tích phân phức và lý thuyết tích phân Cauchy

Tích phân phức1. Khái niệm2. Tính chất3. Tích phân Cauchy3.1. Các định lý Cauchy về tích phân các hàm chỉnh hình trên đường cong đóng3.2. Công thức tích phân Cauchy3.3. Tích phân loại Cauchy3.4. Một số định lý quan trọng của hàm chỉnh hình4. Bài tập4.1. Tính tích phân trong miền phức4.2. Tính tích phân sử dụng công thức tích phân Cauchy

Mục lục TÍCH PHÂN PHỨC 1.1 Định nghĩa 1.2 Tính chất 1.3 Lý thuyết tích phân Cauchy 1.3.1 Các định lý cauchy tích phân hàm chỉnh hình đường cong đóng 1.3.2 Cơng thức tích phân Cauchy 1.3.3 Tích phân loại Cauchy 1.3.4 Một số định lý quan trọng hàm chỉnh hình 1.4 Bài tập 1.4.1 Tính tích phân miền phức 1.4.2 Tính tích phân sử dụng cơng thức tích phân Cauchy 1.4.3 Bài tập bổ sung 2 10 10 18 21 Chương TÍCH PHÂN PHỨC 1.1 Định nghĩa Giả sử cho chu tuyến trơn γ = γ(t) : I → C, I = [a, b] ⊂ R giả sử cho ánh xạ liên tục: f : γ(I) → C Khi hàm f [γ(t)] hàm liên tục I Ta có định nghĩa sau đây: Định nghĩa 1.1 Tích phân: b J(f ) = f [γ(t)]γ (t)dt (1.1) a Được gọi tích phân hàm f theo chu tuyến γ ký hiệu là: f (z)dz γ Định nghĩa phù hợp với định nghĩa tích phân đường thơng thường (theo nghĩa Cauchy-Riemann) hàm liên tục theo khoảng compac Cũng tính tích phân đường theo tuyến trơn khúc Trong trường hợp chọn phép phân hoạch a = t0 < t1 < · · · < tn = b Sao cho hạn chế γi chu tuyến γ đoạn [ti , ti+1 ] tuyến trơn với i bất kỳ, ≤ i ≤ n − theo định nghĩa f (z)dz = f (z)dz γ 1.2 (1.2) γi i Tính chất 1) Giả sử γ đường cong, γ − lấy theo chiều ngược lại (B điểm đầu A điểm cuối) Khi đó: f dz = − γ− f dz (1.3) γ 2) Nếu f g hàm khả tích γ αf + βg khả tích γ với α, β ∈ C và: (αf + βg)dz = α γ f dz + β γ gdz (1.4) γ 3) Nếu γ phân thành γ1 , γ2 thì: f dz = f dz f dz + γ1 γ2 (1.5) γ 4) Với l độ dài γ, ta có: | f dz| ≤ γ |f (z)||dz| ≤ sup |f (z)|l (1.6) z∈γ γ |f (z)||dz| hiểu tích phân loại I hàm |f | γ Ở γ 5) Nếu z = ϕ(η) khả vi liên tục ánh xạ − đường Γ lên γ thì: f (z)dz = f (ϕ(η))ϕ (η)dη γ (1.7) Γ Nói riêng z = z(t), t ∈ [a, b] phương trình đường cong γ thì: b f (z)dz = γ f (z(t))z (t)dt (10) a Tích phân hàm f lấy theo đường cong γ nối A B viết B f dz phụ thuộc vào A B mà không phụ thuộc vào là: A đường γ nối A B 6) Nếu γ đường cong kín (khơng tự cắt) trước hết theo lẽ thông thường định hướng γ theo chiều dương sau chọn tùy ý hai điểm khác A B thuộc γ cho chiều từ A tới B chiều với γ với f hàm γ ta đặt: f dz = γ + f dz + AB + f dz (1.8) BA (nếu vế phải tồn tại) Lưu ý: Vế phải không phụ thuộc việc chọn A B 7) Trong trường hợp γ đường cong tự cắt, ta phân số hữu hạn đườn cong kín xác định mục (1.8) cho ghép lại hợp lý: f dz = + γ f dz + + AB f dz = − BA f dz + AC − f dz (1.9) CA 8) Nếu tồn hàm chỉnh hình g miền D chứa γ cho g (z) = f (z) với z ∈ γ, g gọi nguyên hàm f Giả sử z = z(t), t ∈ [a, b] phương trình γ theo (10) ta có: b f (z)dz = γ g (z)dz = γ g (z(t))z (t)dt a b d(g(z(t)) = g(z(b)) − g(z(a)) = a Vậy f (z)dz = g(B) − g(A) (1.10) γ Đây công thức Newton-Lebniz, A điểm đầu cịn B điểm cuối γ Từ (1.10) ta thấy γ đường cong kín (A = B) thì: f (z)dz = g(B) − g(A) = g(A) − g(A) = γ (1.11) ∞ Định lý 1.1 Giả sử hàm fn liên tục miền D chuỗi hàm fn n=1 hội tụ D tới hàm f Khi với đường cong trơn (hay trơn khúc) γ ∈ D, ta có: ∞ f (z)dz = γ ∞ fn dz = γ n=1 fn dz n=1 (1.12) γ Định lý 1.2 (Bổ đề Goursat) Nếu hàm ω = f (z) liên tục miền đơn liên D γ đường cong kín, trơn khúc nằm D, với ε > tồn hình đa giác P ⊂ D có đỉnh γ cho: f dz − γ 1.3 1.3.1 f dz < ε (1.13) γP Lý thuyết tích phân Cauchy Các định lý cauchy tích phân hàm chỉnh hình đường cong đóng Định lý 1.3 (Định lý Jordan) Mọi đường cong kín γ chia C thành hai miền C \ γ ∗ hợp hai miền Dγ Dγ có biên γ ∗ , miền Dγ giới nội gọi miền trong, miền Dγ không giới nội gọi miền Miền D ⊂ C gọi miền đơn liên với đường cong kín γ D miền Dγ giới hạn γ chứa D Miền không đơn liên gọi miền đa liên Một cách trực quan, miền đơn liên khơng có "lỗ thủng" Ví dụ sau minh họa cho khái niệm Ví dụ 1.1 Các miền lồi hay miền hình sau đơn liên Chẳng hạn: mặt phẳng C, đĩa mở D(z0 , r) = {z ∈ C : |z − z0 | < r}, hình tam giác, hình chữ nhật, · · · Đĩa thủng D(z0 , r) \ {z0 }, vành A = {z ∈ C : r < |z − z0 | < R}(0 < r < R), miền đa liên Định lý Cauchy cho miền đơn liên Định lý 1.4 (định lý Cauchy cho miền đơn liên) Giả sử D miền đơn liên, f chỉnh hình D với chu tuyến γ trơn trơn khúc, nằm hoàn toàn D ta có: f dz = (1.14) γ Định lý 1.5 Giả sử D miền đơn liên bị chặn, với biên ∂D chu tuyến trơn khúc f hàm liên tục D = D ∪ ∂D chỉnh hình D, thì: f dz = (1.15) ∂D Định lý Cauchy cho miền đa liên Ta gọi D miền n-liên (hay đa liên bậc n) biên D gồm có chu tuyến ngồi γ chu tuyến γ1 , · · · , γn−1 đôi không bao nằm Dγ vậy: n−1 D = Dγ \ Dyk ∂D = γ ∪ γ1 ∪ · · · ∪ γn−1 (1.16) k=1 Chiều dương ∂D theo quy ước Định lý 1.6 (Định lý Cauchy cho miền đa liên) Nếu D miền n-liên, f hàm liên tục D, chỉnh hình D thì: f dz = ∂D (1.17) 1.3.2 Cơng thức tích phân Cauchy Cơng thức tích phân thứ Cauchy Định lý 1.7 (Cauchy) Nếu f ∈ H(D) γ ∼ tuyến đóng bất ký thuộc D thì: f (z)dz = (1.18) γ Định lý 1.8 (Cauchy) Nếu hàm f chỉnh hình miền đơn liên D ⊂ C tích phân theo tuyến đóng γ : I → D 0, tức là: f (z)dz = (1.19) γ Công thức (1.19) gọi cơng thức tích phân thứ Cauchy Định lý 1.9 (Cauchy) Giả sử f ∈ H(D) D∗ miền bị chặn nằm D với biên gồm số hữu hạn đường cong đo Khi đó: f (z)dz = (1.20) ∂D∗ Nhận xét 1.1 Nếu biên ∂D∗ miền s-liên thông D∗ gồm s đường cong đóng Γi , i = 1, 2, · · · , s Γ1 chu tuyến ngồi, cịn Γ2 , Γ3 , · · · , Γs chu tuyến công thức (1.20) viết sau: s f (z)dz f (z)dz = Γ1 i=2 (1.21) Γi Cả ba định lý chứng minh miền nằm trọn miền chỉnh hình hàm f (z), tức chúng chứng minh với giả thiết hàm f (z) ∈ H(d), D = D ∪ ∂D Tuy nhiên, nghiên cứu gần chứng tỏ hàm dấu tích phân f (z) khơng thiết phải chỉnh hình D = D ∪ ∂D mà cần chỉnh hình miền D liên tục D đủ, tức f ∈ H(D) ∩ C(D) Cụ thể người ta chứng minh Định lý 1.10 (Định lý Cauchy tổng quát) Giả sử hàm f (z) chỉnh hình miền bị chặn D giới hạn số hữu hạn đường cong đóng Jordan đo liên tục D Khi tích phân hàm f (z) theo biên có hướng miền 0, tức là: f (z)dz = ∂D (1.22) Cơng thức tích phân Cauchy (công thức thứ hai Cauchy) Định lý 1.11 Giả sử D miền bị chặn với biên Jordan đo ∂D Nếu hàm f (z) chỉnh hình D liên tục D với điểm z ∈ D bất kỳ, ta có cơng thức  f (z) z ∈ D f (η) dη = (1.23) 0 z ∈ 2πi ∂D η − z /D Trong ∂D biên có định hướng D Cơng thức (1.23) cơng thức tích phân thứ hai Cauchy (hay công thức tích phân Cauchy; cịn vế phải cơng thức gọi tích phân Cauchy 1.3.3 Tích phân loại Cauchy Giả sử Γ đường cong Jordan trơn khúc, f (η) hàm liên tục Γ Với z ∈ C \ Γ, hàm ϕ(η) = f (η η−z (1.24) liên tục Γ Do đặt F (z) = 2πi Γ f (η) dη η−z (1.25) ta nhận hàm F xác định C \ Γ Hàm F (z) gọi tích phân loại Cauchy Định lý 1.12 Giả sử f (η) hàm liên tục đường cong Jordan trơn khúc Γ Khi tích phân (1.25) hàm chỉnh hình C \ Γ Hơn C \ Γ hàm F (z) có đạo hàm cấp, chúng cho công thức F (n) (z) = n! 2πi Γ f (η dη, (η − z)n+1 n = 0, 1, · · · (1.26) Định lý sau hệ trực tiếp định lý(1.12) cơng thức tích phân Cauchy Định lý 1.13 (Cơng thức Cauchy cho đạo hàm cấp cao) Giả sử f hàm chỉnh hình miền D Khi f có đạo hàm cấp D đạo hàm hàm chỉnh hình D Ngoài đạo hàm f z ∈ D cho công thức f (n) (z) = n! 2πi γ f (η dη, (η − z)n+1 n = 0, 1, · · · (1.27) Trong γ chu tuyến tùy ý vây quanh z cho Dγ ⊂ D Định lý 1.14 (định lý đảo định lý Cauchy) Giả sử f hàm liên tục miền đơn liên D cho tích phân theo chu tuyến D không Khi f chỉnh hình D 1.3.4 Một số định lý quan trọng hàm chỉnh hình Định lý 1.15 (Bất đẳng thức Cauchy) Nếu f hàm chỉnh hình miền D; điểm a ∈ D, < r < d(a, ∂D) M (a, r) = sup|z−a|=r |f (z)| Khi ta có bất đẳng thức sau đây: (n) |f(a) | ≤ n!M (a, r) rn (1.28) Định lý 1.16 (Định lý Liouville) Nếu hàm f (z) chỉnh hình bị chặn C f = const Hệ 1.1 (Định lý D’lembert) Mọi đa thức bậc m ≥ có m nghiệm nghiệm tính số lần bội Định lý 1.17 (Định lý giá trị trung bình) Nếu hàm f hàm chỉnh hình miền D hình trịn D(z0 , r) ⊂ D, thì: f (z0 ) = 2π 2π f z0 + reiϕ dϕ (1.29) Định lý 1.18 (Nguyên lý modun cực đại) Giả sử f hàm chỉnh hình miền bị chặn D liên tục D nên tồn z0 ∈ D cho: max |f (z)| = |f (z0 )| z∈D (1.30) Định lý 1.19 (Bổ đề Schwarz) Giả sử f hàm chỉnh hình biến hình trịn đơn vị D(0; 1) vào nó, giả sử f (0) = Khi đó: (i) |f (z)| ≤ |z|, ∀z ∈ D(0, 1) (ii) Nếu |f (z0 )| = |z0 | với điểm z0 D(0, 1) khác khơng f (z) = αz |α| = Định lý 1.20 (Tự đẳng cấu hình trịn đơn vị) Mọi phép tự đẳng cấu hình trịn đơn vị D(0, 1) tự đẳng cấu phân tuyến tính Giả sử {fn } dãy hàm liên tục miền D Ta nói dãy {fn } hội tụ tập compact (trong D) tới hàm f với compact K ⊂ D với ε > tìm N = N (K, ε) cho |fn (z) − f (z)| < ε, ∀z ∈ K, n > N Định lý 1.21 (Định lý Weierstrass) Giả sử {fn } hội tụ tập compact D tới hàm f , hàm f chỉnh hình D 1.4 1.4.1 Bài tập Tính tích phân miền phức Bài tập 1.1 Tính tích phân (z − a)n dz, n ∈ Z In = |z−a|=R Lời giải Phương trình đường lấy tích phân có dạng: C : z = a + R.eit , t ∈ [0, 2π] i) Giả sử n = −1 Ta có: 2π n (z − a) dz = |z−a|=R iReit dt it R.e = iRn+1 10 ei(n+1)t 2π | =0 i(n + 1) ii) Giả sử n = −1 Ta có: 2π Rn eint iReit dt (z − a)n dz = |z−a|=R = iRn+1 ei(n+1)t 2π | =0 i(n + 1) Vì e2(n+1)πi = e0 = Như vậy,  0 n = −1, n ∈ Z n (z − a) dz = 2πi n = −1 |z−a|=R dz √ , C nửa đường tròn: z C √ C = {z : |z| = 2, Imz ≥ 0} có hướng chiều kim đồng hồ, z nhánh tập hợp Imz ≤, z = nhận giá trị điểm z0 = Lời giải Giả sử z ∈ C Khi z = 2eit , ≤ t ≤ π, điểm đầu z1 = −2 tương ứng với t1 = π điểm cuối z2 = ứng với t2 = Trong hai nhánh đơn trị liên tục t t t tập hợp nêu |z|ei − |z|ei nhánh ϕ(z) = |z|ei thỏa mãn điều kiện ϕ(1) = 1, vậy, Bài tập 1.2 Tính tích phân C dz √ = z π √ t √ 2iei tdt √ i t = 2ei |0π = 2(1 − i) 2e Bài tập 1.3 Giả sử C chu tuyến giới hạn miền Ω có diện tích S Chứng minh: xdz = iS a) C ydz = −S b) C zdz = c) C Lời giải 11 P dx + Qdy = a) Áp dụng cơng thức Green: C xdz = Ta có: C P =x⇒ dxdy x(dx + idy) C ∂P = 0; ∂y Mà: xdx = C ∂Q ∂P − ∂x ∂y Q=0⇒ ∂Q =0 ∂x 0dxdy C DC (1 − 0)dxdy = xdy = C dxdy = S (diện tích miền DC) DC C xdz = iS Vậy C ydz = b) C y(dx + idy) = ydx + i C P =0⇒ C ∂P = 0; ∂y Q=y⇒ ydy ∂Q =0 ∂x C 0dxdy = ydy = C C Mà: ydx = C (0 − 1)dxdy = −dxdy = −S C C ydz = −S Vậy C c) Ta có zdz = (x + iy)(dx + idy) C C xdx + i = = = Bài tập 1.4 Tính I1 = + iS xdz, ydx − xdy + i C C C − iS I2 = C ydy C −0 ydz với: C a) C bán kính vector điểm z = + i b) C nửa đường tròn |z| = 1, ≤ argz ≤ π (điểm đầu z = 1) c) C đường tròn |z − a| = R 12 Lời giải x ; a) Đường lấy tích phân y = x:0→2 I1 = xdz = L xdz = xdx + i xdy 0 2 xdx + i = 0 x2 x2 xdx = |20 + i |20 2 =2+i I2 = ydz L Đường lấy tích phân x = 2y, I2 = ydz = y:0→1 y(dx + idy) = L L ydx + i L = ydy L yd(2y) + i ydy 2y y2 |0 + i |10 2 i =1+ = b) Đặt z = cosϕ + isinϕ ⇒ dz = (−sinϕ + icosϕ) dϕ π I1 = xdz = L cosϕ (−sinϕ + icosϕ) dϕ π =− π 0 π = = = = = cos2 ϕdϕ cosϕsinϕdϕ + i π −sin2ϕ + cos2ϕ dϕ + i dϕ 2 0 1 cos2π|π0 + i ϕ + sin2ϕ |π0 4 1 π 1 cos2π − cos0 + i + sin2π − sin0 4 4 1 πi − + 4 πi 13 π I2 = sinϕ (−sinϕ + icosϕ) dϕ ydz = C π π −sin ϕdϕ + i = sinϕcosϕdϕ π π − cos2π sin2ϕ dϕ + i dϕ 2 0 −1 sin2ϕ π −cos2ϕ π = ϕ+ |0 + i |0 4 −1 1 i = π + sin2π − icos2π + cos0 = 4 =− −π c) Đặt z = x + iy C đường trịn tâm (a, 0), bán kính R ⇒ z = a + R(cosϕ + isinϕ) = (a + Rcosϕ) + iRsinϕ 2π I1 = xdz = C (a + Rcosϕ) d (a + Rcosϕ + iRsinϕ) 2π = (a + Rcosϕ) d (a + Rcosϕ + iRsinϕ) 2π = 2π (a + Rcosϕ)d(a + Rcosϕ) + i (a + Rcosϕ)d(Rsinϕ) 2π (a + Rcosϕ)2 2π |0 + i (aRcosϕ + R2 cos2 ϕ)dϕ = 2 (a + Rcos2π) (a + Rcos0)2 = − + i(−aRsinϕ |2π +i 2 R2 = i(−aRsin2π + aRsin0) + i ϕ − sin2ϕ R = + i 2π 2 = iR π 2π R2 2π I2 = ydz = C Rsinϕd(a + Rcosϕ + iRsinϕ) 2π = 2π Rsinϕd(a + Rcosϕ) + 2π −R2 = Rsinϕd(iRsinϕ) − cos2ϕ d(a + Rcosϕ) + i 14 2π Rsinϕd(Rsinϕ) + cos2ϕ dϕ −R2 2π = −R2 π = Cách Dùng công thức Green xdz = iS vớiz = x + iy C (S miền giới hạn C) xdz = iπR2 ⇒ S = πR2 ⇒ C |z|dz với: Bài tập 1.5 Tính I = C a) C nửa đường tròn |z| = 1, ≤ argz ≤ π (điểm đầu z = 1) b) C nửa đường tròn |z| = 1, π −π ≤ argz ≤ (điểm đầu z = −i) 2 c) C đường tròn |z| = R Lời giải a) Đặt z = cosϕ + isinϕ, ≤ ϕ ≤ π ⇒ dz = (−sinϕ + icosϕ)dϕ |z| = cos2 ϕ + sin2 ϕ = π |z|dz = I= C (−sinϕ + icosϕ)dϕ = (−cosϕ − isinϕ)|π0 = −1 − = −2 b) Đặt z = |z|(cosϕ + isinϕ) = cosϕ + isinϕ ⇒ dz = (−sinϕ + icosϕ)dϕ π I= π dz = −π (−sinϕ + icosϕ)dϕ −π π = (cosϕ + isinϕ)| −π = −i − (−i) = −2i 15 c) Đặt z = Rcosϕ + icosϕ 2π R(−Rsinϕ + icosϕ)dϕ = R2 (cosϕ + isinϕ)|2π = I= |z|zdz C đường cong kín gồm nửa Bài tập 1.6 Tính I = C đường tròn |z| = 1, đoạn −1 ≤ x ≤ 1, y = Lời giải Tách C thành hai đường |z| = −1 ≤ x ≤ 1, y = |z|zdz = I= C |z|zdz + C1 |z|zdz C2 |z|zdz I1 = C1 z = cosϕ + isinϕ ⇒ dz = (−sinϕ + icosϕ)dϕ ϕ : → π, |z| = Ta có: π 1(cosϕ − isinϕ)(−sinϕ + icosϕ)dϕ I1 = π = π = iϕ|π0 |z|zdz, I2 = (cos2 ϕ + sin2 ϕ)dϕ (−cosϕsinϕ + sinϕcosϕ)dϕ + i = iπ x : −1 → C2 z = x + iy, y = ⇒ z = 0, |z| = |x| |x|xdx + I2 = −1 |x|xdx −x2 dx + = −1 x2 dx = −x3 x3 |−1 + |10 3 −1 = + =0 3 ⇒ I1 + I2 = πi + = πi dz √ theo đường sau: z C √ a) Nửa đường tròn |z| = 1, y ≥ 0, = √ b) Nửa đường tròn |z| = 1, y ≥ 0, = −1 Bài tập 1.7 Tính I = 16 √ c) Nửa đường tròn |z| = 1, y ≤ 0, = √ d) Đường tròn |z| = 1, = Lời giải √ √ √ a) z = reiϕ , = ⇒ z = eiϕ , ϕ : → π I= C √ dz √ = z π d(eiϕ ) √ = eiϕ π ieiϕ ϕ dϕ = i ei π ϕ ϕ ei dϕ = 2ei |π0 = 2i − ϕ z = ei( +π) π π ϕ ϕ π ieiϕ ⇒I= dϕ = ei( −π) dϕ = 2ei( −π) |π0 = 2e−i − 2e−iπ ϕ i +π ) e (2 iϕ e = cosϕ + isinϕ e−iπ = cos(−π) + isin(−π) = −1 −π −π π e−i = cos + isin = −i 2 ⇒ I = −2i + √ √ √ c) z = reiϕ , = ⇒ z = eiϕ , ϕ : π → 2π b) I= = dz √ = z C ϕ 2ei |2π π 2π π i π2 = 2e d(eiϕ ) √ = eiϕ − 2eiπ 2π π ieiϕ ϕ dϕ = i ei 2π ϕ ei dϕ π eiϕ = cosϕ + isinϕ eiπ = cos(π) + isin(π) = −1 π π π ei = cos + isin =i 2 ⇒ I = 2i + √ √ √ d) z = reiϕ , = ⇒ z = eiϕ , ϕ : → 2π I= = C ϕ 2ei |2π 2π d(eiϕ ) √ = eiϕ = − 2eiπ = dz √ = z 17 2π ieiϕ ϕ dϕ = i ei 2π ϕ ei dϕ 1.4.2 Tính tích phân sử dụng cơng thức tích phân Cauchy Bài tập 1.8 Giả sử C chu tuyến Tính I = C dz nếu: z2 + a) Điểm 3i nằm C, −3i nằm C b) Điểm −3i nằm C, 3i nằm C c) Điểm ±3i nằm C Lời giải a) I = C dz (z − 3i)(z + 3i) chỉnh hình C z + 3i dz 1 π = 2πi = 2πi = (z − 3i)(z + 3i) 3i + 3i 6i Ta có 3i ∈ C; I= C chỉnh hình C z − 3i dz −π z − 3i dz = 2πi = = (z − 3i)(z + 3i) −3i − 3i C z + 3i b) Ta có −3i ∈ C; I= C f (z) = f (z) = c) Cách I= C dz = (z − 3i)(z + 3i) C z + 3i dz + z − 3i C z − 3i dz = z + 3i Cách I= C A dz + z − 3i C B dz = z + 3i 6i C dz − z − 3i C dz z + 3i =0 Bài tập 1.9 Giả sử C chu tuyến khơng qua điểm 0, 1, −1 Hãy tính dz C z(z − 1) Lời giải   Cả ba điểm     Cả ba điểm ngồi Chu tuyến khơng qua điểm 0, −1, nên có trường hợp :   điểm     hai điểm 18 • TH1: 0, −1 khơng thuộc Dγ , thuộc Dγ f (z) = chỉnh hình Dγ z(z + 1) dz =0 ⇒ C z(z − 1) • TH2: 1, −1 khơng thuộc Dγ , thuộc Dγ f (z) = chỉnh hình Dγ (z − 1) dz z − dz = 2πi = −2πi = I1 = z 02 − C C z(z − 1) • TH3: không thuộc Dγ , 1, −1 thuộc Dγ f (z) = chỉnh hình Dγ z(z + 1) dz z(z + 1) I2 = = dz = 2πi = πi z−1 1(1 + 1) C z(z − 1) C • TH4: 0, không thuộc Dγ , −1 thuộc Dγ f (z) = chỉnh hình Dγ z(z − 1) dz z(z − 1) = dz = 2πi = πi I3 = z+1 −1(−1 − 1) C C z(z − 1) • TH5: −1 khơng thuộc Dγ , 0, thuộc Dγ I = I1 + I2 = −2πi + πi = −πi • TH6: khơng thuộc Dγ , 0, −1 thuộc Dγ I = I1 + I3 = −πi • TH7: khơng thuộc Dγ , 1, −1 thuộc Dγ I = I2 + I3 = 2πi • TH8: 0, 1, −1 thuộc Dγ I = I1 + I2 + I3 = Bài tập 1.10 Tính I = |z−a|=a zdz ,a > −1 z4 Lời giải 19 Ta có a > ⇒ ∈ Dγ z f (z) = chỉnh hình Dγ (z + 1)(z + 1) z zdz πi (z + 1)(z + 1) I= = dz = 2πi = z−1 (1 + 1)(1 + 1) |z−a|=a z − |z−a|=a Bài tập 1.11 Tính I = C zez dz điểm a nằm chu tuyến C (z − a)3 Lời giải n=2 z0 = a f (z) = zez f (z) = ez + zez = (z + 1)ez f (z) = (z + 2)ez 2πi zez dz = (a + 2)ea = πi(2 + a)ea ⇒I= (z − a) 2! C Bài tập 1.12 Giả sử C chu tuyến Tính I = 2πi C a) Điểm C, C b) Điểm C, C c) C vây quanh z = z = ez ⇒ f chỉnh hình với z = (1 − z)3 ez dz ez dz e0 (1 − z)3 I= = = =1 2πi C z(1 − z)3 2πi C z a) f (z) = ez ⇒ f (z) chỉnh hình C z ez z e dz 1 z I1 = = dz 2πi C z(1 − z) 2πi C (1 − z)3 ez z − ez (z − 1)ez = f (z) = z2 z2 z (z − 2z + 2)e f (z) = z3 2πi (1 − + 2)e1 e = I2 = 2πi 2! b) f (z) = 20 ez dz nếu: z(1 − z)3 c) I = I1 + I2 = + 1.4.3 e Bài tập bổ sung √ ( z)dz, C nửa đường trịn: Bài tập 1.13 Tính tích phân C C = {|z| = 2, Imz ≤ 0} với điểm đầu z1 = −2 điểm cuối z2 = 2, √ √ ( z)dz nhánh đơn trị hàm ( z) nhận giá trị i điểm z = z dz, C biên hình quạt: Bài tập 1.14 Tính tích phân π Q = {z : |z| ≤ 1, ≤ argz ≤ C z dz C là: Bài tập 1.15 Tính tích phân C a) Đoạn thẳng nối điểm −1 với điểm +1 b) Nửa đường tròn đơn vị chạy theo hướng âm logzdz, đó: Bài tập 1.16 Tính tích phâ C a) C = {|z| = 1}, log1 = điểm đầu C z0 = b) C = {|z| = 1}, logi = πi điểm đầu C z0 = i Bài tập 1.17 Áp dụng cơng thức tích phân Cauchy để tính tích phân sau, đường lấy tích phân có định hướng ngược chiều kim đồng hồ 1) L 2) sinz dz; L = {z : |z + i| = 3} z+i ez dz ∂D z(1 − z) D : 1)|z| < ; 2)|z| < ; 3)|z − 1| < 2 3) |z−1|=1 dz (1 + z)(z − 1)3 21 4) −L dz (z − 1)3 (z + 1)3 (a) L đường trịn bán kính R < 2, tâm z = (b) L đường trịn bán kính R < tâm z = −1 (c) L đường tròn bán kính R > 2, với tâm điểm z = hay z = −1 22 ... hướng D Cơng thức (1.23) cơng thức tích phân thứ hai Cauchy (hay cơng thức tích phân Cauchy; cịn vế phải cơng thức gọi tích phân Cauchy 1.3.3 Tích phân loại Cauchy Giả sử Γ đường cong Jordan trơn... lý 1.6 (Định lý Cauchy cho miền đa liên) Nếu D miền n-liên, f hàm liên tục D, chỉnh hình D thì: f dz = ∂D (1.17) 1.3.2 Cơng thức tích phân Cauchy Cơng thức tích phân thứ Cauchy Định lý 1.7 (Cauchy) ... cho: f dz − γ 1.3 1.3.1 f dz < ε (1.13) γP Lý thuyết tích phân Cauchy Các định lý cauchy tích phân hàm chỉnh hình đường cong đóng Định lý 1.3 (Định lý Jordan) Mọi đường cong kín γ chia C thành