Hình thang, hình thang vuông, hình thang cân I Lý thuyết 1 Hình thang Tứ giác lồi có hai cạnh đối song song là hình thang Hai cạnh song song đó gọi là hai cạnh đáy Hai cạnh còn lại là hai cạnh bên Ta[.]
Hình thang, hình thang vng, hình thang cân I Lý thuyết Hình thang - Tứ giác lồi có hai cạnh đối song song hình thang - Hai cạnh song song gọi hai cạnh đáy - Hai cạnh cịn lại hai cạnh bên Ta có: tứ giác ABCD có AB // CD nên ABCD hình thang Hai cạnh đáy AB CD Hai cạnh bên BC AD - Hai góc kề cạnh bên hình thang có tổng 180 A D 180;B C 180 Hình thang cân - Hình thang cân hình thang có hai góc kề đáy - Tính chất hình thang cân: Hình thang ABCD cân có AB // CD + Hai góc kề đáy ( A B ; C D ) + Hai cạnh bên (BC = AD) + Hai đường chéo (AC = BD) Dấu hiệu nhận biết: + Hình thang có hai góc kề đáy hình thang cân + Hình thang có hai đường chéo hình thang cân Chú ý: Hình thang có hai cạnh bên chưa hình thang cân Hình thang vng Hình thang vng hình thang có góc vng Cho hình thang ABCD có D 90 nên hình thang ABCD hình thang vng II Các dạng tập phương pháp giải Dạng Tính số đo góc Phương pháp giải: Sử dụng tính chất hai đường thẳng song song tổng bốn góc tứ giác kết hợp với kiến thức học hình thang, hình thang cân, hình thang vng Ví dụ 1: Cho hình thang ABCD có AB // CD, A 3D , B C 30 Tính số đo góc hình thang Lời giải: Vì AB // CD nên ta có A D 180 (hai góc phía) Mà A 3D Nên 3D D 180 4D 180 D 45 A 3D 45.3 135 Vì AB // CD nên ta có: B C 180 (*) Mà B C 30 B 30 C Thay vào (*) ta được: 30 C C 180 2C 180 30 2C 150 C 75 B C 30 75 30 105 Ví dụ 2: Cho hình thang cân ABCD có AB // CD Biết A 2D Tính góc hình thang Lời giải Vì AB // CD ta có: A D 180 (hai góc phía) Mà A 2D Nên 2D D 180 3D 180 D 60 A 2D 60.2 120 Mà ABCD hình thang cân nên ta có: A B 120 C D 60 Dạng Chứng minh hình thang, hình thang cân hình thang vng Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa hình thang, hình thang cân, hình thang vng Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cân A có BD CE hai đường trung tuyến tam giác Chứng minh BCDE hình thang cân Lời giải: Vì BD đường trung tuyến tam giác ABC nên D trung điểm AC AD AC Vì CE đườg trung tuyến tam giác ABC nên E trung điểm AB AE AB Mà AB = AC (do tam gác ABC cân A) Do đó: AD = AE Xét tam giác AED có AD = AE ( chứng minh trên) Do đó: AED cân A Ta có: A AED ADE 180 (tổng ba góc tam giác) A 2AED 180 (do tam giác AED cân A nên AED ADE ) 2AED 180 A AED 180 A (1) Lại có: ABC cân A nên: A ABC ACB 180 (tổng ba góc tam giác) Suy ra: A 2ABC 180 2ABC 180 A B 180 A (2) Từ (1) (2) ABC AED Mà hai góc vị trí đồng vị nên ED //BC Tứ giác BCDE hình thang Mặt khác: ABC cân A nên ABC ACB hay EBC DCB Vậy hình thang BCDE hình thang cân (do có hai góc kề đáy nhau) Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vng cân A Vẽ phía ngồi tam giác ACD vuông cân D Tứ giác ABCD hình gì? Vì sao? Lời giải: Vì tam giác ABC tam giác vuông cân A ABC ACB 45 Vì tam giác ADC tam giác vuông cân D DAC DCA 45 Do đó: DAC ACB 45 Mà DAC ACB hai góc so le Do đó: AD / /BC Xét tứ giác ABCD ta có: AD / /BC ADC 90 Suy ABCD hình thang vng Dạng Sử dụng tính chất hình thang, hình thang cân, hình thang vng để chứng minh toán Phương pháp giải: Áp dụng tính chất cạnh góc hình thang, hình thang cân, hình thang vng học để giải tốn Ví dụ 1: Cho hình thang vng ABCD có A D 90 , AB = AD , DC = 2AB BE vng góc với CD E a) Chứng minh: ABD EDB b) Chứng minh: BEC vuông cân E Lời giải: a) Do ABCD hình thang nên AB // CD ABD BDC (hai góc so le trong) Vì BE vng góc với DC BED 90 Xét ABD tam giác EDB ta có: BD chung A = BED 90 ABD BDC Do đó: ABD EDB (cạnh huyền - góc nhọn) b) Từ hai tam giác câu a ta có: AB ED,AD EB (các cặp cạnh tương ứng) 1 Mà AB= CD ED CD 2 Suy E trung điểm CD ED AB EC Mà AB = AD (giả thuyết) Nên ED AB EC AD EB Xét tam giác BEC có EB = EC BEC 90 Vậy BEC tam giác vng cân E Ví dụ 2: Cho hình thang cân ABCD có AB // CD, AB < CD Gọi G giao điểm AD BC Gọi F giao điểm AC BD Chứng minh: a) Tam giác AGB cân G; b) Các tam giác ABD BAC nhau; c) FC = FD Lời giải: a) Vì AB // CD nên ta có: GAB ADC (hai góc đồng vị) GBA BCD (hai góc đồng vị) Mà ADC BCD (do ABCD hình thang cân) Do đó: GAB GBA Xét tam giác AGB có: GAB GBA Nên tam giác AGB tam giác cân G b) Xét hai tam giác ABD BAC có: AB chung AD = BC (do ABCD hình thang cân) AC = BD (do ABCD hình thang cân) Do đó: ABD BAC (c – c – c) c) Ta có: ADC ADB BDC BCD BCA ACD ADC ADB BDC BCD BCA ACD Mà ADB BCA (do ABD BAC ); ADC BCD (ABCD hình thang cân) Do đó: BDC ACD Xét tam giác FCD có: FDC FCD BDC ACD Suy tam giác FCD cân F FC = FD (điều phải chứng minh) III Bài tập tự luyện Bài 1: Cho hình thang ABCD có AB // CD, A 3D Tính góc hình thang Bài 2: Cho hình thang ABCD (AB // CD), có AH BK hai đường cao hình thang a) Chứng minh: DH CD AB ; b) Biết AB = 6cm, CD = 14cm, AD = 5cm Tính DH, AH diện tích hình thang ABCD Bài 3: Cho hình thang ABCD (AB // CD) có CD = AD + BC Gọi K điểm thuộc đáy CD cho KD = AD Chứng minh: a) AK tia phân giác góc A b) KC = BC Bài 4: Cho tam giác ABC vng cân A có AB = 4cm Vẽ phía ngồi tam giác ACD vng cân D Tính diện tích tứ giác ABCD Bài 5: Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB cạnh bên BC Chứng minh CA tia phân giác góc BCD Bài 6: Cho hình thang ABCD (AB // CD) có E F trung điểm hai đáy AB CD Chứng minh EF vuông góc với AB Bài 7: Cho hình thang ABCD vng A D Có AB = AD = 3cm, CD = 6cm Tính số đo góc B, góc C Bài 8: Cho hình thang ABCD (AB // CD), Hai đường phân giác góc C góc D cắt I thuộc đáy AB Chứng minh tổng độ dài hai cạnh bên độ dài AB hình thang Bài 9: Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB cạnh bên AD Chứng minh AC tia phân giác góc C Bài 10: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Trên BC lấy điểm M cho CM = CA Đường thẳng qua M song song với CA cắt AB I a) Tứ giác ACMI hình gì? b) AB + AC < AH + BC ... biết: + Hình thang có hai góc kề đáy hình thang cân + Hình thang có hai đường chéo hình thang cân Chú ý: Hình thang có hai cạnh bên chưa hình thang cân Hình thang vng Hình thang vng hình thang. .. ABCD hình thang cân nên ta có: A B 120 C D 60 Dạng Chứng minh hình thang, hình thang cân hình thang vng Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa hình thang, hình thang cân, hình thang. .. Suy ABCD hình thang vng Dạng Sử dụng tính chất hình thang, hình thang cân, hình thang vng để chứng minh tốn Phương pháp giải: Áp dụng tính chất cạnh góc hình thang, hình thang cân, hình thang vng