ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM MÔN GIẢI TÍCH II 1 ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM MÔN GIẢI TÍCH II Học kỳ I, năm học 2014 2015 ĐỀ 02 Câu Các bước giải Điểm Câu 1 (1,0 điểm) Hàm số liên tục tại mọi điểm khác 0 , 0 trên 2 R[.]
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM MƠN GIẢI TÍCH II Học kỳ I, năm học 2014-2015 ĐỀ 02 Câu Câu (1,0 điểm) Các bước giải - Hàm số liên tục điểm khác , Điểm R 0.25 - Xét tính liên tục Ta có đánh giá sau: x y xy s in x y điểm xy 0, xy x y 0.25 y y x, y s in x xy x f x y 2 - Từ dẫn đến x y xy 2 x y s in xy 2 x Tức hàm số Câu (1,0 điểm) x x y 0 y x x y 2 y x y 0.25 2 , theo nguyên lý kép giới hạn ta 0 x y y lim x y lim s in x - Nhận xét thu y f x, y s in s in x f 0, 0.25 y liên tục (0,0) Kết luận: Hàm số liên tục điểm R - Nhận xét: Điểm M(1,3,1/2) thuộc mặt cong cho 0.25 - Pháp tuyến mặt M n z M z M , ,1 x y x, 18 y ,1 x y 1 , ,1 - Mặt phẳng tiếp diện qua điểm M(1,3,1/2) nhận pháp tuyến nên có phương trình x 1 y z Câu (1,0 điểm) y 6z làm véc tơ 0.25 - Rút gọn ta 3x n 0.25 0.25 - Vẽ hình Viết tích phân dạng I x dx x x y dy 0.25 2 xy y 2 y x dx y x 0.25 2 x 2 x x 0.25 dx 0.25 Câu 4a (1,0 điểm) Ta sử dụng công thức Green để tính tích phân Đường cong C+ bao quanh miền D hình trịn tâm O bán kính R=2 D x, y | x y 2 0.25 Đặt P x x, y e cos 2y , 2y Q x x, y e s in y y Tính hiệu: Q P x y x x e s in y e s in y 0.25 Viết tích phân đường dạng x I e cos y x y dx e s in y y dy 0.25 C Q P x y D dxdy 2dxdy D Nhận xét: Tích phân dxdy D diện tích miền D giá trị dxdy 0.25 D Như I -Hình chiếu phần mặt nón xuống mặt phẳng Oxy 2 D x, y | x y Câu 4b (1,0 điểm) Tính vi phân diện tích mặt ds z z x y 0.25 2 dxdy x 2 y dxdy - Viết tích phân cho thành tích phân bội hai miền D J x 2 y ds S x 2 y x 2 y dxdy 0.25 D x y dxdy D - Đặt x r cos ,y với r s in Jacobian phép biến đổi: - Tính tích phân J J x y dxdy D Câu 5a (1,0 điểm) , r 0, 0.25 r 2 0, d r r d r 12 z' y '/ y - Đặt z ln y Phương trình cho trở thành z' z e z Ce 0.25 x - Phương trình x 0.25 z' z có nghiệm 0.25 - Giả sử nghiệm phương trình khơng z C x e C hàm phụ thuộc vào x x Thay z' C ' x e vào phương trình khơng nhất, rút gọn ta z - Tìm - Từ đó: C z C1 e x x Trở lại hàm ln y z có dạng x x x x C C ' x x e x 0.25 C1 x y Từ điều kiện 0.25 x C1 e y , suy e C1 x Câu 5b (1,5 điểm) Kết luận: y e x e - Phương trình nhất: y '' y ' y - Phương trình đặc trưng: Nghiệm tổng quát phương trình y x C1 C2x e (bội hai) 2x - Phương trình: y '' y ' y s in x Tìm nghiệm riêng phương trình dạng * y1 A cos x Tìm A 1, B y2 x e 2x Cx * , y1 4y' * y2 4y xe C1 dạng Câu (1,5 điểm) 0.25 x e 2x 0.25 * y1 C2x e 2x D * y x 0.25 cos x - Tìm C 1, D y 2* Kết luận: Nghiệm tổng quát y 0.25 B s in x - Phương trình y '' Tìm nghiệm riêng * 0.25 y2 2x 0.25 cos x x e 2x - Gọi D khoảng cách từ gốc tọa độ tới đường cong (C) Ta đặt 2 f x, y D x y Ta tìm f lớn nhỏ với điều kiện x xy y x, y, x 0.25 Hàm Lagrange: y x - Điểm dừng xy y nghiệm hệ x, y, x hay 2 x y 2 y x 0.25 y x xy y - Giải 2, 0.25 3 - Với 2 - Với , y , x y x Tìm hai điểm Tìm hai điểm M M M 3, 3, 3, M 3, Biểu thức vi phân bậc hai d 2 x 2 dx 2 2 dxdy x y dx 2 y dxdy 2 dy 2 , d 2dx 4dxdy - Với - Các điểm M , M điểm cực đại, - Với /3 , d 2 dy 0.25 2dy fCD 2 dx dy 0.25 18 dx dy - Các điểm M , M điểm cực tiểu, f C T - Kết luận: Khoảng cách lớn nhất, nhỏ là: D m ax Câu (1,0 điểm) f - Đặt y' , D m in y '' yz y z f 0.25 z' 0.25 - Ta đưa phương trình biến z' 0.25 z x x - Giải z z C1 x x 0.25 - Phương trình sau tìm z: y' C1 x x y 0.25 C1 Giải ta nghiệm tổng quát y C xe x ... Với - Các điểm M , M điểm cực đại, - Với /3 , d 2 dy 0.25 2dy fCD 2 dx dy 0.25 18 dx dy - Các điểm M , M điểm cực tiểu, f C T - Kết luận: Khoảng cách lớn nhất, nhỏ là: D m ax Câu (1,0 điểm) f -... y, x 0.25 Hàm Lagrange: y x - Điểm dừng xy y nghiệm hệ x, y, x hay 2 x y 2 y x 0.25 y x xy y - Giải 2, 0.25 3 - Với 2 - Với , y , x y x Tìm hai điểm Tìm hai điểm M M M 3, 3, 3, M 3, Biểu thức... xuống mặt phẳng Oxy 2 D x, y | x y Câu 4b (1,0 điểm) Tính vi phân diện tích mặt ds z z x y 0.25 2 dxdy x 2 y dxdy - Viết tích phân cho thành tích phân bội hai miền D J x 2 y ds S x 2 y x 2