Đang tải... (xem toàn văn)
TRƯỜNG ĐẠI HỌC HẢI PHÒNG KHOA TOÁN VÀ KHTN ———————o0o——————– KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ TÍCH PHÂN PHỨC Chuyên ngành Hàm biến phức Giảng viên hướng dẫn Ths ĐỖ THỊ HOÀI Sinh viên ĐOÀN THỊ MIN.
TRƯỜNG ĐẠI HỌC HẢI PHỊNG KHOA TỐN VÀ KHTN ———————o0o——————– KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ TÍCH PHÂN PHỨC Chuyên ngành: Hàm biến phức Giảng viên hướng dẫn: Ths ĐỖ THỊ HOÀI Sinh viên: ĐOÀN THỊ MINH HẬU Lớp: ĐHSPTH.K17 HẢI PHỊNG, 06/2020 Lời cảm ơn Khóa luận em hoàn thành giúp đỡ thầy giáo Tổ Giải Tích - Khoa Tốn KHTN - Trường Đại Học Hải Phịng Cho phép em bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy Tổ Giải Tích, đặc biệt Đỗ Thị Hồi , người trực tiếp hướng dẫn em trình thu nhập tài liệu, nghiên cứu để em hồn thành khóa luận Bước đầu nghiên cứu khoa học, thời gian nghiên cứu cịn hạn chế em khó tránh khỏi thiếu sót định Em mong nhận đóng góp, bảo thầy cô giáo, bạn để khóa luận hồn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hải Phòng, tháng năm 2020 Mục lục Lời cảm ơn Lời mở đầu TÍCH PHÂN PHỨC 1.1 Định nghĩa 1.2 Tính chất 1.3 Lý thuyết tích phân Cauchy 1.3.1 Các định lý cauchy tích phân hàm chỉnh hình đường cong đóng 1.3.2 Công thức tích phân Cauchy 1.3.3 Tích phân loại Cauchy 1.3.4 Một số định lý quan trọng hàm chỉnh hình 1.4 Bài tập 1.4.1 Tính tích phân phức cách đưa tích phân thực sử dụng công thức z = x + iy, z = a + reit 1.4.2 Tính tích phân phức cách đưa tích phân đường loại II sử dụng công thức Green 1.4.3 Tính tích phân sử dụng cơng thức tích phân Cauchy 1.4.4 Bài tập đề nghị 1 LÝ THUYẾT THẶNG DƯ 2.1 Chuỗi Laurent 2.1.1 Định nghĩa 2.1.2 Khai triển Laurent 2.1.3 Điểm kì dị cô lập 2.2 Định nghĩa cách tính thặng dư 2.3 Các định lý thặng dư 15 18 21 21 21 22 22 23 26 Khóa luận tốt nghiệp 2.4 Bài tập 2.4.1 Khai triển laurent 2.4.2 Thặng dư 2.4.3 Bài tập đề nghị KHOA TOÁN VÀ KHTN MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA THẶNG 3.1 Tính tích phân đường 3.2 Tính tích phân xác định 3.3 Tính tích phân suy rộng Z 26 26 28 30 DƯ 32 32 33 33 +∞ 3.3.1 Tính tích phân dạng R(x)dx 33 Z−∞ 3.3.2 eiax R(x)dx 35 Tính tích phân dạng ZR 3.3.3 Tính tích phân dạng R(x)xα dx 35 R+ 3.4 3.5 Tìm tổng chuỗi Bài tập 3.5.1 Tính tích phân đường 3.5.2 Tính tích phân đường cách sử dụng sử dụng cơng thức tích phân Cauchy 3.5.3 Tính tích phân xác định 3.5.4 Tính tích phân suy rộng 3.5.5 Tìm tổng chuỗi thặng dư 37 37 37 39 42 44 46 Kết luận 48 Tài liệu tham khảo 49 Sinh viên: Đoàn Thị Minh Hậu Lớp ĐHSPTH.K17 Mở đầu Lý chọn đề tài Sự đời số phức q trình nghiên cứu phát triển hồn thiện lí thuyết hàm số biến số phức dấu mốc quan trọng q trình phát triển tốn học Những kết đạt lý thuyết giải nhiều vấn đề quan trọng nhiều lĩnh vực khoa học, đời sống khác Trong trình học THPT, học sinh làm quen giải số dạng tập tích phân thực Đối với sinh viên chuyên nghành sư phạm toán chúng em tiếp xúc với tích phân phức thấy vấn đề hay, đòi hỏi kiến thức tích phân số phức phải chắn để làm tảng tìm hiểu lí thuyết tích phân phức Tuy nhiên học phần hàm biến phức giảng dạy với số tín tín chỉ, lý thuyết tập số phức, hàm biến phức giới thiệu cách Đặc biệt tích phân phức lại vấn đề môn hàm biến phức nên chưa tìm hiểu chun sâu Mà đó, sách tham khảo tài liệu nghiên cứu dành cho sinh viên yêu thích tích phân phức chưa nhiều, đa dạng biên soạn khơng có hướng dẫn cụ thể hướng dẫn theo cách khác nhau, khó tiếp cận Bởi việc nghiên cứu tích phân phức cần thiết quan trọng sinh viên Do vậy, lý em chọn đề tài "Một số vấn đề tích phân phức" để thực khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu • Tổng hợp hệ thống lý thuyết tích phân phức, lý thuyết thặng dư, đưa dạng toán tập tương ứng • Trình bày phân loại số ứng dụng thặng dư tập tương Khóa luận tốt nghiệp KHOA TOÁN VÀ KHTN ứng Phương pháp nghiên cứu • Sử dụng kiến thức phương pháp giải tích hàm để tiếp cận nghiên cứu vấn đề • Đọc, tra cứu tài liệu tham khảo cách logic hệ thống • Nghiên cứu lí luận, phân tích, tổng hợp đánh giá Cấu trúc khóa luận Ngồi phần mở đầu, mục lục, phần kết luận nội dung khóa luận chia thành chương sau: • Chương 1: Tích phân phức Là chương tổng quan tích phân phức, lý thuyết tích phân Cauchy Chương gồm khái niệm cần sử dụng cho chương sau tập tương ứng • Chương 2: Lý thuyết thặng dư Ở chương này, em đưa lý thuyết chuỗi Laurent, thặng dư, cách tính thặng dư tập tương ứng • Chương 3: Một số ứng dụng thặng dư Ở chương này, em đưa hệ thống ứng dụng thặng dư, phân dạng tập đưa tập tương ứng kèm Sinh viên: Đoàn Thị Minh Hậu Lớp ĐHSPTH.K17 Chương TÍCH PHÂN PHỨC 1.1 Định nghĩa Giả sử cho chu tuyến trơn γ = γ(t) : I → C, I = [a, b] ⊂ R giả sử cho ánh xạ liên tục: f : γ(I) → C Khi hàm f [γ(t)] hàm liên tục I Ta có định nghĩa sau đây: Định nghĩa 1.1 Tích phân: b Z f [γ(t)]γ (t)dt J(f ) = a Được gọi tích phân hàm f theo chu tuyến γ ký hiệu là: Z f (z)dz γ Định nghĩa phù hợp với định nghĩa tích phân đường thơng thường (theo nghĩa Cauchy-Riemann) hàm liên tục theo khoảng compac Cũng tính tích phân đường theo tuyến trơn khúc Trong trường hợp chọn phép phân hoạch a = t0 < t1 < · · · < tn = b Sao cho hạn chế γi chu tuyến γ đoạn [ti , ti+1 ] tuyến trơn với i bất kỳ, ≤ i ≤ n − Và theo định nghĩa Z XZ f (z)dz = γ f (z)dz i γi Khóa luận tốt nghiệp 1.2 KHOA TỐN VÀ KHTN Tính chất 1) Giả sử γ đường cong (A điểm đầu, B điểm cuối), γ − lấy theo chiều ngược lại (B điểm đầu cịn A điểm cuối) Khi đó: Z Z f dz = − γ− f dz γ 2) Nếu f g hàm khả tích γ αf + βg khả tích γ với α, β ∈ C và: Z Z Z (αf + βg)dz = α γ f dz + β γ gdz γ 3) Nếu γ phân thành γ1 , γ2 , γ = γ1 ∪ γ2 thì: Z Z Z f dz f dz + f dz = γ γ2 γ1 4) Với l độ dài γ , ta có: Z Z ... thuyết chuỗi Laurent, thặng dư, cách tính thặng dư tập tương ứng • Chương 3: Một số ứng dụng thặng dư Ở chương này, em đưa hệ thống ứng dụng thặng dư, phân dạng tập đưa tập tương ứng kèm Sinh viên:... Thặng dư 2.4.3 Bài tập đề nghị KHOA TOÁN VÀ KHTN MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA THẶNG 3.1 Tính tích phân đường 3.2 Tính tích phân xác định 3.3 Tính tích. .. tích phân phức, lý thuyết thặng dư, đưa dạng toán tập tương ứng • Trình bày phân loại số ứng dụng thặng dư tập tương Khóa luận tốt nghiệp KHOA TỐN VÀ KHTN ứng Phương pháp nghiên cứu • Sử dụng kiến