Các dạng toán về hình bình hành I Kiến thức cần nhớ 1 Định nghĩa Hình bình hành là tứ giác có các cặp cạnh đối song song Tứ giác ABCD là hình bình hành AB / /CD AD / /BC 2 Tính chất Trong hình[.]
Các dạng tốn hình bình hành I Kiến thức cần nhớ Định nghĩa Hình bình hành tứ giác có cặp cạnh đối song song A D O B C AB / /CD Tứ giác ABCD hình bình hành AD / /BC Tính chất: Trong hình bình hành a) Các cạnh đối nhau; b) Các góc đối nhau; c) Hai đường chéo cắt trung điểm đường Dấu hiệu nhận biết a) Tứ giác có cạnh đối song song hình bình hành; b) Tứ giác có cạnh đối hình bình hành; c) Tứ giác có hai cạnh đối song song hình bình hành; d) Tứ giác có góc đối hình bình hành; e) Tứ giác có hai đường chéo cắt trung điểm đường hình bình hành II Các dạng tốn phương pháp giải Dạng Vận dụng tính chất hình bình hành để chứng minh tính chất hình học Phương pháp giải: Vận dụng định nghĩa, tính chất cạnh, góc đường chéo hình bình hành Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD Gọi E trung điểm AD, F trung điểm BC Chứng minh: a) BE = DF; ABE CDF ; b) BE//DF Lời giải: a) Vì E trung điểm AD, F trung điểm BC AE DE AD BF CF BC Mà AD = BC ABCD hình bình hành Do đó: AE DE BF CF Lại có ABCD hình bình hành: AB DC (tính chất) EAB DCF Xét tam giác ABE tam giác CDF có: AB DC EAB DCF AE BF ABE CDF (c – g – c) BE DF (hai cạnh tương ứng) ABE CDF (hai góc tương ứng) b) Xét tứ giác EBFD có: BE DF (chứng minh trên) DE BF Nên tứ giác EBFD hình bình hành (dấu hiệu nhận biết) BE / /DF Dạng Chứng minh tứ giác hình bình hành Phương pháp giải: Áp dụng dấu hiệu nhận biết hình bình hành a) Tứ giác có cạnh đối song song hình bình hành; b) Tứ giác có cạnh đối hình bình hành; c) Tứ giác có hai cạnh đối song song hình bình hành; d) Tứ giác có góc đối hình bình hành; e) Tứ giác có hai đường chéo cắt trung điểm đường hình bình hành Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD, đường chéo BD Kẻ AH CK vng góc với BD H K Chứng minh tứ giác AHCK hình bình hành Lời giải: Vì tứ gác ABCD hình bình hành: AD BC AD / /BC Vì AD // BC nên ADH CBK (hai góc so le trong) Ta có: AH BD CK BD AHD 90 CKB 90 AH / /CK Xét tam giác AHD tam giác CKB có: AHD CKB 90 ADH CBK AD BC AHD CKB (cạnh huyền - góc nhọn) AH CK (hai cạnh tương ứng) Xét tứ giác AHCK có: AH CK AH / /CK tứ giác AHCK hình bình hành (dấu hiệu nhận biết) Dạng Chứng minh ba điểm thẳng hàng, đường thẳng đồng quy Phương pháp giải: Vận dụng tính chất đường chéo hình bình hành: Hai đường chéo cắt trung điểm đường Ví dụ Cho tam giác ABC O điểm thuộc miền tam giác Gọi D, E, F trung điểm cạnh AB, BC, AC L, M, N trung điểm đoạn OA, OB, OC Chứng minh đoạn thẳng EL, FM DN đồng quy Lời giải: Gọi I trung điểm LE Vì D trung điểm AB, L trung điểm AO nên LD đường trung bình tam giác AOB LD / /OB (1) LD OB Vì N trung điểm OC, E trung điểm BC nên NE đường trung bình tam giác OBC NE / /OB (2) NE OB Từ (1) (2) NE / /LD NE LD Xét tứ giác DENL có: NE // LD NE = LD Nên tứ giác DENL hình bình hành Hai đường chéo DN LE cắt trung điểm I của LE (*) L trung điểm AO, M trung điểm OB nên LM đường trung bình tam giác OAB LM / /AB (3) LM AB F trung điểm AC, E trung điểm BC nên FE đường trung bình tam giác ABC FE / /AB FE AB Từ (3) (4) FE / /LM FE LM Xét tứ giác LMEF có: FE // LM FE = LM Nên tứ giác LMEF hình bình hành Hai đường chéo MF LE cắt trung điểm I LE (**) Từ (*) (**) ta có EL, FM, DN đồng quy (do qua trung điểm I EL) III Bài tập tự luyện Bài Cho hình bình hành ABCD (AB > BC) Tia phân giác góc D cắt AB E, tia phân giác góc B cắt CD F a) Chứng minh DE // BF; b) Tứ giác DEBF hình gì? Bài Cho tam giác ABC Từ điểm E cạnh AC vẽ đường thẳng song song với BC cắt AB F đường thẳng song song với AB cắt BC D Giả sử AE = BF, chứng minh: a) Tam giác AED cân b) AD phân giác góc A Bài Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA I, K trung điểm đường chéo AC, BD Chứng minh: a) Các tứ giác MNPQ, INKQ hình bình hành b) Các đường thẳng MP, NQ, IK đồng quy Bài Cho tam giác ABC, H trực tâm Các đường thẳng vuông góc với AB B, vng góc với AC C cắt D a) Chứng minh tứ giác BDCH hình bình hành b) Tính số đo góc BDC , biết BAC 60O Bài Cho hình bình hành ABCD có AD = 2AB Từ C vẽ CE vng góc với AB Nối E với trung điểm M AD Từ M vẽ MF vng góc với CE cắt BC N a) Tứ giác MNCD hình gì? b) Tam giác EMC tam giác gì? c) Chứng minh BAD 2AEM Bài Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA a) Chứng minh tứ giác MNPQ hình bình hành; b) So sánh chu vi tứ giác MNPQ tổng hai đường chéo tứ giác ABCD Bài Cho hình bình hành ABCD Gọi M, N trung điểm BC, CD Hai đường thẳng AM, AN cắt BD E, F CMR: a) E, F trọng tâm tam giác ABC ACD; b) EB = EF = DF Bài Cho tứ giác ABCD Gọi E, F trung điểm AB, CD Gọi M, N, P, Q trung điểm AF, EC, DE, BF Chứng minh tứ giác EQFM, ENFP, MNPQ hình bình hành Bài Cho tam giác ABC, M trung điểm AB, N trung điểm AC, O trung điểm MN Gọi I điểm đối xứng A qua O Chứng minh: a) Tứ giác AMIN hình bình hành b) Tứ giác MNIB hình bình hành c) Tứ giác MNCI hình bình hành d) B C đối xứng qua I Bài 10 Cho tam giác ABC O điểm nằm tam giác, M, N theo thứ tự trung điểm BC, CA Gọi A’, B’ điểm đối xứng điểm O qua M, N Chứng minh: a) Tứ giác AB’CO hình bình hành b) Tứ giác BOCA’ hình bình hành c) Tứ giác AB’A’B hình bình hành Bài 11 Cho tam giác ABC cân A Gọi M, N, P trung điểm BC, AC, AB Điểm E đối xứng với P qua N, điểm F đối xứng với N qua đường thẳng BC a) Tứ giác ANFM hình gì? Vì sao? b) Đường thẳng ME cắt đường thẳng AB K Chứng minh K đối xứng với P qua B c) Chứng minh ba điểm C, E, F thẳng hàng Bài 12 Cho hình bình hành ABCD Gọi E điểm đối xứng với D qua A, F điểm đối xứng với D qua C a) Chứng minh AEBC ABFC hình bình hành b) Các điểm E F có đối xứng với qua điểm B khơng? Vì sao? c) Tìm điều kiện hình bình hành ABCD để E đối xứng với F qua đường thẳng BD Bài 13 Cho tam giác ABC cân A Trên AB lấy D, AC lấy E cho AD = CE Gọi O trung điểm DE, K giao điểm AO BC Tứ giác ADKE hình bình hành Bài 14 Cho tứ giác ABCD có M, N trung điểm AB, CD Lấy P, Q thuộc cạnh BC, AD (PB PC, QA QD) Biết tứ giác MPNQ hình bình hành Chứng minh BC // AD Bài 15 Cho hình bình hành ABCD Gọi E, F theo thứ tự trung điểm AB, CD Gọi M giao điểm AF DE, N giao điểm BF CE Chứng minh: a) EMFN hình bình hành; b) Các đường thẳng AC, BD, EF, GH đồng quy Bài 16* Cho hình bình hành ABCD Qua C kẻ đường thẳng xy có điểm chung C với hình bình hành Gọi AA’, BB’, CC’, DD’ đường vng góc kẻ từ A, B C, D đến đường thẳng xy Chứng minh AA’ = BB’ + DD' Bài 17* Cho hình bình hành ABCD đường thẳng xy khơng có điểm chung với hình bình hành Gọi AA’, BB’, CC’, DD’ đường vuông góc kẻ từ A, B, C, D đến đường thẳng xy Tìm mối liên hệ độ dài AA’, BB’, CC’, DD' Bài 18* Cho hình bình hành ABCD có A 90o Ở phía ngồi hình bình hành vẽ tam giác ADF, ABE a) Tính EAF ; b) Chứng minh tam giác CEF tam giác Bài 19 Cho tam giác ABC Ở phía ngồi tam giác, vẽ tam giác vuông cân A BD, ACE Vẽ hình bình hành ADIE Chứng minh: a) IA = BC b) IA BC ... Chứng minh tứ giác hình bình hành Phương pháp giải: Áp dụng dấu hiệu nhận biết hình bình hành a) Tứ giác có cạnh đối song song hình bình hành; b) Tứ giác có cạnh đối hình bình hành; c) Tứ giác... có hai cạnh đối song song hình bình hành; d) Tứ giác có góc đối hình bình hành; e) Tứ giác có hai đường chéo cắt trung điểm đường hình bình hành Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD, đường chéo BD Kẻ... ADKE hình bình hành Bài 14 Cho tứ giác ABCD có M, N trung điểm AB, CD Lấy P, Q thuộc cạnh BC, AD (PB PC, QA QD) Biết tứ giác MPNQ hình bình hành Chứng minh BC // AD Bài 15 Cho hình bình hành