dhqn giao trinh xu ly so tin hieu pham hong thinh 179 trang 7112

TRƯỜNG ðẠI HỌC QUY NHƠN KHOA KỸ THUẬT & CÔNG NGHỆ GIÁO TRÌNH XỬ LÝ SỐ TÍN HIỆU Người biên soạn: Phạm Hồng Thịnh Quy Nhơn 2009 MỤC LỤC CHƯƠNG BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRONG MIỀN THỜI GIAN RỜI RẠC n 1.1 NHẬP MÔN 1.1.1 ðịnh nghĩa tín hiệu 1.1.2 Phân loại tín hiệu 1.1.3 Hệ thống xử lý tín hiệu 1.2 TÍN HIỆU RỜI RẠC 1.2.1 Các dạng biểu diễn dãy số 1.2.2 Các tín hiệu rời rạc 1.2.3 Các phép toán dãy 12 1.3 HỆ THỐNG RỜI RẠC 13 1.3.1 Khái niệm 13 1.3.2 Phân loại hệ thống rời rạc 15 1.3.2.1 Hệ thống không nhớ (Memoryless systems) 15 1.3.2.2 Hệ thống tuyến tính (Linear systems) 15 1.3.2.3 Hệ thống bất biến theo thời gian (Time-Invariant systems) 16 1.3.2.4 Hệ thống nhân (Causal systems) 16 1.3.2.5 Hệ thống ổn ñịnh (Stable systems) 17 1.3.3 Hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian 17 1.3.3.1 Khái niệm 17 1.3.3.2 Tích chập 18 1.3.3.3 Các tính chất hệ thống tuyến tính bất biến 21 1.4 PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH HỆ SỐ HẰNG 25 1.4.1 Khái niệm 25 1.4.2 Nghiệm PTSP-TT-HSH 25 1.5 HỆ THỐNG RỜI RẠC ðỆ QUY (RECURSIVE) VÀ KHÔNG ðỆ QUY (NONRECURSIVE) 31 1.5.1 Hệ thống khơng đệ quy FIR 31 1.5.2 Hệ thống ñệ quy IIR 31 1.5.3 Thực hệ FIR IIR 34 1.6 HÀM TƯƠNG QUAN VÀ HÀM TỰ TƯƠNG QUAN 35 1.6.1 Hàm tương quan 35 1.6.2 Hàm tự tương quan 37 Chương BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRONG MIỀN Z 39 2.1 BIẾN ðỔI Z 39 2.1.1 Biến ñổi Z thuận 39 2.1.1.1 Biến ñổi Z hai phía 39 2.1.1.2 Biến đổi Z phía 40 2.1.2 Miền hội tụ biến ñổi Z 41 2.1.3 Các tính chât biến ñổi z 45 2.1.4 Biến ñổi z hữu tỷ 47 2.2 BIẾN ðỔI Z NGƯỢC 49 2.2.1 ðịnh lí Cauchy 49 2.2.2 Biến ñổi z ngược 49 2.2.3 Các phương pháp tìm biến đổi z ngược 50 2.2.3.1 Phương pháp thặng dư 50 2.2.3.2 Phương pháp khai triển X(z) thành chuỗi lũy thừa 51 2.2.3.3 Phương pháp phân tích X(z) thành tổng phân thức tối giản 53 2.3 PHÂN TÍCH HỆ THỐNG RỜI RẠC TRÊN MIỀN Z 60 2.3.1 Hàm truyền ñạt hệ thống TT-BB 60 2.3.2 Hàm truyền đạt hệ mơ tả PT – SP – TT –HSH 60 2.3.3 Giải phương trình sai phân TT – HSH sử dụng biến ñổi z 61 2.3.4 Phân tích hệ thống TT – BB miền z 64 CHƯƠNG BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRONG MIỀN TẦN SỐ LIÊN TỤC ω 76 3.1 BIẾN ðỔI FOURIER 77 3.1.1 Biến ñổi Fourier thuận 77 3.1.1.1 ðịnh nghĩa 78 3.1.1.2 Sự tồn biến ñổi Fourier 78 3.1.1.3 Các dạng biểu diễn hàm X(ejω) 79 3.1.1.4 Quan hệ biến ñổi Fourier biến ñổi Z 81 3.1.2 Biến ñổi Fourier ngược 82 3.1.3 Các tính chất biến ñổi Fourier 83 3.2 PHỔ CỦA TÍN HIỆU SỐ 88 3.2.1 Các ñặc trưng phổ tín hiệu số 88 3.2.2 Phổ tín hiệu liên tục x(t) tín hiệu lấy mẫu x(n.T) 90 3.3 ðẶC TÍNH TẦN SỐ VÀ HÀM TRUYỀN ðẠT PHỨC CỦA HỆ XỬ LÝ SỐ TUYẾN TÍNH BẤT BIẾN NHÂN QUẢ 93 3.3.1 ðặc tính tần số hàm truyền ñạt phức H(ejω) 93 3.3.2 Phân tích hệ xử lý số theo hàm truyền ñạt phức H(ejω ) 96 3.4 CÁC BỘ LỌC SỐ LÝ TƯỞNG 98 3.4.1 Bộ lọc thông thấp lý tưởng 98 3.4.2 Bộ lọc thông cao lý tưởng 100 3.4.3 Bộ lọc dải thông lý tưởng 102 3.4.4 Bộ lọc dải chặn lý tưởng 104 3.4.5 Bộ lọc số thực tế 107 CHƯƠNG BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRONG MIỀN TẦN SỐ RỜI RẠC (MIỀN K) 108 4.1 BIẾN ðỔI FOURIER RỜI RẠC CỦA DÃY TUẦN HOÀN 108 4.2 BIẾN ðỔI FOURIER RỜI RẠC CỦA DÃY KHÔNG TUẦN HỒN CĨ ðỘ DÀI HỮU HẠN (DFT) 110 4.2.1 Biến ñổi Fourier rời rạc (DFT) 110 4.2.2 Quan hệ DFT với FT ZT 114 4.3 PHÉP DỊCH VỊNG, TÍCH CHẬP VỊNG VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA DFT 116 4.3.1 Phép dịch vịng tích chập vòng DFT 116 4.3.1.1 Phép dịch vòng 116 4.3.1.1 Phép dịch vòng 119 4.3.2 Các tính chất DFT 122 4.4 TÍNH TRỰC TIẾP DFT VÀ IDFT 126 4.4.1 Số lượng phép tốn tính trực tiếp DFT IDFT 126 4.4.2 Tính DFT IDFT dãy x(n)N thực, ñối xứng, N lẻ 127 4.4.3 Tính DFT IDFT dãy x(n)N thực, ñối xứng, N chẵn 132 4.4.4 Tính DFT IDFT dãy x(n)N thực, phản ñối xứng, N lẻ 134 4.4.5 Tính DFT IDFT dãy x(n)N thực, phản ñối xứng, N chẵn 137 Chương TỔNG HỢP BỘ LỌC SỐ CÓ ðÁP ỨNG XUNG CHIỀU DÀI HỮU HẠN 141 5.1 PHÂN TÍCH BỘ LỌC SỐ FIR PHA TUYẾN TÍNH 141 5.1.1 ðặc tính xung h(n) lọc số FIR pha tuyến tính 141 5.1.2 ðặc tính tần số lọc số FIR pha tuyến tính 145 5.1.2.1 ðặc tính tần số lọc FIR pha tuyến tính loại 146 5.1.2.2 ðặc tính tần số lọc FIR pha tuyến tính loại 149 5.1.2.3 ðặc tính tần số lọc FIR pha tuyến tính loại 149 5.1.2.4 ðặc tính tần số lọc FIR pha tuyến tính loại 151 5.2 CÁC PHƯƠNG PHÁP TỔNG HỢP BỘ LỌC SỐ FIR PHA TUYẾN TÍNH 152 5.2.1 Phương pháp cửa sổ 152 5.2.1.1 Các bước thiết kế lọc số phương pháp cửa sổ 150 5.2.1.2 Một số hàm cửa sổ thường dùng 153 5.2.2 Phương pháp lấy mẫu tần số 160 5.2.2.1 Cơ sở phương pháp lấy mẫy tần số 160 5.2.2.2 Các bước tổng hợp lọc số theo phương pháp lấy mẫu tần số 163 CHƯƠNG THIẾT KẾ BỘ LỌC SỐ CĨ ðÁP ỨNG XUNG CĨ CHIỀU DÀI VƠ HẠN IIR 165 6.1 CƠ SỞ TỔNG HỢP BỘ LỌC SỐ IIR 165 6.2 PHƯƠNG PHÁP BẤT BIẾN XUNG 166 6.3 PHƯƠNG PHÁP BIẾN ðỔI SONG TUYẾN 170 6.4 PHƯƠNG PHÁP TƯƠNG ðƯƠNG VI PHÂN 175 6.5 BỘ LỌC TƯƠNG TỰ BUTTERWORTH .175 6.6 BỘ LỌC TƯƠNG TỰ CHEBYSHEP 176 6.7 BỘ LỌC TƯƠNG TỰ ELIP (CAUER) 178 Chương BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRONG MIỀN THỜI GIAN RỜI RẠC n 1.1 Nhập mơn 1.1.1 ðịnh nghĩa tín hiệu Tín hiệu đại lượng vật lý chứa thơng tin (information) Về mặt tốn học, tín hiệu biểu diễn hàm hay nhiều biến độc lập Ví dụ 1.1 - Tín hiệu âm dao động học lan truyền khơng khí, mang thơng tin truyền đến tai Khi biến thành tín hiệu điện (điện áp hay dịng điện) giá trị hàm theo thời gian - Tín hiệu hình ảnh tĩnh hai chiều ñược ñặc trưng hàm cường ñộ sáng hai biến không gian Khi biến thành tín hiệu điện, hàm biến thời gian ðể thuận tiện, ta qui ước (khơng mà làm tính tổng quát) tín hiệu hàm biến ñộc lập biến thời gian (mặc dù có khơng phải vậy, chẳng hạn biến ñổi áp suất theo ñộ cao) Giá trị hàm tương ứng với giá trị biến ñược gọi biên ñộ (amplitude) tín hiệu Ta thấy rằng, thuật ngữ biên độ khơng phải giá trị cực đại mà tín hiệu đạt 1.1.2 Phân loại tín hiệu Tín hiệu phân loại dựa vào nhiều sở khác tương ứng có cách phân loại khác Ở ñây, ta dựa vào liên tục hay rời rạc thời gian biên ñộ ñể phân loại Có loại tín hiệu sau: - Tín hiệu tương tự (Analog signal): thời gian liên tục biên độ liên tục - Tín hiệu lượng tử hóa (Quantified signal): thời gian liên tục biên độ rời rạc ðây tín hiệu tương tự có biên độ rời rạc hóa - Tín hiệu rời rạc (Discrete signal): Là tín hiệu biểu diễn hàm biến rời rạc + Tín hiệu lấy mẫu: Hàm tín hiệu rời rạc liên tục (khơng lượng tử hố) + Tín hiệu số: Hàm tín hiệu rời rạc rời rạc Tín hiệu số tín hiệu rời rạc biên ñộ biến số Các loại tín hiệu ñược minh họa Hình 1.1 Trên Hình 1.2 mơ tả q trình số hóa tín hiệu tương tự tín hiệu xung thành tín hiệu số bít Khi số hóa tín hiệu tương tự gây sai số lượng tử (xem Hình 1.2a), số hóa tín hiệu xung ngồi sai số lượng tử cịn có sai số pha (xem Hình 1.2b) x(t) x(t) 4 2 t x(nT) x(nT) 4 2 n nT x(nT) x(nT) 4 2 nT nT Bít Bít nT nT nT nT nT nT nT nT Bít Bít Bít t Bít Bít Bít a Số hóa tín hiệu tương tự b Số hóa tín hiệu xung Hình 1.2: Q trình số hóa tín hiệu liên tục Nhận xét: Do tín hiệu số trường hợp đặc biệt tín hiệu rời rạc nên phương pháp xử lí tín hiệu rời rạc hồn tồn áp dụng cho xử lí tín hiệu số Trong chương trình tìm hiểu phương pháp xử lí tín hiệu rời rạc 1.1.3 Hệ thống xử lý tín hiệu a) Hệ thống tương tự xa(t) ya(t) HT b) Hệ thống số xd(nTs) HT yd(nTs) c) Hệ thống xử lý tín hiệu tổng quát ADC Sample Signal Hold Quantizer DSP x(t) Digital Signal DAC y(t) Tín hiệu x(t) đầu vào chuyển thành tín hiệu số nhờ ADC, qua DSP đưa vào DAC ta có y(t) 1.2 Tín hiệu rời rạc 1.2.1 Các dạng biểu diễn dãy số Một tín hiệu rời rạc biểu diễn dãy giá trị (thực phức) Phần tử thứ n dãy (n số nguyên) ñược ký hiệu x(n) dãy ñược ký hiệu sau: x = {x(n)} với - ∞ < n < ∞ (1.1.a) x(n) ñược gọi mẫu thứ n tín hiệu x Dãy số biểu diễn dạng hàm số, bảng số liệu, ñồ thị, dãy số liệu Dưới dạng hàm số, dãy số x(n) xác ñịnh với ñối số số ngun n, dãy số khơng xác định ngồi giá trị ngun n đối số x(n) Ví dụ 1.2 Dãy số x(n) ñược biểu diễn hàm số :  1, x ( n) =   0, n ∈ [ 0,3 ] n ∉ [ , ] n -1 - Biểu diễn dãy số x(n) dạng bảng số liệu Bảng 1.1 Bảng 1.1 n -∞ -3 -2 -1 x(n) 0 0 1 ðồ thị dãy x(n) - Biểu diễn ñồ thị dãy x(n) Hình 1.6, - Biểu diễn dãy x(n) dạng dãy số liệu : x(n) = ∞ { , , ,1,1,1, , , }, ký ↑ hiệu ↑ ñể số liệu ứng với ñiểm gốc n = Ta biểu diển theo kiểu liệt kê Ví dụ: x = { , 0, 2, -1, 3, 25, -18, 1, 5, -7, 0, } (1.1.b) Trong đó, phần tử mũi tên phần tử tương ứng với n = 0, phần tử tương ứng với n > ñược xếp phía phải ngược lại Nếu x = x(t) tín hiệu liên tục theo thời gian t tín hiệu lấy mẫu cách ñều khoảng thời gian Ts, biên ñộ mẫu thứ n x(nTs) Ta thấy, x(n) cách viết đơn giản hóa x(nTs), ngầm hiểu ta chuẩn hố trục thời gian theo Ts Ts gọi chu kỳ lấy mẫu (Sampling period) Fs = 1/Ts ñược gọi tần số lấy mẫu (Sampling frequency) Ghi chú: - Từ ñây sau, trục thời gian chuẩn hóa theo Ts, cần trở thời gian thực, ta thay biến n nTs - Tín hiệu rời rạc có giá trị xác ñịnh thời ñiểm nguyên n Ngoài thời điểm tín hiệu khơng có giá trị xác định, khơng hiểu chúng có giá trị - ðể đơn giản, sau này, thay ký hiệu ñầy ñủ, ta cần viết x(n) hiểu ñây dãy x = {x(n)} 1.2.2 Các tín hiệu rời rạc a/ Tín hiệu xung đơn vị (Unit inpulse sequence) ðây dãy nhất, ký hiệu δ(n), ñược ñịnh nghĩa sau: 1, n = 0, n ≠ 0, (1.2) { , , , , , , 0, } (1.3) δ ( n) =  hay δ ( n) = ↑ Dãy δ (n) ñược biểu diễn đồ thị hình 1.3(a) b/ Dãy chữ nhật Dãy chữ nhật kí hiệu rectN(n) ñịnh nghĩa sau: 1, ≤ n ≤ N − rect N ( n) =  n ≥ N 0, (1.4) c/ Tín hiệu nhẩy bậc đơn vị (Unit step sequence) Dãy thường ñược ký hiệu u(n) ñược ñịnh nghĩa sau: n≥0 1, u (n) =  0, n < (1 5) Dãy u(n) biểu diễn đồ thị Hình 1.3 (c) Mối quan hệ tín hiệu nhẩy bậc đơn vị với tín hiệu xung đơn vị: u ( n) = n ∑ δ (n) ⇔ δ (n) = u(n) − u(n − 1) , k = −∞ với u(n-1) tín hiệu u(n) dịch phải mẫu (1 6) Hình 1.3: Các dãy a) Dãy xung ñơn vị b) Dãy chữ nhật c) Dãy nhảy bậc ñơn vị d) Dãy hàm mũ e) Dãy tuần hoàn có chu kỳ N=8 f) Dãy hình sin có chu kỳ N=5 d/ Tín hiệu hàm mũ (Exponential sequence) x(n) = A αn (1.7) Nếu A α số thực dãy thực Với dãy thực, < α < A>0 dãy có giá trị dương giảm n tăng, Hình 1.3(d) Nếu –1< α < giá trị dãy lần lược đổi dấu có ñộ lớn giảm n tăng Nếu | α |>1 độ lớn dãy tăng n tăng e/ Tín hiệu tuần hồn (Periodic sequence) 10 Một tín hiệu x(n) gọi tuần hồn với chu kỳ N khi: x(n+N) = x(n), với n Một tín hiệu tuần hồn có chu kỳ N=8 biểu diễn đồ thị Hình 1.3(e) Dĩ nhiên, tín hiệu hình sin tín hiệu tuần hồn Ví dụ: Hình1.3(f) tín hiệu tuần hồn có chu kỳ N=5, xem f/ Dãy có chiều dài hữu hạn Dãy ñược xác ñịnh với số mẫu N hữu hạn (N điểm trục hồnh) gọi dãy có chiều dài hữu hạn N ñược gọi chiều dài dãy, kí hiệu là: L[x(n) ] = N Ví dụ 1.3 L[rectN(n) ]=N g/ Năng lượng công xuất dãy • Năng lượng dãy định nghĩa sau: Ex = ∞ ∑ x ( n) , n = −∞ x(n) modul x(n) Ví dụ 1.4 E rect N ( n ) = ∞ ∑ x(n) n = −∞ N −1 = ∑ = N n =0 • Cơng xuất trung bình dãy: N x (n) ∑ N →∞ N + n=− N Px = lim • Năng lượng dãy x(n) khoảng − N ≤ n ≤ N : E xN = Vậy, N ∑ x ( n) n=− N E x = lim E xN , N → +∞ Px = E xN 2N + • Dãy lượng: lượng dãy x(n) hữu hạn x(n) gọi dãy lượng • Dãy cơng xuất: cơng xuất trung bình x(n) hữu hạn x(n) gọi dãy cơng xuất 11 1.2.3 Các phép tốn dãy Cho dãy x1 = {x1(n)} x2 = {x2(n)} phép toán hai dãy ñược ñịnh nghĩa sau: (1.8) 1/ Phép nhân dãy: y = x1 x2 = {x1(n).x2(n)} 2/ Phép nhân dãy với hệ số: y = a.x1 = {a.x1(n)} (1.9) (1.10) 3/ Phép cộng dãy: y = x1 + x2 = {x1(n) + x2(n)} 4/ Phép dịch dãy (Shifting sequence): - Dịch phải: Gọi y dãy kết phép dịch phải n0 mẫu dãy x ta có: y(n) = x(n-n0), với n0 > (1.11) - Dịch trái: Gọi z dãy kết phép dịch trái n0 mẫu dãy x ta có: z(n) = x(n+n0), với n0 > (1.12) Phép dịch phải gọi phép làm trễ (delay) Phép làm trễ mẫu thường ñược ký hiệu chữ D Z-1 Các phép dịch trái dịch phải minh họa Hình 1.4 Hình 1.4: (a) Dãy x(n) (b) Phép dịch phải mẫu tín hiệu x(n) (c) Phép dịch trái mẫu tín hiệu x(n) Nhận xét: Ta thấy, tín hiệu x(n) biểu diễn tín hiệu xung đơn vị sau: x (n ) = +∞ ∑ x(k )δ (n − k ) n = −∞ Cách biểu diễn dẫn ñến kết quan trọng phần sau Ghi chú: Các phép tính thực tín hiệu rời rạc có ý nghĩa tần số lấy mẫu tín hiệu 12 1.3 Hệ thống rời rạc 1.3.1 Khái niệm a Hệ thống thời gian rời rạc (gọi tắt hệ thống rời rạc): Hệ thống thời gian rời rạc thiết bị (device) thuật tốn (algorithm) mà tác ñộng lên tín hiệu vào (dãy vào) ñể cung cấp tín hiệu (dãy ra) theo qui luật hay thủ tục (procedure) tính tốn ðịnh nghĩa theo tốn học, phép biến đổi hay tốn tử (operator) mà biến dãy vào x(n) thành dãy y(n) Ký hiệu: y(n) = T{x(n)} (1.14) Tín hiệu vào gọi tác ñộng hay kích thích (excitation), tín hiệu ñược gọi ñáp ứng (response) Biểu thức biểu diễn mối quan hệ kích thích đáp ứng gọi quan hệ vào hệ thống Quan hệ vào hệ thống rời rạc cịn biểu diễn Hình 1.5 Ví dụ 1.5 Hệ thống làm trễ lý tưởng định nghĩa phương trình: y(n) = x(n – nd) , với -∞ < n < ∞ (1.15) nd số ngun dương khơng đổi gọi độ trễ hệ thống Ví dụ 1.6 Hệ thống trung bình động (Moving average system) định nghĩa phương trình: với M1 M2 số nguyên dương Hệ thống tính mẫu thứ n dãy trung bình (M1 + M2 + 1) mẫu dãy vào xung quanh mẫu thứ n, từ mẫu thứ n-M2 ñến mẫu thứ n+M1 b ðáp ứng xung (impulse response) hệ thống rời rạc ðáp ứng xung h(n) hệ thống rời rạc đáp ứng hệ thống kích thích tín hiệu xung đơn vị δ(n), ta có: 13 Trong phần sau, ta thấy, ñiều kiện xác ñịnh ñáp ứng xung hệ thống mơ tả cách đầy đủ hệ thống Ví dụ 1.7 ðáp ứng xung hệ thống trung bình cộng c Biểu diễn hệ thống sơ đồ khối ðể biểu diễn hệ thống sơ ñồ khối, ta cần ñịnh nghĩa phần tử Một hệ thống phức tạp liên kết phần tử c1/ Phần tử nhân dãy với dãy (signal multiplier), tương ứng với phép nhân hai dãy, có sơ ñồ khối sau: x1(n) x1(n) y(n X y(n X x2(n) xi(n) x2(n) xM(n)M b y (n) = a y(n) = x1(n) x2(n) ∏ x ( n) i i =1 c2/ Phần tử nhân dãy với số (Constant multiplier), tương ứng với phép nhân hệ số với dãy x(n) y(n) = a.x(n) a c3/ Phần tử cộng (Adder), tương ứng với phép cộng hai dãy, có sơ đồ khối sau: x1(n) x1(n) y(n + + x2(n) y(n xi(n) x2(n) xM(n) a y ( n ) = x (n ) + x ( n ) b y ( n ) = M ∑ x ( n) i i =1 c4/ Phần tử làm trễ mẫu (Unit Delay Element), tương ứng với phép làm trễ mẫu, có sơ đồ khối sau: x(n) D y(n) = x(n - 1) 14 Trong phần sau, ta thành lập hệ thống phức tạp liên kết phần tử 1.3.2 Phân loại hệ thống rời rạc Các hệ thống rời rạc ñược phân loại dựa vào thuộc tính nó, cụ thể thuộc tính tốn tử biểu diễn hệ thống (T) 1.3.2.1 Hệ thống không nhớ (Memoryless systems) Hệ thống không nhớ cịn gọi hệ thống tĩnh (Static systems) hệ thống mà ñáp ứng y(n) thời ñiểm n phụ thuộc vào giá trị tác ñộng x(n) thời ñiểm n ñó Một hệ thống khơng thỏa mãn định nghĩa gọi hệ thống có nhớ hay hệ thống động (Dynamic systems) Ví dụ 1.8 - Hệ thống mơ tả quan hệ vào sau: y(n) = [x(n)]2, với giá trị n, hệ thống không nhớ - Hệ thống làm trễ Ví dụ 1.5, nói chung hệ thống có nhớ nd>0 - Hệ thống trung bình động Ví dụ 1.6 hệ thống có nhớ, trừ M1=M2=0 1.3.2.2 Hệ thống tuyến tính (Linear systems) Một hệ thống gọi tuyến tính thỏa mãn ngun lý chồng chất (Principle of superposition) Gọi y1(n) y2(n) ñáp ứng hệ thống tương ứng với tác động x1(n) x2(n), hệ thống tuyến tính nếu: với a, b số với n Ta thấy, ñối với hệ thống tuyến tính, đáp ứng tổng tác ñộng tổng ñáp ứng hệ ứng với tác ñộng riêng lẻ Một hệ thống khơng thỏa mãn định nghĩa gọi hệ thống phi tuyến (Nonliear systems) Ví dụ 1.9 Ta chứng minh hệ thống tích lũy (accumulator) ñược ñịnh nghĩa quan hệ: y (n ) = +∞ ∑ x (k ) (1.20) n = −∞ hệ thống tuyến tính Hệ thống gọi hệ thống tích lũy mẫu thứ n ñáp ứng tổng tích lũy tất cã giá trị tín hiệu vào trước đến thời điểm thứ n 15 = a.y1(n) + b.y2(n) với a b số Vậy hệ thống hệ thống tuyến tính 1.3.2.3 Hệ thống bất biến theo thời gian (Time-Invariant systems) Một hệ thống bất biến theo thời gian tín hiệu vào bị dịch nd mẫu đáp ứng dịch nd mẫu, ta có: Nếu y(n) =T{x(n)} x1(n) = x(n-nd) y1(n) = T{x1(n)} = {x(n-nd)} = y(n - nd) (1.21) Ta kiểm chứng hệ thống ví dụ trước hệ thống bất biến theo thời gian Ví dụ 1.10 Hệ thống nén (compressor) ñược ñịnh nghĩa quan hệ: y(n) = x(M.n) (1.22) với -∞ < n < ∞ M số nguyên dương Hệ thống gọi hệ thống nén loại bỏ (M-1) mẫu M mẫu (nó sinh dãy cách lấy mẫu M mẫu) Ta chứng minh hệ thống hệ thống bất biến Chứng minh: Gọi y1(n) ñáp ứng tác ñộng x1(n), với x1(n) = x(n – nd), y1(n) = x1(Mn) = x(Mn – nd), y(n-nd) = x[M(n-nd)] y1(n) Ta thấy x1(n) x(n) dịch nd mẫu, y1(n) khơng với y(n) phép dịch Vậy hệ thống không hệ thống bất biến, trừ M = 1.3.2.4 Hệ thống nhân (Causal systems) Một hệ thống nhân với giá trị n0 n, ñáp ứng thời ñiểm n=n0 phụ thuộc vào giá trị kích thích thời ñiểm n ≤ n0 Ta thấy, ñáp ứng hệ phụ thuộc vào tác ñộng khứ mà khơng phụ thuộc vào tác động tương lai Ta có 16 y(n) = T{x(n)} = F{x(n), x(n-1), x(n-2), } với F hàm Hệ thống ví dụ nhân nd ≥ không nhân nd < Ví dụ 1.11 Hệ thống sai phân tới (Forward difference systems) ñược ñịnh nghĩa quan hệ y(n) = x(n+1) - x(n) (1.23) Rõ ràng y(n) phụ thuộc vào x(n+1), hệ thống khơng có tính nhân Ngược lại, hệ thống sai phân lùi (Backward difference systems) ñược ñịnh nghĩa quan hệ: y(n) = x(n) – x(n-1) (1.24) hệ thống nhân 1.3.2.5 Hệ thống ổn ñịnh (Stable systems) Một hệ thống ổn định cịn gọi hệ thống BIBO (Bounded-Input Bounded-Output) với tín hiệu vào bị giới hạn cung cấp dãy giới hạn Một dãy vào x(n) bị giới hạn tồn số dương hữu hạn Bx cho: |x(n)| ≤ Bx < +∞, với n (1.25) Một hệ thống ổn định địi hỏi rằng, ứng với dãy vào hữu hạn, tồn số dương By hữu hạn cho: |y(n)| ≤ By < +∞ , với n (1.26) Ghi chú: Các thuộc tính để phân loại hệ thống thuộc tính hệ thống khơng phải thuộc tính tín hiệu vào Các thuộc tính phải thỏa mãn vời tín hiệu vào 1.3.3 Hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian (LTI: Linear Time-Invariant System) 1.3.3.1 Khái niệm Hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian hệ thống thỏa mãn đồng thời hai tính chất tuyến tính bất biến Gọi T hệ thống LTI, sử dụng cách biểu diễn (1.13) (1.14), ta viết: với k số ngun 17 Áp dụng tính chất tuyến tính, pt(1.27) ñược viết lại: ðáp ứng xung hệ thống là: h(n) = T{δ(n)}, hệ thống có tính bất biến, nên: h(n - k) = T{δ(n - k)} (1.29) Thay pt(1.29) vào pt(1.28) ta có Từ pt(1.30), ta thấy hệ thống LTI hồn tồn đặc tả đáp ứng xung ta dùng pt(1.30) để tính đáp ứng hệ thống ứng với kích thích Hệ thống LTI thuận lợi cách biểu diễn tính tốn, hệ thống có nhiều ứng dụng quan trọng xử lý tín hiệu 1.3.3.2 Tích chập * ðịnh nghĩa: Tích chập hai dãy x1(n) x2(n) bất kỳ, ký hiệu: *, ñược ñịnh nghĩa biểu thức sau: (1.30) ñược viết lại: y(n) = x(n)*h(n) (1.32) Vậy, đáp ứng hệ thống tích chập tín hiệu vào với đáp ứng xung Như vậy, với giá trị n ta phải tính tổng theo k tích x(k).h(nk) sau: Ví dụ 1.12 … n = −1 → y ( −1) = ∞ ∑ x ( k ) h ( −1 − k ) k = −∞ ∞ ∑ x (k ) h (− k ) n = → y ( 0) = k = −∞ n = → y (1) = ∞ ∑ x(k )h(1 − k ) k = −∞ n = → y ( 2) = ∞ ∑ x ( k ) h( − k ) k = −∞ 18 n = → y (3) = ∞ ∑ x(k )h(3 − k ) k = −∞ … Tập hợp giá trị y(n) ta có y * Phương pháp tính tích chập đồ thị Tích chập hai dãy tính cách nhanh chóng với trợ giúp chương trình máy vi tính Ở đây, phương pháp tính tích chập đồ thị trình bày với mục đích minh họa Trước tiên, để dễ dàng tìm dãy x2(n-k), ta viết lại: x2 (n-k) = x2 [-(k - n)] (1.33) Từ pt(1.33), ta thấy, n>0, để có x2(n-k) ta dịch x2(-k) sang phải n mẫu, ngược lại, n |a|