Ôn tập chương III Bài 88 trang 103 SGK Toán lớp 9 tập 2 Hãy nêu tên mỗi góc trong các hình dưới đây (Ví dụ góc trên hình 66b) là góc nội tiếp) Lời giải a) Góc ở tâm b) Góc nội tiếp c) Góc tạo bởi tiếp[.]
Ôn tập chương III Bài 88 trang 103 SGK Toán lớp tập 2: Hãy nêu tên góc hình đây: (Ví dụ góc hình 66b) góc nội tiếp) Lời giải: a) Góc tâm b) Góc nội tiếp c) Góc tạo tiếp tuyến dây cung d) Góc có đỉnh bên đường trịn e) Góc có đỉnh bên ngồi đường trịn Bài 89 trang 104 SGK Toán lớp tập 2: Trong hình 67, cung AmB có số đo 60o Hãy: a) Vẽ góc tâm chắn cung AmB Tính góc AOB b) Vẽ góc nội tiếp đỉnh C chắn cung AmB Tính góc ACB c) Vẽ góc tạo tia tiếp tuyến Bt dây cung BA Tính góc ABt d) Vẽ góc ADB có đỉnh D bên đường tròn So sánh ADB với ACB e) Vẽ góc AEB có đỉnh E bên ngồi đường trịn (E C phía AB) So sánh AEB với ACB Lời giải: a) Góc tâm chắn cung AmB góc AOB AOB sđ AmB 60o b) Góc nội tiếp chắn cung AmB góc ACB 1 ACB sđ AmB 60o 30o 2 c) Góc tạo tiếp tuyến Bt dây cung BA góc ABt ABt sđ AmB 60o 30o d) Góc ADB có đỉnh D nằm bên đường tròn ADB 1 (sđ AB + sđ MN ) > sđ AB 2 Mà góc ACB góc nội tiếp chắn cung AB ACB sđ AB ADB ACB e) Góc AEB có đỉnh E nằm bên ngồi đường tròn 1 AEB (sđ AB - sđ PQ ) < sđ AB 2 Mà góc ACB góc nội tiếp chắn cung AB ACB sđ AB AEB ACB Bài 90 trang 104 SGK Toán lớp tập 2: a) Vẽ hình vng cạnh 4cm b) Vẽ đường trịn ngoại tiếp hình vng Tính bán kính R đường trịn c) Vẽ đường trịn nội tiếp hình vng Tính bán kính r đường trịn Lời giải: a) Vẽ hình vng ABCD có cạnh 4cm (như hình vẽ) b) Vẽ đường chéo AC BD Chúng cắt O Đường tròn (O; OA) đường trịn ngoại tiếp hình vng ABCD Xét tam giác ACB vng B (do ABCD hình vng) Áp dụng định lý Py-ta-go ta có: AC2 AB2 BC2 AC AB2 BC2 42 42 (cm) R OA AC 2 (cm) 2 c) Kẻ OH vng góc với AB H Xét tam giác OAB có: OB = OA (tính chất hình vng) Do đó, tam giác OAB cân O Nên OH vừa đường trung tuyến vừa đường cao Do đó, H trung điểm AB Xét tam giác CAB có: O trung điểm AC (tính chất hình vng) H trung điểm AB (chứng minh trên) Do đó, OH đường trung bình tam giác CAB OH AD (cm) 2 Hình trịn nội tiếp hình vng ABCD có tâm O bán kính r = OH = 2cm Bài 91 trang 104 SGK Toán lớp tập 2: Trong hình 68, đường trịn tâm O có bán kính R = 2cm AOB 75o a) Tính sđ ApB b) Tính độ dài hai cung AqB ApB c) Tính diện tích hình quạt trịn OaqB Lời giải: a) Góc AOB góc tâm chắn cung AqB sđ AqB AOB 75o sđ ApQ 360o 75o 285o b) Độ dài cung AqB là: l1 .2.75 2,6 (cm) 180 Độ dài cung ApB là: l1 .2.285 9,9 (cm) 180 c) .22.75 2,6 cm Diện tích hình quạt OAqB là: Sq 360 Bài 92 trang 104 SGK Toán lớp tập 2: Hãy tính diện tích miền gạch sọc hình 69, 70, 71 (đơn vị độ dài: cm) Lời giải: Hình 69: Gọi R, r bán kính đường trịn lớn đường trịn nhỏ Đo đạc ta có: R = 1,5cm, r = 1cm Diện tích hình trịn lớn là: S1 R .1,52 7,07 cm2 Diện tích hình trịn nhỏ là: S2 r .12 3,14 cm2 Diện tích hình gạch sọc là: S S1 S2 7,07 3,14 3,93 cm2 Hình 70 Gọi R, r bán kính đường trịn lớn đường trịn nhỏ Đo đạc ta có: R = 1,5cm, r = 1cm, n 80o Diện tích hình quạt lớn: Sq1 .R n .1,52.80 1,57 cm 360 360 .r n .12.80 0,7 cm Diện tích hình quạt nhỏ: Sq 360 360 Diện tích phần gạch sọc: S Sq1 Sq2 1,57 0,7 0,87 cm2 Hình 71 Diện tích hình vng là: (1,5 1,5)2 32 cm2 Diện tích hình trịn ghép hình quạt trắng là: .1,52 cm2 Theo hình vẽ, diện tích phần gạch sọc diện tích hình vng trừ diện tích hình trịn nên ta có diện tích phần gạch sọc là: S .1,52 1,94 cm Bài 93 trang 104 SGK Tốn lớp tập 2: Có ba bánh xe cưa A, B, C chuyển động ăn khớp với Khi bánh xe quay hai bánh xe cịn lại quay theo Bánh xe A có 60 răng, bánh xe B có 40 răng, bánh xe C có 20 Biết bán kính bánh xe C 1cm Hỏi: a) Khi bánh xe C quay 60 vịng bánh xe B quay vòng ? b) Khi bánh xe A quay 80 vòng bánh xe B quay vịng ? c) Bán kính bánh xe A B ? Lời giải: Ta có bánh xe A có 60 răng, bánh xe B có 40 răng, bánh xe C có 20 nên suy chu vi bánh xe B gấp đôi chu vi bánh xe C, chu vi bánh xe A gấp ba chu vi bánh xe C Chu vi bánh xe C là: = 6,28 (cm) Chu vi bánh xe B là: 6,28.2 = 12,56 (cm) Chu vi bánh xe A là: 6,28.3 = 18,84 (cm) a) Khi bánh xe C quay 60 vịng qng đường là: 60 6,28 = 376,8 (cm) Khi số vịng quay bánh xe B là: 376,8 : 12,56 = 30 (vòng) b) Khi bánh xe A quay 80 vòng quãng đường là: 80 18,84 = 1507,2 (cm) Khi số vịng quay bánh xe B là: 1507,2 : 12,56 = 120 (vòng) c) Bán kính bánh xe B là: 12,56 : (2 ) = 12,56 : 6,28 = 2(cm) Bán kính bánh xe A là: 18,84 : (2 ) = 18,84 : 6,28 = 3(cm) Bài 94 trang 105 SGK Toán lớp tập 2: Hãy xem biểu đồ hình quạt biểu diễn phân phối học sinh trường THCS theo diện ngoại trú, bán trú, nội trú (h.72) Hãy trả lời câu hỏi sau: a) Có phải số học sinh học sinh ngoại trú không ? b) Có phải số học sinh học sinh bán trú không? c) Số học sinh nội trú chiếm phần trăm? d) Tính số học sinh loại, biết tổng số học sinh 1800 em Lời giải: a) 1 Ta có: O 90o AOB nên ta kết luận có số học sinh học sinh ngoại trú 2 b) Ta có: O3 180o O2 O1 180o 90o 30o 60o AOB Nên ta kết luận có số học sinh học sinh bán trú c) Tỉ lệ phần trăm số học sinh nội trú chiếm là: O1 AOB 100% 30 100% 16,7% 180 d) Gọi x, y, z số học sinh nội trú, ngoại trú, bán trú Ta có: Có 1 số học sinh học sinh ngoại trú nên y 1800 900 (em) 2 Có 1 số học sinh học sinh bán trú nên z 1800 600 (em) 3 Còn lại học sinh nội trú : 1800 – 900 – 600 = 300 (em) Bài 95 trang 105 SGK Toán lớp tập 2: Các đường cao hạ từ A B tam giác ABC cắt H (góc C khác 90o ) cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC D E Chứng minh rằng: a) CD = CE ; b) Tam giác BHD cân ; c) CD = CH Lời giải: a) AD vng góc với BC A’ nên AA'B 90o Vì AA'B góc có đỉnh đường trịn chắn hai cung AB DC nên ta có: (sđ AB + sđ DC ) AA 'B 90o sđ AB + sđ DC 2.90o 180o (1) Mặt khác, BE vng góc với AC B’ nên AB'B 90o Vì AB'B góc có đỉnh đường trịn chắn hai cung AB CE nên ta có: (sđ AB + sđ CE ) AB'B 90o sđ AB + sđ CE 2.90o 180o (2) Từ (1) (2) ta suy ra: sđ DC = sđ CE DC CE DC CE b) Góc EBC góc nội tiếp chắn cung BC EBC sđ EC Góc CBD góc nội tiếp chắn cung DC CBD sđ DC Mà: DC CE (chứng minh phần a) EBC CBD Xét tam giác BHD có: BA’ vng góc với HD A’ nên BA’ đường cao Mà: EBC CBD (chứng minh trên) nên BA’ đường phân giác Do đó, tam giác BHD cân B c) Tam giác BHD cân B nên BA’ vừa đường cao vừa đường trung tuyến đường trung trực đoạn thẳng HD Điểm C nằm đường thẳng BA’ CH CD Bài 96 trang 105 SGK Toán lớp tập 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) tia phân giác góc A cắt đường tròn M Vẽ đường cao AH Chứng minh rằng: a) OM qua trung điểm dây BC b) AM tia phân giác góc OAH Lời giải: a) Vì AM tia phân giác góc BAC (gt) nên ta có: BAM MAC Mà góc BAM góc nội tiếp chắn cung nhỏ BM, góc MAC góc nội tiếp chắn cung nhỏ MC BM MC Do đó, điểm M điểm cung nhỏ BC Từ đó, ta suy OM vng góc với BC OM qua trung điểm BC (định lí) b) Ta có: OM vng góc với BC (chứng minh trên) AH vng góc với BC (gt) Do đó, OM // AH HAM AMO (hai góc so le trong) (1) Xét tam giác OAM có: OA = OM (cùng bán kính đường trịn (O)) Do đó, tam giác OAM cân O OAM AMO (2) Từ (1) (2) ta có: HAM OAM Do đó, AM tia phân giác góc OAH Bài 97 trang 105 SGK Tốn lớp tập 2: Cho tam giác ABC vuông A Trên AC lấy điểm M vẽ đường trịn đường kính MC Kẻ BM cắt đường trịn D Đường thẳng DA cắt đường tròn S Chứng minh rằng: a) ABCD tứ giác nội tiếp; b) ABD ACD ; c) CA tia phân giác góc SCB Lời giải: a) Tam giác ABC vng A (gt) BAC 90o Do đó, A thuộc đường trịn đường kính BC (1) Mặt khác, D thuộc đường trịn đường kính MC BDC MDC 90o Do đó, D thuộc đường trịn đường kính BC (2) Từ (1) (2), ta suy A, B, C, D thuộc đường tròn đường kính BC Do đó, tứ giác ABCD nội tiếp b) Xét đường trịn đường kính BC: Góc ABD góc ACD góc nội tiếp chắn cung AD ABD ACD c) Xét đường trịn đường kính MC có: Góc SCM góc SDM góc nội tiếp chắn cung SM SCM SDM SCM ADB (1) Xét đường tròn đường kính BD có: Góc ADB góc ACB góc nội tiếp chắn cung AB ADB ACB (2) Từ (1) (2) ta suy ra: SCM ACB Do đó, CA tia phân giác góc SCB Bài 98 trang 105 SGK Tốn lớp tập 2: Cho đường tròn (O) điểm A cố định đường trịn Tìm quỹ tích trung điểm M dây AB điểm B di động đường trịn Lời giải: Phần thuận: Giả sử M trung điểm dây AB Ta có OM vng góc với AB (định lí) Khi B di động (O), điểm M ln nhìn OA cố định góc vng, M thuộc đường trịn đường kính OA Phần đảo: Lấy điểm M' đường trịn đường kính OA Nối M' với A, đường thẳng M'A cắt đường tròn (O) B' Nối M' với O ta có AM 'O 90o OM ' AB' M’ Mà OM’ phần đường kính nên M’ trung điểm AB’ Kết luận: Tập hợp trung điểm dây AB đường trịn đường kính OA Bài 99 trang 105 SGK Toán lớp tập 2: Dựng tam giác ABC, biết BC = 6cm, BAC 80o , đường cao AH có độ dài 2cm Lời giải: Cách dựng: + Dựng đoạn thẳng BC = 6cm + Dựng tia Bx cho CBx 80o + Dựng tia By vuông góc với Bx B + Dựng đường trung trực BC cắt By O + Dựng đường tròn (O; OB) + Cung lớn BC cung chứa góc 80o đoạn BC + Lấy D trung điểm BC Trên đường trung trực BC lấy D’ cho DD’ = 2cm + Dựng đường thẳng d qua D’ vng góc với DD’ + Đường thẳng d cắt cung lớn BC A Ta tam giác ABC cần dựng Chứng minh: Theo cách dựng ta có BC = 6cm A thuộc cung chứa góc 80o dựng đoạn BC BAC 80o Mặt khác, A thuộc d d song song với BC cách BC khoảng 2cm, AH vng góc với BC H AH DD' 2cm Vậy tam giác ABC thỏa mãn yêu cầu đề ... ApQ 36 0o 75o 285o b) Độ dài cung AqB là: l1 .2.75 2,6 (cm) 180 Độ dài cung ApB là: l1 .2.285 9, 9 (cm) 180 c) .22.75 2,6 cm Diện tích hình quạt OAqB là: Sq 36 0 Bài 92 trang... 7,07 cm2 Diện tích hình trịn nhỏ là: S2 r .12 3, 14 cm2 Diện tích hình gạch sọc là: S S1 S2 7,07 3, 14 3 , 93 cm2 Hình 70 Gọi R, r bán kính đường trịn lớn đường trịn... 36 0 36 0 .r n .12.80 0,7 cm Diện tích hình quạt nhỏ: Sq 36 0 36 0 Diện tích phần gạch sọc: S Sq1 Sq2 1,57 0,7 0,87 cm2 Hình 71 Diện tích hình vng là: (1,5 1,5)2 32