Đang tải... (xem toàn văn)
Bài 3 Tính chất đường phân giác của tam giác Bài 17 trang 87 sách bài tập Toán 8 Tập 2 Tam giác ABC có AB = 15cm, AC = 20cm, BC = 25cm Đường phân giác góc BAC cắt cạnh BC tại D a) Tính độ dài các đoạn[.]
Bài 3: Tính chất đường phân giác tam giác Bài 17 trang 87 sách tập Toán Tập 2: Tam giác ABC có AB = 15cm, AC = 20cm, BC = 25cm Đường phân giác góc BAC cắt cạnh BC D a) Tính độ dài đoạn thẳng DB DC b) Tính tỉ số diện tích hai tam giác ABD ACD Lời giải: a) Trong ΔABC, ta có: AD đường phân giác góc BAC Suy ra: DB AB = (tính chất đường phân giác) DC AC Mà AB = 15 (cm); AC = 20 (cm) Nên DB 15 = DC 20 Suy ra: DB 15 = (tính chất tỉ lệ thức) DB + DC 15 + 20 Suy ra: DB 15 15 75 = DB = 25 = cm BC 35 35 Do đó, DC = BC – BD = 25 − 75 100 = cm 7 b) Kẻ AH ⊥ BC Ta có: SABD = Suy ra: SABD SADC 1 AH.BD; SADC = AH.DC 2 AH.BD BD = = AH.DC DC Mà DB 15 = = ( chứng minh trên) DC 20 Vậy SABD BD = = SADC DC Bài 18 trang 87 sách tập Toán Tập 2: Tam giác ABC có đường phân giác AD, BE, CF Chứng minh rằng: DB EC FA = DC EA FB Lời giải: Trong ΔABC, ta có: AD đường phân giác góc BAC Suy ra: DB AB = (tính chất đường phân giác) (1) DC AC BE đường phân giác góc ABC Suy ra: EC BC (tính chất đường phân giác) (2) = EA AB CF đường phân giác góc ACB Suy ra: FA CA = (tính chất đường phân giác) (3) FB CB Nhân vế (1), (2) (3) ta có: DB EC FA AB BC CA = = (điều phải chứng minh) DC EA FB AC AB CB Bài 19 trang 87 sách tập Toán Tập 2: Tam giác cân ABC có BA = BC = a, AC = b Đường phân giác góc A cắt BC M, đường phân giác góc C cắt BA N a) Chứng minh MN // AC; b) Tính MN theo a, b Lời giải: a) Trong ΔBAC, ta có: AM đường phân giác BAC Suy ra: MC AC (tính chất đường phân giác) (1) = MB AB CN đường phân giác BCA Suy ra: NA AC = (tính chất đường phân giác) (2) NB CB Lại có: AB = CB = a (gt) Từ (1), (2) (gt) suy ra: Trong ΔBAC, ta có: NA MC = NB MB NA MC = NB MB Suy ra: MN // AC (theo định lí đảo định lí Ta-lét) b) Ta có: Suy ra: Hay MC AC (chứng minh trên) = MB AB MC + MB AC +AB CB AC +AB = = MB AB MB AB a b +a a2 = MB = MB a a+b Trong ΔBAC, ta có: MN //AC (chứng minh trên) Suy ra: MN MB = AC BC Vậy MN = AC.MB = BC b a2 ab a+b = a a+b Bài 20 trang 87 sách tập Tốn Tập 2: Tam giác ABC có AB = 12cm, AC = 20cm, BC = 28cm Đường phân giác góc A cắt BC D Qua D kẻ DE // AB (E ∈ AC) a) Tính độ dài đoạn thẳng BD, DC, DE b) Cho biết diện tích tam giác ABC S, tính diện tích tam ABD, ADE, DCE Lời giải: a) Trong ΔABC, ta có: AD đường phân giác góc BAC Suy ra: DB AB = (tính chất tia phân giác) DC AC Suy ra: DB AB = DB + DC AB + AC Suy ra: DB AB = BC AB + AC Suy ra: DB = BC.AB 28.12 21 = = = 10,5cm AB + AC 12 +20 Vậy DC = BC - DB = 28 - 10,5 = 17,5 (cm) * Trong ΔABC, ta có: DE // AB Suy ra: DC DE = (Hệ định lí Ta-lét) BC AB Vậy: DE = DC.AB 17,5.12 = = 7,5cm BC 28 b) Vì ΔABD ΔABC có chung đường cao kẻ từ đỉnh A nên SABD BD 10,5 = = = SABC BC 28 Vậy: SABD = S SADC = SABC - SABD = S - S = S 8 Vì DE // AB AD đường phân giác góc A nên ta chứng minh tam giác AED cân E, AE = DE Ta có: SADE AE DE 7,5 = = = = SADC AC AC 20 3 15 Vậy: SADE = SADC = S = S 8 64 15 25 Ta có: SDCE = SADC − SADE = S − S = S 64 64 Bài 21 trang 88 sách tập Toán Tập 2: Cho tam giác ABC vuông A, AB = 21cm, AC = 28cm; đường phân giác góc A cắt BC D, đường thẳng qua D song song với AB cắt AC E a)Tính độ dài đoạn thẳng BD, DC DE b) Tính diện tích tam giác ABD diện tích tam giác ACD Lời giải: a) Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vng ABC, ta có: BC2 = AB2 + AC2 = 212 + 282 = 1225 Suy ra: BC = 35 (cm) Vì AD đường phân giác góc BAC nên: BD AB = (t/chất đường phân giác) DC AC Suy ra: Hay BD AB = BD + DC AB + AC BD AB = BC AB + AC Suy ra: BD = BC.AB 35.21 = = 15cm AB + AC 21 + 28 Vậy DC = BC – BD = 35 – 15 = 20cm Trong ΔABC ta có: DE // AB Suy ra: DC DE = (Hệ định lí Ta-lét) BC AB Suy ra: DE = DC.AB 20.21 = = 12cm BC 35 b) Ta có: SABC = 1 AB.AC = 21.28 = 294 (cm2) 2 Vì ΔABC ΔADB có chung đường cao kẻ từ đỉnh A nên: SADB BD 15 3 = = = SADB = SABC = 294 = 126 (cm2) SABC BC 35 7 Vậy SADC = SABC – SABD = 294 – 126 = 168(cm2) Bài 22 trang 88 sách tập Toán Tập 2: Cho tam giác cân ABC (AB = AC), đường phân giác góc B cắt AC D cho biết AB = 15cm, BC = 10cm a) Tính AD, DC b) Đường vng góc với BD B cắt đường thẳng AC E Tính EC Lời giải: Vì BD đường phân giác góc ABC nên: AD AB = (t/chất đường phân giác) DC BC Suy ra: AD AB AD AB hay = = AD +DC AB + BC AC AB + BC Mà ΔABC cân A nên AC = AB = 15 (cm) Suy ra: AD 15 15.15 = AD = = (cm) 15 15 +10 15 + 10 Vậy DC = AC – AD = 15 – = (cm) b) Vì BE ⊥ BD nên BE đường phân giác góc ngồi đỉnh B Suy : EC BC ( t/chất đường phân giác) = EA BA Suy ra: EC BC ⇒ EC.BA= BC (EC + AC) = EC +CA BA Suy ra: EC.BA - EC.BC = BC.AC ⇒EC (BA - BC) = BC.AC Vậy EC = BC.AC 10.15 = = 30(cm) BA− BC 15 − 10 Bài 23 trang 88 sách tập Toán Tập 2: Tam giác ABC có góc A = 90o, AB = 12cm, AC =16cm; đường phân giác góc A cắt BC D a) Tính BC, BD DC b) Kẻ đường cao AH, tính AH, HD AD Lời giải: a) Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vng ABC, ta có: BC2 = AB2 + AC2 = 122 + 162 = 400 Suy ra: BC = 20 (cm) Vì AD đường phân giác góc BAC nên: DB AB = (tính chất đường phân giác) DC AC Suy ra: DB DB AB AB hay = = DB + DC AB+ AC BC AB+ AC Suy ra: DB = BC AB 20.12 60 (cm) = = AB + AC 12 +16 Vậy : DC = BC – DB = 20 b) Ta có: SABC = 60 80 = (cm) 7 1 AB.AC = AH.BC 2 Suy ra: AB.AC = AH.BC AH = AB.AC 12.16 = = 9,6(cm) BC 20 Trong tam giác vuông AHB, ta có: AHB = 90o Theo định lí Pi-ta-go, ta có: AB2 = AH2 + HB2 Suy ra: HB2 = AB2 - AH2 = 122 - (9,6)2 = 51,84 ⇒ HB =7,2 (cm) Vậy HD = BD – HB = 60 - 7,2 ≈ 1,37 (cm) Trong tam giác vng AHD, ta có: AHD = 90o Theo định lí Pi-ta-go, ta có: AD2 = AH2 + HD2 = (9,6)2 + (1,37)2 = 94,0369 Suy ra: AD ≈ 9,70 (cm) Bài 24 trang 88 sách tập Toán Tập 2: Tam giác ABC có A = 90°, AB = a (cm), AC = b (cm) (a < b), trung tuyến AM, đường phân giác AD (M D thuộc cạnh BC) a) Tính độ dài đoạn thẳng BC, BD, DC, AM DM theo a, b b) Hãy tính độ dài đoạn thẳng xác đến chữ số thập phân thứ hai biết a = 4,15cm, b = 7,25cm Lời giải: a) Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vng ABC, ta có: BC2 = AB2 + AC2 = a2 + b2 Suy ra: BC = a + b Ta có: AM = BM = Suy ra: AM = BC (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền) 2 a +b Vì AD đường phân giác góc BAC nên: DB AB = (tính chất đường phân giác) DC AC Suy ra: DB AB = DB + DC AB + AC DB AB BC.AB a a + b2 hay = DB = = BC AB + AC AB + AC a +b a a + b b a + b = Vậy DC = BC − DB = a + b − a+b a+b 2 2 a a + b DM = BM − BD = a +b − a+b (a +b) a + b 2a a + b (b − a) a + b = − = 2(a + b) 2(a + b) 2(a + b) b) Với a = 4,15 (cm); b = 7,25 (cm), sử dụng máy tính kết ý a, ta tính được: BC ≈ 8,35 cm BD ≈ 3,04 cm DC ≈ 5,31 cm AM ≈ 4,18 cm DM ≈ 1,14cm Bài tập bổ sung Bài 3.1 trang 89 sách tập Toán Tập 2: Tam giác ABC vng A có đường phân giác AD Biết độ dài cạnh góc vng AB = 3,75cm, AC = 4,5cm Hãy chọn kết (tính xác đến hai chữ số thập phân) 1) Độ dài đoạn thẳng BD là: A 18,58; B 2,66; C 2,65; D 3,25 2) Độ dài đoạn thẳng CD là: A 27,13; B 2,68; C 3,20; D 3,15 Lời giải: Áp dụng định lí Pi- ta- go vào tam giác vng ABC ta có BC2 = AB2 + AC2 = 34,3125 Suy ra: BC 5,86 cm Theo tính chất đường phân giác ta có: AB AC = BD CD Theo tính chất dãy tỉ số ta có: AB AC AB + AC = = BD CD BD + CD 3,75 4,5 3,75 + 4,5 = = BD CD 5,86 3,75 5,86 2,66 3,75 + 4,5 CD = BC− BD = 3,2 BD = Chọn B Chọn C Bài 3.2 trang 89 sách tập Toán Tập 2: Hình bình hành ABCD có độ dài cạnh AB = a = 12,5cm, BC = b = 7,25cm Đường phân giác góc B cắt đường chéo AC E, đường phân giác góc D cắt đường chéo AC F Hãy tính độ dài đường chéo AC, biết EF = m = 3,45cm (Tính xác đến hai chữ số thập phân) Lời giải: Vì ABCD hình bình hành nên ABC = ADC Mặt khác, BE DF phân giác góc B D, Do suy ADF = CBE Mặt khác, ta có: AD = CB = b; DAF = BCE (so le trong) Suy ra: ΔADF = ΔCBE (g.c.g) ⇒ AF = CE Đặt AF = CE = x Theo tính chất đường phân giác BE tam giác ABC, ta có: AB AE AF + EF = = BC CE CE a x+m mb = x= b x a −b AC = 2x + m = 2mb m(a + b) +m= a−b a−b Thay số, tính máy tính điện tử cầm tay ta được: AC = 3,45.(12,5 + 7,25) 12,98 cm 12,5 − 7,25 ... BD là: A 18, 58; B 2,66; C 2,65; D 3, 25 2) Độ dài đoạn thẳng CD là: A 27, 13; B 2, 68; C 3, 20; D 3, 15 Lời giải: Áp dụng định lí Pi- ta- go vào tam giác vng ABC ta có BC2 = AB2 + AC2 = 34 ,31 25 Suy... BC ≈ 8, 35 cm BD ≈ 3, 04 cm DC ≈ 5 ,31 cm AM ≈ 4, 18 cm DM ≈ 1,14cm Bài tập bổ sung Bài 3. 1 trang 89 sách tập Toán Tập 2: Tam giác ABC vng A có đường phân giác AD Biết độ dài cạnh góc vng AB = 3, 75cm,... BC 5 ,86 cm Theo tính chất đường phân giác ta có: AB AC = BD CD Theo tính chất dãy tỉ số ta có: AB AC AB + AC = = BD CD BD + CD 3, 75 4,5 3, 75 + 4,5 = = BD CD 5 ,86 3, 75 5 ,86 2,66 3, 75 +