cac dang bai tap goc voi duong tron

Chương Góc với đường trịn §1 Góc tâm Số đo cung Tóm tắt lí thuyết Định nghĩa Góc có đỉnh trùng với tâm đường trịn gọi góc tâm B m O A n ˘ cung nhỏ, AnB ˘ cung lớn Trong hình vẽ AOB góc tâm, AmB Định nghĩa Số đo cung nhỏ số đo góc tâm chắn cung Số đo cung lớn hiệu 360◦ số đo cung nhỏ (có chung hai mút với cung lớn) Số đo nửa đường tròn 180◦ ! 29 Chú ý Cung nhỏ có số đo nhỏ 180◦ Cung lớn có số đo lớn 180◦ Khi hai mút cung trùng nhau, ta có “cung không ”với số đo 0◦ cung đường trịn có số đo 360◦ Định nghĩa Trong đường tròn hay hai đường tròn nhau: Hai cung gọi chúng có số đo Trong hai cung, cung có số đo lớn gọi cung lớn ˜ = sđAC ˜ + sđCB ˜ Định lí 13 Nếu C điểm nằm cung AB sđAB 515 Góc tâm Số đo cung 516 H D O A C G O E B F ˜ = CD; ˜ EF ˜ > GH ˜ Trong hình AB Các ví dụ √ Ơ Ví dụ Cho đường tròn (O; R) dây cung AB = R Tính số đo hai cung AB Lời giải Xét tam giác OAB ta có B AB = 2R2 = OA2 + OB nên tam giác vuông O ˜ sđAB = 90◦ Suy AOB = 90◦ Vậy số đo cung nhỏ AB ˜ sđAB ˜ lớn = 360◦ − 90◦ = 270◦ Và số đo cung lớn AB O A √ Ơ Ví dụ Cho đường tròn (O; R) dây cung M N = R Tính số đo hai dây cung MN Lời giải Kẻ OH ⊥ M N H ⇒ HM = HN (định lí đường√kính vng góc dây cung) MN R Do HM = HN = = √ √ R 3 MH Ta có: cos HM O = = = MO R Nên HM O = 30◦ ⇒ M ON = 120◦ ¯ Suy số đo cung nhỏ sđM N = M ON = 120◦ ¯ ¯ Và số đo cung lớn sđM N lớn = 360◦ − sđM N = 360◦ − 120◦ = 240◦ N H O M Ơ Ví dụ√3 Trên đường trịn (O; R) lấy ba điểm A, B, C cho dây cung AB = R, BC = R tia BO nằm hai tia BA BC Tính số đo cung nhỏ AB, BC AC Lời giải Giáo viên: Chương Góc với đường trịn 517 AOB nên AOB = 60◦ BOC vuông cân O nên BOC = 90◦ ˜ = sđAOB = 60◦ Suy sđAB ˜ = sđBOC = 90◦ sđBC ˜ = sđAB ˜ + sđBC ˜ = 60◦ + 90◦ = 150◦ sđAC B C A O Ơ Ví dụ√4 Hai tiếp tuyến B C nửa đường tròn (O; R) cắt A Biết OA = R Tính số đo cung BC Lời giải √ OB R = √ =√ = ⇒ AOB = 45◦ cos AOB = OA R 2 ◦ Suy BOC = 90 ˜ = BOC = 90◦ Vậy sđBC C O A B Ơ Ví dụ Trên dây cung AB đường tròn (O) lấy hai điểm H K cho AH = HK = KB Vẽ bán kính OD qua H bán kính OC qua K Chứng minh rằng: ˜ = BC; ˜ AD ˜ < DC ˜ AD Lời giải D Tam giác AOB cân O nên OAH = OBK Do OAH = OBK (c.g.c) A ˜ = BC ˜ ⇒ AOH = BOK ⇒ AD Vẽ đường kính AE đường trịn (O) Ta thấy OH đường trung bình tam giác AKE nên OH ∥ KE ⇒ AOH = OEK, HOK = OKE Xét OEK có OK < OE ⇒ OEK < OKE ˜ < DC ˜ ⇒ AOH < HOK ⇒ AD C H K B O E Luyện tập Bài Cho đường tròn (O; R) điểm A nằm ngồi đường trịn cho OA = 2R Từ A ˜ kẻ hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (B C tiếp điểm) Tìm số đo cung lớn BC Tài liệu Toán của: Góc tâm Số đo cung 518 đường tròn (O) Lời giải R OB = = ⇒ AOB = 60◦ OA 2R ˜ nhỏ = BOC = 120◦ Suy BOC = 120◦ Nên sđBC ˜ lớn = 360◦ − 120◦ = 240◦ Vậy sđBC cos AOB = C O A B Bài Cho đường trịn (O) đường kính AB dây cung AC Chứng minh ˜ BAC = sđBC Lời giải Mặt khác BOC góc tam giác cân OAC 1 ˜ Nên BOC = 2OAC Suy BAC = BOC = sđBC 2 C A B O “ = 70◦ , C = 50◦ Đường tròn (O) nội tiếp tam giác tiếp xúc Bài Cho tam giác ABC có B ˜ EF ˜ F ˜ với cạnh AB, BC, CA theo thứ tự D, E, F Tính số đo cung DE, D Lời giải Tứ giác BF ID có F ID = 360◦ − 90◦ − 90◦ − 70◦ = 110◦ ˜ Nên số đo cung nhỏ sđF D = 110◦ Tứ giác IDCE có EID = 360◦ − 90◦ − 90◦ − 50◦ = 130◦ ˜ = 130◦ Nên số đo cung nhỏ sđED Từ suy số đo cung nhỏ A E F I ˜ = 360◦ − 110◦ − 130◦ = 120◦ sđEF ◦ ◦ B 50 D C Bài Cho nửa đường tròn (O) hai dây cung AB ∥ CD nằm nửa đường tròn ˜ = BD ˜ Chứng minh AC Lời giải Giáo viên: Chương Góc với đường tròn 519 Gọi H trung điểm CD ta có OH ⊥ CD Mà AB ∥ CD nên OH ⊥ AB Hai tam giác OAB, OCD cân O nên AOH = BOH ⇒ AOH−COH = BOH−DOH ⇒ AOC = BOD D H COH = DOH C B A ˜ = BD ˜ Do AC O Bài Cho nửa đường trịn tâm (O) đường kính 20 cm, C điểm của nửa đường tròn Lấy điểm H thuộc OA cho OH = cm Đường vng góc với OA H cắt nửa đường tròn D Vẽ dây AE song song với CD Gọi K hình chiếu E AB Tính diện tích tam giác AEK Lời giải ˜ = CE ˜ ⇒ O1 = O2 Theo tốn trên, DC ∥ AE ⇒ AD Vì OC ∥ EK nên O2 = OEK (hai góc so le trong) ⇒ O1 = OEK ⇒ HOD = ∆KEO (cạnh huyền – góc nhọn) ⇒ OK = DH EK = OH = (cm) Mà DH = AH · HB = · 16 = 64 ⇒ DH = OK = (cm) (10 + 8) · AK · EK = = 54 (cm2 ) SAEK = 2 C D E A H Tài liệu Toán của: O K B Liên hệ cung dây 520 §2 Liên hệ cung dây Tóm tắt lí thuyết Định lí 14 Với hai cung nhỏ đường tròn hai đường tròn D Hai cung căng hai dây O C Hai dây căng hai cung A ˜ = CD ˜ ⇔ AB = CD Nghĩa AB Định lí 15 Với hai cung nhỏ đường tròn hai đường tròn D B C Cung lớn căng dây lớn O Dây lớn căng cung lớn B A ˜ < CD ˜ ⇔ AB < CD Nghĩa AB Tính chất Trong đường tròn Hai cung bị chắn hai dây song song D Đường kính qua điểm cung qua trung điểm dây căng cung ngược lại Đường kính qua điểm cung vng góc với dây căng cung ngược lại C O A B Các ví dụ Ơ Ví dụ Cho hai đường tròn (O) (O ) cắt hai điểm A B Kẻ đường kính AOC, AO D Gọi E giao điểm thứ hai AC với đường tròn (O ) So sánh cung nhỏ BC, BD ˘ (tức điểm B chia cung EBD ˘ Chứng minh B điểm cung EBD ˜ = BD) ˜ thành hai cung BE Lời giải Giáo viên: Chương Góc với đường trịn 521 E A O C O B D Vì BAC B BAD nội tiếp nửa đường trịn nên chúng tam giác vng ® AC = AD đường kính Xét hai tam giác vng BAC BAD có AB cạnh chung Vậy BAC = BAD Suy BC = BD Mặt khác, hai đường tròn (O) (O ) nên hai dây căng hai dây ˜ = BD ˜ Vậy BC Vì điểm E nằm đường trịn đường kính AD nên AED = 90◦ “ = 90◦ ) Do BC = BD (câu a) nên EB đường trung tuyến tam giác vuông ECD (E Suy BE = BD ˜ = BD ˜ hay B điểm cung EBD Trong (O ) ta có, BE = BD suy BE Ơ Ví dụ Cho tam giác ABC Trên tia đối tia AB lấy điểm D cho AD = AC Vẽ đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác DBC Từ O hạ đường vng góc OH, OK với BC BD (H ∈ BC, K ∈ BD) a) Chứng minh OH > OK b) So sánh hai cung nhỏ BD BC Lời giải C Trong tam giác ABC, theo bất đẳng thức tam giác, ta có BC < AB + AC = AB + AD = BD hay BC < BD Theo định lí dây cung khoảng cách đến tâm suy OH > OK H D A K O ˜ < BD ˜ Vì BC < BD ta suy BC Ơ Ví dụ Cho tam giác ABC Trên nửa mặt phẳng bờ BC khơng chứa A dựng nửa đường trịn (O) đường kính BC Trên nửa đường trịn lấy điểm D, E cho ˜ = DE ˜ = EC ˜ Các đường thẳng AD, AE cắt đoạn thẳng BC M N Chứng minh BD BM = M N = N C Lời giải Tài liệu Toán của: B Liên hệ cung dây 522 ˜ = DE ˜ = EC ˜ suy BD = DE = EC Do theo tính chất Từ BD góc tâm suy BOD = 60◦ ⇒ OBD tam giác MC AC = Ta có AM C DM B (g.g) suy DB MB Mặt khác, AC = 2BD suy M C = 2M B, BC = BM + M C ⇒ BC = 3BM Tương tự, BC = 3CN Vậy BM = M N = N C A B M D Ô Ví dụ Cho tam giác trung tuyến AM O N C E ABC không cân, từ đỉnh A kẻ đường cao AH, phân giác AD, Chứng minh điểm D nằm H M Giả sử tam giác ABC nhọn, chứng minh M AD < DAH Lời giải B I H D M O A C Khơng tính tổng qt giả sử AC > AB, đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường ˆ = IC ˆ ⇒ BI = IC phân giác AD I ⇒ BI Tam giác ABC không cân, suy H, D, M ba điểm phân biệt Mặt khác, D nằm A I, AM trung tuyến ⇒ IM ⊥ BC, AH đường cao ⇒ AH ⊥ BC Do D nằm H M ˜ nhỏ nửa đường tròn Tam giác ABC nhọn ⇒ BAC < 90◦ ⇒ BC ⇒M ® nằm O I ⇒ AM nằm hai tia AI AO M AD < OAI ⇒ ⇒ OAI = OIA OA = OI Mà AH ∥ IM ⇒ OIA = IAH Vậy M AD < DAH Luyện tập Bài Cho đường trịn (O) Gọi I điểm cung AB (khơng phải cung nửa đường trịn) H trung điểm dây AB Chứng minh đường thẳng IH qua tâm O đường tròn Giáo viên: Chương Góc với đường trịn 523 Lời giải ˜ nên IA ˆ = IB, ˆ suy IA = IB Vì I điểm cung AB Mặt khác, OA = OB = R bán kính Do đó, IO đường trung trực đoạn AB Lại có H trung điểm AB nên H thuộc IO Vậy IH qua tâm O đường tròn B I H A O Bài Cho đường tròn tâm O bán kính R Vẽ góc tâm AOB = 80◦ , vẽ góc tâm BOC = 120◦ kề với AOB So sánh xếp độ dài AB, BC, CA theo thứ tự tăng dần Lời giải Ta có AOB = 80◦ BOC = 120◦ kề nên suy AOC = 160◦ Vì số đo cung bị chắn số đo góc tâm nên suy AB < BC < CA B 120 ◦ C ◦ 80 A O Bài Cho tam giác ABC có AB > AC Trên cạnh AB lấy điểm D cho AD = AC Vẽ đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác DBC Từ O hạ đường vng góc OH, OK với BC BD (H ∈ BC, K ∈ BD) a) Chứng minh OH < OK b) So sánh hai cung nhỏ BD BC Lời giải Trong tam giác ABC, theo bất đẳng thức tam giác, ta có BC > AB − AC = AD + AB = BD hay BC > BD Theo định lí dây cung khoảng cách đến tâm, từ BC > BD suy OH < OK O C H ˜ > BD ˜ Từ bất đẳng thức dây cung BC > BD suy BC A B D K Bài Cho hình thoi ABCD Vẽ đường trịn tâm A bán kính AD Vẽ đường trịn tâm C, bán kính CB Lấy điểm E đường trịn tâm A (không trùng với B D), điểm F đường tròn tâm C cho BF song song với DE So sánh hai cung nhỏ DE BF Lời giải Tài liệu Toán của: Liên hệ cung dây 524 Theo giả thiết ta có EDB = F BD, suy EDA = F BC Từ hai tam giác cân ADE CBF nhau, suy EAD = BCF Vậy hai cung DE BF E D A C B F Bài Cho đường tròn tâm O Trên nửa đường tròn đường kính AB lấy hai điểm C, D Từ C kẻ CH vng góc với AB, cắt đường trịn điểm thứ hai E Từ A kẻ AK vuông góc với DC, cắt đường trịn điểm thứ hai F Chứng minh rằng: Hai cung nhỏ CF DB Hai cung nhỏ BF DE DE = BF Lời giải KC CD F B vuông góc với AK nên CD ∥ F B ˜ = DB ˜ (hai cung bị chắn hai dây song song) Suy CF (1) ˜ = Do tính chất đối xứng qua đường kính AB ta có BC ˜ (2) BE Cộng vế (1) (2) ta ˜ + CF = DB ˜ + BE (tính chất cộng hai cung) hay BC ˜ = DE ˜ (3) BF F D O A B H E Với (3) ta suy BF = BE Bài Trên dây cung AB đường tròn O, lấy hai điểm C D chia dây thành ba đoạn thẳng AC = CD = DB Các bán kính qua C D cắt cung nhỏ AB E F Chứng minh rằng: ˜ = F B a) AE ˜ b) AE < EF Lời giải Tam giác cân AOB có OAB = OBA Mặt khác, AOC = BOD (c.g.c) có OA = OB, OAB = ˜= OBA, AC = BD Từ suy AOC = BOD suy AE ˜ F B Tam giác OCD tam giác cân (OC = OD AOC = BOD) nên ODC < 90◦ , từ suy CDF > 90◦ Mặt khác, tam giác CDF có CDF > CF D suy CF > CD hay CF > CA Xét AOC COF có OA = OF , OC chung, CF > ˜ > AE ˜ AC suy COD > AOC Từ suy EF Giáo viên: O C A E D B F Chương Góc với đường tròn 605 Chứng minh bốn điểm C, N, K, I thuộc đường tròn Chứng minh N B = N K · N M Chứng minh tứ giác BHIK hình thoi Gọi P, Q tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác M BK, tam giác M CK E trung điểm đoạn P Q Vẽ đường kính N D đường trịn (O) Chứng minh ba điểm D, E, K thẳng hàng Lời giải D A Q E M O H I P C J B K N Chứng minh bốn điểm C, N , K, I thuộc đường trịn Vì M điểm cung nhỏ AB (O) (giả thiết) nên ¯ = sđM ¯ sđAM B ⇒ AN M = BCM (hai góc nội tiếp chắn hai cung nhau) Xét tứ giác CN KI ta có IN K = ICK(vì AN M = BCM ) ⇒ CN KI tứ giác nội tiếp (tứ giác có đỉnh kề nhìn cạnh hai góc nhau) Vậy C, N , K, I thuộc đường tròn Chứng minh N B = N K · N M Vì N điểm cung nhỏ BC (O) (giả thiết) ¯ = sdN ˜ ⇒ sdBN C ⇒ BM N = N BC (hai góc nội tiếp chắn hai cung nhau) Xét BM N KBN ta có BN M góc chung BM N = N BK (vì BM N = N BC) ⇒ BM N KBN (g-g) NB NM ⇒ = NK NB Vậy N B = N K · N M Tài liệu Toán của: 10 Ôn tập chương III 606 Chứng minh tứ giác BHIK hình thoi • Chứng minh BHIK hình bình hành Gọi J giao điểm AN BC ¯ = sđM ¯ Ta có sđAM B (cmt) ⇒ ACM = BCM (hai góc nội tiếp chắn hai cung nhau) ⇒ CM phân giác ACB ⇒ CI phân giác CAJ IA CA ⇒ = (1) IJ CJ ¯ = sđM ¯ Ta có sđAM B (cmt) ⇒ AN M = BN M (hai góc nội tiếp chắn hai cung nhau) ⇒ N M phân giác AN B HA NA ⇒ N H phân giác N AB ⇒ = (2) HB NB ¯ = sđN ˜ Ta có sđBN C ⇒ BAN = CAN (hai góc nội tiếp chắn hai cung nhau) Xét CAJ N AB ta có ˜ ACJ = AN B (hai góc nội tiếp chắn AB) BAN = CAJ (cmt) ⇒ CAJ ∼ N AB (g-g) CA CJ CA NA ⇒ = ⇒ = (3) NA NB CJ NB HA IA = ⇒ HI ∥ BJ (định lí Thales đảo) hay HI ∥ BK (4) Từ (1), (2), (3) suy IJ HB Chứng tương tự ý trên, ta KI ∥ BH (5) Từ (4) (5) suy BHIK hình bình hành • Chứng minh BH = BK Ta có KBN BM N (cmt) BK BN BM.BN ⇒ = ⇒ BK = (6) BM MN MN Chứng minh tương tự câu b) ta có BM BM · BN BH = ⇒ BH = (7) HM B BM N (g-g) ⇒ BN MN MN Từ (6) (7) suy BH = BK Mà BHIK hình bình hành nên BHIK hình thoi Gọi P , Q tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác M BK, tam giác M CK E trung điểm đoạn P Q Vẽ đường kính N D đường trịn (O) Chứng minh ba điểm D, E, K thẳng hàng Ta có N BK = BM K (cmt) ⇒ BN tiếp tuyến B (P ) ⇒ BN ⊥ BP Mà BN ⊥ BD (vì DBN = 90◦ góc nội tiếp chắn nửa đường trịn tâm (O) nên B, P , D thằng hàng Ta có P BK cân P (P B = P K) ⇒ BP K = 180◦ − · P BK (8) Ta có Ä ä ¯ ˜ N B = N C sØN B = sØN C OB = OC ⇒ ON đường trung trực đoạn BC ⇒ DB = DC (D thuộc đường thẳng ON ) ⇒ DBC cân D ⇒ BDC = 180o − · DBC (9) Từ (8) (9) suy BP K = BDC Mà hai góc vị trí đồng vị nên P K ∥ DC⇒ P K ∥ DQ (10) Chứng minh tương tự ta có C, Q, D thẳng hàng QK ∥ DP (11) Từ (10) (11) suy DP KQ hình bình hành Giáo viên: Chương Góc với đường tròn 607 Mà E trung điểm đường chéo P Q nên E trung điểm đường chéo DK Vậy D, E, K thẳng hàng Bài 10 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) đường kính AC = 2R Gọi K M chân đường cao hạ từ A C xuống BD, E giao điểm AC BD, biết K thuộc đoạn BE(K = B, K = E) Đường thẳng qua K song song với BC cắt AC P Chứng minh tứ giác AKP D nội tiếp Chứng minh KP ⊥ P M Biết ABD = 60◦ AK = x Tính BD theo R x Lời giải B K A P E O C M D Chứng minh tứ giác AKP D nội tiếp Xét tứ giác AKP D có AP K = ACB (2 góc vị trí đồng vị) Mặt khác: ACB = ADK(góc nội tiêó chắn cung AB) ⇒ ADK = AP K ⇒ ADP K tứ giác nội tiếp Chứng minh KP ⊥ P M Theo câu a), tứ giác AKP D nội tiếp nên AP D = AKD = 90◦ DKP = DAP Xét tứ giác DM P C có DM C = DP C = 90◦ ⇒ DM P C nội tiếp ⇒ P M K = DCA mà DCA + DAC = 90◦ P M K + P KM = 90◦ ⇒ KP ⊥ P M (đpcm) Biết ABD = 60◦ AK = x Tính BD theo R x Xét tam giác ADC vng D có ACD = ABD = 60◦ nên √ AD = 2R sin 60 = R CD = 2R cos 60 = √ R AK 3x Xét tam giác vng AKB có AB = = sin 60… 4x2 Xét tam giác ABC vuông C có BC = 4R2 − Áp dụng định lý Ptolemy cho tứ giác nội tiếp ABCD, ta có: Tài liệu Tốn của: 10 Ôn tập chương III 608 AC.BD = AD.BC… + AB.CD √ √ 3x 4x ⇔ 2R.BD = R 4R2 − + R 3 √ x ⇔ BD = 3R2 − x2 + √ Bài 11 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường trịn (C) tâm O bán kính R Hai đường cao AE BK tam giác ABC cắt H (với E thuộc BC, K thuộc AC) Chứng minh tứ giác ABEK nội tiếp đường tròn Chứng minh CE.CB = CK.CA Chứng minh OCA = BAE Cho B, C cố định A di động (C) thỏa mãn điều kiện tam giác ABC nhọn, H thuộc đường trịn (T ) cố định Xác định tâm I tính bán kính r đường tròn (T ), biết R = cm Lời giải A A 1 H K O H B O C N I B C E D Tứ giác ABEK có: AEB = 90◦ (AE ⊥ BC) AKB = 90◦ (BK ⊥ AC) ⇒ Tứ giác ABEK nội tiếp đường tròn Giáo viên: D Chương Góc với đường trịn 609 ∆CEA ∆CKB có: ACB chung ⇒ ∆CEA ∆CKB (g.g) CEA = CKB = 90◦ CE CA = ⇒ CE.CB = CK.CA ⇒ CK CB Vẽ đường kính AD (O) Tam giác ABE vng E nên A1 + ABC = 90◦ Mà ABC = D1 (Hai góc nội tiếp chắn cung AC (O)) ⇒ A1 + D1 = 90◦ ∆ACD có ACD = 90◦ (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒ A2 + D1 = 90◦ Mặt khác A2 = C1 (∆OAC cân O) ⇒ C1 + D1 = 90◦ Từ suy ra: A1 = C1 Gọi I điểm đối xứng với O qua BC, OI cắt BC N ⇒ N trung điểm OI, BC điểm I, N cố định Ta có BH ∥ CD (cùng ⊥ AC) Tương tự: CH ∥ BD ⇒ Tứ giác BHCD hình bình hành ⇒ N trung điểm BC N trung điểm HD ∆AHD có ON đường trung bình⇒ AH = 2ON ⇒ AH = OI (= 2ON ) Lại có: AH ∥ OI (cùng ⊥ BC) ⇒ Tứ giác AHIO hình bình hành ⇒ IH = OA = R = (cm) ⇒ H thuộc đường tròn (I; cm) cố định Bài 12 Cho tam giác nhọn ABC có AB < AC đường cao AK Vẽ đường tròn tâm O đường kính BC Từ A kẻ tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O) (M, N tiếp điểm; M B nằm nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng AO) Gọi H giao điểm hai đường thẳng M N AK Chứng minh rằng: Tứ giác AM KO nội tiếp đường tròn KA tia phân giác M KN AN = AK · AH H trực tâm tam giác ABC Lời giải A D M B N H K O C Tài liệu Toán của: 10 Ôn tập chương III 610 Chứng minh tứ giác AM KO nội tiếp đường tròn AM, AN tiếp tuyến đường tròn (O) nên AM O = AN O = 90◦ AK đường cao tam giác ABC nên AKO = AKC = 90◦ Ba điểm điểm M, K, N nhìn đoạn AO góc vng nên năm điểm điểm M, K, N, A, O thuộc đường trịn đường kính AO Vậy tứ giác AM KO nội tiếp đường tròn Chứng minh KA tia phân giác M KN AM, AN tiếp tuyến đường tròn (O) nên AM = AN (1) Theo chứng minh câu a), năm điểm M, K, N, O, A thuộc đường trịn nên ta có tứ giác AM KN nội tiếp (2) Từ (1) (2) suy AKM = AKN (các góc nội tiếp chắn cung nhau) Vậy KA tia phân giác M KN ® Chứng minh AN = AH.AK AN H = AKM (tứ giác AM KN nội tiếp) ⇒ AKN = AN H AKM = AKN (chứng minh ý b) ∆AHN ∆AN K có AKN = AN H, HAN = KAN nên ∆AHN AN AH = , hay AN = AH.AK AK AN ∆AN K (g.g) Suy (3) Chứng minh H trực tâm tam giác ABC Gọi D giao điểm AC đường tròn (O) ∆AN D ∆ACN có N AD = N AC, AN D = ACN (góc tạo tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn cung nhau) nên ∆AN D ∆ACN (g.g) Suy AD AN = , hay AN = AD.AC (4) AC AN AD AH = Từ (3) (4) suy AH.AK = AD.AC, hay AC AK  HAD = KAC ∆AHD ∆ACK có nên ∆AHD ∆ACK (c.g.c)  AH = AD AC AK ◦ Suy ADH = AKC = 90 Dẫn dến HDC = 90◦ (5) ◦ Điểm D thuộc đường trịn đường kính BC nên BDC = 90 (6) Từ (5) (6) suy B, H, D thẳng hàng Nghĩa BH ⊥ AC Lại có AH ⊥ BC nên H trực tâm tam giác ABC Bài 13 Từ điểm M nằm đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến M A, M B với đường tròn (A, B hai tiếp điểm) Lấy điểm C cung nhỏ AB (C không trùng với A, B) Từ điểm C kẻ CD vng góc với AB, CE vng góc với M A, CF vng góc với M B (D ∈ AB, E ∈ M A, F ∈ M B) Gọi I giao điểm AC DE, K giao điểm BC DF Chứng minh Tứ giác ADCE nội tiếp đường tròn Hai tam giác CDE CF D đồng dạng Tia đối tia CD tia phân giác góc ECF Đường thẳng IK song song với đường thẳng AB Lời giải Giáo viên: Chương Góc với đường tròn 611 A E I x D C M K O F B Tứ giác ADCE có ADC = AEC = 90◦ nên ADCE tứ giác nội tiếp Tứ giác ADCE nội tiếp nên EAC = EDC Tương tự, tứ giác BDCF nội tiếp, suy CF D = CBD Mặt khác, theo tính chất góc tạo tiếp tuyến dây cung EAC = CBD Do EDC = CF D Chứng minh tương tự CED = CDF Vậy hai tam giác CDE CF D đồng dạng với Gọi Cx tia đối tia CD Tam giác CDE đồng dạng với Do ECx = F Cx Vậy Cx tia phân giác góc ECF CF D suy DCE = DCF Ta có ICK + IDK = ICK + IDC + KDC = ACB + ABC + BAC = 180◦ Suy tứ giác ICKD nội tiếp, CIK = KDC = CBF = CAB Vậy IK ∥ AB Bài 14 Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác nhọn ABC Gọi M N điểm ˜ cung nhỏ BC ˜ Hai dây AN CM cắt điểm I Dây M N cung nhỏ AB cắt cạnh AB BC điểm H K Chứng minh điểm C, N, K, I thuộc đường tròn Chứng minh N B = N K.M N Chứng minh tứ giác BHIK hình thoi Gọi P Q tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác M BK , tam giác M CK E trung điểm đoạn P Q Vẽ đường kính N D đường tròn (O) Chứng minh ba điểm D, E, K thẳng hàng Tài liệu Toán của: 10 Ôn tập chương III 612 Lời giải A M I H B O C K N Chứng minh bốn điểm C, N, K, I thuộc đường trịn Ta có M điểm cung AB ⇒ AM = BM ⇒ M N A = M CB ⇒ KN I = ICK Tứ giác CN KI có C N hai đỉnh kề nhìn cạnh KI hai góc nên CN KI nội tiếp ( dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp) Do bốn điểm C, N, I, K thuộc đường tròn Chứng minh N B = N K.M N ¯ = CN ˜ ⇒ BM N = CM N (góc nội tiếp chắn Ta có N điểm cung BC ⇒ BN hai cung nhau) ˜) Mà CBN = CM N (góc nội tiếp chắn cung CN ⇒ CBN = BM N (cùng góc CN N ) ⇒ KBN = BM N Xét KBN BM N có: “ chung N KBN = BM N ⇒ KBN ∼ BM N ⇒ BN KN = ⇒ N B = N K.N M (điều phải chứng minh) BN MN Chứng minh tứ giác BHIK hình thoi ˜) Ta có ABC = AN C (góc nội tiếp chắn cung AC ˆ) Mà AM C = AHI (góc nội tiếp chắn cung IC ⇒ ABC = IKC mà hai góc vị trí đồng vị nên HB ∥ IK (1) Chứng minh tương tự phần ta có tứ giác AM HI nội tiếp ˆ ⇒ AN C = IKC (góc nội tiếp chắn cung AI) ˜ Ta có ABC = AM C (góc nội tiếp chắn cung AC) ⇒ ABC = AHI mà hai góc vị trí đồng vị nên BK ∥ HI (2) Từ (1) (2) suy tứ giác BHIK hình bình hành Giáo viên: Chương Góc với đường tròn 613 Mặt khác AN, CM tia phân giác góc A C tam giác ABC nên I giao điểm ba đường ph56.90463an giác, BI tia phân giác góc B Vậy tứ giác BHIK hình thoi ( dấu hiệu nhận biết hình thoi) Chứng minh ba điểm D, E, K thẳng hàng ˜ Vì N điểm cung nhỏ N C nên DN trung trực BC ⇒ DN phân giác BDC Ta có KQC = 2KM C (góc nội tiếp góc tâm đường trịn (Q)) ˜ Lại có N DC = KM C (góc nội tiếp chắn cung BC) Mà BDC = 2N DC ⇒ KQC = BDC Xét tam giác BDC KQC tam giác cân D Q có hai góc BCD = BCQ D, Q, C thẳng hàng nên KQ ∥ P K Chứng minh tương tự ta có ta có D, P, B thẳng hàng DQ ∥ P K Do tứ giác P DQK hình bình hành nên E trung điểm P Q trung điểm DK Vậy D, E, K thẳng hàng (điều phải chứng minh) Bài 15 Cho đường tròn tâm O điểm A nằm ngồi đường trịn Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB AC (B, C tiếp điểm) Chứng minh tứ giác ABOC tứ giác nội tiếp Gọi H trực tâm tam giác ABC Chứng minh tứ giác BOCH hình thoi Gọi I giao điểm đoạn OA với đường tròn (O) Chứng minh I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Cho OB = cm, OA = cm Tính diện tích tam giác ABC Lời giải B O K H I A C Vì AB, AC tiếp tuyến (O) (tại B, C) nên ABO = ACO = 90◦ ⇒ ABOC tứ giác nội tiếp đường trịn đường kính AO ® OB ⊥ AB Vì ⇒ OB ∥ CH (1) Tương tự OC ∥ BH (2) CH ⊥ AB Từ (1) (2) ta có BOCH hình bình hành Mà OB = OC nên BOCH hình thoi Tài liệu Toán của: 10 Ơn tập chương III 614 Vì AB, AC tiếp tuyến (O) nên AO tia phân giác BAC Vì I giao điểm ˜ ⇒ IBC = sđBC ˜ (3) (tính đoạn AO với (O) nên I điểm cung (nhỏ) BC chất góc nội tiếp) ˜ (4) ˜ AB tiếp tuyến (O) nên ABI = sđBC Vì I điểm cung BC Từ (3) (4) ta suy BI tia phân giác ABC, I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Gọi K giao điểm OA BC ⇒ K trung điểm BC BK ⊥ AO √ Áp dụng định lý Pitago cho tam giác AOB vuông B: AB = AO2 − OB = cm Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác AOB vuông B: √ 12 16 1 25 − BK = ⇒ BK = ⇒ AK = AB cm = + = BK AB OB 144 5 192 Diện tích tam giác ABC S(∆ABC) = · AK · BC = cm2 25 Bài 16 Cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp đường tròn tâm O Tiếp tuyến đường tròn tâm O điểm C cắt đường thẳng AB AD theo thứ tự M, N Dựng AH vng góc với BD điểm H; K giao điểm hai đường thẳng M N BD Chứng minh tứ giác AHCK tứ giác nội tiếp Chứng minh rằng: AD · AN = AB · AM Gọi E trung điểm M N Chứng minh ba điểm A, H, E thẳng hàng Cho AB = cm AD = cm Tính độ dài đoạn M N Lời giải A B H I O D M E C N K Xét tứ giác AHCK ta có AHK = 90◦ , CK tiếp tuyến đường trịn O AC đường kính nên AC ⊥ CK ⇒ ACK = 90◦ Vậy H C nhìn AK góc vng nên tứ giác AHCK nội tiếp đường trịn Ta có ABCD hình chữ nhật ⇒ ADB = ACB, đồng thời AM N = ACD (cùng phụ với BAC) ⇒ ADB = AM N Xét hai tam giác ∆AM N ∆ADB có DAB = M AN = 90◦ ADB = AM N , AM AN Nên hai tam giác ∆AM N ∆ADB đồng dạng ⇒ = ⇔ AD · AN = AB · AM AD AB Giáo viên: Chương Góc với đường tròn 615 Giả sử AE cắt BD I, ta chứng minh H trùng với I Thật Ta có ∆AM N vng A có E trung điểm cạnh M N ⇒ ∆AEN cân E ⇒ EAN = EN A Theo chứng minh ta có ADB = AM N Do EAN + ADB = AM N + EN A = 90◦ hay AID = 90◦ Suy AI ⊥ BD I, H I trùng hay A, H, E thẳng hàng √ = 10 Đặt AN = x > AM = y > 0, ta có AC = AB + BC    x = 25 AD · AN = AB · AM 4x = 3y ⇔ Ta có ⇔ 1 1 1 50    2+ = + = y = x y 100 AN AM AC 125 (cm) Mặt khác AM · AN = AC · M N ⇒ M N = Bài 17 Cho tam giác ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn tâm (O), M điểm nằm cung BC không chứa điểm A Gọi D, E, F hình chiếu vng góc M đường thẳng BC, CA, AB Chứng minh rằng: a) Bốn điểm M, D, B, F thuộc đường tròn bốn điểm M, D, E, C thuộc đường tròn; b) Ba điểm D, E, F thẳng hàng; c) CA AB BC = + MD ME MF Lời giải Ta có: D F hình chiếu M lên BC AB ⇒ BDM + BF M = 90◦ + 90◦ = 180◦ ⇒ DM F B nội tiếp đường tròn ⇒ M, D, B, F thuộc đường trịn Ta có: D E hình chiếu M lên BC AC ⇒ M DC = 90◦ = M EC ⇒ M DEC nội tiếp đường tròn ⇒ M, D, E, C thuộc đường tròn A O E D B C F M b) Ta có: F M B = F DB (do M DBF nội tiếp) CM E = CDE (do DECM nội tiếp) Mặt khác, tứ giác ACM B nội tiếp (O) nên F BM = ACM ® F BM + F M B = 90◦ Xét hai tam giác vuông F BM ECM , ta có: CM E + ECM = 90◦ Từ (1) (2) suy F M B = CM E Từ (i), (ii) (iii) suy F DB = CDE ⇒ E, F, D thẳng hàng (đpcm) Tài liệu Toán của: (i) (ii) (1) (2) (iii) 10 Ôn tập chương III 616 c) Ta có: AC AB AE − EC AF + F B + = + ME MF ME MF AE EC AF FB = − + + ME ME MF MF = tan AM E − tan CM E + tan AM F + tan F M B = tan AM E + tan AM F (cmt câu b) = tan BM D + tan M DC (do tứ giác ABM C nội tiếp) BD CD = + MD MD BC = (đpcm) MD Bài 18 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC), dựng AH vng góc với BC điểm H Gọi M , N theo thứ tự hình chiếu vng góc điểm H AB AC Đường thẳng M N cắt đường thẳng BC điểm D Trên nửa mặt phẳng bờ CD chứa điểm A vẽ nửa đường tròn đường kính CD Qua B kẻ đường thẳng vng góc với CD cắt nửa đường tròn điểm E Chứng minh tứ giác AM HN tứ giác nội tiếp Chứng minh EBM = DN H Chứng minh DM.DN = DB.DC Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác M N E Chứng minh OE ⊥ DE Lời giải A E N M D B H Xét tứ giác AM HN có AM H = 90◦ (gt) AN H = 90◦ (gt) suy AM H + AN H = 180◦ Mà hai góc vị trí đối nên AM HN tứ giác nội tiếp Giáo viên: C Chương Góc với đường trịn ® Ta có 617 EB ⊥ DC ⇒ EB ∥ AH, suy EBA = BAH (1) (so le trong) AH ⊥ CD Tứ giác AM HN nội tiếp nên ta có M AH = M N H (2)(hai góc nội tiếp chắn cung) Từ (1)và (2) suy EBM = DN H Ta có     DM B = AM N (đối đỉnh) AM N = AHN (do tứ giác AM HN nội tiếp) suy DM B = N CH    AHN = N CH (do phụ với góc N HC) Xét tam giác DM B DCN có DM B = N CD chung góc N DC, suy ∆DM B đồng DM DB dạng với ∆DCN theo trường hợp góc-góc Từ suy = ⇒ DM.DN = DC DN DB.DC Ta có ∆DEC vng E, EB đường cao nên DE = DB.DC mặt khác DM.DN = DM DE DB.DC suy DE = DM.DN ⇒ = DE DN DM DE Từ suy ∆DEM đồng dạng với ∆DN E = chung góc N DE DE DN Suy DEM = EN M suy DE tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác M N E E hay DE ⊥ OE Bài 19 Tam giác AM B cân M nội tiếp đường trịn (O; R) Kẻ M H vng góc AB (H ∈ AB), M H cắt đường trịn N Biết M A = 10 cm, AB = 12 cm Tính M H bán kính R đường tròn Trên tia đối tia BA lấy điểm C Tia M C cắt đường tròn D, N D cắt AB E Chứng minh tứ giác M DEH nội tiếp chứng minh hệ thức sau: N B = N E.N D AC.BE = BC.AE Chứng minh N B tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE Lời giải M D O I A H E B C N Tài liệu Toán của: 10 Ôn tập chương III 618 Theo tính chất đường kính dây trung điểm AB AH = cm √ cung suy H √ 2 ∆AM H vuông H ⇒ M H = AM − AH = 102 − 62 = cm 36 AH = = ∆AM N vuông A, đường cao AH, đóAH = HM.HN ⇒ HN = MH 4, cm MN M H + HN + 4, Bán kính R = = = = 6, 25 cm 2 2 M DN = 90◦ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), M HE = 90◦ (M H ⊥ AB) Từ suy M DE + M HE = 180◦ , tứ giác M DEH nội tiếp Xét tam giác ∆N BE ∆N DB có góc N chung, N BE = N DB (cùng chắn hai cung cung N A, N B) NB NE Suy ∆N BE ∆N DB, = ⇒ N B = N E.N D ND NB Ta có cung N A cung N B (tính chất đường kính dây cung), suy ADE = EDB ⇒ DE phân giác ∆ABD Vì ED ⊥ DC ⇒ DC phân giác ngồi ∆ABD EA CA DA = = ⇒ AC.BE = BC.AE Từ suy ra: DB EB CB Kẻ EI AM (I ∈ BM ) ⇒ ∆AM B ∆EIB ⇒ ∆EIB cân I ⇒ IE = IB Gọi (O ) đường tròn tâm I ngoại tiếp ∆EBD Ta có N B ⊥ BM (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn tâm O), từ suy BN ⊥ BI ⇒ BN tiếp tuyến đường tròn (O ) ⇒ EBN = ED B (cùng chắn cung BE) Mặt khác đường tròn (O), EBN = EDB (cùng chắn hai cung N A, N B) ⇒ D nằm đường tròn (O ) Vậy N B tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE Bài 20 Cho ba điểm cố định A, B, C thẳng hàng (B nằm A C) Gọi (O) đường trịn thay đổi ln qua B C (tâm O không thuộc đường thẳng BC) Từ A kẻ tiếp tuyến AD, AE đến đường tròn (O) (D, E tiếp điểm D, O nằm nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng BC) Gọi K, H trung điểm BC DE Chứng minh AE = AB · AC Trên DE lấy điểm M cho BM song song với AD Chứng minh tứ giác BM KE nội tiếp đường tròn M K song song với DC Chứng minh đường trịn (O) thay đổi tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác OHK thuộc đường thẳng cố định Lời giải Giáo viên: Chương Góc với đường trịn 619 D O H M A B F K C E Ta có ABE AEC (g.g), suy AB AE = Vậy AE = AB · AC AE AC Dễ thấy, năm điểm O, A, D, E, K nằm đường tròn đường kính OA Suy DEK = DAK, mà DAK = M BK (do AD ∥ BM ), nên M BK = M EK Vậy tứ giác BM KE tứ giác nội tiếp Gọi F giao điểm DE AC Khi tứ giác OHF K nội tiếp đường trịn đường kính OF Suy AF · AK = AH · AO = AE = AB · AC, AB · AC , F điểm cố định Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AK OHK (cũng tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác OHF K) chạy đường trung trực đoạn thẳng F K hay AF = Tài liệu Toán của: ... AB = 20 cm, AC = 28 cm, BC = 24 cm Lời giải A O I Xét BAI B C ACI có Giáo viên: Chương Góc với đường tròn 539 I chung ⇒ BAI ACI (g.g) BAI = ICA chắn cung AB Từ suy Vì ABI IB AB IB AB = ⇒... cạnh hai dây cung Cung nằm bên góc gọi cung bị chắn Định lí 16 Trong đường trịn, số đo góc nội tiếp nửa số đo cung bị chắn Định lí 17 Trong đường trịn: Các góc nội tiếp chắn cung Các góc nội tiếp... tròn D B C Cung lớn căng dây lớn O Dây lớn căng cung lớn B A ˜ < CD ˜ ⇔ AB < CD Nghĩa AB Tính chất Trong đường tròn Hai cung bị chắn hai dây song song D Đường kính qua điểm cung qua trung điểm dây