Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN Xây dựng tài liệu về Số phức nhằm bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinh

Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN Xây dựng tài liệu về Số phức nhằm bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinhSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Xây dựng tài liệu về Số phức nhằm bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinhSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Xây dựng tài liệu về Số phức nhằm bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinhSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Xây dựng tài liệu về Số phức nhằm bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinhSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Xây dựng tài liệu về Số phức nhằm bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinhSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Xây dựng tài liệu về Số phức nhằm bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinhSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Xây dựng tài liệu về Số phức nhằm bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinhSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Xây dựng tài liệu về Số phức nhằm bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinhSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Xây dựng tài liệu về Số phức nhằm bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinhSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Xây dựng tài liệu về Số phức nhằm bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinhSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Xây dựng tài liệu về Số phức nhằm bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinhSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Xây dựng tài liệu về Số phức nhằm bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinhSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Xây dựng tài liệu về Số phức nhằm bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinh

Xây dựng tài liệu Số phức nhằm bồi dưỡng lực tự học cho học sinh MỞ ĐẦU Lí chọn sáng kiến Theo Tạp chí Mathematical Reviews (Mỹ, 1997), năm có mười vạn nghiên cứu tốn học cơng bố; nhịp điệu tăng trưởng theo hàm số mũ, 10 năm lại tăng lên gấp đơi Rõ ràng khơng nhà trường dạy cho người học hết tất kiến thức Trong nhu cầu người cần phải học tất Chỉ có biết cách tự học đáp ứng phát triển vũ bão khoa học kỹ thuật Nội dung số phức đưa vào trường phổ thông từ năm 1997, với chương trình thí điểm thức triển khai diện đại trà từ năm học 2008 – 2009 Từ đưa vào chương trình Tốn học phổ thơng, tốn số phức xuất kỳ thi Tốt nghiệp; thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng; thi THPT Quốc gia thi học sinh giỏi Nó nội dung nằm Cấu trúc đề thi Tốt nghiệp thi tuyển sinh Cao đẳng, Đại học Bộ Giáo dục Đào tạo Qua nghiên cứu đề thi Tốt nghiệp, tuyển sinh Đại học, Cao đẳng từ năm 2009 đến năm 2014 đề thi THPT Quốc gia năm 2015, tơi nhận thấy có ba dạng tốn liên quan đến số phức thường xuất kỳ thi Đó là, biến đổi số phức; biểu diễn hình học số phức thỏa mãn điều kiện cho trước tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước Câu hỏi số phức đề thi khơng q khó thí sinh khơng phải thí sinh đạt điểm tuyệt đối câu hỏi Trong trình dạy học chấm thi tốt nghiệp, tuyển sinh Đại học, nhận thấy lỗi phổ biến thí sinh khâu trình bày, lập luận kỹ biến đổi Phần biểu diễn hình học số phức vấn đề khó thí sinh Bởi lẽ, nội dung có liên quan đến phân mơn Hình học Bài tập số phức nằm chủ yếu sách tham khảo Giải tích mà chưa có tài liệu tham khảo chuyên biệt số phức dạng tốn liên quan đến Nếu xây dựng cách hợp lý tài liệu số phức học sinh khơng rèn kỹ giải tốn mà bồi dưỡng lực tự học Với lý nêu trên, lựa chọn sáng kiến “Xây dựng tài liệu số phức nhằm bồi dưỡng lực tự học cho học sinh” để làm đề tài nghiên cứu nhằm nâng cao chất lượng dạy học nhà trường phổ thơng Đồng thời, góp phần bồi dưỡng lực tự học cho học sinh đổi phương pháp dạy học trường THPT Giả thuyết khoa học Nếu xây dựng hệ thống tập phân dạng cách hợp lý toán số phức nhận xét, đánh giá sau dạng tốn giúp cho người học hiểu rõ sâu sắc nội dung số phức Đồng thời, góp phần phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo học sinh Bên cạnh giúp học sinh bồi dưỡng lực tự học góp phần nâng cao chất lượng dạy học nhà trường Mục đích sáng kiến Xây dựng hệ thống tập số phức phân dạng hợp lý tập để từ giúp học sinh biết cách nhận dạng toán định hướng cách giải tốn Cũng thơng qua dạng tốn học sinh thường xun củng cố kiến thức Đại số, Hình học Giải tích Đồng thời, tài liệu tham khảo cho giáo viên giảng dạy nội dung số phức trường phổ thông tài liệu để học sinh tự học Người thực hiện: Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B Trang 1/55 Xây dựng tài liệu Số phức nhằm bồi dưỡng lực tự học cho học sinh Phạm vi nghiên cứu Sáng kiến tập trung nghiên cứu nội dung số phức theo chương trình Chuẩn chương trình Giải tích 12 trường THPT Bên cạnh có đề cập đến dạng lượng giác số phức cách thích hợp Phương pháp nghiên cứu a) Nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu tài liệu đề cập đến số phức, đặc biệt đề thi tốt nghiệp THPT, đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng đề thi THPT Quốc gia b) Nghiên cứu thực tiễn: Tìm hiểu cách giảng dạy nội dung số phức mà giáo viên thường làm Phân tích làm rõ ưu điểm, nhược điểm cách dạy để từ xây dựng tài liệu cách hợp lý nhằm bồi dưỡng lực tự học cho học sinh c) Thực nghiệm sư phạm: Tiến hành thực nghiệm nhằm đánh giá tính khả thi, tính hiệu tính phổ dụng sáng kiến Đồng thời, nhằm hoàn thiện mặt nội dung lý luận sáng kiến Những điểm ý nghĩa thực tiễn sáng kiến a) Về mặt lý luận: - Phân dạng cách hợp lý toán số phức sách giáo khoa, sách tập đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng - Trong dạng toán có đưa kiến thức cần nắm phương pháp giải dạng tốn đó, ví dụ minh họa tập đề nghị - Đề xuất phương án sử dụng tài liệu nhằm bồi dưỡng lực tự học cho học sinh b) Về mặt thực tiễn: - Các dạng toán mà sáng kiến xây dựng bám sát chuẩn kiến thức, kỹ góp phần nâng cao chất lượng dạy học nội dung số phức - Rèn luyện tính cẩn thận, linh hoạt, tính tích cực, chủ động sáng tạo giải tốn nói riêng hoạt động nói chung Đặc biệt góp phần bồi dưỡng lực tự học cho học sinh - Sáng kiến phân loại giải 50 ví dụ minh họa cho dạng toán số phức Nội dung sáng kiến tài liệu tham khảo bổ ích cho giáo viên học sinh Cấu trúc sáng kiến Sáng kiến gồm 54 trang, phần mở đầu kết luận, phần nội dung sáng kiến gồm chương phần phụ lục: Chương 1: Cơ sở lý luận thực tiễn Chương 2: Xây dựng tài liệu số phức nhằm bồi dưỡng lực tự học cho học sinh Phụ lục: Bài tập chọn lọc số phức Người thực hiện: Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B Trang 2/55 Xây dựng tài liệu Số phức nhằm bồi dưỡng lực tự học cho học sinh Chương CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Cơ sở lý luận Luật Giáo dục năm 2005 có ghi rõ: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo học sinh; phù hợp với đặc điểm lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, khả làm việc theo nhóm; rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh” Nghị Hội nghị Trung ương khóa XI đổi bản, tồn diện giáo dục đào tạo ghi rõ mục tiêu giáo dục phổ thông: “Đối với giáo dục phổ thông, tập trung phát triển trí tuệ, thể chất, hình thành phẩm chất, lực công dân, phát bồi dưỡng khiếu, định hướng nghề nghiệp cho học sinh Nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện, trọng giáo dục lý tưởng, truyền thống, đạo đức, lối sống, ngoại ngữ, tin học, lực kỹ thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn Phát triển khả sáng tạo, tự học, khuyến khích học tập suốt đời .” Theo nhà lý luận q trình học trường phổ thơng, học sinh tiến hành hoạt động tự học điều kiện, hồn cảnh khác nhiều hình thức khác Có thể nêu lên ba hình thức tự học sau đây: Một là, hoạt động tự học diễn nhằm đáp ứng nhu cầu hiểu biết riêng, bổ sung mở rộng tri thức chương trình đào tạo ngồi nhà trường phổ thơng Người học tự đọc tài liệu tìm vấn đề, tự suy nghĩ, tự xoay sở giải vấn đề, tự rút kinh nghiệm khơng cần có điều khiển giáo viên Đó hình thức tự học mức độ cao Hai là, hoạt động tự học học sinh diễn khơng có điều khiển trực tiếp giáo viên Học sinh tự xếp thời gian, điều kiện vật chất để tự ôn tập, tự củng cố, tự đào sâu tri thức tự hình thành kỹ năng, kỹ xảo vấn đề theo yêu cầu giáo viên vấn đề nằm quy định chương trình đào tạo nhà trường Ba là, hoạt động tự học học sinh diễn điều khiển trực tiếp giáo viên Thày tác nhân, hướng dẫn, tổ chức, đạo diễn để trò phát huy phẩm chất lực vốn có tiềm ẩn như: óc quan sát, phân tích, tổng hợp; lực khái quát hóa, tương tự hóa; tự tìm tri thức, hình thành củng cố kỹ năng, kỹ xảo mà thày định hướng cho hoạt động 1.2 Cơ sở thực tiễn 1.2.1 Yêu cầu chuẩn kiến thức, kỹ phần số phức Thời gian dành cho nội dung số phức chương trình lớp 12 Chuẩn 11 tiết tổng số 78 tiết Theo tài liệu Hướng dẫn thực chuẩn kiến thức, kỹ mơn Tốn lớp 12 việc giảng dạy nội dung số phức cần giúp học sinh: a) Về kiến thức: - Biết dạng đại số số phức; - Biết cách biểu diễn hình học số phức; - Biết cách tính mơđun số phức, xác định số phức liên hợp; - Biết khái niệm bậc hai số phức; - Biết cách giải phương trình bậc hai với hệ số thực có nghiệm phức; b) Về kỹ năng: - Thực phép tính cộng, trừ, nhân chia số phức; - Biết cách tính bậc hai số phức; - Biết tìm nghiệm phức phương trình bậc hai với hệ số thực; - Biết tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước Người thực hiện: Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B Trang 3/55 Xây dựng tài liệu Số phức nhằm bồi dưỡng lực tự học cho học sinh 1.2.2 Cấu trúc đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng Qua nghiên cứu đề thi tuyển sinh Cao đẳng, Đại học từ năm 2009 đến năm 2014, đề thi THPT Quốc gia năm 2015, nhận thấy đề thi theo cấu trúc đây: Câu (1,0 điểm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số Câu (1,0 điểm) Các toán liên quan đến ứng dụng đạo hàm đồ thị hàm số: Chiều biến thiên hàm số; cực trị; giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số; tiếp tuyến; tiệm cận (đứng ngang) đồ thị hàm số; tìm đồ thị điểm có tính chất cho trước; tương giao hai đồ thị (một hai đồ thị đường thẳng); Câu (1,0 điểm) a) Số phức b) Phương trình mũ, lơgarit; bất phương trình mũ, lơgarit Câu (1,0 điểm) Giới hạn Nguyên hàm, tích phân Ứng dụng tích phân: tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể khối tròn xoay Câu (1,0 điểm) Phương pháp tọa độ không gian Câu (1,0 điểm) a) Cơng thức lượng giác, phương trình lượng giác b) Tổ hợp, xác suất, thống kê Câu (1,0 điểm) Hình học không gian (tổng hợp): Quan hệ song song, quan hệ vng góc đường thẳng, mặt phẳng; diện tích xung quanh hình nón trịn xoay, hình trụ trịn xoay; thể tích khối lăng trụ, khối chóp, khối nón trịn xoay, khối trụ trịn xoay; diện tích mặt cầu thể tích khối cầu Câu (1,0 điểm) Phương pháp tọa độ mặt phẳng Câu (1,0 điểm) Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình Câu 10 (1,0 điểm) Bài tốn tổng hợp (Ghi chú: thơng thường là: bất đẳng thức; giá trị lớn giá trị nhỏ nhất; toán liên quan đến tham số; tổ hợp; khai triển nhị thức; ) 1.2.3 Kiến thức số phức Trong phần chúng tơi tóm tắt lại số kiến thức số phức Những kiến thức trình bày sách giáo khoa Bên cạnh đó, số tính chất số phức khơng đề cập sách giáo khoa có giảng số phức lớp a) Dạng đại số số phức phép toán số phức - Mỗi số có dạng z = a + bi gọi số phức, a, b Ỵ ¡ i =- Số thực a gọi phần thực ( Re z ; Re viết tắt Real: thực, số thực, phần thực), b gọi phần ảo ( Im z ; Im viết tắt Imaginary: ảo, số ảo, phần ảo) số phức z Tập hợp số phức, kí hiệu £ (C chữ đầu Complex: số phức) - Số phức z = a + bi, ( a, b Ỵ ¡ ) số ảo a = ; Số phức z = a + bi, ( a, b Ỵ ¡ ) số thực b = - Các phép toán số phức: Giả sử z1 = a + bi; z2 = c + di , a, b, c, d Ỵ ¡ Khi đó: (a) z1 + z2 = ( a + c ) +( b + d ) i ; z1 - z2 = ( a - c ) +( b - d ) i (b) z1 z2 = ( a + bi ) ( c + di ) = ( ac - bd ) +( ad + bc ) i (c) z1 a + bi ac + bd ad - bc = = i , với z2 ¹ z2 c + di c + d c + d Người thực hiện: Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B Trang 4/55 Xây dựng tài liệu Số phức nhằm bồi dưỡng lực tự học cho học sinh b) Số phức liên hợp - Cho số phức z = a + bi, ( a, b Ỵ ¡ ) Khi số phức liên hợp z z = a - bi - Các tính chất số phức liên hợp số phức: (a) z = z , " z Ỵ £ ; (b) z1 ± z2 = z1 ± z2 , " z1 , z2 Ỵ £ (c) z1.z2 = z1.z2 , " z1 , z2 Ỵ £ ; ỉz1 z ÷ = , " z1 , z2 Ỵ £ , z2 (d) ỗ ỗ ữ ữ ữ ỗ ốz2 ứ z2 (e) z l s thc z = z ; z số ảo z =- z  Chú ý: Tính chất e) đơi sử dụng để chứng minh số phức số thực số phức số ảo c) Môđun số phức - Cho số phức z = a + bi, ( a, b Ỵ ¡ ) Khi mơđun số phức z z = a + b - Các tính chất môđun số phức: 2 (a) z = z = z.z , " z Ỵ £ ; (c) z z1 = , " z1 , z2 Ỵ £ z2 ¹ ; z2 z2 (b) z1 z2 = z1 z2 , " z1 , z2 Î £ ; (d) z1 - z2 £ z1 + z2 £ z1 + z2 , " z1 , z2 Î £ d) Hai số phức ïì a = c Cho hai số phức z1 = a + bi; z2 = c + di , a, b, c, d Ỵ ¡ Khi z1 = z2 Û ïí ïïỵ b = d  Chú ý: Điều kiện để hai số phức thường vận dụng tập tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước nên cần nắm vững điều kiện e) Biểu diễn hình học số phức r Mỗi số phức z = x + yi, ( x, y Ỵ ¡ ) biểu diễn điểm M = ( x; y ) vectơ u = ( x; y ) mặt phẳng tọa độ Oxy Nếu số phức z1 , z2 biểu diễn điểm A, B mặt phẳng tọa độ Oxy số phức uur uuu r uur uuu r uur z1 + z2 biểu diễn OA + OB ; số phức z1 - z2 biểu diễn OA - OB = BA Người thực hiện: Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B Trang 5/55 Xây dựng tài liệu Số phức nhằm bồi dưỡng lực tự học cho học sinh Chương XÂY DỰNG TÀI LIỆU VỀ SỐ PHỨC NHẰM BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC CHO HỌC SINH A XÂY DỰNG TÀI LIỆU VỀ SỐ PHỨC Trong khuôn khổ sáng kiến này, tập trung đề cập đến dạng đại số số phức bên cạnh có đề cập đến dạng lượng giác số phức Liên quan đến dạng đại số số phức, đề cập đến số dạng tốn như: Biến đổi số phức; Biểu diễn hình học số phức; Tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước; Số phức với môđun lớn nhất, môđun nhỏ nhất; Bất đẳng thức liên quan đến môđun số phức Số phức ứng dụng Việc phân dạng loại toán số phức vào chuẩn kiến thức, kỹ qua tìm hiểu, nghiên cứu đề thi Tốt nghiệp THPT, đề thi Đại học, Cao đẳng đề thi THPT Quốc gia từ năm 2009 đến năm 2015 Trong dạng toán số phức, chúng tơi trình bày vấn đề: Kiến thức chuẩn bị; Các ví dụ minh họa Bài tập đề nghị Riêng dạng toán Số phức ứng dụng chúng tơi minh họa vài ví dụ cụ thể Dưới đây, nội dung chi tiết cho dạng tốn 2.1 DẠNG BIẾN ĐỔI SỐ PHỨC Trong phần đề cập đến hai loại biến đổi liên quan đến số phức - Biến đổi liên quan đến số phức cụ thể: ta sử dụng phép toán số phức (phép cộng, phép trừ, phép nhân, phép chia, phép lũy thừa, ) kết hợp với công thức xác định số phức liên hợp môđun số phức để thực phép biến đổi - Biến đổi liên quan đến số phức nói chung: ta sử dụng dạng đại số để thực phép biến đổi Tuy nhiên, dạng thường sử dụng tính chất số phức (chẳng hạn tính chất số phức liên hợp, tính chất mơđun) để biến đổi mà khơng cần viết dạng đại số số phức 2.1.1 Kiến thức chuẩn bị Để giải dạng toán cần nắm phép toán số phức (cộng, trừ, nhân, chia số phức) tính chất số phức (về môđun, số phức liên hợp) trình bày Bên cạnh đó, làm việc với số phức ta cần tách rõ phần thực phần ảo số phức để thuận lợi cho việc xác định số phức liên hợp, tính mơđun số phức tìm điều kiện cho hai số phức 2.1.2 Một số ví dụ minh họa  Ví dụ Tìm phần thực phần ảo số phức z , biết: a) z = æ ử24 1- i ữ ỗ ữ b) z =ỗ ữ ỗ ỗ ố 1+i ữ ứ ( + 3i ) ( - 4i ) 1+i a) Ta có z = ( + 3i ) ( - 4i ) 1+i = 28 - 26i = 1+i Lời giải ( 28 - 26i ) ( 1- i ) ( + i ) ( 1- i ) = - 54i = 1- 27i Û z = + 27i Vậy số phức z có phần thực phần ảo 27 12 24 12 = ( 2i ) = 212.( i ) = 212 b) Ta có +) ( + i ) = é (ë1 + i ) ù ê ú û ( ) ( ) ( +) 1- i =- + i nên 1- i ) 24 8 2ù 8 é = ê1- i ú 1- i = ( - 2) é + i 1- i ù ê ú ë û ê ú ë û ( ) ( Người thực hiện: Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B ) ( )( ) Trang 6/55 Xây dựng tài liệu Số phức nhằm bồi dưỡng lực tự học cho học sinh ( Û 1- i ) 24 ( ) 24 æ ö24 1- i i 24 8 24 ÷ ÷ = = Do vy z = ỗ = = = 212 = 4096 ỗ ữ 24 12 ỗ ỗ ố 1+i ÷ ø ( 1+ i) Vậy số phức z có phần thực 4096 phần ảo  Nhận xét: - Đối với ý a) cần thực phép nhân chia hai số phức giải ( ) tốn Tuy nhiên, ý b) số mũ cao nên cần tính ( + i ) 1- i ; để định hướng cho việc biến đổi - Nếu sử dụng dạng lượng giác số phức có giải ý b) cách gọn gàng Các bạn kiểm chứng điều xem - Tổng quát cú kt qu: Vi k ẻ Ơ thỡ ( + i ) 4k ( k = 22 k.( - 1) ; + i ) 3k 3k = ( - 2)  Ví dụ (Trích đề thi TS ĐH KA năm 2010) Cho số phức z 1thỏa mãn z = ( 3i ) 1- i Tìm mơđun số phức z +( - i ) z Lời giải - 8( 1+ i) - 8( + i) - = = =- - 4i Û z =- + 4i Ta có 1- i =- nên z = 1- i ( - i ) ( + i ) ( ) Do z +( - i ) z =- - 4i +( - i ) ( - + 4i ) =- - 4i - +12i =- +8i Þ z +( - i ) z = ( - 8) +82 =  Ví dụ Gọi z1 , z2 hai nghiệm phương trình z + z +10 = 2 Tính giá trị biểu thức A = z1 - z2 + z1 - z2 Lời giải 2 Ta có z + z +10 = Û ( z +1) =- = ( 3i ) Û z =- 1- 3i; z =- + 3i Giả sử z1 =- + 3i; z2 =- 1- 3i Khi đó: 2 +) z1 - 3z2 = ( - + 3i ) - 3( - 1- 3i ) = +15i = 12 +152 = 226 +) Tương tự, ta có 3z1 - z2 = 226 Vậy A = 226 + 226 = 452 ( - 1+ i 3)  Ví dụ Tính giá trị biểu thức A = ( 1- i ) 15 20 ( - 1+ i ( 1+ i) ) 15 20 Lời giải 10 20 10 = ( - 2i ) = 210.( i ) = 210.( - 1) =- 210 Ta có: +) ( 1- i ) = é (ë1- i ) ù ê ú û 10 20 2ù 10 10 + i = i = i +) ( + i ) = é (ë ) ( ) ( ) = 210.( - 1) =- 210 ê ú û ( ) ( ) ( +) - + i =- + i nên - + i ( )( ) ) 15 2ù é = ê- + i ú - + i ê ú ë û ( ) ( ( ) 5 = ( - 2) é +i - +i ù =- 25.( - 4) = 215 Tương tự, ta có - 1- i ê ú ë û Người thực hiện: Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B ) 15 = 215 Trang 7/55 Xây dựng tài liệu Số phức nhằm bồi dưỡng lực tự học cho học sinh 215 215 + =- ( 25 + 25 ) =- 64 10 10 - -  Nhận xét: Trong ví dụ thực thao tác rút gọn thành phần tổng trước tính tổng Việc khai triển biểu thức với số mũ lớn gặp khơng khó khăn Vì vậy, gặp biểu thức với số mũ lớn đòi hỏi phải linh hoạt khéo léo khâu biến đổi Một cách làm đơn giản ta tính với số mũ 2, số mũ 3, … để dự đoán quy luật từ đưa cách tính hợp lý  Ví dụ Tìm số thực x, y thỏa mãn điều kiện sau: Do A = a) ( x +1) ( - i ) - y ( - + 2i ) ( - 3i ) = - 94i b) x ( 1- 3i ) +( x + y ) ( + 2i ) = 25 - 4i Lời giải a) Ta có 3 ( - i) = - 11i;( - + 2i ) ( - 3i ) = 13i nên ( x +1)( - i) - y ( - + 2i )( - 3i ) = - 94i Û ( x +1) ( - 11i ) - 13 yi = - 94i Û ( x + 2) - ( 22 x +11 +13 y ) i = - 94i ìï x + = Û ïí Û ïïỵ 22 x +11 +13 y = 94 ìï x = ïï Vậy cặp số ( x; y ) cần tìm í ïï y = 61 ïỵ 13 ổ 61ử ỗ 1; ữ ữ ỗ ữ ỗ ố 13 ứ b) Ta cú ( 1- 3i ) =- - 6i ( + 2i ) =- 11- 2i nên x ( 1- 3i) +( x + y )( + 2i ) = 25 - 4i Û x ( - - 6i ) +( x + y ) ( - 11- 2i ) = 25 - 4i Û ( - 19 x - 22 y ) - ( x + y ) i = 25 - 4i ìï - 19 x - 22 y = 25 ổ47 69 ữ 47 69 ùớ ị x = ; y =;÷ Vậy cặp số ( x; y ) cn tỡm l ỗ ỗ ữ ỗ ïïỵ x + y = è25 25 ø 25 25  Nhận xét: Khi gặp dạng toán cần thực phép biến đổi số phức phép cộng, phép trừ, phép nhân phép chia hai số phức để tách rõ phần thực phần ảo hai vế đẳng thức cho Sau sử dụng điều kiện để hai số phức nhau, dẫn đến hệ phương trình hai ẩn số x, y Việc giải hệ phương trình hai ẩn địi hỏi phải có kỹ giải hệ rút, thế; đặt ẩn phụ; sử dụng tính đơn điệu hàm số; … (  Ví dụ Tìm phần thực, phần ảo số phức z = + i ) 5n , biết n số nguyên dương thỏa mãn điều kiện log ( 3n - 5) + log ( 2n +13) = Lời giải ổ ; +Ơ ữ ữ Xột hm s f ( t ) = log ( 3t - 5) + log ( 2t +13) trờn khong ỗ ỗ ữ ỗ ố3 ứ + > , với t > nên hàm số f ( t ) đồng biến khoảng Do f '( t ) = ( 3t - 5) ln ( 2t +13) ln 3 ổ ỗ ; +Ơ ỗ ỗ ố3 ữ ữ ữ Do vy phương trình f ( t ) = có nhiều nghiệm khoảng ø Mặt khác f ( 7) = nên phương trình f ( t ) = có nghiệm t = Vậy log ( 3n - 5) + log ( 2n +13) = Û n = ( Ta có + i ) ( ) ( =- 1- i nên z = + i ) 35 12 2ù é = ê1 + i ú + i ê ú ë û ( Người thực hiện: Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B ) ( ) 11 Trang 8/55 Xây dựng tài liệu Số phức nhằm bồi dưỡng lực tự học cho học sinh Û z = ( - 2) ( 12 ( 1- i ) ( 1+i 3) 12 11 ( )( )( ) 11 = 212 1- i é 1- i + i ù ê ú ë û ) Û z = 212 1- i 411 = 234 - 234 i Vậy số phức z có phần thực 234 phần ảo - 234  Nhận xét: - Điểm mấu chốt lời giải việc tìm số nguyên dương n khéo léo biến ( đổi để tính giá trị biểu thức + i ) 35 - Việc tìm số nguyên dương n dựa vào việc biến đổi logarit túy mà phải dựa vào tính đơn điệu hàm số Dấu hiệu nhận biết để sử dụng tính đơn điệu nằm chỗ: thứ hai số không giống không biểu diễn trực tiếp qua nhau; thứ hai biểu thức lấy logarit lại khơng giống nên việc giải phương trình logarit cách biến đổi tương đương hay đặt ẩn phụ khơng thành cơng  Ví dụ Chứng minh với số phức z1 , z2 , ta có đẳng thức: ( 2 a) z1 + z2 + z1 - z2 = z1 + z2 ) ( b) 1- z1.z2 - z1 - z2 = 1- z1 )( 1- z2 ) Lời giải a) Cách 1: (Sử dụng dạng đại số số phức) Giả sử z1 = a + bi; z2 = c + di , a, b, c, d Ỵ ¡ Khi đó: 2 +) z1 + z2 + z1 - z2 = ( a + c ) +( b + d ) i + ( a - c ) +( b - d ) i ( ) 2 2 2 =é +é a - c ) +( b - d ) ù = ( a + b + c + d ) = z1 + z (ëa + c ) +( b + d ) ù ( ê ú ê ú û ë û Cách 2: (Sử dụng tính chất số phức) Sử dụng tính chất z = z.z z1 + z2 = z1 + z2 , ta có: z1 + z2 + z1 - z2 = ( z1 + z2 ) ( z1 + z2 ) +( z1 - z2 ) ( z1 - z2 ) 2 ( = ( z1 + z2 ) ( z1 + z2 ) +( z1 - z2 ) ( z1 - z2 ) = ( z1 z1 + z2 z2 ) = z1 + z2 2 ) b) Chứng minh tương tự a)  Nhận xét: Trong ví dụ chúng tơi trình bày lời giải theo cách để bạn đọc thấy ưu điểm cách Từ đó, có lựa chọn linh hoạt sáng tạo giải tốn số phức nói riêng tốn tốn học nói chung Cách có hầu hết tài liệu tham khảo Số phức Cách tác giả đề xuất  Ví dụ (Complex numbers from A to Z, Titu Adresscu) Cho hai số phức z1 , z2 Chứng minh z = z1.z2 + z1.z2 số thực Lời giải Cách 1: (Sử dụng dạng đại số số phức) Giả sử z1 = a + bi, z2 = c + di , a, b, c, d Ỵ ¡ Khi z1 = a - bi, z2 = c - di Vì z = ( a + bi ) ( c - di ) +( a - bi ) ( c + di ) = ( ac + bd ) hay z số thực Cách 2: (Sử dụng tính chất số phức: Tác giả sáng kiến đề xuất) Ta có z = z1 z2 + z1 z2 = z1 z2 + z1 z2 = z (do z1 = z1 ; z2 = z2 ) Vì z số thực  Ví dụ (Complex numbers from A to Z, Titu Adresscu) Người thực hiện: Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B Trang 9/55 Xây dựng tài liệu Số phức nhằm bồi dưỡng lực tự học cho học sinh Cho số phức z1 , z2 thỏa mãn điều kiện z1 = z2 = z1 z2 +1 ¹ Chứng minh z= z1 + z2 số thực + z1 z2 Lời giải Cách 1: (Sử dụng dạng đại số số phức) Giả sử z1 = a + bi; z2 = c + di, ( a, b, c, d Ỵ ¡ ) Theo giả thiết, ta có a + b = c + d = Ta có z = é( a + c ) +( b + d ) i ùé ac - bd +1- ( ad + bc ) i ù ( a + c ) +( b + d ) i z1 + z2 ûë û = =ë 2 + z1 z2 ac - bd +1 +( ad + bc ) i ( ac - bd +1) +( ad + bc) Phần ảo số phức z - ( a + c) ( ad + bc ) +( b + d ) ( ac - bd +1) ( ac - bd +1) +( ad + bc) Ta có - ( a + c) ( ad + bc ) +( b + d ) ( ac - bd +1) =- ( a d + abc + acd + bc ) +( abc - b d + b + acd - bd + d ) =- d ( a + b ) - b ( c + d ) + b + d = (do a + b = c + d = ) Vậy số phức z có phần ảo nên z số thực Cách 2: (Sử dụng tính chất số phức: Tác giả sáng kiến đề xuất) 1 Do = z1 = z1 z1 nên z1 = Tương tự z2 = z1 z2 1 + z + z2 z + z2 z + z2 z z2 z + z2 = = = = = z Vậy z số thực Ta có z = 1 + z1 z2 + z1 z2 + z1 z2 + 1 + z1 z2 z1 z2  Nhận xét: - Trong lời giải ví dụ sử dụng đến kết quả: z số thực z = z - Qua ví dụ 9, thấy việc sử dụng dạng đại số số phức dẫn đến lời giải có phần phức tạp so với lời giải sử dụng tính chất số phức Qua ví dụ thấy ưu điểm bật việc vận dụng tính chất số phức Tuy nhiên, cách giải có ưu điểm nhược điểm Điều quan trọng biết lựa chọn cách giải hợp lý cho tốn, khơng rập khn máy móc  Ví dụ 10 (Trích đề thi thử đại học năm 2011, THPT chuyên Nguyễn Huệ, Hà Nội) Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn điều kiện z1 = z2 = z1 + z2 = Tính z1 - z2 Lời giải Cách 1: (Sử dụng dạng đại số số phức) Giả sử z1 = a + bi; z2 = c + di , với a, b, c, d Ỵ ¡ Khi đó, ta có : 2 2 +) z1 = z2 = Û a + b = c + d = ( 1) +) z1 + z2 = Û 2 ( a + c ) +( b + d ) i = Û ( a + c ) +( b + d ) = Û ( a + b ) +( c + d ) + ( ac + bd ) = ( 2) Từ ( 1) ( 2) , ta có ( ac + bd ) = ( 3) 2 Ta lại có z1 - z2 = ( a - c) +( b - d ) i = ( a - c ) +( b - d ) Người thực hiện: Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B Trang 10/55 Xây dựng tài liệu Số phức nhằm bồi dưỡng lực tự học cho học sinh Đặt z = x + yi, ( x, y Ỵ ¡ ) Giả sử z1 + z2 = a + bi z1 z2 = c + di với a, b, c, d Î ¡ phương trình viết theo dạng hệ phương trình đại số là*: ìï cx + dy ïï x + =a ìï ( x + y - a - b) ( x + y ) =- ( c + d ) x +( c - d ) y ïï x + y2 ï ïí í ïï ïï ( x - y - a + b) ( x + y ) =- ( c - d ) x - ( c + d ) y dx - cy =b ïỵ ïï y + x + y2 ïỵ Từ ta lập hệ phương trình dạng Dưới đây, vài ví dụ: ìï 4x - y ïï x + =1 ïï x + y2 a) Nếu lấy z1 = + 3i; z2 =- 1- 2i , ta có hệ phương trình í ïï 7x +4 y =1 ïï y - x + y2 ïỵ 16 x - 11 y ïìï ïï x + x + y = b) Nếu lấy z1 = - 3i; z2 = + 2i , ta có hệ phương trình ïí ïï 11x +16 y =- ïï y x2 + y ïỵ 14 x - y ïìï ïï x + x + y = c) Nếu lấy z1 = 1- 3i; z2 = + 4i , ta có hệ phương trình ïí ïï x +14 y =1 ïï y - x + y2 ïỵ ìï ïï x + x + y 10 = ïï x2 + y d) Nếu lấy z1 = + i 5; z2 = 2 - i , ta có hệ phương trình í ïï x 10 - y ïï y + =0 ïïỵ x + y2 ìï 11x + 41y ïï x + =3 ïï x + y2 e) Nếu lấy z1 = - 3i; z2 =- + 7i , ta có hệ phương trình í ïï 41x - 11y =4 ïï y + x + y2 ïỵ ìï ( x + y - 35) ( x + y ) + 78 ( x + y ) = ï f) Nếu lấy z1 = + 3i; z2 = 18 +12i , ta có hệ phương trình ïí ïï ( x - y - 5) ( x + y ) - 78( x - y ) = ïỵ  Chú ý: Ngồi dạng hệ phương trình sử dụng số phức để giải cần ý đến số khai triển sau để sử dụng số phức vào giải số hệ phương trình có dạng đặc biệt khác Giả sử x, y số thực Khi ta có dấu hiệu nhận biết sau hệ phương trình giải dựa vào số phức: Dạng khai triển Ví dụ minh họa ìï x - xy = 3 2 ( x + yi ) = ( x - 3xy ) +( 3x y - y ) i Giải hệ phương trình: ïíï ỵï x y - y = * Phần tác giả trình bày cụ thể so số tài liệu tham khảo số phức nhằm giúp thầy, cô em học sinh tự sáng tác hệ phương trình theo khuynh hướng Người thực hiện: Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B Trang 41/55 Xây dựng tài liệu Số phức nhằm bồi dưỡng lực tự học cho học sinh ( x + yi ) = ( x - x y + y ) ìï x - x y + y = ï Giải hệ phương trình: í ïï x y - xy =- ỵ ìï x ( x - 10 x y + y ) = ï Giải hệ phương trình: ïí ïï y ( y - 10 x y + x ) =- ïỵ + xy ( x - y ) i ( x + yi ) = ( x - 10 x3 y + 5xy ) +( x y - 10 x y + y ) i 2.7.2 Sử dụng số phức để chứng minh đẳng thức tổ hợp* Trong phần này, giới thiệu sơ lược việc sử dụng số phức để chứng minh đẳng thức Tổ hợp Việc nghiên cứu cách sâu sắc ứng dụng phải cần đến dạng lượng giác số phức Mà dạng lượng giác số phức chương trình ban khơng đề cập nên dừng lại ví dụ minh họa  Ví dụ 50 (Năm 2012) a) Tính ( + i ) 2012 b) Rút gọn tổng sau: 2010 2012 A = C2012 - C2012 + C2012 - - C2012 + C2012 ; 2009 2011 B = C2012 - C2012 + C2012 - + C2012 - C2012 2008 2012 C = C2012 + C2012 + C2012 + + C2012 + C2012 ; 2005 2009 D = C2012 + C2012 + C2012 + + C2012 + C2012 Lời giải a) Ta có ( + i ) 2012 1006 =é ( + i) ù ê ú ë û = ( 2i ) 1006 = 21006.( i ) b) Sử dụng khai triển nhị thức New-tơn cho ( + i ) ( 1+ i) 2012 503 2012 = 21006.( - 1) 503 =- 21006 , ta được: 2011 2011 2012 2012 = C2012 + C2012 i + C2012 i + + C2012 i + C2012 i 2010 2012 2009 2011 = ( C2012 - C2012 + C2012 - - C2012 + C2012 - C2012 + C2012 - + C2012 - C2012 ) +( C2012 )i So sánh phần thực phần ảo, ta được: 2009 2011 2010 2012 A = C2012 - C2012 + C2012 - - C2012 + C2012 =- 21006 ; B = C2012 - C2012 + C2012 - + C2012 - C2012 =0 Sử dụng khai triển nhị thức New-tơn cho ( + x ) ( + x) 2012 2012 , ta được: 2011 2011 2012 2012 = C2012 + C2012 x + C2012 x + + C2012 x + C2012 x 2011 2012 2012 Cho x = , ta C2012 + C2012 + C2012 + + C2012 + C2012 = ; 2011 2012 Cho x =- , ta C2012 - C2012 + C2012 - - C2012 + C2012 = Cộng, trừ vế theo vế hai đẳng thức vừa tính, ta được: 2010 2012 2009 2011 C2012 + C2012 + + C2012 + C2012 = 22011 ; C2012 + C2012 + + C2012 + C2012 = 22011 Kết hợp hai đẳng thức vừa tính với tổng A, B , ta được: 2008 2012 C = C2012 + C2012 + C2012 + + C2012 + C2012 = 22010 - 21005 ; 2005 2009 D = C2012 + C2012 + C2012 + + C2012 + C2012 = 22010 2.7.3 Bài tập đề nghị 1) (Trích đề thi HSG lớp 12, Hà Nội năm 2006) * Việc sử dụng số phức để chứng đẳng thức tổ hợp thầy, tham khảo Tài liệu Hội thảo chun đề mơn Tốn cấp THPT tháng năm 2016 trường THPT Hoa Lư A, Ninh Bình Người thực hiện: Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B Trang 42/55 Xây dựng tài liệu Số phức nhằm bồi dưỡng lực tự học cho học sinh ìï x +2y ïï x + =2 ïï x + y2 , ( x, y Ỵ ¡ ) Giải hệ phương trình í ïï 2x - y =0 ïï y + x + y2 ỵï 2) (Trích đề thi HSG lớp 12, Vĩnh Phúc năm 2010) 3x - y ïìï ïï x + x + y = , ( x, y Ỵ ¡ ) Giải hệ phương trình ïí ïï x +3y =0 ïï y - x + y2 ïỵ 3) (Trích đề thi thử ĐH năm 2013, THPT chuyên KHTN, ĐHKHTN) ìï 2x ïï x - =2 ïï x + y2 ( x, y Ỵ ¡ ) Giải hệ phương trình í ïï 2y =4 ïï y + x + y2 ïỵ 4) (Trích đề thi HSG lớp 11, THPT chuyên KHTN, ĐHKHTN) ìï ( x + y ) ( x + y - 3) = y - x ï ( x, y Ỵ ¡ ) Giải hệ phương trình ïí ïï ( x + y ) ( x - y - 5) =- x - y ỵï ( 5) Tính + i ) 2018 , kết hợp với việc khai triển nhị thức New-tơn vận dụng tính tổng sau: 2014 2016 2018 A = C2018 - 3C2018 + 32 C2018 - - 31007 C2018 + 31008 C2018 - 31009 C2018 2013 2015 2017 B = C2018 - 3C2018 + 32 C2018 - + 31006 C2018 - 31007 C2018 + 31008 C2018  Chú ý: Ngoài hai ứng dụng nêu trên, số phức ứng dụng để giải tốn hình học Bạn đọc tìm hiểu thêm tài liệu: Số phức với hình học phẳng GS Đồn Quỳnh Số phức ứng dụng giải toán hình học phẳng PGS TS Nguyễn Hữu Điển B ĐỀ XUẤT PHƯƠNG ÁN SỬ DỤNG TÀI LIỆU NHẰM BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC CHO HỌC SINH Đối với giáo viên - Dùng tài liệu làm tài liệu tham khảo tài liệu giảng dạy tiết ôn tập, dạy học theo chuyên đề - Hướng dẫn học sinh nghiên cứu tài liệu xác định rõ mục tiêu dạng toán Giáo viên hướng dẫn học sinh việc lựa chọn dạng toán để đọc làm - Căn vào trình độ nhận thức học sinh mà giáo viên lựa chọn ba hình thức sau để bồi dưỡng lực tự học cho học sinh Một là, cung cấp tài liệu cho học sinh nêu yêu cầu kiến thức, kỹ nội dung số phức Hai là, hướng dẫn học sinh nghiên cứu dạng tốn sau u cầu học sinh đọc làm tập tài liệu Ba là, giáo viên sử dụng ví dụ minh họa làm tập chữa lớp, phân tích làm rõ hướng giải cho tập yêu cầu học sinh nhà làm lại ví dụ minh họa làm tập phần đề nghị Trong ba hình thức giáo viên phải có hoạt động kiểm tra việc làm tập nhà giáo viên cách thường xuyên nhằm nắm bắt khó khăn mà học sinh gặp phải trình nghiên cứu nội dung Người thực hiện: Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B Trang 43/55 Xây dựng tài liệu Số phức nhằm bồi dưỡng lực tự học cho học sinh - Nhiệt tình giải đáp học sinh có thắc mắc gặp khó khăn tiếp cận vấn đề tài liệu Tìm hiểu vướng mắc mà em gặp phải sử dụng hiệu việc đặt câu hỏi để học sinh tự tìm hướng giải Đặc biệt tránh trường hợp nêu câu hỏi theo kiểu "dắt tay việc" Đối với học sinh - Với ví dụ minh họa học sinh tự giải với kiến thức học kiến thức tóm tắt phần Kiến thức cần nắm Sau đối chiếu lời giải với lời giải trình bày tài liệu Từ rút kinh nghiệm giải tốn (phần chưa giải được? chưa giải lý gì? Do chưa khai thác hết giả thiết hay khai thác giả thiết góc nhìn? Đã phân tích làm rõ liên hệ giả thiết toán kết luận toán chưa? ) - Phần tập đề nghị học sinh tự nghiên cứu, tìm lời giải Sau sử dụng trợ giúp bạn thầy, cô tra cứu tài liệu tham khảo khác - Khi hoàn thiện lời giải tập, em cần tìm thêm cách giải khác cho tập khai thác, nhìn nhận tốn góc độ khác để đề xuất tập tương tự, tập tổng quát kết khác - Các em học sinh vào lực học để lựa chọn dạng toán để giải Cụ thể là, ba dạng toán đầu (dạng 1, dạng dạng 3) dành cho đối tượng học sinh Đây dạng toán bản, điển hình kỳ thi Các dạng lại (dạng 4, dạng 5, dạng dạng 7) dành cho học sinh khá, giỏi dành cho học sinh có hứng thú với việc tìm hiểu ứng dụng số phức giải toán phổ thông - Khi nghiên cứu dạng tập em cần rút hướng giải chung cho dạng tập Bài tập nỗ lực thân mà chưa giải xem lời giải nhờ trợ giúp giáo viên Sau em cần nắm vững cách thức khai thác giả thiết cách tiếp cận tốn mà chưa nghĩ trước để khắc sâu kỹ kỹ thuật BÀI TẬP CHỌN LỌC VỀ SỐ PHỨC A BÀI TẬP VỀ SỐ PHỨC TRONG ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT Giải phương trình sau tập số phức: a) x - x + = b) x - x + = c) x - x + 25 = (TN THPT 2008) (TN THPT 2006) (TN THPT 2007) d) x - x + = e) z - z +1 = (TN THPT 2008) (TN THPT 2009) (TN THPT 2007) f) z - iz +1 = (TN THPT 2009) ( ) ( ) Tính giá trị biểu thức P = + i + 1- i (TN THPT 2010) a) Cho hai số phức z1 = + 2i z2 = - 3i Xác định phần thực phần ảo số phức z1 - z2 b) Cho hai số phức z1 = + 5i z2 = - 4i Xác định phần thực phần ảo số phức z1.z2 (TN THPT 2011) a) Giải phương trình ( 1- i ) z +( - i ) = - 5i tập số phức Người thực hiện: Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B Trang 44/55 Xây dựng tài liệu Số phức nhằm bồi dưỡng lực tự học cho học sinh b) Giải phương trình ( z - i ) + = tập số phức (TN THPT 2012) 25i , biết z = - 4i z + 9i - 5i b) Tìm bậc hai số phức z = 1- i a) Tìm số phức 2z + z B BÀI TẬP VỀ SỐ PHỨC TRONG ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO ĐẲNG, ĐẠI HỌC (Trích đề thi TS Cao đẳng năm 2009) a) Cho số phức z thỏa mãn ( + i ) ( - i ) z = + i +( + 2i ) z Tìm phần thực phần ảo z b) Giải phương trình sau tập hợp số phức: z - - 7i = z - 2i z- i (Trích đề thi TS Cao đẳng năm 2010) a) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện ( - 3i ) z +( + i ) z =- ( + 3i ) Tìm phần thực phần ảo z b) Giải phương trình z - ( + i ) z + + 3i = tập hợp số phức (Trích đề thi TS Cao đẳng năm 2011) a) Cho số phức z thỏa mãn ( + 2i ) z + z = 4i - 20 Tính mơđun z z (Trích đề thi TS ĐH KD năm 2009) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp điểm biểu diễn b) Cho số phức z thỏa mãn z - ( + i ) z + 2i = Tìm phần thực phần ảo số phức z thỏa mãn điều kiện z - ( - 4i ) = (Trích đề thi TS ĐH KD năm 2010) Tìm số phức z thỏa mãn: z = z số ảo (Trích đề thi TS ĐH KD năm 2011) Tìm số phức z , biết z - ( + 3i ) z = 1- 9i (Trích đề thi TS ĐH KB năm 2009) Tìm số phức z thỏa mãn z - ( + i ) = 10 z.z = 25 (Trích đề thi TS ĐH KB năm 2010) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z - i = ( + i ) z (Trích đề thi TS ĐH KB năm 2011) +i a) Tìm số phức z , biết z - 1= z ỉ 1+i ÷ ç ÷ b) Tìm phần thực phần ảo s phc z =ỗ ữ ỗ ữ ỗ 1+ i ø è 10 (Trích đề thi TS ĐH KA năm 2009) Gọi z1 z2 hai nghiệm phức phương trình 2 ) ( 1- 2i z + z +10 = Tính giá trị biểu thức A = z1 + z2 11 (Trích đề thi TS ĐH KA năm 2010) a) Tìm phần ảo số phức z , biết z = ( +i ) Người thực hiện: Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B Trang 45/55 Xây dựng tài liệu Số phức nhằm bồi dưỡng lực tự học cho học sinh b) Cho số phức z 1thỏa mãn z = ( 3i ) 1- i 12 (Trích đề thi TS ĐH KA năm 2011) Tìm mơđun số phức z + i z a) Tìm tất số phức z , biết z = z + z b) Tính mơđun số phức z , biết ( z - 1) ( + i ) +( z +1) ( 1- i ) = - 2i 13 (Trích đề thi TS CĐ năm 2012) a) Cho số phức z thỏa mãn ( 1- 2i ) z - 2- i = ( - i ) z Tìm tọa độ điểm biểu diễn z mặt 1+i phẳng tọa độ Oxy b) Gọi z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z - z +1 + 2i = Tính z1 + z2 14 (Trích đề thi TS ĐH KD năm 2012) a) Cho số phức z thỏa mãn ( + i ) z + ( + 2i ) = + 8i 1+i Tìm mơđun số phức w = z +1 + i b) Giải phương trình z + 3( + i ) z + 5i = tập hợp số phức 15 (Trích đề thi TS ĐH KB năm 2012) Gọi z1 z2 hai nghiệm phức phương trình z - 3iz - = Viết dạng lượng giác z1 z2 16 (Trích đề thi TS ĐH KA năm 2012) Cho số phức z thỏa mãn 5( z + i) z +1 = - i Tính mơđun số phức w = + z + z 17 (Trích đề thi TS ĐH KD năm 2013) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện ( + i ) ( z - i ) + z = 2i z - z +1 z2 18 (Trích đề thi TS ĐH KA năm 2013) Cho số phức z = + 3i Viết dạng lượng giác z Tìm Tính mơđun số phức w = phần thực phần ảo số phức w = ( + i ) z 19 (Trích đề thi TS Cao đẳng năm 2014) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z - iz = + 5i Tìm phần thực phần ảo z 20 (Trích đề thi TS ĐH KD năm 2014) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện ( 3z - z ) ( + i ) - z = 8i - Tính mơđun z 21 (Trích đề thi TS ĐH KB năm 2014) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z + 3( 1- i ) z = 1- 9i Tính mơđun z 22 (Trích đề thi TS ĐH KA năm 2014) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z +( + i ) z = + 5i Tìm phần thực phần ảo z 23 (Trích đề thi minh họa Kỳ thi THPT Quốc gia năm 2015) Cho số phức z thỏa mãn hệ thức: ( + i ) z +( - i ) z = - 6i Tính mơđun z 24 (Trích đề thi THPT Quốc gia năm 2015) Cho số phức z thỏa mãn ( 1- i ) z - + 5i = Tìm phần thực phần ảo z Người thực hiện: Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B Trang 46/55 Xây dựng tài liệu Số phức nhằm bồi dưỡng lực tự học cho học sinh 25 (Trích đề thi dự bị THPT Quốc gia năm 2015) Cho số phức z thỏa mãn ( + i ) z = 13 - 9i Tính mơđun z C BÀI TẬP CHỌN LỌC VỀ SỐ PHỨC TỪ CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO Bài tập biến đổi số phức a) Cho w số phức có phần ảo khác số phức z thỏa mãn điều kiện z + w = z + w Chứng minh z số thực b) Chứng minh số phức z1 , z2 thỏa mãn điều kiện z1 + z2 = z1 thức z1 - z2 = z2 ta có hệ 2 ( c) Chứng minh với số phức z1 , z2 , ta có + z1 z2 + z1 - z2 = + z1 )( 1+ z ) 2 Tìm số thực x, y thỏa mãn điều kiện: a) x ( 1- 2i ) +( x - y ) ( + i ) = 51 + 74i c) x ( - 2i ) + 3i + y ( 1- 2i ) = 11 + 4i b) x ( + 5i ) + y ( 1- 2i ) = +14i ỉ ư7 1- i ữ ỗ d) ( 3x - y ) ỗ +( y + 2) ( x - i ) =- 19 - 23i ữ ữ ỗ ố1 + i ứ (Trích đề thi thử ĐH năm 2011, THPT Chu Văn An, Hà Nội) Cho z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z - z + = Tính giá trị biểu thức P = z12 + z22 (Trích đề thi thử ĐH năm 2011, THPT Nguyễn Huệ, Hà Nội) Cho hai số phức z, z ' thỏa mãn z = z ' = z + z ' = Tính z - z ' (Trích đề thi thử ĐH năm 2011, ĐHBKHN) Cho số phức z thỏa mãn z - z = 3( 2i - 1) Tìm z + z + z (Trích đề thi thử ĐH năm 2011, THPT Phan Bội Châu, Nghệ An) z + 2i z- Cho số phức z thỏa mãn z +1 = Tính z- z- i (BT 19 SGKNC) z +1 a) Xác định phần thực số phức , biết z = z ¹ z- z +1 b) Chứng minh số ảo z = z- (Trích đề thi thử ĐH năm 2014, THPT chuyên Hà Tĩnh) Cho số phức z có phần thực dương thỏa mãn z = z - + 3i = Tính A = 13 z +1 z- (Trích đề thi thử ĐH năm 2014 moon.vn) 11 æ æ2i 1+ i ữ ữ ỗ Cho s phc z tha i.z = ỗ ữ ữ ỗ ỗ ÷ +è ÷ Tính mơđun số phức w = z + iz ỗ ỗ1 + i ứ ố1- i ø 10 (Trích đề thi HSG Tốn Trung Quốc năm 1996) z Cho z, w hai số phức liên hợp thỏa mãn số thực z - w = Tính z w 11 (Trích đề thi thử ĐH năm 2014 moon.vn) Người thực hiện: Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B Trang 47/55 Xây dựng tài liệu Số phức nhằm bồi dưỡng lực tự học cho học sinh Cho số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 = 2; z2 = z1 + z2 = Tính z1 + z2 12 (Trích đề thi thử ĐH năm 2014 moon.vn) Tính mơđun số phức z - 2i , biết số phức z thỏa mãn ( z - 2i ) ( z - 2i) + 4iz = 13 (Trích đề thi thử ĐH năm 2014 moon.vn) Cho số phức z thỏa mãn z - z = 3( - + 2i ) Tính z + z 14 Tìm mơđun số phức z , biết 1- i ( - 3i ) z = +2- i z z 15 (Trích đề dự bị ĐH KB năm 2010) 3 Biết z1 ; z2 nghiệm phương trình z - z + = tập số phức Chứng minh z1 + z2 số thực 16 (Trích đề thi thử ĐH năm 2011 math.vn) a) Cho w số phức có phần ảo khác khơng số phức z thỏa mãn z + w = z + w Chứng minh z số thực b) Cho w số phức có phần ảo khác không số phức z thỏa mãn z + w = z - w Chứng minh iz số thực 17 (Trích đề thi thử ĐH năm 2011, THPT chuyên Lê Quý Đôn, Bà Rịa-Vũng Tàu) ( Tìm giá trị nguyên dương n để số phức z = 3- i ) n 1+i số ảo 18 (Trích đề thi thử ĐH năm 2014 moon.vn) n n ỉ ỉ20 + 5i 19 + 7i ữ ữ ỗ Chng minh rng z = ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ +ố ữ l s thc ỗ ỗ + 6i ứ ố 9- i ø 19 (Trích đề thi thử ĐH năm 2014 trờn moon.vn) n ổ ỗ3 - i ÷ ÷ Tìm tất số nguyên dương n tha A =ỗ l s thc ữ ỗ ữ ç 3 i è ø 20 (Trích đề thi thử ĐH năm 2011, THPT Lương Thế Vinh, Hà Nội) Cho z số phức thỏa mãn ( z + 2) ( + 2i ) = z Xác định phần ảo số phức w = ( z + 2i ) 2011 21 (Trích đề thi thử ĐH năm 2011, THPT chuyên Lê Quý Đôn, Quảng Trị) n 2 2 Tìm phần ảo số phức z = ( + i ) , biết Cn+1 + 2Cn+2 + 2Cn+3 + Cn+4 = 149 , n k số nguyên dương, Cn số tổ hợp chập k n phần tử) 22 (Trích đề thi thử ĐH năm 2012, THPT Thanh Thủy, Phú Thọ) ( ) n Tìm phần thực số phức z = + i , bit n ẻ Ơ tha log ( n - 9) + log ( n + 6) = 23 (Trích đề thi thử ĐH năm 2011, THPT chun ĐH Vinh) 4 ỉz1 ÷ ỉz2 ữ +ỗ Cho cỏc s phc z1 , z2 thỏa mãn z1 - z2 = z1 = z2 > Tớnh A = ỗ ỗ ữ ỗ ữ ữ ữ ữ ữ ỗ z ố ứ ỗ èz ø 24 (Trích đề thi thử ĐH năm 2014, TTLTĐH Nguyễn Trường Tộ, Quảng Trị) ( ) 6 Gọi z1 , z2 nghiệm phương trình z - ( 1- i ) + z - 4i = Tính P = z1 + z2 Người thực hiện: Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B Trang 48/55 Xây dựng tài liệu Số phức nhằm bồi dưỡng lực tự học cho học sinh 25 (Trích đề thi thử ĐH năm 2014, THPT Can Lộc, Hà Tĩnh) Gọi z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z - z + = Tìm phần thực phần ảo số 2013 ỉz1 ÷ phức w = ỗ , bit z1 cú phn o dng ç ÷ ÷ ÷ ç èz ø 26 Viết dạng lượng giác số phức z thỏa mãn điều kiện sau đây: 5p a) z = acgumen ( + i ) z ; 12 p b) z.z = acgumen 1- i z ; z 2p c) z = acgumen +i 27 (Trích đề thi thử ĐH năm 2014 moon.vn) ( Viết số phức z = ( + i ) ( 1- i ) ) 12 dạng lượng giác 3- i 28 (Trích đề thi thử THPT Quốc gia TC Toán học Tuổi trẻ số tháng 4/2016) Cho số phức z thỏa mãn ( - 3i ) z +( + i ) z =- ( + 4i ) Bài tập phương trình nghiệm phức Giải phương trình sau tập số phức: a) z - 12 z + 39 = b) 16 z - z + = c) z +10 z +1 = d) z - z - = Giải phương trình sau tập số phức: a) z + z + 21z + 27 = b) z - 11z +16 z +11 = c) ( z + 3) + z ( z + 3) - 3z = d) ( z - i ) 2 ( z +i) - 5z - = Giải phương trình sau tập số phức: +i - 3i + 7i - 8i - 2i z =z+ = a) b) 1- i +i + 3i - 3i + 2i c) z - z - 42 +14i = d) z - ( + i ) z + + 4i = Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện sau: a) ( z + 2) i = ( 3i - z ) ( - + 3i ) b) ( z + z ) ( - i ) + z = 3i - 25 = - 6i z Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện sau: c) z + z = + i d) z + a) z = z + 2i.z = 2 b) z - i = z - z + 2i z - ( z ) = số thuẩn ảo z (Trích đề thi thử ĐH năm 2011, THPT Nguyễn Tất Thành, ĐHSPHN) c) z - 3i = 1- i.z z - a) Tìm số phức z , biết z - = ( + i ) ( z - 1) có phần ảo Người thực hiện: Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B Trang 49/55 Xây dựng tài liệu Số phức nhằm bồi dưỡng lực tự học cho học sinh 5p z- có acgumen 1+i (Trích đề thi thử ĐH năm 2011, THPT Chu Văn An, Hà Nội) b) Tìm số phức z , biết z - = ( b) Tìm số phức z , biết z = 2- i ) 1+i c) Giải phương trình sau tập số phức z - z + z - z - 16 = (Trích đề thi thử ĐH năm 2011, TTBDVH Thăng Long) 2 a) Tìm số phức z có phần thực dương, phần ảo số thực âm thỏa mãn z = z - z = b) Tìm số phức z ¹ thỏa mãn z +1- 2i = z - 1- 2i z + 3iz số thuẩn ảo (Trích đề thi thử ĐH năm 2011, THPT Nguyễn Huệ, Hà Nội) 2 Tìm số phức z thỏa mãn z + z.z + z = z + z = 10 (Trích đề thi thử ĐH năm 2011, THPT chuyên Lương Văn Tụy, Ninh Bình) a) Giải phương trình sau tập số phức: z - 3iz - z + 2i = b) Giải phương trình sau tập số phức: z + 3iz - 3z - 9i = 11 (Trích đề thi thử ĐH năm 2011, THPT chuyên ĐH Vinh) a) Tìm số phức z thỏa mãn z - 3i = 1- iz z số ảo z z - 2i c) Tìm số phức z thỏa mãn z = z - - 2i số ảo z- 12 (Trích đề thi thử ĐH năm 2011, THPT chuyên Vĩnh Phúc) Tìm số phức z thỏa mãn z = z + 2i.z = 13 (Trích đề thi thử ĐH năm 2011, THPT Nguyễn Tất Thành, ĐHSPHN) z +i =1 Tìm số phức z , biết z - = z + 2i z +1- i 14 (Trích đề thi thử ĐH năm 2011, THPT chuyên Hà Tĩnh) Tìm số phức z thỏa mãn z - = 17 ( z + z ) - z z = 15 (Tuyển chọn theo chuyên đề THTT tập 2) a) Tìm số phức z thỏa mãn z + - i = mà có acgumen nhỏ b) Giải phương trình nghiệm phức z z - z - i = 16 Giải phương trình sau tập số phức: z - z + z - z - 16 = 17 Giải phương trình z +( 1- 2i ) z +( 1- i ) z - 2i = tập số phức, biết phương trình có nghiệm ảo 18 (Trích đề thi thử ĐH năm 2011, THPT chuyên Vĩnh Phúc) Tìm số phức z thỏa mãn z = z + 2i.z = 19 (Trích đề thi thử ĐH năm 2011, THPT Thái Phiên, Hải Phòng) Trong số phức z thỏa mãn iz - = z - - i , tìm số phức z có acgumen 7p 20 (Trích đề thi thử ĐH năm 2011, THPT chuyên ĐH Vinh) Người thực hiện: Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B Trang 50/55 Xây dựng tài liệu Số phức nhằm bồi dưỡng lực tự học cho học sinh z - 2i số ảo z- 21 (Trích đề thi thử ĐH năm 2014 moon.vn) Tìm số phức z thỏa mãn z = z - - 2i a) Tìm số phức z , biết ( z +1) + z - = ( 1- i ) z 2 b) Tìm số phức z thỏa mãn hai điều kiện z - i = z - z + 2i z - ( z ) = 22 (Trích đề thi thử ĐH năm 2014, THPT Quỳnh Lưu 1, Nghệ An) 2 Tìm số phức z thỏa mãn + z = z - i +( iz - 1) z có phần thực dương 23 (Trích đề thi thử ĐH năm 2014, THPT Hà Huy Tập, Nghệ An) Tìm số phức z thỏa mãn z +1- 3i = z + - i z = 24 (Trích đề thi thử ĐH năm 2014, nguoithay.vn) a) Cho số phức z thỏa mãn z = z - = Tính A = z + 2014 z5 b) Tìm số phức z thỏa mãn phương trình z + z - ( + 4i ) = ( - 2i ) z 25 (Trích đề thi thử ĐH năm 2014, THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu, Đồng Tháp) Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện z +1- i = z z + ( z - 2i ) số thực 26 (Trích đề thi thử ĐH năm 2014, THPT chuyên KHTN, ĐHQGHN) Tìm tất số phức z thỏa mãn z + - i = z + + 2i ( z - 2i) ( z - + i ) số ảo 27 (Trích đề thi thử ĐH năm 2014, THPT chuyên Lý Tự Trọng, Cần Thơ) Tìm số phức z biết z - + 3i = z +1 = z + i 28 (Trích đề thi thử ĐH năm 2014, TTLTĐH Nguyễn Trường Tộ, Quảng Trị) Tìm số phức z đồng thời thỏa mãn z + 2iz = z = 29 (Trích đề thi thử ĐH năm 2014, THPT Can Lộc, Hà Tĩnh) z + + 3i Tìm số phức z biết w = số ảo z +1- 3i = z - + i z- i 30 (Trích đề thi thử ĐH năm 2014, THPT Hàn Thuyên, Bắc Ninh) a) Giải phương trình ( z + z ) + ( z + z ) + = tập số phức b) Gọi z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z - ( + i ) z + = Viết dạng lượng giác 2014 2014 số phức z1 z2 2 31 Tìm tất số phức z , biết ( z +1) + z - - 10i = z + 32 (Trích đề thi thử ĐH năm 2014 moon.vn) a) Tìm số phức z biết ( + 2i ) z số thực z + z =2 b) Tìm số phức z thỏa mãn z + z = 30 z + z = 13 1c) Tìm số phức z thỏa mãn z - i = + z - z 3i z Người thực hiện: Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B có acgumen - 2p Trang 51/55 Xây dựng tài liệu Số phức nhằm bồi dưỡng lực tự học cho học sinh d) Giả sử z1 , z2 hai số phức thỏa mãn hệ thức z - i = + 3iz z1 - z2 = Tính giá trị biểu thức A = z1 + z2 33 (Trích đề thi thử ĐH năm 2014 moon.vn) ( 1- i ) Tìm số phức z thỏa mãn z.i + + i +1 = z 34 (Trích đề thi thử ĐH nm 2014 trờn moon.vn) ổ ỗ1 + - z ÷ ÷ Giả sử z số phức thỏa mãn z - z + = Tỡm s phc w =ỗ ữ ỗ ỗ ố 2+z ÷ ø 35 (Trích đề thi thử ĐH năm 2014 moon.vn) 1 Tìm số phức z1 , z2 biết z1 + = + 2i z2 + = - i z2 z1 2 36 (Trích đề thi thử ĐH năm 2014 moon.vn) 2 Giải phương trình sau tập hợp số phức: ( z - i ) ( z + i ) - z - = Bài tập tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện sau: a) ( - 2i ) z +( + 2i ) z = 26 b) z - + i = c) z + - 3i = z - + i d) z - + z + = 10 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện sau: z- z + + 3i a) Số w = số ảo b) Số w = số ảo z- z- i iz +1 + i z +i c) Số w = số thực d) Số w = số thực z - 1+ i iz - 1 Gọi A, B, C ba điểm biểu diễn nghiệm phương trình = i Chứng minh ABC z tam giác Cho ba số phức phân biệt z1 , z2 , z3 thỏa mãn điều kiện z1 + z2 + z3 = có môđun Gọi A, B, C ba điểm biểu diễn ba số phức z1 , z2 , z3 mặt phẳng tọa độ Oxy Chứng minh ABC tam giác nội tiếp đường tròn đơn vị (Trích đề thi thử ĐH năm 2011, ĐHBKHN) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z - 2i - = z - i - (Trích đề thi thử ĐH năm 2011, THPT Nguyễn Tất Thành, ĐHSPHN) 1+i z Gọi M M ' điểm biểu diễn số phức z, z ' Cho hai số phức z = + 3i z ' = mặt phẳng tọa độ Oxy Tính diện tích tam giác OMM ' (BT 4.46 SBTGTNC) Người thực hiện: Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B Trang 52/55 Xây dựng tài liệu Số phức nhằm bồi dưỡng lực tự học cho học sinh Xác định tập hợp điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện sau: a) 2i - z = z - b) 2iz - = z + (BT 4.50 SBTGTNC) Tìm tất điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z cho z +i số thực z +i (Trích đề thi thử ĐH năm 2011 TTBDVH Thăng Long) Xác định tập hợp điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn iz +1 + i số thực z - 1+ i 10 (Trích đề thi thử ĐH năm 2014 moon.vn) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện ( ) z + 3z = + i z 11 (Trích đề thi thử ĐH năm 2014 moon.vn) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z , biết số phức z1 = ( - z ) ( i + z ) số ảo Bài tập số phức có mơđun nhỏ nhất, mơđun lớn (Trích đề thi thử ĐH năm 2011, THPT chuyên ĐHSPHN) Tìm số phức z có mơđun nhỏ thỏa mãn iz - = z - - i Giả sử z số phức cho w = ( z + - i ) ( z +1+ 3i ) số thực Trong số phức z thỏa mãn điều kiện đó, tìm số phức z có mơđun nhỏ (Trích đề thi thử ĐH năm 2014 moon.vn) Cho số phức z thỏa mãn hệ thức z + 3i = z - + 2i Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = z + +i (Trích đề thi thử ĐH năm 2011, THPT chuyên Lê Quý Đôn, Bà Rịa-Vũng Tàu) a) Trong số phức z thỏa mãn z - - 3i = , tìm số phức z cho z + - 5i đạt giá trị nhỏ b) Cho số phức z thỏa mãn z + 2i có acgumen acgumen z + cộng với p Tìm giá trị lớn biểu thức T = z +1 + z + i Cho số phức z thỏa mãn z ³ Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ P = z +i z Cho số phức z thỏa mãn z = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức sau: a) M = + z + 1- z ; b) N = + z + 1- z + z ; c) P = z - z + (Trích đề thi HSG Tốn Trung Quốc năm 1995) Cho z1 z2 số phức thỏa mãn z1 - z2 =16 + 20i Giả sử z, w nghiệm phức phương trình x + z1 x + z + m = thỏa mãn điều kiện z - w = , với m số phức Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ m Người thực hiện: Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B Trang 53/55 Xây dựng tài liệu Số phức nhằm bồi dưỡng lực tự học cho học sinh Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z = Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức P = z +1 + z - z +1 a) Cho hai số phức z1 z2 thay đổi thỏa mãn điều kiện z1 + = 5; z2 +1- 3i = z2 - - 6i Tìm giá trị nhỏ A = z1 - z2 b) Cho hai số phức z1 z2 thay đổi thỏa mãn điều kiện z1 + i = 5; z2 - = z2 - Tìm giá trị nhỏ B = z1 - z2 10 a) Cho hai số phức z1 z2 thay đổi thỏa mãn điều kiện z1 = 2; z2 - - 5i = 2 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ C = z1 - z2 b) Cho hai số phức z1 z2 thay đổi thỏa mãn điều kiện z1 - i = 2; z2 - - 5i = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ C = z1 - z2 11 Cho hai số phức z1 z2 thay đổi thỏa mãn điều kiện z1 + + z1 - = 4; z2 + - 3i = z2 +1 + 2i Tìm giá trị nhỏ M = z1 - z2 Bài tập ứng dụng số phức ìï ỉ ữ ùù x ỗ 1+ ữ =2 ỗ ữ ùù ữ ỗ x + y ố ứ (Trớch đề thi VMO năm 1996) Giải hệ phương trình ïí ùù ổ ữ ùù y ỗ 1ữ= ỗ ữ ữ ỗ ùùợ ố x + yứ ùỡù ổ ữ 2y = ỗ3 ữ ùù ỗ ữ ỗ ữ y + 42 x è ø ïï (Trích đề thi Olympic 30/4/2000) Giải hệ phương trình í ïï ỉ ÷ ỗ ùù ỗ3 + ữ x =2 ữ ữ ùùợ ç è y + 42 x ø KẾT LUẬN Sáng kiến xây dựng tài liệu phân loại tập thành dạng Cụ thể là: - Dạng Biến đổi số phức; - Dạng Biểu diễn hình học số phức; - Dạng Tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước; - Dạng Số phức với môđun lớn nhất, môđun nhỏ nhất; - Dạng Bất đẳng thức môđun số phức; - Dạng Dạng lượng giác số phức; - Dạng Số phức vài ứng dụng Sáng kiến hệ thống số lượng lớn tập Số phức từ dễ đến khó Các tập sáng kiến phù hợp với nội dung ôn thi học kỳ, thi THPT Quốc gia Đồng thời, mức độ dùng làm tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Mỗi dạng toán đề cập đến ba phần: kiến thức chuẩn bị, ví dụ minh họa tập đề nghị Trong số ví dụ có nhận xét, đánh giá bình luận giúp cho học sinh hiểu rõ sâu Người thực hiện: Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B Trang 54/55 Xây dựng tài liệu Số phức nhằm bồi dưỡng lực tự học cho học sinh sắc nội dung nghiên cứu Từ tạo hứng thú học tập, phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo học sinh Tác giả tiến hành giảng dạy triển khai thực nghiệm số phần sáng kiến đơn vị công tác từ năm 2011 sáng kiến hoàn chỉnh sau năm học Thực nghiệm thu kết đáng kể (học sinh biết cách nhận dạng toán Số phức, biết tính tốn liên quan đến Số phức, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức, , giải tốt câu hỏi Số phức đề thi Tốt nghiệp tuyển sinh Đại học, Cao đẳng) Kết thực nghiệm bước đầu cho thấy tính hiệu quả, tính khả thi phổ dụng sáng kiến Nội dung sáng kiến có ý nghĩa tác giả Là tài liệu tham khảo bổ ích cho thầy học sinh nhằm nâng cao chất lượng dạy học Đồng thời, bồi dưỡng lực tự học cho học sinh góp phần đổi phương pháp dạy học giai đoạn Tác giả mong nhận góp ý từ bạn đồng nghiệp, em học sinh để việc áp dụng sáng kiến đạt hiệu hoàn chỉnh nội dung sáng kiến này./ Xác nhận Ban giám hiệu Gia Viễn, ngày 05 tháng năm 2016 Tác giả Nguyễn Tiên Tiến Người thực hiện: Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B Trang 55/55 ... Chương XÂY DỰNG TÀI LIỆU VỀ SỐ PHỨC NHẰM BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC CHO HỌC SINH A XÂY DỰNG TÀI LIỆU VỀ SỐ PHỨC Trong khuôn khổ sáng kiến này, tập trung đề cập đến dạng đại số số phức bên cạnh có đề... Trang 4/55 Xây dựng tài liệu Số phức nhằm bồi dưỡng lực tự học cho học sinh b) Số phức liên hợp - Cho số phức z = a + bi, ( a, b Ỵ ¡ ) Khi số phức liên hợp z z = a - bi - Các tính chất số phức liên... tài liệu số phức nhằm bồi dưỡng lực tự học cho học sinh Phụ lục: Bài tập chọn lọc số phức Người thực hiện: Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B Trang 2/55 Xây dựng tài liệu Số phức nhằm bồi dưỡng lực