dây dẫn I  50 A Hướng dẫn giải Ta có: lim t  t0 3t  8t    3t0  8t0   f  t   f  t0   lim  lim  3t  3t0    6t0  t  t0 t t0 t  t0 t  t0 Vậy Q  t   6t  Do ta có phương trình I  Q  t   6.t   50  A   t   s  Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Một chuyển động có phương trình s  t   t  2t  (trong s tính mét, t tính giây).Vận tốc tức thời chuyển động t  1,5 (giây) A 6m/s B 1m/s C 8m/s D 2m/s   Câu 2: Xét chuyển động có phương trình s  t   6sin  3t   t tính giây, s 4  tính mét Vận tốc tức thời thời điểm t chuyển động TOANMATH.com Trang 17     A v  t   18cos  3t   4    B v  t   18cos  3t   4    C v  t   cos  3t   4    D v  t   6 cos  3t   4  Câu 3: Một chất điểm chuyển động có qng đường cho phương trình s  t   t  t  t  10t , t  với t tính giây (s) s tính mét (m) Hỏi thời điểm gia tốc vật đạt giá trị nhỏ vận tốc vật bao nhiêu? A 1m/s B 3m/s C 16m/s D 13m/s Câu 4: Một chất điểm chuyển động có phương trình s  t   t  t  6t , t tính giây, s tính mét Gia tốc chất điểm thời điểm vận tốc 24m/s A 20 m /s B 12 m /s C 39 m /s D 21 m /s Câu 5: Cho chuyển động thẳng xác định phương trình S  t  3t  9t , t tính giây S tính mét Tính vận tốc thời điểm gia tốc bị triệt tiêu A 11m/s B 0m/s C 12m/s D 6m/s Câu 6: Một chất điểm chuyển động theo quy luật s  t   t  6t với t thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động , s  t  quãng đường khoảng thời gian t Thời điểm t đạt giá trị lớn A t  B t  C t  D t  Câu 7: Một vật gaio động điều hòa có phương trình qng đường phụ thuộc thời gian s  A sin t    , A ,  ,  số, t thời gian Khi biểu thức vận tốc vật A v  A cos t    B v   A cos t    C v  A cos t    D v   A cos t    Câu 8: Cho biết điện lượng dây dẫn theo thời gian biểu thị hàm số Q  3t  6t  ( t tính giây, Q tính Coulomb) Cường độ dòng điện dây dẫn thời điểm t  A 16 A B 18 A C A D A Câu 9: Tomahawk tên lửa hành trình có khả mang đầu đạn hạt nhân, phóng từ hệ thống phóng mặt đất Giả sử Tomahawk (khơng gắn với động cơ) bắn lên cao theo phương trình s  t   196t  4,9t t thời gian ( t  , đơn vị giây) s  t  khoảng cách tên lửa so với mặt đất tính kilomet Khoảng cách tên lửa so với mặt đất thời điểm vận tốc bằng bao nhiêu? A 1069 B 1960 C 1690 D 1906 Câu 10: Một chất điểm chuyển động có phương trình S  2t  6t  3t  với t tính giây (s) S tính mét (m) Hỏi gia tốc chuyển động thời điểm t  (s) bao nhiêu? A 228 m /s TOANMATH.com B 64 m /s C 88 m /s D 76 m /s Trang 18   ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BẢI TẬP TỰ LUYỆN DẠNG 1- C 2- B 3- D 4- D 5- B 6- A 7- C 8- D 11- B 12- D 13- A 14- D 15- B 16- B 17- D 18- B 9- C 10- A HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu Ta có y  f    f 1  23  13  Câu Ta có y  f  x  x   f  x    x  x     x  1  xx   x  ; 2 y  x  x x Câu Ta có y   1  x      1  1  2x  y y  lim   Suy lim x  x x  x Vậy y  1  Câu Xét hàm số y  f  x   x  x Gọi x số gia đối số x0 2 Ta có y  f  x0  x   f  x0    x0  x    x0  x     x0  x0    x   x0 x  x   Suy lim x  y  lim  x  x0  1 x x 0 Vậy f   x0   lim  x  x0  1 x  Câu Ta có y  f 1  x   f 1  1  x   1  x   12  1  3x  x ; suy y  lim   x   x  x x 0 lim Câu Ta có y  1 y 1 x y 1 Suy lim  lim      x  x x    x  2  x   x  x   x  Vậy y     Câu Ta có y  f   x   f     2x  ; suy TOANMATH.com y  2x   x x Trang 19   y  2x  32  lim  lim  x  x x  x   2x  3 x  2x  Do lim   Vậy y    Câu Ta có: lim x 0 f  x   f  0 x x f  x   f  0 x x x x xx  lim  lim  2, lim  lim  lim  x  x  x  x  x  x0 x x x0 x x Vậy hàm số không tồn đạo hàm x0  Câu Ta có: f     lim x 0 f  x   f  0 x2  1 1  lim  lim  x 0 x 0 x0 x x2   Câu 10 Ta có lim f  x   lim x 0 x 0 sin x  sin x   lim  sin x   0; lim f  x   lim  x  x   nên hàm số liên x 0  x 0 x 0 x x  tục x  Ta lại có: lim x 0 f  x   f  0 f  x   f 0 sin x x  x2    lim  lim lim x 0 x 0 x 0 x x2 x x Vậy f     Câu 11 Hàm số y  f  x   2x2  x  Ta có lim f  x   lim x 1 x 1 có tập xác định D   \ 1 x2  x  x 1 x 1  1  f  1 nên hàm số liên tục x  1 x  1 2 x  2x2  x   nên Ta có y  f  x     2x  x 1 x 1 x  1, x    x 1 lim  x  1 f  x   f  1 x    1  lim   x  1 x   1 x 1 x2  x    1 f  x   f  1 2x x 1 lim   lim   lim   x  1 x  1 x  1 x  x   1 x 1 Vậy không tồn lim x 1 f  x   f  1 Do hàm số khơng có đạo hàm x  1 x   1 Câu 12 TOANMATH.com Trang 20   Ta có lim f  x   lim  x  3  x 1 x 1 lim f  x   lim x 1 x 1 x3  x  x   lim  x  3x    x 1 x 1 Suy lim f  x   lim f  x   hàm số không liên tục x  nên hàm số khơng có đạo x 1 x 1 hàm x0  Câu 13 Ta có lim x  f  x  x   f  x  cc  lim  lim   f   x    x  x x x 0 Câu 14 1  f  x  x   f  x  1  lim x  x x  lim   Vậy f   x    Ta có lim 0 x   x   x  x x x  x  x  x x Câu 15 Ta có lim x  f  x  x   f  x  1 x  x  x  lim  lim   f  x  x 0 x 0 x x x x  x  x x Câu 16 Ta dễ dàng chứng minh lim x2 x2   x2 Để hàm số liên tục x  lim f  x   f     m  x2 x2  4 f  x   f  2  lim x   Mặt khác lim x 2 x2 x2 x2 Vậy với m  hàm số dã cho có đạo hàm x  Câu 17 Để hàm số có đạo hàm x  thi hàm số phải liên tục x  Do lim  x  x  x  10   lim  x  ax  b   2   2a  b  2a  b  6 x 2 x2 Hàm số có đạo hàm điểm x  nên lim x  2 f  x   f  2 f  x   f  2  lim   a   a  4 x  x2 x2 Suy a  Vậy ab  8 Câu 18 Với x  1 hàm số ln có đạo hàm nên để hàm số có đạo hàm với x   hàm số phải có đạo hàm x  1 TOANMATH.com Trang 21   Ta có: lim x 1 x4  x2   0; lim  ax  ax  b   b Để hàm số liên tục x  1 x 1 x 1 lim f  x   lim f  x   f  1   b  x 1 x 1 Với b  0; a   , ta có: x4  x2  0 f  x   f  1 f  x   f  1 ax  ax  x 1 lim  lim  4; lim  lim  a x 1 x 1 x 1 x 1 x   1 x 1 x   1 x 1 Hàm số có đạo hàm điểm x  khi: lim x 1 f  x   f  0 f  x   f  1  lim   a  4 x  x   1 x   1 Vậy a  4, b   a  b  4 ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BẢI TẬP TỰ LUYỆN DẠNG 1- C 2- A 3- A 4- B 5- B 6- C 7- D 8- D 9- A HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Đồ thị hàm số có tiếp tuyến điểm M ; M ; M nên hàm số f  x  có đạo hàm điểm x1 , x2 , x3 Dựa vào đồ thị ta thấy: +) Tiếp tuyến điểm M đường thẳng song song với trục hoành nên hệ số góc tiếp tuyến Suy f   x1   +) Tiếp tuyến điểm M đường thẳng từ trái sang phải nên hệ số góc tiếp tuyến số dương Suy f   x2   +) Tiếp tuyến điểm M đường thẳng xuống từ trái sang phải nên hệ số góc tiếp tuyến số âm Suy f   x3   Câu Ta có x  1  y  1 Khi lim x  y  lim  1  k  y  1  1  x  x 1  x Phương trình tiếp tuyến: y   x  Câu Ta có y0  y    4 Hệ số góc tiếp tuyến TOANMATH.com Trang 22   y    lim x2 f  x   f  2  x3  3x    lim  lim   x  x  1  9 x  x2 x2 x2 Phương trình tiếp tuyến điểm có hồnh độ y  9 x  14 Vậy a  9; b  14  a  b  Câu Gọi M  x0 ; y  tọa độ tiếp điểm lim x  y 1  lim  2;  x  x x0  x0  x  x0 f   x0   k   1    x0   x  2 x0 Với x0   y0  , phương trình tiếp tuyến  1  2;  y   x   x  y    2 1  Với x0  2  y0   , phương trình tiếp tuyến  2;   2  y   x 1  x  y   Câu 2 1  1   x         lim  x  Ta có lim    x  x  x 1 Hệ số góc k  y    2 Câu x  Phương trình hồnh độ giao điểm: x  x     x  1  x   1 x  1: lim Tại x x   lim   x   x 0 Hệ số góc k1  y 1    x     Tại x  : lim x  x  lim   x   x  Hệ số góc k2  y    Câu lim x    y  lim  3x   x    k  y  1   x  x Phương trình tiếp tuyến: y    x  1  y  x  TOANMATH.com Trang 23   Câu y 8 x    y  lim 12  6x   x   12 x  x x  lim  k  y    12 Phương trình tiếp tuyến: y   12  x    y  12 x  16 Câu Ta có x  1  y  1 y  lim  1  k  y  1  1 x  x x  1  x lim Phương trình tiếp tuyến: y   x  ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BẢI TẬP TỰ LUYỆN DẠNG 1- B 2- A 3- D 4- D 5- C 6- D 7- C 8- B 9- B 10- A HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu Bằng định nghĩa tính s  t   2t  Vận tốc tức thời chuyển động thời điểm t  1,5 (giây) v 1,5   s 1,5   2.1,5   1 m /s  Câu   Bằng định nghĩa tính s  t   18cos  3t   4    Vận tốc tức thời thời điểm t chuyển động v  t   s  t   18cos  3t   4  Câu Vận tốc chuyển động đạo hàm quãng đường: Bằng định nghĩa tính v  t   t  3t  5t  10 Gia tốc chuyển động đạo hàm cấp hai quãng đường: Bằng định nghĩa tính a  t   3t  6t  Ta có a  t   3t  6t    t  1   với t Dấu “=” xảy t  Khi đó, vận tốc chuyển động v 1  13  m /s  Câu Vận tốc chuyển động đạo hàm cấp quãng đường: TOANMATH.com Trang 24   Bằng định nghĩa tính v  t   s  t   3t  9t   24  t   s  Gia tốc chuyển động đạo hàm cấp hai quãng đường: Bằng định nghĩa tính a  t   s  t   6t   a    21 m / s  Câu Vận tốc chuyển động đạo hàm cấp quãng đường: Bằng định nghĩa tính v  S  3t  6t  Gia tốc chuyển động đạo hàm cấp hai quãng đường: Bằng định nghĩa tính a  v  S   6t  Gia tốc triệt tiêu S    t  Khi vận tốc chuyển động S  1  12 m/s Câu Vận tốc chuyển động đạo hàm cấp quãng đường: Bằng định nghĩa tính v  t   s  t   3t  12t  3  t    12  12 Dấu xảy t  Vậy v  t max  t  Câu Vận tốc chuyển động đạo hàm cấp quãng đường: Bằng định nghĩa tính v  s   A sin t      A t    cos t     A cos t    Câu Bằng định nghĩa tính Q  t   6t  Cường độ dòng điện dây dẫn thời điểm t  I  Q    6.2   18  A  Câu Vận tốc chuyển động đạo hàm cấp quãng đường: Bằng định nghĩa tính v  t   s  t   196  9,8t  v  t    t  20  s  s  20   196.20  4,9.202  1960 Câu 10 Vận tốc chuyển động đạo hàm cấp quãng đường: Bằng định nghĩa tính v  t    S  t    8t  12t  Gia tốc chuyển động đạo hàm cấp quãng đường: Bằng định nghĩa tính a  t   S   t   24t  12  a  3  24.32  12  228  m/s  Vậy gia tốc chuyển động thời điểm t   s  228m/s TOANMATH.com Trang 25   TOANMATH.com Trang 26 ... tiếp tuyến đồ thị hàm số y  D -1 1 biết hệ số góc tiếp tuyến  x A x  y   x  y   B x  y   x  y   1 C y   x  y   x  4 D y   x Câu 5: Hệ số góc tiếp tuyến parabol y  x... tiếp tuyến đường cong y  x3 điểm có tung độ A y  12 x  16 B y  C y  12 x  24 D y  12 x  16 Câu 9: Phương trình tiếp tuyến đường cong y  điểm có hồnh độ -1 x A x  y   B y  x  C y ... hàm hàm số y  c ( c số) khoảng  ;   A y? ??  B y? ??  c Câu 14: Đạo hàm hàm số y  f  x   A y? ??  x TOANMATH.com B y? ??  C y? ??  D y? ??  x khoảng  ;   0;   x C y? ??  x D y? ??   x2