giao trinh xu ly tin hieu so 2 phung trung nghia do huy khoi 234 trang 0791

KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN BỘ MÔN ĐIỆN TỬ VIỄN THƠNG PHÙNG TRUNG NGHĨA, ĐỖ HUY KHƠI GIÁO TRÌNH XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ NĂM 2008 CHƯƠNG I THIẾT KẾ BỘ LỌC SỐ Như phân tích chương Xử lý tín hiệu I, hầu hết hệ thống LTI có chức lọc Vì vậy, vấn đề thiết kế lọc số đóng vai trị quan trọng xử lý tín hiệu số Có nhiều phương pháp thiết kế lọc số đề xuất ứng dụng thực tế Chương trình bày phương pháp thiết kế ứng dụng để thiết kế lọc khác 1.1 Thiết kế lọc cách đặt cực zeros mặt Đây phương pháp thiết kế lọc số đơn giản áp dụng cho nhiều loại lọc FIR IIR Tuy nhiên, để có đáp ứng tần số theo ý muốn, số trường hợp, ta cần phải thêm vào cực zero theo thủ tục thử sai Như biết, vị trí cực zeros mặt phẳng phức mô tả hàm truyền đạt H(z), hệ thống có tính ổn định nhân Vì qui định đặc tính số hệ thống Phương pháp thiết kế mạch lọc số cách đặt cực zeros mặt phẳng phức dựa nguyên lý là: đặt cực điểm gần vòng tròn đơn vị vị trí tương ứng với tần số dải thông, đặt zeros điểm tương ứng với tần số dải triệt Hơn nữa, cần phải tuân theo ràng buộc sau: Tất cực phải đặt vòng tròn đơn vị lọc ổn định Tuy nhiên, zeros đặt vị trí mặt phẳng z Tất cực zeros phức phải xuất với cặp liên hợp phức để hệ số lọc có giá trị thực Với tập cực - zeros cho, hàm truyền đạt H(z) lọc có biểu thức: Ở G số độ lợi (gain constant) chọn để chuẩn hóa đáp ứng tần số Ở tần số xác định đó, ký hiệu ω0, G chọn cho: |H(ω0)| = Với ω0 tần số dải thông lọc Thông thường N (bậc lọc) chọn lớn M lọc có số cực không tầm thường (nontrivial) nhiều zeros Phương pháp dùng để thiết kế số lọc đơn giản quan trọng như: lọc thông thấp, thông cao, thông dải, dải chặn, lọc lược, cộng hưởng số, dao động số, Thủ tục thiết kế thuận tiện thực máy tính 1.1.1 LỌC THƠNG THẤP, THƠNG CAO VÀ THƠNG DẢI 1.1.1.1 Lọc thông thấp thông cao: Với lọc thông thấp, thiết kế cực phải đặt điểm gần vòng tròn đơn vị vùng tần số thấp (gần ω = 0) zeros phải đặt gần hay vòng tròn đơn vị tương ứng với điểm tần số cao (gần ω = π), ngược lại cho lọc thơng cao Hình 1.1 Minh họa cho việc đặt cực zeros ba lọc thông thấp ba lọc thông cao Hình 1.1: Đồ thị cực zeros cho lọc (a) Lọc thông thấp; (b) Lọc thông cao Đáp ứng biên độ pha cho lọc đơn cực có hàm truyền đạt là: Được vẽ hình 1.1 với a = 0,9 Độ lợi G chọn 1- a, lọc có độ lợi tần số ω = độ lợi tần số cao tương đối nhỏ Thêm vào zeros z = - làm đáp ứng suy giảm nhiều tần số cao lọc có hàm truyền đạt là: Đặc tuyến đáp ứng tần số hai lọc H1(z) H2(z) vẽ hình 1.2 Ta thấy, biên độ H2(Z) giảm ω = n Tương tự, ta thu lọc thông cao đơn giản cách lấy đối xứng điểm cực - zero mạch lọc thông thấp qua trục ảo mặt phẳng z Ta thu hàm truyền đạt: Đặc tuyến đáp ứng tần số mạch lọc thông cao vẽ hình 1.3 với a = 0,9 Hình 1.2: Đáp biên độ, đáp ứng pha lọc cực H1(z) = zero H2(z) = − 0.9 + z −1 − 0.9 z −1 − 0.9 lọc cực − 0.9 z −1 Hình 1.3: Đáp ứng biên độ đáp ứng pha lọc thông cao có hàm truyền đạt H = −1 ⎡1 − 0.9 ⎤ ⎡ − z ⎤ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢1 + 0.9 z −1 ⎥ ⎣ ⎦ L JLI + o.9z-r -1 Ví dụ 1.1: Một lọc thơng thấp hai cực có hàm truyền đạt là: H(z) = G (1 − Pz −1 ) Hãy xác định giá trị G p cho đáp ứng tần số Hω thỏa điều kiện: Giải: Tại ω = 0, ta có: H(0) = Tại ω = G = Suy ra: G = (1 -p)2 (1 + p ) π ta có: Giải phương trình ta được: P = 0,23 Kết quả: H(0) = 0,458 − 0,23z −1 ) 1.1.1.2 Lọc thông dải: Các nguyên tắc tương tự áp dụng để thiết kế mạch lọc thông dải Một cách bản, lọc thông dải chứa hay nhiều cặp cực phức gần vòng tròn đơn vị, lân cận băng tần mà hình thành dải thơng lọc Ví dụ 1.2: Hãy thiết kế mạch lọc thơng dải hai cực có tâm băng tần ω = số H(ω) = ω = ω = π đáp ứng biên độ Giải: Rõ ràng lọc phải có cực tại: p1 = re = - Vậy hàm truyền đạt là: j đáp ứng tần 4π ω = π π j π p1 = re zero z = z Hệ số khuếch đại G xác định cách tính H(ω) lọc tần số ω = Ta có: Giá trị r xác định cách tính H(w) ω = 4π Ta có: Hay: 1,94(1 -r2)2 = - 1,88r2 +r4 Giải phương trình ta r2 = 0,7 vậy: H(z) = 0,15 - z -2 + 0,7 z −2 π Hình 1.4: Đáp ứng biên độ đáp ứng pha lọc thơng dải có hàm truyền đạt là: ⎡ - z -2 ⎤ H(z) = 0.15⎢ ⎥ ⎣1 + 0,7 z ⎦ zero lên đáp ứng tân sô hệ thống Rõ ràng, chưa phải phương pháp tốt cho việc thiết kế mạch lọc số, để có đặc tuyến đáp ứng tần số ý muốn Các phương pháp thiết kế tốt hơn, ứng dụng thực tế trình phần sau 1.1.2 BỘ CỘNG HƯỞNG SỐ (DIGITAL RESONATOR) Một cộng hưởng số lọc thông dải có hai cực đặc biệt, cặp cực phức đặt gần vịng trịn đơn vị (hình 1.1.a) Biên độ đáp ứng tần số vẽ hình 1.1.b Ta thấy, đáp ứng biên độ lớn tần số tương ứng cực tần số cộng hưởng mạch lọc Để thiết kế cộng hưởng số với đỉnh cộng hưởng hay gần tần số ω = ω0 ta chọn cặp cực phức sau: P1 = rejω P2 = re-jω với < r < (1.6) Hình 1.5: (a) Đồ thị cực zeros (b) Đáp ứng biên độ (c) Đáp ứng pha cộng hưởng: có r = 0.8, cịn lại có r = 0.95 Ngồi ra, ta chọn thêm zero Mặc dù có nhiều khả chọn lựa khác nhau, có hai trường hợp thường chọn Một thêm vào zero gốc tọa độ Hai chọn zero z = zero z = -1 Sự chọn lựa khử hồn tồn đáp ứng lọc ω = ω = π 1.1.3 BỘ LỌC DẢI KHẤC (NOTCH FILTER) Bộ lọc dải khấc lọc dải chân có dải tần số chẵn hẹp vết khấc Hình 1.6 minh họa đặc tuyến đáp ứng tần số lọc dải khấc có độ lợi giảm tần số ω0 ω1 Bộ lọc dải khấc ứng dụng trường hợp mà vài thành phần tần số cần phải loại bỏ Hình 1.6: Minh họa đặc tuyến đáp ứng tần số lọc dải khấc có độ lợi Để tạo điểm không (null) đáp ứng tần số lọc tần số ω0, ta đưa vào cặp zero phức vòng tròn đơn vị tương ứng với góc pha ω0 Đó là: Z1 = rejω0 Z2 = re-jω0 (1.7) Nếu hệ thống lọc FIR thì: H(z) = G(1 - e jω z - 1)(1 - e -jω z - 1) = G(1 - 2cosω0z-l + z-2) 0 Hình 1.7 trình bày đáp ứng biên độ đáp ứng pha lọc dải khấc có π điểm khơng ω = Ta thấy, lọc khấc FIR có băng tần rộng (dải chặn), nghĩa thành phần tần số xung qu /Anh điểm không (null) bị suy giảm nhiều Đế giảm độ rộng băng tần lọc khấc, ta chọn lọc FIR dài phức tạp Ở đây, ta cố gắng cải tiến đáp ứng tần số cách đưa vào hàm truyền số cực Giả sử ta đặt thêm vào cặp cực phức tại: Các cực gây cộng hưởng vùng lân cận điểm khơng làm giảm độ rộng băng tần lọc khác Hàm truyền hệ thông là: Đáp ứng biên độ lọc (1.8) vẽ hình 4.8 với ω0 = với ω = π π , r = 0,81 , r = 0,91 So sánh với đáp ứng tần số lọc FIR hình 1.7, ta thấy tác dụng cực làm giảm băng tần lọc khấc Bên cạnh việc làm giảm băng tần lọc khấc, cực đưa vào cịn gây gợn sóng dải thơng mạch lọc, cộng hưởng gây cực Để h(n) chế ảnh hưởng gợn sóng này, ta lại đưa thêm vào cực và/hoặc zeros hàm truyền đạt Ta thấy, phương pháp mang tính thử sai Hình 1.7 Đặc tuyến đáp ứng tần số lọc dải khấc có hàm truyền đạt H(z) = π G[1-2 cosω0 z-1 + z-2], với vết khấc ω = hay f = 10 Hình 1.8: Đặc tuyến đáp ứng tần số lọc khấc với cực ở: (1) r = 0,85e±π/4 (2) r = 0,95 e±π/4, H(z) = G - 2cosω0 z -1 + z -2 - 2r cosω0 z -1 + r z -2 1.1.4 BỘ LỌC RĂNG LƯỢC (COMB FILTERS) Bộ lọc lược đơn giản lọc có đáp ứng tần số giống lọc khấc, vết khấc (điểm không) xuất cách tuần hoàn suốt băng tần Mạch lọc lược ứng dụng trường hợp cần loại bỏ thành phần tần số hài tần số Nó ứng dụng rộng rãi thực tế như: nghiên cứu tín hiệu thu từ tầng điện ly, tín hiệu radar Để minh họa dạng đơn giản mạch lọc lược, ta xét lọc trung bình di chuyển mơ tả phương trình sai phân: Hàm truyền đạt hệ thống là: Từ phương trình (1.10) ta thấy lọc có zero vịng trịn đơn vị tại: Chú ý cực z = bị khử zero z = 1, vậy, ta coi lọc 11 khơng chứa cực z = Đặc tuyến biên độ (1.11) với M = 10 vẽ hình 1,9 cho thấy tồn 2πk = 1,2, , M điểm khơng tuần hồn tần số ω = ( M + 1) Hình 1.9: Đặc tuyến đáp ứng biên độ lọc lược cho pt (5.11) với M = 10 Tổng quát, ta tạo lọc lược cách thực lọc FIR với hàm truyền đạt là: Thay z zL với L số nguyên dương ta thu lọc FIR có hàm truyền đạt là: Gọi H(ω) đáp ứng tần số lọc tương ứng với H(z) đáp ứng tần số lọc tương ứng với HL(z) là: Kết là, đặc tuyến đáp ứng tần số HL(ω) lặp lại L lần H(ω) dải tần số £ w £ 2p Ví dụ 1.3: Từ lọc lược có hàm truyền đạt pt(1.10) đáp ứng tần số pt(1.11) Ta thay z z-L, ta lọc lược có hàm truyền đạt là: 12 đáp ứng tần số là: Bộ lọc có zeros vịng trịn đơn vị vị trí: Với tất giá trị nguyên k, ngoại trừ k = 0, L, 2L, , ML Hình 1.10 vẽ đặc tuyến đáp ứng biên độ với L = M = 10 Hình 1.10: Đặc tuyến đáp ứng biên độ lọc tước cho pt(5.17) với L = M = 10 1.1.5 BỘ LỌC THƠNG TẤT (ALL-PT(SS FILTERS) Lọc thơng tất ộ lọc có đáp ứng biên độ với tất tần số, là: = ; £ w £ p (1.19) Một số ví dụ đơn giản cho lọc thơng tất hệ thống trễ (pure delay stystem) với hàm truyền đạt là: H(z) = z-k (1.20) 13 Hệ thống cho qua tất tín hiệu mà khơng có thay đổi ngoại trừ việc làm trễ k mẫu Đây hệ thống thông tất tầm thường (trivial) có pha tuyến tính Một lọc thơng tất quan tâm nhiều lọc có hàm truyền đạt sau: Tất hệ số an thực Đặt: Thì phương trình (1.2 1) viết lại: Vì |H(ω)|2 = H(z)H(z-1) z = e jω =1 nên hệ thống cho pt(1.23) lọc thông tất Hơn nữa, z0 cực H(z), 1/z0 zero H(z) Hình 1.11 minh họa đồ thị cực - zero lọc cực zero lọc cực -2 zero Đặc tuyến đáp ứng pha hệ thống vẽ hình 1.12 với a = 0,6 r = 0,9 Hình 1.11: Đồ thị cực - zero (a) Lọc thơng tất bậc (b) Lọc thông tất bậc Lọc thông tất ứng dụng cân pha (pha se equalizers) Khi mắc liên tiếp (cascade) với mét hệ thống có đáp úng pha khơng mong muốn, cân pha thiết kế để bù lại đặc tính pha "nghèo nàn" hệ thống tồn hệ thống (hệ tương đương) có đáp ứng pha tuyến tính 14 Hình 1.12 Đặc tuyến đáp ứng tần số lộc tất: (1) H(z) = π (0,6 + z −1 ) (r − 2r cos ω0 z −1 + z −2 ) (2) H(z) = ; r = 0,9 ; ω0 = −1 −1 −2 + 0,6 z − 2r cos ω0 z + r z 1.1.6 BỘ DAO ĐỘNG SIN SỐ Bộ dao động sin số coi dạng giới hạn cộng hưởng hai cực với cực phức nằm vòng tròn đơn vị Nhắc lại rằng, hệ thống bậc hai có hàm truyền đạt là: Và tham số là: a1 = -2r cos w0; a2 = r2 (1.25) Các cực liên hợp phức p = re±jω0 Đáp ứng xung là: h(n) = b0 r n sin(n + 1) ω0u(n) (1.26) sin ω0 15 Nếu cực nằm vòng tròn đơn vị (r = 1) b0 = Asinω0 h(n) = A sin(n + 1)w0 u(n) (1.27) Vậy đáp ứng xung hệ thống bậc hai với cực liên hợp phức nằm vịng trịn đơn vị có dạng sin hệ thống gọi dao động sin số hay phát tín hiệu sin số Để lập sơ khối dao động sin số ta viết lại phương trình sai phân: Y(n) = -a1y(n - 1) – y(n) - 2) + b0 d(n) (1.28) Với a1 = -2cos ω0; b0 = A sinω0 thỏa điều kiện nghỉ y(- 1) = y(- 2) = Dùng phương pháp đệ qui để giải phương trình sai phân ta thu được: Y(0) = Asinω0 y(1) = 2cosω0 y(0) = 2A sinω0 cosω0 = A sin2ω0 y(2) = 2cosω0 y(1) – y(0) = 2Acosω0 sin2ω0 - Asinω0 = A (4cos2ω0 - 1)sinω0 = 3A sinω0 - Asin3ω0 = A sin3ω0 Tiến trình tiếp tục, ta thấy tín hiệu có dạng: y(n) = A sin(n + 1)ω0 Ta ý rằng, việc cung cấp xung thời điểm n = nhằm mục đích khởi động cho dao động sin Sau đó, dao động tự trì, hệ thống khơng tắt dần (do r = 1) Từ hệ thống mô tả pt(1.21) ta cho tín hiệu vào cho điều kiện đầu y(-1) = 0, y(2) = -Asinω0 đáp ứng tín hiệu vào hệ thống bậc hai mơ tả phương trình sai phân y(n) = -a1 y(n - 1) – y(n - 2) (1.29) Đáp ứng hệ thống mô tả pt(1.26) với điều kiện đầu: y(1) = y(-2) = -A sinω0 16 (1.30) giống cách xác đáp ứng hệ thống mơ tả pt(1.28) với kích thích tín hiệu xung đơn vị 1.2 Thiết kế lọc FIR 1.2.1 THIẾT KẾ BỘ LỌC FIR PHA TUYẾN TÍNH DÙNG CỬA SỔ 1.2.1.1 Nguyên tắc: Từ đáp ứng tần số mong muốn Hd(ω) với tiêu tương ứng, ta lấy biến đổi Fourier ngược để có đáp ứng xung hd(ω): Nói chung, hd(n) thu có chiều dài vô h(n) không nhân quả, ta thực thực tế Vì vậy, hệ thống phải sửa lại thành nhân buộc h(n) phải h(n) chế chiều dài hd(n) Phương pháp đơn giản cắt bỏ hd(n) từ giá trị n = M-1 thu lọc FIR có chiều dài M Sự "cắt ngọn" tương đương với phép nhân h(n)g với hàm cửa sổ (window) Hàm cửa sổ định nghĩa sau: Như vậy, đáp ứng xung lọc FIR trở thành: h(n) = hd(n).w(n) (1.33) Gọi W(ω) biến đổi Fourier cửa sổ w(n), từ tính chất nhân biến đổi Fourier, ta thu đáp ứng tần số lọc sau: 1.2.1.2 Các bước phương pháp cửa sổ: Chọn tiêu kỹ thuật lọc số: δ1, δ2, ωp, ωs Xác định đáp ứng xung mạch lọc lý tưởng Chọn loại cửa sổ Nhân với cửa sổ để có đáp ứng xung mạch lọc: hd(n) = h(n).w(n) Thử lại miền tần số: Hd(ω) = H(ω)*W(ω) Nếu không thỏa mãn tiêu kỹ thuật, ta tăng M trở lại bước 1.2.1.3 Cửa sổ chữ nhật Định nghĩa: Cửa sổ chữ nhật có chiều dài M định nghĩa miền thời gian 17 sau: Trường hợp M lẻ, w(n) có dạng đối xứng với tâm đối xứng n: M -1 Biến đổi Fourier cửa sổ chữ nhật là: Cửa sổ có đáp ứng biên độ là: có đáp ứng pha tuyến tính đoạn: , sin (ωM)/2 ≥ , sin (ωM)/2 < 1.38 Hình 1.14: (a) Cửa sổ chữ nhật có chiều dài M = (b) Đáp ứng biên độ cửa sổ chữ nhật 18 Hình 1.15: Các đáp ứng biên độ (db) cửa sổ chữ nhật với M = M = 51 M-101 19 Các tham số (các tham số định nghĩa chung cho loại cửa sổ khác): - Độ rộng múi DW (được tính lần dải tần số từ ω = đến ωp, tần số ωp tương ứng với giá trị zero múi chính), cửa sỗ chữ nhật: DW = 4p/M (1.39) - Tỉ số đỉnh múi bên đỉnh múi chính, ký hiệu ta có: với ω1 tần số tương ứng với đỉnh múi bên đầu tiên, với cửa sổ chữ nhật w1 = 3p/M Tham số thường tính theo dự sau: Người ta thường xét đến đại lượng ngược lại, tỉ số đỉnh múi đỉnh múi bên đầu tiên, ký hiệu h, ta có: cửa sổ chữ nhật: Sau giá trị h tương ứng với độ dài M khác nhau: M = ® h = 4,2426; M = ® h = 4,1000; M = 10 ® h = 4,7014; M = 100 ® h = 4,7106; v M đ Ơ ~ thỡ h » 4,712 Ta thấy, M > 10 tham số gần khơng đổi Hình 1.14.a trình bày cửa sổ chữ nhật miền thời gian, hình 1.14.b đáp ứng biên độ cửa sổ chữ nhật với M = Các tham số tương ứng sau: DW = 4p/M = 1,3963 rad; = -13,0643dB; h = 4,1000 Hình 1.11 trình bày đáp ứng biên độ cửa số chữ nhật với M là: 9,11 101 Hiện tượng Gibbs Để giới hạn chiều dài đáp ứng xung h(n) lọc lý tưởng, ta nhân với hàm cửa sổ w(n) Đáp ứng tần số lọc thực tế có từ tích chập (131) Đối với lọc 20 ... Hay: 1,94(1 -r2 )2 = - 1,88r2 +r4 Giải phương trình ta r2 = 0,7 vậy: H(z) = 0,15 - z -2 + 0,7 z ? ?2 π Hình 1.4: Đáp ứng biên độ đáp ứng pha lọc thơng dải có hàm truyền đạt là: ⎡ - z -2 ⎤ H(z) = 0.15⎢... phân ta thu được: Y(0) = Asinω0 y(1) = 2cosω0 y(0) = 2A sinω0 cosω0 = A sin2ω0 y (2) = 2cosω0 y(1) – y(0) = 2Acosω0 sin2ω0 - Asinω0 = A (4cos2ω0 - 1)sinω0 = 3A sinω0 - Asin3ω0 = A sin3ω0 Tiến trình... pha tuyến tính 14 Hình 1. 12 Đặc tuyến đáp ứng tần số lộc tất: (1) H(z) = π (0,6 + z −1 ) (r − 2r cos ω0 z −1 + z ? ?2 ) (2) H(z) = ; r = 0,9 ; ω0 = −1 −1 ? ?2 + 0,6 z − 2r cos ω0 z + r z 1.1.6 BỘ