ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM MÔN GIẢI TÍCH II ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM MÔN GIẢI TÍCH II Học kỳ I, năm học 2014 2015 ĐỀ 01 Câu Các bước giải Điểm Câu 1 (1,0 điểm) Hàm số liên tục tại mọi điểm khác 0 , 0 trên 2 R 0[.]
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM MƠN GIẢI TÍCH II Học kỳ I, năm học 2014-2015 ĐỀ 01 Câu Câu (1,0 điểm) Các bước giải - Hàm số liên tục điểm khác , Điểm R 0.25 - Xét tính liên tục Ta có đánh giá sau: 2 x s in y f x, y 0, 0.25 y s in x điểm x s in y y s in x x y x y - Từ dẫn đến 2 x s in y x y s in x x y - Nhận xét x lim x y x x y 0 x Tức hàm số Câu (1,0 điểm) y 2 x y y 0.25 2 , theo nguyên lý kép giới hạn ta x s in y lim y 0 thu f y s in x x, y y f 0, 0.25 liên tục (0,0) Kết luận: Hàm số liên tục điểm R - Nhận xét: Điểm M(2,1,1/2) thuộc mặt cong cho 0.25 - Pháp tuyến mặt M n z M z M , ,1 x y x, y ,1 x y 1 , ,1 - Mặt phẳng tiếp diện qua điểm M(2,1,1/2) nhận pháp tuyến nên có phương trình x y z Câu (1,0 điểm) 2y làm véc tơ 0.25 - Rút gọn ta x n 0.25 4z 0.25 - Vẽ hình Viết tích phân dạng I dx 2x xy y 2x dx y 19 y 0.25 2 y dy x 3 0.25 2x x dx x 0.25 0.25 Câu 4a (1,0 điểm) Ta sử dụng công thức Green để tính tích phân Đường cong C+ bao quanh miền D hình trịn tâm O bán kính R=1 D x, y | x y 0.25 Đặt P x x, y e s in y , 4y Q x x, y e cos y 3y Tính hiệu: Q P x y x x e cos y e cos y 0.25 Viết tích phân đường dạng x I e s in y x y dx e cos y y dy 0.25 C Q P x y D dxdy 4dxdy D Nhận xét: Tích phân dxdy D diện tích miền D giá trị dxdy 0.25 D Như I -Hình chiếu phần mặt nón xuống mặt phẳng Oxy 2 D x, y | x y Câu 4b (1,0 điểm) Tính vi phân diện tích mặt ds 0.25 2 z z x y dxdy 2dxdy - Viết tích phân cho thành tích phân bội hai miền D J x y ds S - Đặt x y D x r cos ,y với r s in Jacobian phép biến đổi: - Tính tích phân 0, J x y dxdy D Câu 5a (1,0 điểm) , r ,1 0.25 r J 0.25 dxdy d r r d r 0 0.25 2 - Ta viết lại phương trình dạng c o s y y '- s in y x z' y 'cos y Đặt z s in y Phương trình cho trở thành z' z x - Phương trình z Ce 0.25 z' z có nghiệm - Giả sử nghiệm phương trình khơng z C 0.25 x x e z có dạng x C x hàm phụ thuộc vào x Thay z ' C ' x e x z vào phương trình khơng nhất, rút gọn ta x C ' x xe C x e x 0.25 - Tìm - Từ đó: z C x x xe s in y C 1e x e C1 e x C1 x C 1e x y x x Từ điều kiện Câu 5b (1,5 điểm) x e Trở lại hàm x xe 0.25 y 0 , suy C1 Kết luận: s in y e x x - Phương trình nhất: y '' y i - Phương trình đặc trưng: Nghiệm tổng quát phương trình y x C1 cos x 0.25 C s in x - Phương trình: y '' y c o s x Tìm nghiệm riêng phương trình dạng * y1 x A cos x Tìm B s in x * , y1 y '' y 2x Tìm nghiệm riêng y2 A 0, B - Phương trình * y2 e x Cx - Tìm 2 0.25 x s in x e x dạng * Dx C 0.25 0.25 E 1, D 2, E * y2 e x x 2x 0.25 Kết luận: Nghiệm tổng quát y y * x C1 cos x Câu (1,5 điểm) * y1 y2 0.25 C s in x x s in x e x x 2x - Gọi D khoảng cách từ gốc tọa độ tới đường cong (C) Ta đặt 2 f x, y D x y Ta tìm f lớn nhỏ với điều kiện x xy y x, y, x 0.25 Hàm Lagrange: y x - Điểm dừng xy y nghiệm hệ x, y, x hay 2 x y 2 y x 0.25 y x xy y - Giải 2, - Với - Với 2 , , y y x Tìm hai điểm x M Tìm hai điểm 2, M , M 2 2, 0.25 M , 3 Biểu thức vi phân bậc hai d 2 x 2 dx 2 dxdy x y dx 2 y dxdy 2 dy 2 , d 2dx 4dxdy - Với - Các điểm M , M điểm cực đại, - Với /3 , d dy 0.25 2dy fCD 2 dx dy 0.25 dx dy - Các điểm M 3, M điểm cực tiểu, fCT 0.25 - Kết luận: Khoảng cách lớn nhất, nhỏ là: D m ax Câu (1,0 điểm) f - Đặt y' , D m in yz y '' f y z z' - Ta đưa phương trình biến z' z 0.25 z 0.25 x - Giải z C x - Phương trình sau tìm z: y' 0.25 C1xy Giải ta nghiệm tổng quát y C 2e 0.25 C1x ... điểm) Tính vi phân diện tích mặt ds 0.25 2 z z x y dxdy 2dxdy - Viết tích phân cho thành tích phân bội hai miền D J x y ds S - Đặt x y D x r cos ,y với r s in Jacobian phép biến đổi: - Tính tích. .. Với - Các điểm M , M điểm cực đại, - Với /3 , d dy 0.25 2dy fCD 2 dx dy 0.25 dx dy - Các điểm M 3, M điểm cực tiểu, fCT 0.25 - Kết luận: Khoảng cách lớn nhất, nhỏ là: D m ax Câu (1,0 điểm) f -... x, y, x 0.25 Hàm Lagrange: y x - Điểm dừng xy y nghiệm hệ x, y, x hay 2 x y 2 y x 0.25 y x xy y - Giải 2, - Với - Với 2 , , y y x Tìm hai điểm x M Tìm hai điểm 2, M , M 2 2, 0.25 M , 3 Biểu