Lý thuyết thặng dư, chuỗi Laurent

2 LÝ THUYẾT THẶNG DƯ 3 2 1 Chuỗi Laurent 3 2 1 1 Định nghĩa 3 2 1 2 Khai triển Laurent 4 2 1 3 Điểm kì dị cô lập 4 2 2 Định nghĩa và cách tính thặng dư 5 2 3 Các định lý về thặng dư 2.4. Bài tập 2.4.1. Khai triển Laurent 2.4.3. Thặng dư

Mục lục TÍCH PHÂN PHỨC 2 LÝ THUYẾT THẶNG DƯ 2.1 Chuỗi Laurent 2.1.1 Định nghĩa 2.1.2 Khai triển Laurent 2.1.3 Điểm kì dị cô lập 2.2 Định nghĩa cách tính thặng dư 2.3 Các định lý thặng dư 2.4 Bài tập 2.4.1 Khai triển laurent 2.4.2 Thặng dư Chương TÍCH PHÂN PHỨC Chương LÝ THUYẾT THẶNG DƯ 2.1 2.1.1 Chuỗi Laurent Định nghĩa Xét chuỗi hình thức với số mũ âm Z dạng: ak Z k = k r hội tụ miền |z| ≥ ρ > r Chuỗi chuỗi lũy thừa Chuỗi Laurent chuỗi dạng +∞ ak Z k = k=−∞ ak Z k + k r Vậy chuỗi Laurent hội tụ r < R +∞ ak Z k , xác định hàm chỉnh hình vành r < |z| < Khi f (z) = k=−∞ R Ngược lại, ta có: 2.1.2 Khai triển Laurent Nếu f hàm chỉnh hình vành r < |z − z0 | < R, f biểu diễn dạng chuỗi Laurent z0 +∞ ak (z − z0 )k , r < |z − z0 | < R f (z) = (2.3) k=−∞ Trong hệ số ak = 2πi |z−z0 |=ρ f (z)dz ,r < ρ < R (z − z0 )k+1 Hệ 2.1 Mọi hàm f chỉnh hình vành r < |z − z0 | < R, có phân tích cách :f = f1 + f2 , đó: ak (z − z0 )k ∈ H(|z − z0 | < R), gọi phần f z0 f1 (z) = k≥0 ak (z − z0 )k ∈ H(r < |z − z0 |), gọi phần f z0 f2 (z) = k≥0 2.1.3 Điểm kì dị cô lập Định nghĩa 2.1 a gọi điểm kì dị lập hàm f f chỉnh hình lân cận thủng < |z − a| < R a Điểm kì dị hàm f phân loại: • Kì dị khử được: tồn lim f (z) ∈ C z→a • Cực điểm: lim f (z) = ∞ z→a • Kì dị cốt yếu: Nếu không tồn lim f (z) C z→a Phân loại điểm kỳ dị theo khai triển Laurent Giả sử hàm f có kì dị lập a có khai triển Laurent: ak (z − a)k + f (z) = f1 (z) + f2 (z) = k≥0 ak (z − a)k , < |z − a| < R k r}) z = ∞ điểm bất thường cô lập đơn trị f Giả sử γ(O, R) = {z : |z| = R, Rđủ lớn} đường tròn định hướng cho lân cận điểm ∞ ln nằm bên trái Khi đại lượng: res[f, ∞] = 2πi f (z)dz (2.5) f (z)dz (2.6) γ(O,R) gọi thặng dư hàm f ∞ Từ đó, ta có: res[f, ∞] = −1 2πi γ(O,R) Từ cơng thức tính hệ số khai triển Laurent hàm f lân cận điểm a ∈ C lân cận điểm ∞, ta có: res[f, a] = a−1 , a ∈ C res[f, ∞] = −a−1 Ta xét trường hợp sau đây: TH1: Hàm f (z) có cực điểm đơn điểm z = a 1) res[f, a] = lim (z − a)f (z) z→a G(z) , G(z) H(z) chỉnh hình a H(a) = H(z) 0, H (a) = thì: 2) Nếu f (z) = res[f, a] = G(a) H (a) (2.7) TH2: Hàm f (z) có cực điểm cấp m ≥ z = a thì: res[f ; a] = dm−1 [(z − a)m f (z) lim (m − 1)! z→a dz m−1 TH3: Hàm f (z) có điểm bất thường cốt yếu z = ∞  a−1 a ∈ C res[f, a] = −a a = ∞ −1 (2.8) (2.9) phương pháp TH4: Thặng dư ∞ (1) Nếu hàm f chỉnh hình điểm ∞ thì: res[f, ∞] = lim z[f (∞) − f (z)] z→∞ (2) Nếu hàm f biểu diễn dạng f (z) = ϕ (2.10) , ϕ(ξ) chỉnh hình ξ = thì: res[f, ∞] = −ϕ (0) (2.11) (3) res[f, ∞] = lim [f (∞) − f (z)] z→∞ Khi tính thặng dư nhánh chỉnh hình hàm đa trị cần ý bước tính tốn cần tiến hành nhánh 2.3 Các định lý thặng dư Định lý 2.1 (Cauchy) Giả sử hàm f (z) chỉnh hình miền D trừ số hữu hạn điểm bất thường cô lập đơn trị a1 , a2 , · · · , aN nằm D liên tục D \ {a − 1, · · · , an } Giả thiết biên ∂D miền D gồm số hữu hạn đường cong đóng trơn khúc Khi đó: N f (z)dz = 2πi ∂D Res[f, ak ] k=1 biên ∂D miền D định hướng dương Nếu miền D chứa điểm z = ∞ điểm ∞ cần xem điểm bất thường, chí hàm f (z) chỉnh hình Nhận xét 2.1 Nếu hàm f khơng có điểm bất thường khơng lập số điểm bất thường cô lập vô trường hợp tồn điểm tụ tập hợp điểm bất thường, điểm tụ bất thường không cô lập Một hệ quan trọng định lý (2.1) Định lý 2.2 (về tổng toàn phần thặng dư) Nếu hàm f (z) chỉnh hình tồn mặt phẳng phức mở rộng C trừ số hữu hạn điểm bất thường cô lập đơn trị a1 , · · · , aN −1 aN = ∞ thì: N Res[f, ak ] = k=1 2.4 2.4.1 Bài tập Khai triển laurent Bài tập 2.1 Khai triển Laurent hàm f (z) = z0 | < R |z − z0 | > R Lời giải z0 vành |z − z−a a) Khai triển |z − z0 | < R f (z) = −1 = z (z − z0 ) − (a − z0 ) a − z0 − − z0 a − z0 ∞ −1 z − z0 = a − z0 k=0 a − z0 ∞ =− k=0 k (z − z0 )k (a − z0 )k+1 b) Khai triển |z − z0 | > R f (z) = 1 = (z − z0 ) − (a − z0 z − z0 − a − z0 z − z0 ∞ (a − z0 )k = (z − z0 )k+1 k=0 Bài tập 2.2 Khai triển Laurent hàm f (z) = z0 = (z − a)(z − b) Lời giải Ta có: 1 = (z − a)(z − b) a−b f (z) = 1 − z−a z−b ∞ −1 zk = =− z−a a 1− z ak+1 k=0 a ∞ −1 zk = = − z−b b 1− z bk+1 k=0 b Vậy f (z) = a−b ∞ − k=0 ∞ zk zk + ak+1 k=0 bk+1 Bài tập 2.3 Khai triển Laurent hàm f (z) = sin Lời giải sin z = sin + z−1 z−1 z z0 = z−1 = sin1cos 1 + cos1sin z−1 z−1 Khai triển Taylor hàm sin cos suy ra: cos = z−1 sin = z−1 ∞ k=0 ∞ k=0 (−1)k , (2k)!(z − 1)2k z=1 (−1)k , (2k + 1)!(z − 1)2k+1 ∞ z=1 ∞ (−1)k z (−1)k = sin1 Vậy sin + cos1 z−1 (2k)!(z − 1)2k (2k + 1)!(z − 1)2k+1 k=0 k=0 Bài tập 2.4 Khai triển hàm ez , sinz, cosz thành chuỗi Laurent lân cận điểm a = ∞ Lời giải 1 1 Thực phép đổi biến z = Khi hàm cho có dạng e ξ , sin , cos ξ ξ ξ Khai triển hàm thành chuỗi Laurent lân cận điểm ξ = eξ = k≥0 sin = ξ cos = ξ k!ξ k k≥0 k≥0 (−1)k (2k + 1)!ξ 2n+1 (−1)k ξ 2k (2k)! Trở biến z ta thu được: ez = k≥0 2.4.2 zk ; k! sinz = k≥0 (−1)k z 2n+1 ; (2k + 1)! Thặng dư Bài tập 2.5 Tính thặng dư hàm cosz = k≥0 (−1)k z 2k (2k)! a) f (z) = 1 + z3 d) f (z) = b) f (z) = ez − z2 + z e) f (z) = (z + 1)3 sinz z6 f) f (z) = zcos c) f (z) = tanz z+1 Lời giải a) Hàm hữu tỷ có điểm bất thường cực điểm, khơng điểm mẫu số: Hàm cho có ba cực điểm cấp là: √ 1+i z1 = −1 z2 = 1 Ta có: Res[f, zk ] = = 3 (1 + zk ) 3zk Và từ 1 = 3(−1) Res[f, z2 ] = √ + i 3) √ 1−i z3 = Res[f, z1 ] = Res[f, z3 ] = √ − i 3) 2 √ −1 + i = √ −1 − i = b) Ta có z = điểm bất thường khử hàm f (z) vì: ez − =1 z→0 z(z + 1) lim Do đó: Res[f, 0] = Điểm z = −1 cực điểm đơn vậy: ez − (z + 1) z→−1 z(z + 1) Res[f (z), −1] = lim = − e−1 10 c) Hàm cho có hai cực điểm cấp là: z1 = π z2 = −π Ta có: π sinz = |z= π2 = −1 (cosz) sinz −π = Res tanz, | −π = −1 (cosz) z= Res tanz, d) Ta có z = i cực điểm cấp ba hàm f (z) Do áp dụng cơng thức, ta có: d2 lim (z − i)3 2! z→i dz (z − i)3 (z + i)3 d2 = lim [(z + i)−3 ] z→i dz = lim[(−3)(−4)(z + i)−5 ] z→i −3 = i 16 Res[f, i] = e) Vì lân cận điểm z = 0, ta có: z3 z5 z − + − ··· z6 3! 5! 1 = 5− + − ··· z 3!z 5!z f (z) = Nên a−1 = 1 Res[f, 0] = 5! 5! + ··· 2(z + 1)2 −1 −1 = Res[f, −1] = 2 f) Ta có f (z) = [(z + 1) − 1] − ⇒ a−1 11 ... PHỨC Chương LÝ THUYẾT THẶNG DƯ 2.1 2.1.1 Chuỗi Laurent Định nghĩa Xét chuỗi hình thức với số mũ âm Z dạng: ak Z k = k r hội tụ miền |z| ≥ ρ > r Chuỗi chuỗi lũy thừa Chuỗi Laurent chuỗi dạng +∞ ak Z k = k=−∞ ak Z k + k r Vậy chuỗi Laurent hội tụ r < R +∞ ak Z k , xác định hàm chỉnh hình vành