cac dang bai tap duong tron

Chương Đường trịn §1 Sự xác định đường trịn Tính chất đối xứng đường trịn 1.1 Tóm tắt lí thuyết Định nghĩa đường trịn Định nghĩa Đường trịn tâm O bán kính R (với R > 0) hình gồm điểm cách điểm O khoảng khơng đổi R Đường trịn tâm O bán kính R kí hiệu (O; R), ta kí hiệu (O) khơng cần ý đến bán kính Nhận xét Cho đường trịn (O; R) điểm M Khi R O M1 M nằm (O; R) OM = R M nằm bên (O; R) OM < R R O M nằm bên (O; R) OM > R M2 1.2 M3 Cách xác định đường tròn Một đường tròn xác định biết tâm bán kính Một đường trịn xác định biết đoạn thẳng đường kính đường trịn Qua ba điểm khơng thẳng hàng cho trước ta vẽ đường tròn A R O A R R O 427 B B O C Sự xác định đường tròn Tính chất đối xứng đường trịn 428 1.3 Tính chất đối xứng đường trịn Tính chất Đường trịn hình có tâm đối xứng Tâm đường trịn tâm đối xứng đường trịn Tính chất Đường trịn hình có trục đối xứng Bất kỳ đường kính trục đối xứng đường tròn A A O O A C C B ! 23 Đường trịn có tâm đối xứng có vơ số trục đối xứng Các ví dụ Ơ Ví dụ Cho tam giác ABC vng A Xác định tâm bán kính đường trịn qua ba đỉnh tam giác ABC Lời giải Gọi M trung điểm BC BC Ta có AM trung tuyến ứng với cạnh huyền nên AM = BC Suy M A = M B = M C = Vậy đường tròn qua ba đỉnh tam giác ABC có tâm điểm M BC bán kính R = A B M C Ơ Ví dụ Chứng minh rằng, tam giác có cạnh đường kính đường trịn qua ba đỉnh tam giác tam giác tam giác vng Lời giải Xét tam giác ABC có ba đỉnh nằm đường trịn (O) đường kính BC Ta có OA = OB = OC (vì bán kính (O)) BC Lúc AO trung tuyến ứng với cạnh BC AO = Vậy ABC tam giác vuông A A B O C 24 Đường trịn qua ba đỉnh tam giác vng có tâm trung điểm cạnh huyền bán kính phân nửa độ dài cạnh huyền Ngược lại, đường tròn qua ba đỉnh tam giác nhận cạnh tam giác đường kính tam giác tam giác vuông ! Giáo viên: Chương Đường trịn 429 Ơ Ví dụ Cho tam giác ABC có cạnh a Tính bán kính đường tròn qua ba đỉnh tam giác ABC Lời giải Gọi M , N , P trung điểm BC, CA, AB A Dựng đường trung trực cạnh AB, BC, CA, đường trung trực đồng quy O, suy O tâm đường tròn qua ba đỉnh P N tam giác ABC Bán kính đường tròn (O) R = OA = OB = OC Vì ABC tam giác nên đường trung trực đường O C trung tuyến tam giác ABC Suy O trọng tâm tam giác B M ABC √ … √ a a 2 Trong tam giác ABM vng M ta có AM = AB − BM = a − = 2 √ √ a a = Lại có OA = AM = · 3 √ a Vậy bán kính đường trịn qua ba đỉnh tam giác ABC R = Ơ Ví dụ Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 12 cm, BC = cm Chứng minh bốn điểm A, B, C, D thuộc đường trịn Xác định tâm bán kính đường trịn Lời giải Gọi O giao điểm AC BD Khi O trung điểm AC, BD Mà ABCD hình chữ nhật nên AC = BD D Do OA = OB = OC = OD hay bốn điểm A, B, C, D thuộc AC đường trịn (O), bán kính R = OA = A √ √ Tam giác ABC vuông B nên AC = AB + BC = 122 + 52 = 13 AC = 6, cm Suy R = Vậy bốn điểm A, B, C, D thuộc đường tròn (O) bán kính R = 6, cm C O B 25 Đường trịn qua bốn đỉnh hình chữ nhật ABCD có tâm giao điểm hai đường chéo bán kính nửa độ dài đường chéo hình chữ nhật ! Ơ Ví dụ Cho đường trịn (O) với hai đường kính AC BD vng góc với Chứng minh ABCD hình vng Lời giải Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC, BD đường kính đường trịn (O) nên ABCD hình chữ nhật Lại có AC ⊥ BD Vậy ABCD hình chữ nhật có hai đường chéo vng góc với nên ABCD hình vng Tài liệu Toán của: A B O D C 430 Sự xác định đường trịn Tính chất đối xứng đường trịn Ơ Ví dụ Cho hình thang cân ABCD với AB ∥ CD AB > CD Chứng minh bốn điểm A, B, C, D thuộc đường tròn Lời giải Gọi M , N trung điểm AB, CD D Do ABCD hình thang cân với hai đáy AB, CD nên M N đường N trung trực AB, CD Gọi P trung điểm BC Qua P dựng đường trung trực O BC cắt M N O Ta cần chứng minh OA = OB = OC = OD A M Thật vậy, O nằm đường trung trực AB nên OA = OB Mà M N trung trực CD nên OC = OD Hơn nữa, O nằm đường trung trực BC nên OB = OC Từ suy OA = OB = OC = OD Vậy bốn điểm A, B, C, D thuộc đường trịn (O) bán kính R = OA C P B Ơ Ví dụ Trên phẳng tọa độ Oxy, xác định vị trí điểm A(−1; −1), Ä√ mặt √ ä B(−1; −2), C 2; đường tròn tâm O bán kính Lời giải OA cạnh√huyền trong√tam giác vuông cân cạnh nên OA = 12 + 12 = < 2, suy A nằm bên đường tròn (O; 2) OB cạnh huyền tam √ có hai cạnh góc √ giác vng 2 vuông 1; nên OB = + = > 2, suy B nằm bên ngồi đường trịn (O; 2) √ OC cạnh » huyền tam giác vuông cân cạnh √ √ nên OC = + = 2, suy C nằm đường tròn (O; 2) y √ C −1 O √ A −1 B −2 x Ơ Ví dụ Cho góc nhọn xAy hai điểm B, C thuộc tia Ax Dựng đường tròn (O) qua điểm B C cho tâm O nằm tia Ay Lời giải Giả sử dựng (O) thỏa mãn đề Khi OB = OC bán kính, nên O nằm đường trung trực d BC Lại có O thuộc Ay nên O giao điểm d Ay Cách dựng Dựng đường trung trực d BC cắt Ay O Dựng đường tròn tâm O bán kính OB đường trịn phải dựng (như hình vẽ) d y O M A B C x Ơ Ví dụ Một bìa hình trịn khơng cịn dấu vết tâm Hãy tìm lại tâm hình trịn Giáo viên: Chương Đường tròn 431 Lời giải Cách Trên đường trịn bìa lấy ba điểm A, B, C không trùng Nối A với B B với C Dựng đường trung trực AB, BC chúng cắt O, O tâm đường tròn qua ba đỉnh tam giác ABC hay O tâm bìa hình trịn A O B Cách Gấp bìa cho hai phần hình trịn trùng nhau, nếp gấp đường kính Lại gấp theo nếp gấp khác, ta đường kính thứ hai Giao điểm hai đường kính tâm bìa hình trịn C A D O C B “ = 90◦ Gọi M , N , P , Q trung điểm Ơ Ví dụ 10 Cho tứ giác ABCD có C + D AB, BD, DC CA Chứng minh bốn điểm M , N , P , Q thuộc đường tròn Lời giải Gọi I giao điểm AD BC “ = 90◦ nên DIC = 90◦ Vì C + D Do M , N , P , Q trung điểm AB, BD, DC CA nên M N , N P , P Q, QM đường trung bình tam giác ABD, BCD, ACD, ABC Suy M N ∥ AD, P Q ∥ AD, M Q ∥ BC, N P ∥ BC M N ∥ P Q, N P ∥ M Q Vậy tứ giác M N P Q hình bình hành Lại có I B M A 12 Q N D P C M1 = I1 (góc đồng vị) M2 = I2 Khi N M Q = M1 + M2 = I1 + I2 = 90◦ Do M N P Q hình chữ nhật Theo ví dụ bốn điểm M , N , P , Q thuộc đường tròn Luyện tập Bài Cho tam giác ABC cân A, BC = 12 cm, chiều cao AH = cm Tính bán kính đường tròn qua ba đỉnh tam giác ABC Lời giải Tài liệu Toán của: 432 Sự xác định đường trịn Tính chất đối xứng đường trịn Vì tam giác ABC cân A nên đường cao AH đường trung trực đoạn BC A Qua trung điểm M AB kẻ đường trung trực AB cắt đường thẳng AH O Khi O tâm đường tròn qua M ba đỉnh tam giác ABC B Bán kính đường trịn (O) R = OA = OB H Tam giác BOH vuông H nên O ã2 Å BC + (OA − AH)2 BO2 = BH + OH ⇔ BO2 = ⇔ R2 = 36 + (R − 4)2 ⇔ 8R = 52 ⇔ R = 6, Vậy bán kính đường trịn qua ba đỉnh tam giác ABC 6, cm C Bài Cho tam giác ABC cân A có ba đỉnh nằm đường tròn (O) Đường cao AH cắt (O) D Biết BC = 24 cm, AC = 20 cm Tính chiều cao AH bán kính đường trịn (O) Lời giải Vì tam giác ABC cân A nên đường cao AH đường trung trực đoạn BC, suy H trung điểm đoạn BC Tam giác ACH vuông H nên √ √ AH = AC − CH = 202 − 122 = 16 cm A O B C H Tam giác ACD có AD đường kính nên tam giác ACD vuông C Áp dụng hệ thức cạnh tam giác vng ACD ta có D AC ⇔ AD = 25 cm AH AD = 12, cm Vậy bán kính đường trịn (O) R = AC = AD · AH ⇔ AD = Bài Cho hình thang cân ABCD (với AD ∥ BC) có AB = 12 cm, AC = 16 cm, BC = 20 cm Chứng minh A, B, C, D thuộc đường trịn Tính bán kính đường trịn Lời giải Vì ABCD hình thang cân với hai đáy AD, BC nên AB = CD = 12 cm BD = AC = 16 cm Gọi O trung điểm BC Xét tam giác ABC có AB + AC = 122 + 162 = 202 = BC A B D O Vậy tam giác ABC vuông A Do ba đỉnh tam giác ABC thuộc đường trịn (O) Tương tự ta có tam giác BCD vng D Do ba đỉnh tam giác BCD thuộc đường tròn (O) Vậy bốn điểm A, B, C, D thuộc đường tròn (O) bán kính R = Giáo viên: BC = 10 cm C Chương Đường tròn 433 Bài Cho đường trịn (O) đường kính AB, M , N thuộc (O) cho AM = BN M , N nằm hai nửa đường tròn khác Chứng minh M N đường kính (O) Lời giải Vì M , N thuộc đường trịn (O) nên tam giác ABM , ABN tam giác vuông M , N Hai tam giác vng ABM ABN có AM = BN , AB cạnh chung nên hai tam giác nhau, suy BM = AN Vậy tứ giác AM BN có AM = BN BM = AN nên AM BN hình bình hành Hơn AM B = 90◦ Do AM BN hình chữ nhật Vậy M N đường kính (O) M A B O N “= D “ = 90◦ Bài Cho tứ giác ABCD có B Chứng minh bốn điểm A, B, C, D thuộc đường trịn Nếu AC = BD tứ giác ABCD hình gì? Lời giải Gọi O trung điểm AC Vì tam giác ABC vng B nên ba đỉnh A, B, C thuộc đường trịn (O) Vì tam giác ACD vng D nên ba đỉnh A, C, D thuộc đường tròn (O) Vậy bốn điểm A, B, C, D thuộc đường trịn (O) đường kính AC B A O C D Nếu BD = AC BD đường kính (O), suy BAD = 90◦ “= D “ = 90◦ nên ABCD hình chữ nhật Vậy tứ giác ABCD có A = B Bài Cho hình chữ nhật ABCD, vẽ tam giác AEC vuông E Chứng minh năm điểm A, B, C, D, E thuộc đường tròn Lời giải Gọi O trung điểm AC Vì tam giác ABC vuông B nên ba điểm A, B, C thuộc đường trịn (O) đường kính AC D Vì tam giác ACD vuông D nên ba điểm A, C, D thuộc đường trịn (O) đường kính AC Vì tam giác ACE vuông E nên ba điểm A, C, E thuộc đường trịn A (O) đường kính AC Vậy năm điểm A, B, C, D, E thuộc đường tròn (O) đường kính AC E C O B Bài Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Từ M điểm cạnh BC kẻ M D ⊥ AB, M E ⊥ AC Chứng minh năm điểm A, D, M , H, E nằm đường trịn Lời giải Tài liệu Tốn của: 434 Sự xác định đường trịn Tính chất đối xứng đường trịn Vì M D ⊥ AB AC ⊥ AB nên M D ∥ AE A Vì M E ⊥ AC AB ⊥ AC nên M E ∥ AD Từ hai điều suy ADM E hình bình hành D O E Mà DAE = 90◦ nên ADM E hình chữ nhật, suy bốn điểm A, D, M , E thuộc đường tròn (O) đường kính AM (với O trung điểm B H M C đoạn AM ) Lại có tam giác AHM vuông H nên ba điểm A, H, M thuộc đường trịn (O) đường kính AM Vậy năm điểm A, D, M , H, E nằm đường trịn (O) đường kính AM Bài Cho tam giác ABC có AQ, KB, CI ba đường cao H trực tâm Chứng minh A, B, Q, K thuộc đường tròn Xác định tâm đường trịn Chứng minh A, I, H, K thuộc đường tròn Xác định tâm đường trịn Lời giải Gọi O trung điểm AB Vì tam giác ABQ vng Q nên ba điểm A, B, Q thuộc đường tròn (O) đường kính AB Vì tam giác ABK vng K nên ba điểm A, B, K thuộc đường tròn (O) đường kính AB Từ suy bốn điểm A, B, Q, K thuộc đường tròn (O) đường kính AB A I O O K H B Q C Gọi O trung điểm AH Vì AHI vuông I nên ba điểm A, H, I thuộc đường trịn (O ) đường kính AH Vì AHK vuông K nên ba điểm A, H, K thuộc đường trịn (O ) đường kính AH Từ suy bốn điểm A, I, H, K thuộc đường trịn (O ) đường kính AH Bài Cho tam giác ABC có AM , BN , CP ba đường trung tuyến Chứng minh B, P , N , C thuộc đường tròn Lời giải Tam giác ABC tam giác nên AM , BN , CP đường cao tam giác ABC, suy tam giác BP C, BN C tam giác vng Vì tam giác BP C vuông P nên ba điểm B, P , C thuộc đường trịn (M ) đường kính BC Vì tam giác BN C vuông N nên ba điểm B, N , C thuộc đường trịn (M ) đường kính BC Vậy bốn điểm B, P , N , C thuộc đường trịn (M ) đường kính BC A P B N M C Bài 10 Cho tứ giác ABCD có AC ⊥ BD Gọi M , N , P , Q trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA Chứng minh bốn điểm M , N , P , Q thuộc đường tròn Lời giải Giáo viên: Chương Đường tròn 435 Gọi I giao điểm AC BD Do AC ⊥ BD nên BIC = I1 + I2 = 90◦ Vì M , N , P , Q trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA nên M N , N P , P Q, QM đường trung bình tam giác ABC, BCD, CDA, DAB Suy M N ∥ AC ∥ P Q, M Q ∥ BD ∥ N P Vậy tứ giác M N P Q hình bình hành “1 I1 = N Lại có (góc so le cặp đường thẳng song “2 I2 = N song) “1 + N “2 = I1 + I2 = BIC = 90◦ Khi M N P = N Do M N P Q hình chữ nhật Vậy bốn điểm M , N , P , Q thuộc đường tròn B M N 1 A C I Q P D Bài 11 Cho tam giác ABC vuông A Nêu cách dựng đường tròn (O) qua A tiếp xúc với BC B Nêu cách dựng đường tròn (O ) qua A tiếp xúc với BC C Lời giải Giả sử dựng (O) thỏa mãn đề Khi OA = OB bán kính, nên O nằm đường trung trực d AB Lại có (O) tiếp xúc với BC B nên OB ⊥ BC, suy O nằm đường thẳng d qua B vng góc với BC Do O giao điểm d d Cách dựng Dựng đường trung trực d AB Dựng đường thẳng d vng góc với BC B Gọi O giao điểm d d Dựng đường trịn tâm O bán kính OA đường trịn phải dựng (như hình vẽ) d d O A B C Giả sử dựng (O ) thỏa mãn đề Khi O A = O C bán kính, nên O nằm đường trung trực d1 AC Lại có (O ) tiếp xúc với BC C nên O C ⊥ BC, suy O nằm đường thẳng d2 qua C vng góc với BC Do O giao điểm d1 d2 Cách dựng Dựng đường trung trực d1 AC Dựng đường thẳng d2 vng góc với BC C Gọi O giao điểm d1 d2 Dựng đường tròn tâm O bán kính O A đường trịn phải dựng (như hình vẽ) d2 d1 A O B C Bài 12 Cho năm điểm A, B, C, D, E Biết qua bốn điểm A, B, C, D vẽ đường trịn, qua bốn điểm B, C, D, E vẽ đường tròn Hỏi qua năm điểm A, B, C, D, E vẽ đường trịn khơng? Tài liệu Toán của: 436 Sự xác định đường trịn Tính chất đối xứng đường tròn Lời giải Gọi (O) đường tròn qua qua đỉnh tam giác ABC Với giả thiết: Bốn điểm A, B, C, D thuộc đường tròn (O1 ), suy (O1 ) ≡ (O) Bốn điểm B, C, D, E thuộc đường tròn (O2 ), suy (O2 ) ≡ (O) Vậy năm điểm A, B, C, D, E thuộc đường tròn (O) Bài 13 Cho đường trịn (O; R) đường kính BC Điểm A di động (O) , gọi P , Q theo thứ tự trung điểm AB AC Chứng minh P Q có độ dài khơng đổi A di động (O) Tìm quỹ tích trung điểm M P Q Lời giải Khi A không trùng với điểm B, C P Q đường trung BC = R (khơng đổi) bình tam giác ABC Do P Q = Khi A ≡ B P ≡ B Q ≡ O nên P Q = OB = R (khơng đổi) Khi A ≡ C Q ≡ C P ≡ O nên P Q = OC = R (khơng đổi) Vậy P Q có độ dài không đổi (luôn R) A di động (O) A Q M P B C O Vì O, P , Q trung điểm BC, AB, AC nên OP , OQ đường trung bình tam giác ABC, suy OP ∥ AQ, OQ ∥ AP Do tứ giác AP OQ hình bình hành, nên AO, P Q cắt trung điểm đường, suy M trung điểm AO R AO = (không đổi) Khi OM = 2 Å ã R Vậy quỹ tích điểm M đường trịn O; Bài 14 Cho tam giác ABC, đường cao BD CE Trên cạnh AC lấy điểm M Kẻ tia Cx vng góc với tia BM F Chứng minh năm điểm B, C, D, E, F thuộc đường tròn Lời giải Gọi O trung điểm BC Vì tam giác BCD vng D nên ba điểm B, C, D thuộc đường trịn (O) đường kính BC Vì tam giác BCE vng E nên ba điểm B, C, E thuộc đường trịn (O) đường kính BC Vì tam giác BCF vuông F nên ba điểm B, C, F thuộc đường trịn (O) đường kính BC Vậy năm điểm B, C, D, E, F thuộc đường tròn (O) đường kính BC Giáo viên: A x D E B M O F C Ôn tập chương 500 Ô Ví dụ Cho đường trịn (O), đường kính AB, điểm C nằm A O Vẽ đường trịn (O ) có đường kính CB Hai đường trịn (O) (O ) có vị trí tương đối nào? Kẻ dây DE đường trịn (O) vng góc với AC trung điểm H AC Tứ giác ADCE hình gì? Vì sao? Gọi K giao điểm DB đường tròn (O ) Chứng minh điểm E, C, K thẳng hàng; Chứng minh HK tiếp tuyến đường tròn (O ) Lời giải D K A H C O O B E Ta có OO = OB − O B ⇒ hai đường tròn (O) (O ) tiếp xúc B Dây DE (O) vng góc với đường kính AB ⇒ AB qua trung điểm DE hay H trung điểm AB Xét tứ giác ADCE có H trung điểm AB, H trung điểm AC ⇒ tứ giác ADCE hình bình hành Lại có AC ⊥ DE ⇒ tứ giác ADCE hình thoi BC nên vng K ⇒ CKB = 90◦ hay CK ⊥ BD Chứng minh tương tự ta có ADB = 90◦ hay AD ⊥ BD Từ (1)và (2) ⇒ CK ∥ AD Lại có CE ∥ AD (vì tứ giác ADCE hình thoi) ⇒ C, E, K thẳng hàng KCB có trung tuyến KO = (1) (2) Xét tam giác DEK vng K có KH trung tuyến nên KH = HE Tam giác KHE có KH = HE ⇒ KHE cân H ⇒ HKE = KEH Lại có O CK cân O ⇒ O CK = O KC ⇒ HKE + O KC = KEH + O CK ⇔ O KH = KEH + O CK Mặt khác O CK = HCE(đối đỉnh) Tam giác HEC vuông H nên KEH + HCE = 90◦ ⇒ KEH + O CK = 90◦ hay O KH = 90◦ ⇒ KH tiếp tuyến (O ) Giáo viên: Chương Đường trịn 501 Ơ Ví dụ Cho đường trịn (O) đường kính AB Lấy điểm C thuộc (O) Tiếp tuyến A (O) cắt đường thẳng BC D Gọi E trung điểm AD Chứng minh EC tiếp tuyến (O); Chứng minh EO vng góc với AC trung điểm I AC Lời giải D C E I A O B Ta có ACB = 90◦ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒ AC ⊥ BD Tam giác ACD vng C có CE trung tuyến nên CE = EA = AD Xét tam giác AEO tam giác CEO có   AE = CE EO cạnh chung ⇒ AEO = CEO (c.c.c)   AO = CO ⇒ EAO = ECO = 90◦ ⇒ CE tiếp tuyến (O) EA EC tiếp tuyến (O) cắt E ⇒ EA = EC Lại có OA = OC ⇒ OE đường trung trực đoạn AC hay OE vng góc với AC trung điểm I AC Ơ Ví dụ 10 Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB = 2R, N điểm nửa đường tròn Trên nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ hai tiếp tuyến Ax By tiếp tuyến N cắt hai tiếp tuyến Ax By C D Chứng minh AC + BD = CD AC · BD không đổi; Chứng minh AB tiếp xúc với đường trịn đường kính CD; Biết AC = R Tính N A N B Lời giải Tài liệu Toán của: Ôn tập chương 502 C I N D A O B Ta có DN DB hai tiếp tuyến cắt D ⇒ DN = DB Lại có CA CN hai tiếp tuyến cắt C ⇒ CA = CN nên DB+CA = DN +CN = DC Mặt khác OC OD hai phân giác hai góc AON BON kề bù nên COD = 90◦ Trong tam giác vng COD có ON đường cao nên DN · CN = ON = R2 Hay AC · BD = R2 (không đổi) Gọi I tâm đường trịn đường kính CD Tứ giác CABD hình thang vng (AC ⊥ AB; BD ⊥ AB) có OI đường trung bình CD AC + BD = = IC ⇒ OI ∥ AC mà AC ⊥ AB ⇒ OI ⊥ AB O OI = 2 Vậy AB tiếp xúc với đường trịn đường kính CD Ta có OA = ON = R, CA = CN (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Do OC đường trung trực AN Gọi H giao điểm OC AN Xét tam giác vng CAO có AH đường cao nên √ √ 1 1 1 R 2R = + = + Å ã2 = + = ⇒ AH = ⇒ AN = AH AO2 CA2 R R R R 5 R AN + N B = AB (theo Py-ta-go) √ 2 4R 16R 4R 5R N B = AB − N A2 = (2R)2 − = ⇒ NB = √ = 5 √ √ 5R 5R Vậy AN = BN = 5 Luyện tập Bài Cho đường trịn tâm O, bán kính R, kẻ đường kính AB dây cung AM có độ dài R Tia OM cắt tiếp tuyến Ax (A tiếp điểm ) đường tròn (O) P Tiếp tuyến P N (O) (N tiếp điểm, N khác A) cắt đường thẳng AB Q Chứng minh OP đường trung trực AN Chứng minh AM song song với ON tính AP theo R Giáo viên: Chương Đường tròn 503 Chứng minh tam giác AP N tính diện tích tam giác AP Q theo R Gọi H giao điểm AM P Q Chứng minh AP AN hai tiếp tuyến đường tròn (M ; M H) (Kiểm tra Học kì Tốn 9, Thừa Thiên Huế, năm học 2015 - 2016) Lời giải P H N M A ® Ta có O B Q PA = PB (tính chất tiếp tuyến) suy OP đường trung trực AN OA = ON = R Tam giác OAM (AM = OA = OM = R) ⇒ AM O = AOM = 60◦ Mà M ON = AOM (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Suy AM O = M ON = 60◦ Vậy AM ∥ ON Ta có AP ⊥ OA (vì AP tiếp tuyến) ⇒ OAP = 90◦ √ Tam giác P AO vuông A nên AP = OA · tan AOP = R · tan 60◦ = R 3 Ta có P AN = AOM (cùng phụ với OAN ) P AN = 60◦ ◦ Mà P A = P N suy tam giác P AN suy AP Q = 60√ Tam giác AP Q vuông A, nên AQ = AP · tan√AP Q = R · tan 60◦ = 3R √ 1 3R2 Vậy SAP Q = · P A · AQ = · R · 3R = (đvdt) 2 Ta có ON ⊥ P N (vì P N tiếp tuyến), AM ∥ ON suy M H ⊥ P N Do đó, M H khoảng cách từ M đến P N Tam giác AP N có AH đường cao nên AH đường phân giác tam giác AP N Mặt khác P O phân giác AP N (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Suy đường tròn (M ; M H) đường tròn nội tiếp tam giác AP N Vậy AP AN hai tiếp tuyến đường tròn (M ; M H) Tài liệu Toán của: Ôn tập chương 504 Bài Cho đường trịn (O) đường kính AB = 2R Gọi M điểm đường tròn (O) (M khơng trùng với A B) Vẽ đường trịn tâm M tiếp xúc với AB H Từ A B kẻ hai tiếp tuyến AC BD với đường tròn tâm M (C, D hai tiếp điểm) Chứng minh AC + BD = AB Chứng minh CD tiếp tuyến đường tròn (O) Gọi K giao điểm AD BC Chứng minh KH ∥ AC (Kiểm tra Học kì Tốn 9, Thừa Thiên Huế, năm học 2014 - 2015) Lời giải C M D K A O H B Chứng minh AC + BD = AB Ta có AC AH tiếp tuyến cắt A (M ) ⇒ AH = AC (tính chất tiếp tuyến cắt nhau) Tương tự ta có BH = BD ⇒ AH + BH = AC + BD ⇔ AC + BD = AB (điều phải chứng minh) Chứng minh CD tiếp tuyến đường tròn (O) Ta có AC AH tiếp tuyến cắt A (M ) ⇒ M A tia phân giác CM H (tính chất tiếp tuyến cắt nhau) ⇔ HM A = CM H Tương tự ta có HM B = DM H Suy 1 HM A + HM B = CM H + DM H 2 ⇔ AM B = DM C ⇔ CM D = 180◦ Giáo viên: Chương Đường tròn 505 ⇔ C, D, M thẳng hàng Suy M trung điểm CD hay tứ giác ACDB hình thang vng, đáy AC, BD Mặt khác AC BD tiếp tuyến (M ) (giả thiết) ⇔ AC ⊥ CD; BD ⊥ CD ⇔ AC ∥ BD Lại có O trung điểm AB nên OM đường trung bình hình thang ACDB suy OM ∥ BD OM ⊥ CD ⇔ CD tiếp tuyến (O) (điều phải chứng minh) Gọi K giao điểm AD BC Chứng minh KH ∥ AC AC CK = (định lý Talet) Ta có AC ∥ BD ⇒ KB BD Mà AC = AH, BD = BH (chứng minh trên) CK AH ⇒ = ⇒ HK ∥ AC (định lí Talet đảo) KB HB ® AC = AH (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Xét ACM AHM có: OE = OD (bán kính) Bài Cho đường trịn (O; R) đường kính AB điểm C thuộc đường tròn (O) (C khác A B), kẻ CH vng góc với AB H Chứng minh tam giác ABC vuông C CH = AC · BC · sin A · cos A Tiếp tuyến A đường tròn (O) cắt tia BC D Gọi I trung điểm AD Chứng minh đường thẳng IC tiếp tuyến đường tròn (O) Tiếp tuyến B đường tròn (O) cắt tia IC K Chứng minh IA · BK = R2 Xác định vị trí điểm C đường trịn (O) để diện tích tứ giác ABKI nhỏ (Kiểm tra Học kì Tốn 9, Thừa Thiên Huế, năm học 2013-2014) Lời giải Tài liệu Toán của: Ôn tập chương 506 D I C K A O H B Chứng minh tam giác ABC vuông C CH = AC · BC · sin A · cos A AB Điểm C thuộc đường tròn (O) (C khác A B) nên OC = OA = OB = R = AB Tam giác ABC có trung tuyến CO = suy ABC vuông C (dấu hiệu nhận biết) Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông ACB vuông C, đường cao CH ta có: CH ⇔ CH ⇔ CH ⇒ Điều = AH · BH = AC · cos A · BC · sin A = AC · BC · sin A · cos A phải chứng minh Tiếp tuyến A đường tròn (O) cắt tia BC D Gọi I trung điểm AD Chứng minh đường thẳng IC tiếp tuyến đường trịn (O) Xét ACD vng C có I trung điểm cạnh huyền AD (giả thiết) AD ⇒ IA = IC = Xét AIO CIO có:   (Chứng minh trên) IA = IC OA = OC (bán kính đường tròn)   OI chung ⇒ AIO = CIO (cạnh - cạnh - cạnh) Giáo viên: Chương Đường tròn 507 ⇒ IAO = ICO (2 góc tương ứng tam giác nhau) ⇒ ICO = 90◦ ⇒ OC ⊥ IC hay IC tiếp tuyến (O) Suy điều phải chứng minh Tiếp tuyến B đường tròn (O) cắt tia IC K Chứng minh IA · BK = R2 Ta có IA, IC tiếp tuyến (O) cắt I ⇒ IA = IC OI tia phân giác ACO (tính chất tiếp tuyến cắt nhau) AOC ⇒ IA = IC IOC = BOC Tương tự ta có KC = KB KOC = ⇒ IOC + KOC = AOC BOC + 2 AOB 180◦ ⇔ IOK = ⇔ IOK = 90◦ ⇔ IOK vuông O ⇔ IOK = Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông IOK vuông O, đường cao OC ta có: OC = IC · KC ⇔ OC = IA · BK ⇔ R2 = IA · BK ⇒ điều phải chứng minh Xác định vị trí điểm C đường trịn (O) để diện tích tứ giác ABKI nhỏ Ta có AIO = CIO (chứng minh trên) Tương tự ta có: ⇒ KBO = KCO Suy SAIKB = · (SCIO + SKOC ) = · SIOK = OC · KI = R · KI Mà KI ≥ AB ⇒ SAIKB ≥ R · AB = · R2 Dấu xảy ⇔ KI = AN ⇔ C điểm cung AB Vậy SAIKB đạt GTLN 2R2 C điểm cung AB Bài Cho đường trịn (O) đường kính AB Lấy C thuộc (O), gọi E trung điểm BC Tiếp tuyến C O cắt OE D Chứng minh ACB vng OE vng góc với BC Chứng minh DB tiếp tuyến (O) Kẻ CH vng góc với AB Chứng minh CB · OC = OD · HC (Đề thi Toán Học kỳ năm học 2017-2018, Quận 12, HCM) Lời giải Tài liệu Toán của: Ôn tập chương 508 Vì C thuộc đường trịn đường kính AB nên ACB = 90◦ hay ABC vng C Vì E trung điểm BC nên OE ⊥ BC (liên hệ đường kính dây cung) Tam giác OCB cân O có OE ⊥ BC nên OE tia phân giác góc BOC suy COE = BOE Xét ODC ODB có OD cạnh chung OC = OD = R COE = BOE (cmt) ⇒ ODC = ODB (c.g.c) ⇒ DBO = DCO (hai góc tương ứng) Mặt khác DCO = 90◦ (tính chất tiếp tuyến) nên DBO = 90◦ hay DB ⊥ OB, mặt khác OB bán kính (O) Vậy DB tiếp tuyến đường tròn (O) D C E A H O B c) Ta có CBH = ODB (cùng phụ góc DBE), mà ODC = ODB suy ODC = CBH Xét hai tam giác vuông CHB OCD có OHC = OCD = 90◦ ODC = CBH nên CHB OCD (g.g) CH BC suy = ⇒ CH · OD = OC · BC (đpcm) OC OD Bài Cho nửa đường trịn (O; R), đường kính AB Vẽ tiếp tuyến Ax By đường tròn (O) Chứng minh Ax ∥ By Trên (O) lấy điểm M Tiếp tuyến M đường tròn (O) cắt Ax By D, E Chứng minh DE = DA + BE Chứng minh DOE = 90◦ DA · BE = R2 (Đề thi Toán Học kỳ năm học 2017-2018, Thủ Đức, Hồ Chí Minh) Lời giải a) Ax, By tiếp tuyến nửa đường tròn ⇒ Ax ⊥ AB By ⊥ AB ⇒ Ax ∥ By y x E b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có DA = DM BE = EM Suy DE = DM +EM = DA + BE M D A Giáo viên: O B Chương Đường trịn 509 c) Cũng theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có AOD = DOM M OE = EOB Mà AOD + DOM + M OE + EOB = AOB = 180◦ 1 Suy DOE = DOM + M OE = AOB = · 180◦ = 90◦ 2 Hơn nữa, DA · BE = DM · EM = OM = R2 Bài Cho tam giác ABC vuông A (AB < AC) Vẽ đường tròn tâm O đường kính AC cắt cạnh BC D Gọi H, K trung điểm đoạn thẳng AD DC Chứng minh tứ giác OHKD hình chữ nhật Tia OH cắt cạnh AB E Chứng minh DE tiếp tuyến đường tròn (O) Tia OK cắt đường thẳng DE N cắt đường tròn tâm O I Gọi S giao điểm OB với AD Đường thẳng qua S vng góc với AO cắt tia OH T Chứng minh AT vng góc với BO điểm A, T, N thẳng hàng (Đề thi Toán Học kỳ năm học 2017-2018, Trần Đại Nghĩa, HCM) Lời giải C N K O M T S D H A E B Ta có OH ⊥ AD ⇒ OHD = 90◦ ; OK ⊥ CD ⇒ KDA = 90◦ Mặt khác, tam giác ADC vuông D nên CDA = 90◦ Do tứ giác OHKD hình chữ nhật Ta có EDA = EAD (OE trung trực AD) EAD = ACD (cùng phụ với góc ABC) ACD = CDO (tam giác OAD cân) Suy EDA = CDO Mặt khác CDO + DAO = 90◦ ⇒ EDO = ADO + ADO = ADO + EDA = 90◦ Vậy DE tiếp tuyến đường trịn (O) Tam giác AOS có OH ST hai đường cao cắt T nên T trực tâm ⇒ AT đường cao tam giác AOS hay AT ⊥ OB Gọi M giao điểm AT với OB Để chứng minh A, T, N thẳng hàng ta cần chứng minh Tài liệu Toán của: Ôn tập chương 510 M N ⊥ OB M Tam giác OAB vuông A có AM đường cao ⇒ OM · OB = OA2 Tam giác ON D vng D có DK đường cao ⇒ OK · ON = OD2 OK OM = Vì OA = OD (bán kính đường trịn (O)) nên OM · OB = OK · ON ⇒ ON OB OM OK Xét tam giác OM N tam giác OKB có BON chung = ON OB ⇒ OM N OKB ⇒ N M O = OKB = 90◦ ⇒ N M ⊥ OB Vậy A, T, N thẳng hàng Bài Cho đường trịn (O; R) đường tính AB Qua điểm A kẻ tia tiếp tuyến Ax đến đường tròn (O) Trên tai Ax lấy điểm C cho AC > R Từ điểm C kẻ tiếp tuyến CM với đường tròn (O) (M tiếp điểm) Chứng minh bốn điểm A, C, O, M thuộc đường tròn Chứng minh M B ∥ OC Gọi K giao điểm thứ hai BC với đường tròn (O) Chứng minh BC · BK = 4R2 Chứng minh CM K = M BC (Đề thi Toán Học kỳ năm học 2017-2018,Bắc Từ Liêm, Hà Nội) Lời giải x C I A M K O B Gọi I trung điểm OC Tam giác vng CAO có AI đường trung tuyến nên AI = IO = IC Tương tự M I = IO = IC Từ (1) (2) suy IC = IO = IA = IM Vậy bốn điểm A, C, O, M thuộc đường trịn đường kính OC Giáo viên: (1) (2) Chương Đường trịn 511 ® CA = CM ⇒ OC đường trung trực AM ⇒ OC ⊥ AM OA = OM = R Mặt khác, tam giác AM B có OM đường trung tuyến OM = AB nên M ⇒ BM ⊥ AM Từ (1) (2) suy M B ∥ OC Ta có (1) AM B vng (2) Vì CA tiếp tuyến (O; R) đường kính AB (giả thiết) ⇒ CAB = 90◦ hay tam giác ABC vuông A K thuộc (O; R) đường kính AB ⇒ AKB = 90◦ hay AK ⊥ BC ⇒ AK đường cao ABC Xét tam giác ABC vuông A, đường cao AK, áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông ta có: AB = BK · BC ⇔ BC · BK = 4R2 Suy điều phải chứng minh Xét tam giác ABC vuông A, đường cao AK, áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ta có: AC = CK · CB Mà AC = CM ⇒ CM = CK · CB CM CK = ⇒ CM CB ⇒ CKM CM B (cạnh - góc - cạnh) ⇒ CM K = M BC Bài Cho đường trịn tâm O bán kính R điểm M nằm ngồi đường trịn Qua M kẻ tiếp tuyến M A với đường tròn (A tiếp điểm) Tia M x nằm M A M O cắt đường tròn (O; R) hai điểm C D (C nằm M D) Gọi I trung điểm dây CD, kẻ AH vng góc với M O H Tính OH · OM theo R Chứng minh: Bốn điểm M, A, I, O thuộc đường tròn Gọi K giao điểm OI với HA Chứng minh KC tiếp tuyến đường tròn (O; R) (Kiểm tra Học kì Tốn 9, Đề A, Sở GDĐT Tỉnh Thanh Hóa, năm 2016) Lời giải Tài liệu Tốn của: Ôn tập chương 512 K A D I C O H M Xét tam giác AM O vuông A có AH ⊥ M O ⇒ OH · OM = OA2 = R2 Xét đường tròn (O) có I trung điểm dây CD ⇒ OI ⊥ CD Do I thuộc đường trịn đường kính OM Mặt khác ta lại có M A tiếp tuyến đường tròn (O) nên OA ⊥ AM Do A thuộc đường trịn đường kính OM Từ (1) (2) ta có bốn điểm A, I, O, M thuộc đường trịn đường kính OM (1) (2) Xét OHK OIM có: OHK = OIM = 90◦ ; O chung ⇒ OHK OIM (g.g) OK OH = ⇒ OI.OK = OH.OM = AO2 = OC Suy OI OM OI OC ⇒ = ⇒ OCK OIC (c.g.c) ⇒ OCK = OIC = 90◦ OC OK ⇒ OC ⊥ KC, mà C thuộc đường tròn (O) Do KC tiếp tuyến đường trịn (O) (đpcm) Bài Cho nửa đường trịn tâm O, đường kính AB tia tiếp tuyến Ax phía với nửa đường tròn AB Từ điểm M Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai M C với nửa đường trịn (C tiếp điểm) Kẻ CH vng góc với AB (H ∈ AB) Chứng minh ACB = 90◦ BC ∥ OM M B qua trung điểm đoạn thẳng CH (Kiểm tra Học kì Tốn 9, Vĩnh Long, năm 2017) Lời giải Giáo viên: Chương Đường tròn 513 I M C N A O H Tam giác ABC có CO đường trung tuyến CO = B AB nên tam giác ABC vng C, ACB = 90◦ Có M A = M C (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) suy M AC cân M , mà M O phân giác AM C (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau), nên M O đường cao tam giác M AC Do M O⊥AC Lại có BC⊥AC (ABC vng C) ⇒ BC ∥ OM M B qua trung điểm đoạn thẳng CH Gọi I giao điểm đường thẳng BC với Ax N giao điểm M B với CH Trong tam giác ABI có OA = OB (bán kính) OM ∥ BI (vì OM ∥ BC, I ∈ BC) ⇒ M A = M I (1) Mà CH ∥ AI (cùng vng góc với AB), NH BN NC BN NH NC = = (hệ định lý Ta-let) ⇒ = (2) MA BM MI BM MA MI Từ (1) (2) suy N H = N C hay BM qua trung điểm đoạn thẳng CH Bài 10 Hai đường tròn (O; R) (O ; r) tiếp xúc A (R > r) Kẻ tiếp tuyến chung BC, B ∈ (O), C ∈ (O ) Gọi M trung điểm OO Gọi H chân đường vng góc kẻ từ M đến BC Tính số đo góc OHO Chứng minh OH tia phân giác góc AOB Chứng minh AH tiếp tuyến chung hai đường tròn (O) (O ) Cho R = cm, r = cm Tính độ dài BC Tài liệu Tốn của: Ôn tập chương 514 Lời giải B H C O M A O   OB ⊥ BC Vì O C ⊥ BC ⇒ OB ∥ O C ∥ M H   M H ⊥ BC Hình thang OBCO có M O = M O , M H ∥ OB ∥ O C nên HB = HC M H đường trung bình OA + O A OO OB + O C = = Suy M H = 2 Tam giác OHO có M H = M O = M O nên OHO = 90◦ OB ∥ M H nên O1 = OHM (so le trong) Tam giác M OH cân M nên O2 = OHM Suy O1 = O2 Vậy OH tia phân giác góc AOB AOH = BOH (c.g.c) nên OAH = OBH = 90◦ AH vng góc vơi OA A nên tiếp tuyến chung hai đường tròn (O) (O ) Tam giác √ OHO vuông A, đường √ cao HA nên HA = OA · O A = · = 10 Suy HA = 10 Do BC = 2HA = 10 cm Giáo viên: ... tương ứng với hai cung đường tròn (cung lớn cung nhỏ) N O B M Định lí Trong dây cung đường trịn, đường kính dây cung lớn Định lí Trong đường trịn 1) Đường kính vng góc với dây cung qua trung điểm... khoảng cách từ tâm đến dây Tóm tắt lí thuyết B Định lí Trong đường trịn: K 1) Hai dây cách tâm O 2) Hai dây cách tâm C A D H A Định lí Trong hai dây đường tròn: 1) Dây lớn dây gần tâm F D 2)... Liên hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây 450 Kẻ OE ⊥ AB E, kẻ OF ⊥ CD F Trong đường tròn nhỏ, ta có AB < CD ⇒ OE > OF Trong đường trịn lớn, ta có F D N C O OE > OF ⇒ KM < KN K A E M B Ơ Ví dụ