giải tích 2,dhcongnghehn ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ ĐỀ THI HẾT MÔN HỌC KỲ II NĂM HỌC 2013 2014 Đề thi số 1 Bài thi môn Giải Tích II Số tín chỉ 5 Hệ đào tạo Chính quy Thời gian là[.]
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI HẾT MÔN TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ HỌC KỲ II - NĂM HỌC 2013 - 2014 Đề thi số: Bài thi môn: Giải Tích II Số tín chỉ: Hệ đào tạo: Chính quy Thời gian làm bài: 120 phút (khơng kể thời gian phát đề) Câu 1: (2đ) a Tính giới hạn: 𝑡𝑔(2𝑥𝑦) (𝑥,𝑦)→(1,0) 𝑥 2𝑦 lim b Cho mặt cong có phương trình 𝑧 = (√𝑥 + 3√𝑦)3 Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cong điểm 𝐴 = (100,125) Tính gần 𝑧(98,123) Câu 2: (2đ) Tính thể tích vật thể giới hạn mặt: 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1, 𝑦 = 𝑥, 𝑦 = √3𝑥, 𝑧 = 0, nằm góc phần tám thứ Câu 3: (2đ) Tính tích phân: 𝐼 = ∮ (2𝑥 + 3𝑦 + 𝑠𝑖𝑛2 𝑥)𝑑𝑥 + [(𝑥 + 𝑦)2 + 𝑠𝑖𝑛2 𝑦]𝑑𝑦 , 𝐶 𝐶 đường cong có phương trình: 𝑥 + 𝑦 = 2𝑥, chiều 𝐶 chiều ngược chiều kim đồng hồ Câu 4: (2đ) Tính tích phân: 𝐼 = ∬(𝑦 − 𝑧)𝑑𝑦𝑑𝑧 + (𝑧 − 𝑥)𝑑𝑧𝑑𝑥 + (𝑥 − 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 , 𝑆 𝑆 phần mặt nón 𝑧 = √𝑥 + 𝑦 , ≤ 𝑥 ≤ ℎ Hướng dương mặt 𝑆 phía dưới, nhìn từ hướng dương trục 𝑂𝑧 Câu 5: (2đ) Giải phương trình vi phân: 𝑦 ′′ + 𝑦 ′ − 2𝑦 = −2𝑥 + 2𝑥 + + 4𝑒 2𝑥 -Ghi chú: Sinh viên không phép sử dụng tài liệu CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI HẾT MÔN TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ HỌC KỲ II - NĂM HỌC 2013 - 2014 Đề thi số: Bài thi mơn: Giải Tích II Số tín chỉ: Hệ đào tạo: Chính quy Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề) Câu 1: (2đ) a Tính giới hạn: 𝑥 2𝑦 lim (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 + 𝑦 b Cho mặt cong có phương trình 𝑧 = ln( √𝑥 − 4√𝑦 + 1) Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cong điểm 𝐴 = (1,1) Tính gần 𝑧(1.03; 0.96) Câu 2: (2đ) Tính diện tích phần mặt 𝑧 = trụ 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 𝑥2 𝑎 + 𝑦2 𝑏 (𝑎 > 0, 𝑏 > 0) nằm mặt = Câu 3: (2đ) Tính tích phân: 𝐼 = ∮ (2𝑥 + 3𝑦 + 𝑠𝑖𝑛2 𝑥)𝑑𝑥 + [(𝑥 + 𝑦)2 + 𝑠𝑖𝑛2 𝑦]𝑑𝑦 , 𝐶 𝐶 biên miền 𝐷 giới hạn đường: 𝑦 = 𝑥 , 𝑦 = − 𝑥 Chiều 𝐶 chiều ngược chiều kim đồng hồ Câu 4: (2đ) Tính tích phân: 𝐼 = ∬ 4𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑧 + 4𝑦 𝑑𝑧𝑑𝑥 − 6𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦 , 𝑆 2 𝑆 phần mặt trụ 𝑥 + 𝑦 = 𝑎2 , ≤ 𝑧 ≤ ℎ, 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ Hướng dương mặt 𝑆 phía trên, nhìn từ hướng dương trục 𝑂𝑦 Câu 5: (2đ) Giải phương trình vi phân: 𝑦 ′′ + 2𝑦 ′ + 𝑦 = 𝑥 + 4𝑥 − + 4𝑒 𝑥 -Ghi chú: Sinh viên không phép sử dụng tài liệu CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI HẾT MÔN TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ HỌC KỲ II - NĂM HỌC 2013 - 2014 Đáp án đề thi số: Bài thi mơn: Giải Tích II Số tín chỉ: Hệ đào tạo: Chính quy Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề) Câu 1: (2đ) a (0.25) (0.25) Vì (0.25) Và 𝑡𝑔(2𝑥𝑦) lim 𝑥 2𝑦 (𝑥,𝑦)→(1,0) 𝑡𝑔(2𝑥𝑦) lim 2𝑥𝑦 (𝑥,𝑦)→(1,0) lim (𝑥,𝑦)→(1,0) 𝑥 (𝑥,𝑦)→(1,0) 𝑥(2𝑥𝑦) = (𝑥,𝑦)→(1,0) 𝑥(2𝑥𝑦) b (0.25) 𝑧𝑥 = 2𝑡𝑔(2𝑥𝑦) lim = 2𝑡𝑔(2𝑥𝑦) lim (0.25) Nên = 3(√𝑥+ 3√𝑦) 2√𝑥 , 𝑧𝑦 = = (√𝑥+ 3√𝑦) √𝑦 2 (0.25) (𝑥0 , 𝑦0 ) = (100,125) → 𝑧0 = 3375 (0.25) Phương trình mặt tiếp diện: 𝑧 = 𝑧(𝑥0 , 𝑦0 ) + 𝑧𝑥 (𝑥0 , 𝑦0 )(𝑥 − 𝑥0 ) + 𝑧𝑦 (𝑥0 , 𝑦0 )(𝑦 − 𝑦0 ) 134 (𝑥 − 100) + (𝑦 − 125) = 3375 + 134 (98 − 100) + (123 − 125) = 3306.8 (0.25) 𝑧(98,123) ≈ 3375 + Câu 2: (2đ) (0.25) Thể tích vật thể: 𝑉 = ∭𝐸 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 (0.25) 𝐸 khối nằm góc phần tám thứ nhất, giới hạn mặt trên: 𝑧 = − 𝑥2 − 𝑦2 , mặt dưới: 𝑧 = 0, mặt bên: 𝑦 = 𝑥, 𝑦 = √3𝑥 1−𝑥 −𝑦 (0.25) 𝑉 = ∭𝐸 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∬𝐷(𝑥,𝑦) 𝑑𝑥𝑑𝑦 ∫0 𝑑𝑧 = (0.25) = ∬𝐷(𝑥,𝑦)(1 − 𝑥 − 𝑦 )𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐷 (𝑥, 𝑦) = {(𝑥, 𝑦): 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 1, 𝑦 ≥ 𝑥, 𝑦 ≤ √3𝑥} (0.25) Đổi biến sang hệ tọa độ cực, đặt: 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑 𝐷 (𝑟, 𝜑) = {(𝑟, 𝜑): ≤ 𝑟 ≤ 1, 𝜋/4 ≤ 𝜑 ≤ 𝜋/3} (0.25) 𝑉 = ∬𝐷(𝑟,𝜑)(1 − 𝑟 ) 𝑟 𝑑𝑟𝑑𝜑 = 𝜋/3 (0.25) = ∫𝜋/4 𝑑𝜑 ∫0 (1 − 𝑟 )𝑟𝑑𝑟 = 𝜋 𝜋 (0.25) = = 12 48 Câu 3: (2đ) (0.25) 𝑃(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 + 3𝑦 + 𝑠𝑖𝑛2 𝑥; 𝑄(𝑥, 𝑦) = (𝑥 + 𝑦)2 + 𝑠𝑖𝑛2 𝑦 𝑄𝑥 = 2(𝑥 + 𝑦), 𝑃𝑦 = 6𝑦 (0.25) Theo Green: 𝐼 = ∬𝐷(𝑥,𝑦)(𝑄𝑥 − 𝑃𝑦 )𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∬𝐷(𝑥,𝑦)(𝑥 − 2𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt (0.25) 𝐷 (𝑥, 𝑦) = {(𝑥, 𝑦): 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 2𝑥} (0.25) Đổi biến sang hệ tọa độ cực, đặt: 𝑥 = + 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑 (0.25) 𝐷 (𝑟, 𝜑) = {(𝑟, 𝜑): ≤ 𝑟 ≤ 1,0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋} (0.25) Do đó: 𝐼 = ∬𝐷(𝑟,𝜑)(1 + 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑 − 2𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑) 𝑟 𝑑𝑟𝑑𝜑 2𝜋 (0.25) = ∫0 𝑑𝜑 ∫0 (1 + 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑 − 2𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑)𝑟𝑑𝑟 2𝜋 (0.25) = ∫0 ( 𝑐𝑜𝑠𝜑 − 𝑠𝑖𝑛𝜑 + ) 𝑑𝜑 = 2𝜋 3 Câu 4: (2đ) (0.25) Phương trình mặt 𝑆: 𝑧 = √𝑥2 + 𝑦2 , vector pháp tuyến mặt 𝑆: 𝒍 = (𝑧𝑥 , 𝑧𝑦 , −1) 𝑥 𝑦 (0.25) 𝑧𝑥 = 2 , 𝑧𝑦 = 2 √𝑥 +𝑦 √𝑥 +𝑦 (0.25) 𝐷 (𝑥, 𝑦) = {(𝑥, 𝑦): 𝑥 + 𝑦 ≤ ℎ2 , ≤ 𝑥 ≤ ℎ} (0.25) 𝐼 = ∬𝐷(𝑥,𝑦) [(𝑦 − 𝑧) = ∬𝐷(𝑥,𝑦) [ −𝑧𝑥 √𝑥 +𝑦 + 𝑥 + (𝑧 − 𝑥) √𝑥 +𝑦 𝑧𝑦 √𝑥 +𝑦 𝑦 √𝑥 +𝑦 − (𝑥 − 𝑦)] 𝑑𝑥𝑑𝑦 − 𝑥 + 𝑦] 𝑑𝑥𝑑𝑦 (0.25) = ∬𝐷(𝑥,𝑦)[−2𝑥 + 2𝑦]𝑑𝑥𝑑𝑦 (0.25) Đổi biến sang hệ tọa độ cực, đặt: 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑 𝐷 (𝑟, 𝜑) = {(𝑟, 𝜑): ≤ 𝑟 ≤ ℎ, −𝜋/2 ≤ 𝜑 ≤ 𝜋/2} (0.25) = ∬𝐷(𝑟,𝜑)[𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑 − 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑] 𝑟 𝑑𝑟𝑑𝜑 𝜋/2 ℎ (0.25) = ∫−𝜋/2(𝑠𝑖𝑛𝜑 − 𝑐𝑜𝑠𝜑)𝑑𝜑 ∫0 𝑟 𝑑𝑟 −4ℎ = Chú ý: SV sử dụng cơng thức Gauss, tham số hóa mặt S qua hệ tọa độ trụ (cầu), kết chấm điểm tối đa Câu 5: (2đ) (0.25) Pt đặc trưng: 𝑘 + 𝑘 − = có nghiệm 𝑘1 = 1, 𝑘2 = −2 (0.25) Pt tương ứng: 𝑦 ′′ + 𝑦 ′ − 2𝑦 = có nghiệm tổng quát: 𝑦 = 𝐶1 𝑒 𝑥 + 𝐶2 𝑒 −2𝑥 ′′ ′ (0.25) Pt: 𝑦 + 𝑦 − 2𝑦 = −2𝑥 + 2𝑥 + có nghiệm riêng dạng: 𝑦1 = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 + 𝐶 (0.5) Dùng phương pháp hệ số bất định, tìm được: 𝑦1 = 𝑥 (0.25) Pt: 𝑦 ′′ + 𝑦 ′ − 2𝑦 = 4𝑒 2𝑥 có nghiệm riêng dạng: 𝑦1 = 𝑒 2𝑥 𝐴 (0.25) Dùng phương pháp hệ số bất định, tìm được: 𝑦2 = 𝑒 2𝑥 (0.25) Nghiệm tổng quát ptvp: 𝑦 = 𝐶1 𝑒 𝑥 + 𝐶2 𝑒 −2𝑥 + 𝑥 + 𝑒 2𝑥 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI HẾT MÔN TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ HỌC KỲ II - NĂM HỌC 2013 - 2014 Đáp án đề thi số: Bài thi môn: Giải Tính II Số tín chỉ: Hệ đào tạo: Chính quy Thời gian làm bài: 120 phút (khơng kể thời gian phát đề) Câu 1: (2đ) a (0.5) | (0.25) Vì 𝑥2 𝑦 | 𝑥2 +𝑦2 ≤ lim 𝑥2 |𝑦| 2|𝑥𝑦| |𝑥| |𝑥| = (𝑥,𝑦)→(0,0) (0.25) Nên = 𝑥2𝑦 lim = (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 +𝑦 b (0.25) 𝑧𝑥 = , 𝑧𝑦 = 3 3( √𝑥− 4√𝑦+1) √𝑥 −1 4( 3√𝑥− 4√𝑦+1) √𝑦3 (0.25) (𝑥0 , 𝑦0 ) = (1,1) → 𝑧0 = (0.25) Phương trình mặt tiếp diện: 𝑧 = 𝑧(𝑥0 , 𝑦0 ) + 𝑧𝑥 (𝑥0 , 𝑦0 )(𝑥 − 𝑥0 ) + 𝑧𝑦 (𝑥0 , 𝑦0 )(𝑦 − 𝑦0 ) 1 = (𝑥 − 1) − (𝑦 − 1) 1 (0.25) 𝑧(1.03; 0.96) ≈ (1.03 − 1) − (0.96 − 1) = 0.02 Câu 2: (2đ) (0.25) Diện tích: 𝐷𝑡 = ∬𝑆 𝑑𝑆 (0.25) Phương trình mặt 𝑆: 𝑧 = 𝑧𝑥 = 2𝑥 𝑎 , 𝑧𝑦 = 2𝑦 𝑏 𝑥2 𝑎 + 𝑦2 𝑏 (0.25) 𝑑𝑆 = √𝑧𝑥2 + 𝑧𝑦2 + 1𝑑𝑥𝑑𝑦 = √1 + (0.25) 𝐷 (𝑥, 𝑦) = {(𝑥, 𝑦): 𝐷𝑡 = ∬𝐷(𝑥,𝑦) √1 + 4𝑥 𝑎2 + 𝑥2 𝑎2 + 4𝑦 𝑏2 𝑦2 𝑏2 4𝑥 𝑎2 + 4𝑦 𝑏2 𝑑𝑥𝑑𝑦 ≤ 1, 𝑎 > 0, 𝑏 > 0} 𝑑𝑥𝑑𝑦 (0.25) Đổi biến sang hệ tọa độ cực, đặt: 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝑦 = 𝑏𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑 𝐷 (𝑟, 𝜑) = {(𝑟, 𝜑): ≤ 𝑟 ≤ 1,0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋} (0.25) 𝐷𝑡 = ∬𝐷(𝑟,𝜑) √1 + 4𝑟 𝑎𝑏𝑟 𝑑𝑟𝑑𝜑 = 𝑎𝑏 ∬𝐷(𝑟,𝜑) √1 + 4𝑟 𝑟 𝑑𝑟𝑑𝜑 2𝜋 (0.25) = 𝑎𝑏 ∫0 𝑑𝜑 ∫0 √1 + 4𝑟2 𝑟 𝑑𝑟 (0.25) = 𝑎𝑏𝜋 (5√5 − 1) Câu 3: (2đ) (0.25) 𝑃(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 + 3𝑦 + 𝑠𝑖𝑛2 𝑥; 𝑄(𝑥, 𝑦) = (𝑥 + 𝑦)2 + 𝑠𝑖𝑛2 𝑦 𝑄𝑥 = 2(𝑥 + 𝑦), 𝑃𝑦 = 6𝑦 (0.25) Theo Green: CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 𝐼 = ∬𝐷(𝑥,𝑦)(𝑄𝑥 − 𝑃𝑦 )𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∬𝐷(𝑥,𝑦)(𝑥 − 2𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 (0.25) 𝐷 (𝑥, 𝑦) = {(𝑥, 𝑦): 𝑦 ≥ 𝑥2 , 𝑦 ≤ − 𝑥} (0.25) Giao điểm hai đường: 𝐴(1,1), 𝐵(−2,4) (0.25) 𝐷 (𝑥, 𝑦) = {(𝑥, 𝑦): −2 ≤ 𝑥 ≤ 1, 𝑥 ≤ 𝑦 ≤ − 𝑥} 2−𝑥 (0.25) 𝐼 = ∫−2 𝑑𝑥 ∫𝑥2 (𝑥 − 2𝑦)𝑑𝑦 (0.25) = ∫−2(𝑥 − 𝑥 − 2𝑥 + 6𝑥 − 4)𝑑𝑥 333 (0.25) = − 10 Câu 4: (2đ) (0.25) Phương trình mặt 𝑆: 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑎2 𝑆: 𝑥 = √𝑎2 − 𝑦 , vector pháp tuyến mặt 𝑆: 𝒍 = (1, −𝑥𝑦 , 0) −𝑦 (0.25) 𝑥𝑦 = 2 √𝑎 −𝑦 (0.25) 𝐷 (𝑦, 𝑧) = {(𝑦, 𝑧): ≤ 𝑦 ≤ 𝑎, ≤ 𝑧 ≤ ℎ} (0.25) 𝐼 = ∬𝐷(𝑦,𝑧) [4𝑥 + 4𝑦 𝑦 √𝑎2 −𝑦 = ∬𝐷(𝑦,𝑧) [4(√𝑎2 − 𝑦 )3 + 4𝑦 ℎ ] 𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑦 √𝑎2 −𝑦 ] 𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑎 (0.25) = ∫0 𝑑𝑧 ∫0 [(√𝑎2 − 𝑦 )3 + 𝑦 𝑎 (0.25) = 4ℎ ∫0 [(√𝑎2 − 𝑦 )3 + 𝑦 𝑦 √𝑎2 −𝑦 𝑦 √𝑎2 −𝑦 ] 𝑑𝑦 ] 𝑑𝑦 3𝜋ℎ𝑎4 (0.5) = Chú ý: SV sử dụng cơng thức Gauss, tham số hóa mặt S qua hệ tọa độ trụ, kết chấm điểm tối đa Câu 5: (2đ) (0.25) Pt đặc trưng: 𝑘 + 2𝑘 + = có nghiệm 𝑘1,2 = −1 (0.25) Pt tương ứng: 𝑦 ′′ + 2𝑦 ′ + 𝑦 = có nghiệm tổng quát: 𝑦 = 𝐶1 𝑒 −𝑥 + 𝐶2 𝑥𝑒 −𝑥 ′′ ′ (0.25) Pt: 𝑦 + 2𝑦 + 𝑦 = 𝑥 + 4𝑥 − có nghiệm riêng dạng: 𝑦1 = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 + 𝐶 (0.5) Dùng phương pháp hệ số bất định, tìm được: 𝑦1 = 𝑥 − (0.25) Pt: 𝑦 ′′ + 2𝑦 ′ + 𝑦 = 4𝑒 𝑥 có nghiệm riêng dạng: 𝑦1 = 𝑒 𝑥 𝐴 (0.25) Dùng phương pháp hệ số bất định, tìm được: 𝑦2 = 𝑒 𝑥 (0.25) Nghiệm tổng quát ptvp: 𝑦 = 𝐶1 𝑒 −𝑥 + 𝐶2 𝑥𝑒 −𝑥 + 𝑥 − + 𝑒 𝑥 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ... ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ HỌC KỲ II - NĂM HỌC 2013 - 2014 Đề thi số: Bài thi môn: Giải Tích II Số tín chỉ: Hệ đào tạo: Chính quy Thời gian làm bài: 120 phút (khơng kể thời gian phát... (1,1) Tính gần