Đang tải... (xem toàn văn)
CÔNG THỨC PHƯƠNG TRÌNH BẬC 3 TỔNG QUÁT | Các bài toán chứa tham số Tạp chí và tư liệu toán học | 204 Vậy với − 5 2 m thì hệ đã cho có nghiệm Nhận xét Bài toán này đã không còn đơn giản như bài toán.
| Các tốn chứa tham số hệ cho có nghiệm Nhận xét Bài tốn khơng cịn đơn giản tốn trên, mấu chốt 18 tìm bất đẳng thức ( 4x + 2y ) = 16x + 16xy + 4y − , để làm điều ta làm 2m + sau Viết lại hệ cho dạng Vậy với m − −5x + 4xy − 2y −3 2m − , (k ) 2 7kx + 4kxy + 2ky k 2m + Cộng vế hệ phương trình ta 2m − (7k − ) x + (k + 1) xy + (k − 1)y −3 + k 2m + Ta cần vế trái dạng đẳng thức, ta cần có k 0,7k − 0,k − k = 7k − (k − 1) = (k + 1) 5k − 16k + = k = 18 Vậy lấy k = ta có bất đẳng thức ( 4x + 2y ) = 16x + 16xy + 4y − 2m + x − xy + 2y − x m Câu 16 Tìm tham số m để hệ bất phương trình có nghiệm? x − 2xy − 2x m − Giải Hệ phương trình tương đương x − xy + 2y − x m x − xy + 2y − x m x − 2xy − 2x + m x − 2xy − 2x + m 2 2 2 ( x − 2y ) + ( x − 1) 3m 2 x − xy + 2y − x + x − 2xy − 2x + 3m Suy để hệ có nghiệm ta cần m ( ) ( ) 1 Và ngược lại, m hệ ln có nghiệm 1; 2 Vậy m giá trị cần tìm Câu 17 Tìm tất giá trị tham số a để hệ phương trình sau có nghiệm 2 x − 2xy − 3y = 2 2x + 4xy + 5y = a − 4a + 4a − 12 + 105 ( ) Giải x − 2xy − 3y = Đặt m = a − 4a + 4a − 12 + 105 () 2x + 4xy + 5y = m Do x = không nghiệm hệ nên đặt y = tx , ( x ) hệ tương đương ( ( ) ) x − 2t − 3t = 2 x + 4t + 5t = m (1 ) (2) − 2t − 3t = + 4t + 5t m Tạp chí tư liệu tốn học | 204 Tuyển tập phương trình đại số hay khó | ( ) + 4t + 5t m = = f (t ) − 2t − 3t 1 Từ ( ) − 2t − 3t t −1; 3 5t + 4t + khoảng −3t − 2t + Xét hàm số f (t ) = Ta có f ' (t ) = 2t + 22t + ( −3t − 2t + ) ( ), t −1; t 1 −1; Cho f ' (t ) = t1 = −11 − 105 −11 + 105 t2 = 2 Bảng biến thiên − t f ' (t ) −1 t1 + t2 − − + + + + + f (t ) 105 − Dựa vào bảng biến thiên, để hệ có nghiệm phương trình ( ) có nghiệm m 105 − f (t ) = m 105 − −1; 3 a − 4a + 4a − 12 + 105 105 − a − 4a + 4a − ( ) (a + 1)(a − ) a − 2a + a −1 a Vậy để hệ phương trình có nghiệm a ( −; −1 3; + ) −a 2 (*) x + 2xy − 7y Câu 18 Tìm a để bất phương trình có nghiệm +a 3x + 10xy − 5y −2 Giải Điều kiện cần Giả sử hệ bất phương trình có nghiệm ( x ;y ) a giá trị cần tìm Vậy − a0 2 x + 2x 0y − 7y −2x − 4x 0y + 14y − + a + a0 3x + 10x y − 5y −2 3x + 10x y − 5y −2 0 0 0 (1) (2) Từ (1) ( ) suy x 02 + 6x 0y + 10y 02 − 4 (x + 3y ) − + a0 a0 −1 + a0 + a0 Vậy điều kiện cần để hệ có nghiệm a −1 −a Điều kiện đủ Với a −1 −1 1+a x + 2xy − 7y = −1 Do hệ phương trình (I ) : có nghiệm hệ bất phương trình cho có 3x + 10xy − 5y = −2 nghiệm 205 | Chinh phục olympic toán | Các toán chứa tham số Ta xét hệ ( I ) −3 x + 2xy − 7y = −1 x = ;y = x = ;y = −1 ( x + 3y ) = 2 Hệ ( I ) có nghiệm nên hệ bất phương trình cho có nghiệm Tóm lại, hệ bất phương trình có nghiệm a −1 x + y = 2a − Câu 19 Gỉa sử x,y nghiệm hệ phương trình 2 x + y = a + 2a − P = xy đạt giá trị nhỏ ( ) Xác định a để tích Giải Phân tích Ta thấy hệ xuất biểu thức đối xứng theo x y dó ta nghĩ tới phương pháp đặt ẩn phụ tổng – tích Biến đổi phương trình tương đương S = x + y = 2a − x + y = 2a − ( ) 2 ( x + y ) − 2xy = a + 2a − P = xy = ( 3a − 6a + ) Để x, y nghiệm hệ S 4P 2a − 8a + − Xét hàm số P = f (a ) = 3a − 6a + đoạn ( ) 2 a 2+ (1) 2 2 ;2 + 2 − 2 Ta có P ' = f ' (a ) = 3a − Cho f ' (a ) = a = Bảng biến thiên a − P ' = f ' (a ) 2− − 2 + 2+ 2 + + + P = f (a ) Dựa vào bảng biến thiên Pmin = 11 2 a = − − 2 x = y + a Câu 20 Cho hệ phương trình ẩn x,y với a,b tham số thực Biết hệ phương y = x + b trình có nghiệm ( x , y ) Tính giá trị tích P = x 0y Giải Đầu tiên ta xem qua lời giải sau Giả sử với giá trị a,b đó, hệ cho có nghiệm ( x , y ) Đặt x 0y = k • Nếu x = y = b b + a = , suy a Trong hệ cho, thay y từ phương trình thứ hai lên phương trình thứ nhất, ta có (x +b ) ( ) + a = x x + 2bx + b + a = x x x + 2bx − = (* ) Ta xét phương trình x + 2bx − = đặt f ( x ) = x + 2bx − 1, x Tạp chí tư liệu tốn học | 206 Tuyển tập phương trình đại số hay khó | Ta thấy hàm liên tục f ( ) = −1 0, lim f ( x ) = + nên f ( x ) = hay phương x →+ trình x + 2bx − = có nghiệm dương x = x Dễ thấy điều kiện x thỏa mãn đề x = y + a a nên hai nghiệm x = x = 0, x = x phương trình ( * ) thỏa mãn Mỗi giá trị x cho ta giá trị y nên trường hợp hệ có hai nghiệm phân biệt, không với đề • Nếu y = xét tương tự • Nếu x , y Thay y = k vào hai phương trình hệ cho, ta x0 k2 x = + a 2 x0 x = k + ax k = k + ax 02 + bx k − k + ax 02 + bx = k = x + bx k = x2 +b x Hệ có nghiệm nên phương trình bậc hai theo k có nghiệm nhất, tức k= Vậy hệ có nghiệm tích P = x 0y = Nhận xét Lời giải nhìn hợp lí thật có sai lầm tinh vi, cho hệ cho phương trình thu sau phép thế, cịn gọi phương trình hệ quả, tương đương với Ở đây, rõ ràng hệ phương trình ban đầu có nghiệm chưa hẳn phương trình ( ) cuối theo biến k k − k + (ax 02 + bx ) = có nghiệm nhất, có nghiệm không thỏa đề Cách biến đổi đại số dùng cho khó tìm kết xác Lời giải sau Trong hệ phương trình cho, thay y x + b vào phương trình trên, ta có ( x = x2 +b ) +a Dễ thấy nghiệm phương trình thỏa đề x a , mà nghiệm cho ta giá trị tương ứng y nên điều kiện để hệ cho có nghiệm phương trình ẩn x có nghiệm Phương trình bậc có nghiệm có nghiệm kép, điều có nghĩa nghiệm nghiệm phương trình đạo hàm ( ) x = x + b + a Gọi x nghiệm đó, tương ứng với giá trị y ,thì ta có hệ sau 4x x + b = ( Hơn nữa, x nghiệm hệ ban đầu nên x 02 + b = y , suy x 0y = Vậy hệ cho có nghiệm tích P = x 0y = ) x + y = x Câu 21 Tìm tất giá trị tham số a để hệ phương trình có nghiệm phân y + x − a = 207 | Chinh phục olympic toán | Các toán chứa tham số biệt? Giải Ta xét hai trường hợp sau • Trường hợp Nếu x y = Khi + Với a hệ có hai nghiệm phân biệt với x (a − 1;0 ), (a + 1;0 ) + Với −1 a hệ có nghiệm với x (a + 1;0 ) + Với a −1 hệ cho vơ nghiệm • Trường hợp Nếu x , ta có y = −x x x − a = + 2 x 1 + x −2 x = (1 + a ) x Hay x − a = + 2 (a − 1) x = x x − a = −1 − (a − 1) −2 a Rõ ràng ( x ;y ) nghiệm hệ với x y ( x ; −y ) nghiệm hệ Mặt khác −2 (a + 1) −2 a −1 −2 Do + Khi a −2 hệ vơ nghiệm + Khi a = −2 ta có x = (a + 1) = −2 x = ( 2; 1) (a − 1) = −2 nên hệ có hai nghiệm phân biệt (a − 1) hai giá trị cho hệ có nghiệm + Khi −1 a hệ có nghiệm + Khi −2 a (a + 1) a Tóm lại hệ cho có hai nghiệm a = −2 x + y =3 Câu 22 Tìm tất giá trị thâm số a để hệ x + + y + a kiện x ( ) có nghiệm thỏa mãn điều Giải u = x u = x Đặt Do x u v = y v = y u = − v u + v = Hệ phương trình ( ) 2 2 u + + v + a ( − v ) + + v + a u = − v 0 v (1) 2 2 14 − v + v + v + a v − v + 14 + v + a Xét hàm số f (v ) = v − 6v + 14 + v + đoạn 0;1 Ta có f ' (v ) = v −3 v − 6v + 14 + v v2 + = (v − ) ( v + + v v − 6v + 14 )( v − 6v + 14 v + ) Tạp chí tư liệu tốn học | 208 Tuyển tập phương trình đại số hay khó | Cho f ' (v ) = (v − ) v + + v v − 6v + 14 = ( ) ( ( − v ) v + = v v − 6v + 14 ( − v ) v + = v v − 6v + 14 5v = (v − ) Bảng biến thiên v − f ' (v ) −9 + 135 0;1 v1 = 2v + 18v − 27 = −9 − 135 0;1 v2 = v2 + ) − + v1 − − + 14 + f (v ) Để ( ) có nghiệm thỏa x hệ (1) phải có nghiệm Dựa vào bẳng biến thiên, để hệ (1) có nghiệm a f (v ) a 0;1 2y + (1 − m ) − x + 3m − 2m = y + m Câu 23 Tìm m để hệ phương trình có nghiệm phân biệt 2y + 2x − x = − x − y thỏa mãn điều kiện 2y − x 2023 Giải x Điều kiện 2 2y + (1 − m ) − x + 3m − 2m Xét phương trình 2y + 2x − x = − x − y, ( ) Ta đặt a = − x x = − a phương trình trở thành ( ) ( ) 2y + − a a = 3a − y (y − a ) 2y + 2ay + 2a + = y = a 2y + 2ay + 2a + = a + y + (a + y ) + y Với y = a ta có y = − x x = − y 2 2y − x 2023 −46 y 44 (y + 1) 45 Từ y 44 y y y Lấy y = − x thay vào phương trình đầu ta 2y + (1 − m ) y + 3m − 2m = y + m, (1) 2 2y + (1 − m ) y + 3m − 2m = (y + m ) 2y + (1 − m ) y + 3m − 2m = y + m y −m y = 2m 2 y + (1 − 3m ) y + 2m − 2m = y = m − ( ) y −m y −m 2 209 | Chinh phục olympic toán | Các toán chứa tham số Để hệ thỏa mãn u cầu tốn ( ) phải có hai nghiệm y phân biệt thuộc 0;44 điều kiện 0 2m 44 0 m 22 0 m − 44 1 m 45 2m −m m 22 m − −m m m −1 2m m − Nhận xét Ngoài cách xử lý phương trình ( ) ta sử dụng phương pháp hàm đặc trưng để xử lý, ta thấy phương trình có dạng f (y ) = f ( ) − x , f (t ) = 2t + t hàm tăng ( x + ) = y + a Câu 24 Xác định tham số a để hệ sau có nghiệm (y + 1) = x + a y = − x (1 ) ( ) (2) Giải Do vai trò x y hệ phương trìnhVì vậy,nếu ( x ;y ) nghiệm hệ (y; x ) nghiệm hệ Như x = y điều kiện cần để hệ có nghiệm Thay x = y vào (1) ta (1) x + x + − a = (3) Phương trình ( ) có nghiệm = 4a − = a = x + 1) = y + ( Điều kiện đủ Với a = ( ) (y + 1)2 = x + ( x + 1) = y + ( x + 1) = y + ( x + 1)2 − (y + 1)2 = y − x ( x − y )( x + y + ) = x = y x + y + = x = y = − nghiệm 2 ( x + 1) = x + ( x + 1) = −x − Vậy a = hệ phương trình có nghiệm x + y − − k Câu 25 Tìm tất giá trị k để hệ x + y = xy + ( ) x +y −1 =1 ( ) có nghiệm nhất? Giải x + y Điều kiện x + y ( ) ( ) x + y2 −1 − k x + y −1 = x + y2 − − k x + y − = Hệ phương trình ( ) x − + y (1 − x ) = ( x − 1)(y − 1) = Tạp chí tư liệu tốn học | 210 Tuyển tập phương trình đại số hay khó | x + y − − k x = x + y − − k y = ( ( ) x = y − k y = x +y −1 =1 x − k x +y −1 =1 ) ) (1 ) ) (2) ( y +1 −1 = ( x +1 −1 = Để hệ có nghiệm (1) có nghiệm nhất, cịn ( ) vơ nghiệm ngược lại.Nhưng chất hệ (1) hệ ( ) giống Tức (1) có nghiệm ( ) có nghiệm nhất, hệ (1) vơ nghiệm hệ ( ) vơ nghiệm,… Do đó, khơng tồn giá trị k thỏa mãn yêu cầu toán Cách Để ý vai trò x ý phương trình hệ ( ) Vì vậy,nếu ( x ;y ) nghiệm ( ) (y; x ) nghiệm Hay nói cách khác, điều kiện cần để hệ có nghiệm x = y 2x − − k Thay x = y vào ( ) ta đượcc 2x = x + ( ) 2x − = x = k = Đièu kiện đủ Thay k = vào hệ câu a ta thu nghiệm Do khơng tồn k để hệ có nghiệm x − y + 3y − 3x − = (1 ) Câu 26 Tìm m để hệ phương trình có nghiệm? 2 x + − x − 2y − y + m = ( ) Giải Cách Phân tích nhân tử −1 x 1 − x Điều kiện 2y − y 0 y Biến đổi phương trình (1) thành x − 3x = (y − 1) − (y − 1) x − (y − 1) − ( x − y + ) = 3 ( x − y + 1) x + x (y − 1) + (y − 1) − = ( x − y + ) = y = x +1 x + x (y − 1) + (y − 1) − = −1 x Do x 1; x (y − 1) 1; (y − 1) Nên 0 y x = x = x + x (y − 1) + (y − 1) − = x (y − 1) = y = y − = ) ( Thay y = x + vào ( ) ta x − − x + m = Đặt v = − x v 0;1 (2) trở thành v + 2v − = m ( * ) Hệ phương trình ban đầu có nghiệm phương trình ( * ) có nghiệm đoạn 0;1 211 | Chinh phục olympic toán | Các toán chứa tham số Vẽ bảng biến thiên hàm g (v ) = v + 2v − ta tìm g (v ) = −1;max g (v ) = [0;1] [0;1] Vậy hệ phương trình có nghiệm m −1;2 Cách Hàm đặc trưng Điều kiện x −1;1;y 0;2 Phương trình (1) ( x + 1) − ( x + 1) = y − 3y ( ) Vì x −1;1 x + 0;2 Xét hàm số f (t ) = t − 3t ,t 0;2 f ' (t ) = 3t − 6t 0, t ( 0;2 ) f (t ) nghịch biến 0;2 Phương trình ( ) có dạng f ( x + 1) = f (y ) y = x + Thay vào phương trình ( ) ta x − − x + m = 0, x −1;1 ( ) Đặt u = − x , x −1;1 u 0;1 , phương trình ( ) trở thành u + 2u − = m ( ) Xét hàm số g (u ) = u + 2u − 1, u 0;1 g ' (u ) = 2u + 0, u 0;1 Lập bảng biến thiên ta thấy hệ cho có nghiệm −1 m + y − x − 2x + = Câu 27 Tìm m để hệ có nghiệm ? 2 y + (m − 1) x − 2x = m − 4m + ( ) Giải Phân tích Để ý chút với phương trình ta dồn ẩn y, x − đồng thời dễ dàng nhận ( x ;y ) nghiệm hệ phương trình ( − x ; −y ) nghiệm hệ phương trình tốn trở nên vô đơn giản sử dụng điều kiện cần đủ Hệ cho tương đương + y − ( x − 1) + = (1 ) y + (m − 1)( x − 1) = m − 3m + Ta thấy ( x ;y ) nghiệm hệ phương trình ( − x ; −y ) nghiệm hệ phương trình x = − x x = Điều kiện cần để hệ có nghiệm y = −y y = m = Thay vào (1) ta m − 3m + = m = Điều kiện đủ • 1 + y − x − + = x = ( ) Với m = , ta có hệ - thỏa mãn y = y2 = 1 + y − x − + = ( ) x = • Với m = , ta có hệ - thỏa mãn y = y + ( x − 1) = Vậy m = 1, m = giá trị cần tìm ( )( ) x + x + y + y2 + = Câu 28 Tìm m nhỏ để hệ có nghiệm ? x + + y2 + = m Giải Tạp chí tư liệu tốn học | 212 Tuyển tập phương trình đại số hay khó | x2 +1 x x + + x x + x a Đặt a = x + x + 1,b = y + y + Do y + y y + + y y + y b Ta có 1 4 = = x + − x, = = y2 + − y 2 a b x +1 +x y + +y ab = (1 ) Hệ cho trở thành a + b + + = 2m ( ) a b 4a + b Ta có ( ) 2m = a + b + = 5a + 2b 10ab 10 m 10 ab a = 5a = 2b Với m = 10 ab = b = 1 −3 10 x = a − = 2 a 20 1 −3 10 10 y = b − = b 20 10 Vậy GTNN m để hệ phương trình có nghiệm 10 5m + 15m + 10 x + + y + = ( 5m + 1) Câu 29 Tìm m để hệ phương trình có nghiệm ? x − + y − = 5m + 7m − ( 5m + 1) Giải x Điều kiện Cộng trừ tương ứng hai vế hai phương trình hệ ta y ( x + + x −1 + ( x + − x −1 + ( ) ( y +2 + y −2 = ) ( y +2 − y −2 = ) ( ) 10m + 22m + ( 5m + 1) ) 8m + 16 ( 5m + 1) ) x + + x −1 + y + + y − = m + 4 8m + 16 (1) + = y + + y − 2 ( 5m + 1) x + + x − a = x + + x − a 2x Đặt b = y + + y − b y a + b = m + a + b = m + a + b = m + Phương trình (1) trở thành 4 (m + ) (a + b ) (m + ) (2) = a.b = 5m + + = 5m + 5m + a b a.b Hệ cho có nghiệm hệ ( ) có nghiệm a,b thỏa mãn a 2,b ,suy (a − ) + ( b− ) (m + ) − m m 16 ( a − )( b− ) ( 5m + 1) − (m + ) + 3m −1 m − 16m 2 ( a + b ) 4a.b (m + ) ( 5m + 1) Vậy m 16 hệ phương trình có nghiệm 213 | Chinh phục olympic toán ... b = Hệ phương trình cho có dạng 2 a + a + 3b + 16 = m ( ) 433 Thế b = − a vào ( ) ta có phương trình 4a − 17a + = m (3) 16 Yêu cầu đề dẫn đến phương trình ( ) có nghiệm a 0 ;3? ?? Lập bảng... biến tren Lúc phương trình ( * ) tương đương x = y Thế vào phương trình đầu ta 3x + x + + 3x − x + = m Đặt g ( x ) = 3x + x + + 3x − x + , có g'' ( x ) = 6x + + 6x − 3x + x + 3x − x + Lập bảng... tích Một tốn với ý tưởng quen thuộc, phương trình có ẩn ta phải xử lý phương trình đầu, mà phương trình đầu ta dễ dàng nhìn thấy bóng dáng hàm đặc trưng Phương trình (1) x + 2x + − x + 2x + =