giải tích 2,dhcongnghehn

giải tích 2,dhcongnghehn ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ ĐỀ THI HẾT MÔN HỌC KỲ II NĂM HỌC 2014 2015 Đề thi số 1 Môn thi Giải tích II Số tín chỉ 5 Hệ Chính quy Thời gian làm bài 120 ph[.]

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI HẾT MÔN TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ HỌC KỲ II NĂM HỌC 2014 - 2015 Đề thi số Mơn thi: Giải tích II Số tín chỉ: Hệ: Chính quy Thời gian làm bài: 120 phút Câu I (2đ) Cho hàm số:  xy ( x  y ) ; x2  y   2 f ( x, y)   x  y 0 ; x2  y   a Xét tính liên tục f ( x, y) (0,0) b Tính đạo hàm riêng cấp f ( x, y) (0,0) Câu II (2đ) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số: f ( x, y)  e x  y2 ( x2  y ) , miền D  {( x, y): x2  y2  4} Câu III (2đ) Tính tích phân: I   2 x  y  cos2 x  dx  ( x  y)2  e y  dy , C     x2 y 𝐶 nửa Ellip:   , chiều 𝐶 ngược chiều kim đồng hồ a b Câu IV (2đ) Tính tích phân: I   x y zdxdy , S 𝑆 phía ngồi hình cầu: x2  y  z  1, x  0, y  0, z  Câu V (2đ) Giải phương trình vi phân: y  y  y  2x2  2x   4e2 x Ghi chú: Sinh viên không phép sử dụng tài liệu CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI HẾT MÔN TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ HỌC KỲ II NĂM HỌC 2014 - 2015 Đề thi số Mơn thi: Giải tích II Số tín chỉ: Hệ: Chính quy Thời gian làm bài: 120 phút Câu I (2đ) Cho hàm số:  x2 y ; x2  y   f ( x, y)   x  y  ; x2  y  0 a Xét tính liên tục f ( x, y) (0,0) b Tính đạo hàm riêng cấp f ( x, y) (0,0) Câu II (2đ) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số: f ( x, y )  e xy , miền D  {( x, y): x2  y  1} Câu III (2đ) Tính tích phân:  (1 xy)e C xy dx  (e y  x2e xy )dy , với 𝐶 đường cong y  x2 , định hướng từ điểm 𝑂(0,0) tới điểm 𝐵(1,1) Câu IV (2đ) Tính tích phân: S xydydz  yzdzdx  zxdxdy , với 𝑆 phía (nhìn từ phía dương trục Oz) phần mặt cong: z   x2  y2 nằm phía hình vng  x  1,0  y  Câu V (2đ) Giải phương trình vi phân: y  y  y  x2  4x 1 4e x Ghi chú: Sinh viên không phép sử dụng tài liệu CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Đáp án Đề số Câu I: a (0.5đ)  xy ( x  y ) x  y   0, ( x, y)  (0, 0) x2  y 2 (0.5đ) Do đó: lim ( x , y ) (0,0) f ( x, y)  f (0,0) , nên hàm số liên tục (0,0) f ( x, 0)  f (0, 0) 0 x f (0, y )  f (0, 0) (0.5đ) f y(0, 0)  lim 0 x 0 y b (0.5đ) f x(0, 0)  lim x 0 Câu II:  f x  xe  x  y (1  x  y )  (0.5đ) Trong miền mở D, điểm dừng thỏa mãn:   x2  y (2  x  y )   f y  ye 2 (0.5đ) Các điểm dừng: (0,0), (±1,0), (0, ±1) 𝑓(0,0) = 0, 𝑓(0, ±1) = , 𝑓(±1,0) = 𝑒 𝑒 (0.5đ) Trên biên miền 𝐷: 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑦) = (0.5đ) 𝑓𝐶𝑇 (±2,0) = 4/𝑒 , 𝑓𝐶𝐷 (0, ±2) = 8/𝑒 Do đó: 𝑓𝑚𝑖𝑛 (0,0) = 0, 𝑓𝑚𝑎𝑥 (0, ±1) = 2/𝑒 Câu III: (0.5đ) 𝑦 +4 𝑒4 , −2 ≤ 𝑦 ≤ P( x, y )  x  y  cos x  Py  y Q( x, y )  ( x  y )  e y  Qx  2( x  y ) (0.5đ) Gọi 𝐿 = 𝐶 ∪ ̅̅̅̅ 𝐴𝐵; 𝐴(−𝑎, 0), 𝐵(𝑎, 0) Chiều L chiều ngược chiều kim đồng hồ    L C  AB I    C L  AB (0.5đ) Dùng công thức Green đường cong kín L: x2 y J   Pdx  Qdy  2 ( x  y )dxdy ; D  {(x, y ): +  1,y  0} a b L D Đặt x  a.r.cos  , y  b.r.sin  Dr  {(r ,  ) :     ,  r  1}  J   r (a cos   b sin  ).abr.drd Dr  0  2ab  (a cos   b sin  )d  r dr CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt  4ab (0.5đ) Tham số đường thẳng AB: K   a Pdx  Qdy  a AB Do đó: I  J  K   2  (2 x  cos x)dx  4a sin 2a a 4ab 4a sin 2a  a 3 Câu IV: (0.25đ) Phương trình mặt cầu: z   x  y  (0.25đ) Vecto pháp tuyến mặt cầu: l    zx ,  zy ,1   x   x2  y  ,  ,1  x  y  y (0.5đ) Hình chiếu phần mặt cầu xuống mp Oxy: Dxy  {( x, y) : x2  y  1, x  0, y  0}  I   x y  x  y dxdy Đặt: x  r.cos  , y  r.sin  Dxy Dr  {(r ,  ) :     ,  r  1} ; J  r (0.5đ)  I   r cos  sin   r r.drd Dr  /2   sin  cos  d. r  r dr  /2   1     cos x   ( x  1)(3x  2)  x     15 0   15 15 Câu V: (0.5đ) Pt không nhất: y  y  y  2x2  2x   4e2 x Pt nhất: y  y  y  Pt đặc trưng: k  k    k  1, k  2 (0.5đ) Nghiệm tổng quát pt nhất: y* ( x)  C1e x  C2e 2 x (0.25đ) Nghiệm riêng pt khơng tìm dạng: y ( x)  Ax  Bx  C  De2 x (0.5đ) Dùng phương pháp đồng thức: A=1,B=C=0,D=1 (0.25đ) Nghiệm tổng quát pt không nhất: y( x)  y* ( x)  y( x)  C1e x  C2e2 x  x  e2 x CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Đáp án Đề số Câu I: a (0.5đ) Xét dãy điểm M  , k l  n  (0, 0) ; k , l  const  n n  k 2l n  (0.5đ) Khi đó: f (M )   ,  lim f ( x, y ) nên f(x,y) không liên tục ( x , y ) (0,0) k l (0,0) f ( x, 0)  f (0, 0) 0 x f (0, y )  f (0, 0) (0.5đ) f y(0, 0)  lim 0 x 0 y b (0.5đ) f x(0, 0)  lim x 0 Câu II:  f    ye xy  (0.5đ) Trong miền mở D, điểm dừng thỏa mãn:  x  xy  f y   xe 0 Điểm dừng: (0,0) Khi đó: 𝑓(0,0) = (0.5đ) Trên biên miền 𝐷, lập hàm Lagrange: L( x, y)  e xy   ( x2  y  1)  Lx   ye xy  2 x   Điểm dừng hàm Lagrange:  Ly   xe xy  8 y   2 x  y  (0.5đ) Các điểm dừng: (± 𝑓𝐶𝑇 (± √2 ,± 2√ )=𝑒 (0.5đ) Do đó: 𝑓𝑚𝑖𝑛 (± √2 −1/4 ,± 2√ ) , (± , 𝑓𝐶𝐷 (± √2 ,± 2√ ) ,∓ √2 ,∓ ) √2 1/4 )=𝑒 2√2 √2 −1/4 =𝑒 , 𝑓𝑚𝑎𝑥 (± √2 ,∓ ) = 𝑒 1/4 2√2 Câu III: P( x, y)  (1  xy )e xy  Py  xe xy  x ye xy (0.5đ) Q( x, y)  e y  x 2e xy  Qx  xe xy  x ye xy  Py  Qx (0.5đ) Suy ra, tích phân khơng phụ thuộc vào đường lấy tích phân Do đó: I  (1  xy)e xy dx  (e y  x 2e xy )dy  OA  (1  xy)e xy dx  (e y  x 2e xy )dy ; A(0,1) AB 1 (0.5đ)   e y dy   (1  x)e x dx (0.5đ)  e y  xe x  2e  Câu IV: (0.5đ) Phương trình mặt cong: z   x2  y2 Vecto pháp tuyến mặt cong: l    zx ,  zy ,1   x, y,1 (0.5đ) Hình chiếu phần mặt cong xuống mp Oxy: Dxy  {( x, y ) :  x  1,  y  1} CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt (0.5đ)  I    xy.2 x  y(4  x  y ).2 y  (4  x  y ) x  dxdy Dxy (0.5đ)     x  x  x3  dx  15 3 180  0 Câu V: (0.5đ) Pt không nhất: y  y  y  x2  4x 1 4ex Pt nhất: y  y  y  Pt đặc trưng: k  2k    k  1 (0.5đ) Nghiệm tổng quát pt nhất: y* ( x)  C1e x  C2 xe x (0.25đ) Nghiệm riêng pt không tìm dạng: y ( x)  Ax  Bx  C  De x (0.5đ) Dùng phương pháp đồng thức: A=1,B=0,C=-3,D=1 (0.25đ) Nghiệm tổng quát pt không nhất: 34 11 713 y( x)  y* ( x)  y( x)  C1e x  C2 xe x  x   e x CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ... TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ HỌC KỲ II NĂM HỌC 2014 - 2015 Đề thi số Mơn thi: Giải tích II Số tín chỉ: Hệ: Chính quy Thời gian làm bài: 120 phút Câu I (2đ) Cho hàm số:  x2 y ;...  y  1} Câu III (2đ) Tính tích phân:  (1 xy)e C xy dx  (e y  x2e xy )dy , với