giải tích 2,dhcongnghehn ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ ĐỀ THI HẾT MÔN HỌC KỲ II NĂM HỌC 2014 2015 Đề thi số 1 Môn thi Giải tích II Số tín chỉ 5 Hệ Chính quy Thời gian làm bài 120 ph[.]
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI HẾT MÔN TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ HỌC KỲ II NĂM HỌC 2014 - 2015 Đề thi số Mơn thi: Giải tích II Số tín chỉ: Hệ: Chính quy Thời gian làm bài: 120 phút Câu I (2đ) Cho hàm số: xy ( x y ) ; x2 y 2 f ( x, y) x y 0 ; x2 y a Xét tính liên tục f ( x, y) (0,0) b Tính đạo hàm riêng cấp f ( x, y) (0,0) Câu II (2đ) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số: f ( x, y) e x y2 ( x2 y ) , miền D {( x, y): x2 y2 4} Câu III (2đ) Tính tích phân: I 2 x y cos2 x dx ( x y)2 e y dy , C x2 y 𝐶 nửa Ellip: , chiều 𝐶 ngược chiều kim đồng hồ a b Câu IV (2đ) Tính tích phân: I x y zdxdy , S 𝑆 phía ngồi hình cầu: x2 y z 1, x 0, y 0, z Câu V (2đ) Giải phương trình vi phân: y y y 2x2 2x 4e2 x Ghi chú: Sinh viên không phép sử dụng tài liệu CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI HẾT MÔN TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ HỌC KỲ II NĂM HỌC 2014 - 2015 Đề thi số Mơn thi: Giải tích II Số tín chỉ: Hệ: Chính quy Thời gian làm bài: 120 phút Câu I (2đ) Cho hàm số: x2 y ; x2 y f ( x, y) x y ; x2 y 0 a Xét tính liên tục f ( x, y) (0,0) b Tính đạo hàm riêng cấp f ( x, y) (0,0) Câu II (2đ) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số: f ( x, y ) e xy , miền D {( x, y): x2 y 1} Câu III (2đ) Tính tích phân: (1 xy)e C xy dx (e y x2e xy )dy , với 𝐶 đường cong y x2 , định hướng từ điểm 𝑂(0,0) tới điểm 𝐵(1,1) Câu IV (2đ) Tính tích phân: S xydydz yzdzdx zxdxdy , với 𝑆 phía (nhìn từ phía dương trục Oz) phần mặt cong: z x2 y2 nằm phía hình vng x 1,0 y Câu V (2đ) Giải phương trình vi phân: y y y x2 4x 1 4e x Ghi chú: Sinh viên không phép sử dụng tài liệu CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Đáp án Đề số Câu I: a (0.5đ) xy ( x y ) x y 0, ( x, y) (0, 0) x2 y 2 (0.5đ) Do đó: lim ( x , y ) (0,0) f ( x, y) f (0,0) , nên hàm số liên tục (0,0) f ( x, 0) f (0, 0) 0 x f (0, y ) f (0, 0) (0.5đ) f y(0, 0) lim 0 x 0 y b (0.5đ) f x(0, 0) lim x 0 Câu II: f x xe x y (1 x y ) (0.5đ) Trong miền mở D, điểm dừng thỏa mãn: x2 y (2 x y ) f y ye 2 (0.5đ) Các điểm dừng: (0,0), (±1,0), (0, ±1) 𝑓(0,0) = 0, 𝑓(0, ±1) = , 𝑓(±1,0) = 𝑒 𝑒 (0.5đ) Trên biên miền 𝐷: 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑦) = (0.5đ) 𝑓𝐶𝑇 (±2,0) = 4/𝑒 , 𝑓𝐶𝐷 (0, ±2) = 8/𝑒 Do đó: 𝑓𝑚𝑖𝑛 (0,0) = 0, 𝑓𝑚𝑎𝑥 (0, ±1) = 2/𝑒 Câu III: (0.5đ) 𝑦 +4 𝑒4 , −2 ≤ 𝑦 ≤ P( x, y ) x y cos x Py y Q( x, y ) ( x y ) e y Qx 2( x y ) (0.5đ) Gọi 𝐿 = 𝐶 ∪ ̅̅̅̅ 𝐴𝐵; 𝐴(−𝑎, 0), 𝐵(𝑎, 0) Chiều L chiều ngược chiều kim đồng hồ L C AB I C L AB (0.5đ) Dùng công thức Green đường cong kín L: x2 y J Pdx Qdy 2 ( x y )dxdy ; D {(x, y ): + 1,y 0} a b L D Đặt x a.r.cos , y b.r.sin Dr {(r , ) : , r 1} J r (a cos b sin ).abr.drd Dr 0 2ab (a cos b sin )d r dr CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 4ab (0.5đ) Tham số đường thẳng AB: K a Pdx Qdy a AB Do đó: I J K 2 (2 x cos x)dx 4a sin 2a a 4ab 4a sin 2a a 3 Câu IV: (0.25đ) Phương trình mặt cầu: z x y (0.25đ) Vecto pháp tuyến mặt cầu: l zx , zy ,1 x x2 y , ,1 x y y (0.5đ) Hình chiếu phần mặt cầu xuống mp Oxy: Dxy {( x, y) : x2 y 1, x 0, y 0} I x y x y dxdy Đặt: x r.cos , y r.sin Dxy Dr {(r , ) : , r 1} ; J r (0.5đ) I r cos sin r r.drd Dr /2 sin cos d. r r dr /2 1 cos x ( x 1)(3x 2) x 15 0 15 15 Câu V: (0.5đ) Pt không nhất: y y y 2x2 2x 4e2 x Pt nhất: y y y Pt đặc trưng: k k k 1, k 2 (0.5đ) Nghiệm tổng quát pt nhất: y* ( x) C1e x C2e 2 x (0.25đ) Nghiệm riêng pt khơng tìm dạng: y ( x) Ax Bx C De2 x (0.5đ) Dùng phương pháp đồng thức: A=1,B=C=0,D=1 (0.25đ) Nghiệm tổng quát pt không nhất: y( x) y* ( x) y( x) C1e x C2e2 x x e2 x CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Đáp án Đề số Câu I: a (0.5đ) Xét dãy điểm M , k l n (0, 0) ; k , l const n n k 2l n (0.5đ) Khi đó: f (M ) , lim f ( x, y ) nên f(x,y) không liên tục ( x , y ) (0,0) k l (0,0) f ( x, 0) f (0, 0) 0 x f (0, y ) f (0, 0) (0.5đ) f y(0, 0) lim 0 x 0 y b (0.5đ) f x(0, 0) lim x 0 Câu II: f ye xy (0.5đ) Trong miền mở D, điểm dừng thỏa mãn: x xy f y xe 0 Điểm dừng: (0,0) Khi đó: 𝑓(0,0) = (0.5đ) Trên biên miền 𝐷, lập hàm Lagrange: L( x, y) e xy ( x2 y 1) Lx ye xy 2 x Điểm dừng hàm Lagrange: Ly xe xy 8 y 2 x y (0.5đ) Các điểm dừng: (± 𝑓𝐶𝑇 (± √2 ,± 2√ )=𝑒 (0.5đ) Do đó: 𝑓𝑚𝑖𝑛 (± √2 −1/4 ,± 2√ ) , (± , 𝑓𝐶𝐷 (± √2 ,± 2√ ) ,∓ √2 ,∓ ) √2 1/4 )=𝑒 2√2 √2 −1/4 =𝑒 , 𝑓𝑚𝑎𝑥 (± √2 ,∓ ) = 𝑒 1/4 2√2 Câu III: P( x, y) (1 xy )e xy Py xe xy x ye xy (0.5đ) Q( x, y) e y x 2e xy Qx xe xy x ye xy Py Qx (0.5đ) Suy ra, tích phân khơng phụ thuộc vào đường lấy tích phân Do đó: I (1 xy)e xy dx (e y x 2e xy )dy OA (1 xy)e xy dx (e y x 2e xy )dy ; A(0,1) AB 1 (0.5đ) e y dy (1 x)e x dx (0.5đ) e y xe x 2e Câu IV: (0.5đ) Phương trình mặt cong: z x2 y2 Vecto pháp tuyến mặt cong: l zx , zy ,1 x, y,1 (0.5đ) Hình chiếu phần mặt cong xuống mp Oxy: Dxy {( x, y ) : x 1, y 1} CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt (0.5đ) I xy.2 x y(4 x y ).2 y (4 x y ) x dxdy Dxy (0.5đ) x x x3 dx 15 3 180 0 Câu V: (0.5đ) Pt không nhất: y y y x2 4x 1 4ex Pt nhất: y y y Pt đặc trưng: k 2k k 1 (0.5đ) Nghiệm tổng quát pt nhất: y* ( x) C1e x C2 xe x (0.25đ) Nghiệm riêng pt không tìm dạng: y ( x) Ax Bx C De x (0.5đ) Dùng phương pháp đồng thức: A=1,B=0,C=-3,D=1 (0.25đ) Nghiệm tổng quát pt không nhất: 34 11 713 y( x) y* ( x) y( x) C1e x C2 xe x x e x CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ... TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ HỌC KỲ II NĂM HỌC 2014 - 2015 Đề thi số Mơn thi: Giải tích II Số tín chỉ: Hệ: Chính quy Thời gian làm bài: 120 phút Câu I (2đ) Cho hàm số: x2 y ;... y 1} Câu III (2đ) Tính tích phân: (1 xy)e C xy dx (e y x2e xy )dy , với