Toán 11 ôn tập chương 3

Ôn tập chương 3 Bài tập 1 trang 107 Toán lớp 11 Đại số Khi nào thì cấp số cộng là dãy số tăng, dãy số giảm? Lời giải Xét cấp số cộng (un) với un+1 = un + d, Ta có un+1 un = d Nếu d > 0 thì un+1 > un,[.]

Ôn tập chương Bài tập trang 107 Toán lớp 11 Đại số: Khi cấp số cộng dãy số tăng, dãy số giảm? Lời giải: Xét cấp số cộng (un) với un+1 = un + d, Ta có: un+1 - un = d Nếu d > un+1 > un, n  * , (un) dãy số tăng Nếu d < un+1 < un, n  * , (un) dãy số giảm Bài tập trang 107 Tốn lớp 11 Đại số: Cho cấp số nhân có u1 < công bội q Hỏi số hạng khác mang dấu trường hợp sau: a) q > b) q < Lời giải: Ta có: un = u1.qn-1 a) Vì u1 < nên với q > un < 0, n  * b) Vì u1 < nên với q < 0: Xét n > Nếu n số chẵn n – số lẻ  q n −1   u1.q n −1  (vì u1 < 0)  un  Nếu n số lẻ n – số chẵn  q n −1   u1.q n −1  (vì u1 < 0)  un  Vậy q < 0, u1 < số hạng thứ chẵn dương số hạng thứ lẻ âm Bài tập trang 107 Toán lớp 11 Đại số: Cho hai cấp số cộng có số số hạng Tổng số hạng tương ứng chúng có lập thành cấp số cộng khơng? Vì sao? Cho ví dụ minh họa Lời giải: Giả sử có hai cấp số cộng (un) với cơng sai d1 (vn) với công sai d2 u − u n = d1   n +1  +1 − = d Xét dãy (an) với an = un + Ta có: an + – an = (un + + + 1) – (un + vn) = (un+1 – un ) + (vn+1 - vn) = d1 + d2 = const Vậy (an) cấp số cộng có số hạng đầu a1 = u1 + v1 công sai d1 + d2 Ví dụ: 1, 3, 5, 7, cấp số cộng có u1 = d1 = 0, 5, 10, 15, cấp số cộng có v1 = d2 = Suy (an): 1, 8, 15, 22, cấp số cộng có a1 = + = d = d1 + d2 = + = Bài tập trang 107 Toán lớp 11 Đại số: Cho hai cấp số nhân có số số hạng Tích số hạng tương ứng chúng có lập thành cấp số nhân khơng? Vì sao? Cho ví dụ minh họa Lời giải: Gọi (an) cấp số nhân công bội q1 (bn) cấp số nhân công bội q2 tương ứng Xét (un) với un = an.bn Ta có: un+1 = an+1.bn+1  u n +1 a n +1b n +1 a n +1 bn +1 = =  = q1q un a n bn a n bn Vậy dãy số (un) cấp số nhân có cơng bội: q = q1.q2 Ví dụ: 1, 2, 4,… cấp số nhân có cơng bội q1 = 3, 9, 27,… cấp số nhân có công bội q2 = Suy ra: 3, 18, 108 cấp số nhân có cơng bội: q = q1.q2 = 2.3 = Bài tập trang 107 Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh với n  * , ta có: a) 13n - chia hết cho 6; b) 3n3 + 15n chia hết cho Lời giải: a) Với n = 1, ta có: 131 –1 = 13 –1 = 12 ( ) Giả sử: 13k − với k  ( ) Ta chứng minh: 13k +1 − Thật vậy: 13k+1 – = 13k+1 − 13k + 13k – = (13k+1 − 13k) + (13k − 1) = 13k(13 − 1) + (13k − 1) = 12.13k + 13k − ( ( ) ) Vì 12.13k 13k – (theo giả thiết quy nạp) ( ) Nên 13k +1 – Vậy 13n − chia hết cho với n  * b) Với n = 1, ta có: 3.13 + 15.1 = 18 Giả sử: ( 3k + 15k ) 9, k  ( ) Ta chứng minh: 3( k + 1) + 15 ( k + 1) Thật vậy: 3(k + 1)3 + 15(k + 1) = 3.(k3 + 3k2 + 3k + 1) + 15k + 15 = 3k3 + 9k2 + 9k + 15k + 18 = (3k3 + 15k) + 9(k2 + k + 2) ( ) Vì 3k + 15k (theo giả thiết quy nạp) ( k + k + ) ( ) Nên 3( k + 1) + 15 ( k + 1) Vậy 3n3 + 15n chia hết cho với n  * Bài tập trang 107 Toán lớp 11 Đại số: Cho dãy số (un), biết u1 = 2, un+1 = 2un − (với n  1) a) Viết năm số hạng dãy b) Chứng minh un = 2n–1 + phương pháp quy nạp Lời giải: a) u1 = u2 = 2u1 – = 2.2 – = u3 = 2u2 – = 2.3 – = u4 = 2u3 – = 2.5 – = u5 = 2u4 – = 2.9 – = 17 b) Với n = 1, ta có: u1 = 21−1 + = công thức Giả sử công thức với n = k  Nghĩa là: uk = 2k−1 + Ta chứng minh công thức với n = k + 1, nghĩa ta phải chứng minh: uk+1 = 2(k+1)−1 + = 2k + Ta có: uk+1 = 2uk – = 2(2k−1 + 1) – = 2.2k–1 + – = 2k + (điều phải chứng minh) Vậy un = 2n−1 + với n  * Bài tập trang 107 Tốn lớp 11 Đại số: Xét tính tăng giảm bị chặn dãy số (un), biết: a) u n = n + n b) u n = ( −1) n −1 sin n c) u n = n + − n Lời giải: a) Xét hiệu:   1 1 1  u n +1 − u n =  n + + − n + = = n + + + − − n −    n +1 n n +1 n n +1  n  n2 + n + n − n −1 n2 + n −1 = =  0, n  N * n(n + 1) n(n + 1) Do n + n −  12 + − =  n(n + 1) > với n  * Vậy un dãy số tăng Mặt khác: u n = n + 1  n  = 2, n  * n n Vậy un dãy số bị chặn Khi n lớn un lớn nên un dãy số không bị chặn Vậy un dãy số tăng bị chặn b) Ta có: u1 = (-1)1-1.sin1 = sin1 > 1 u = (−1)2−1  sin = − sin  2 1 u = (−1)3−1  sin = sin  3 Suy u1 > u2 u2 < u3 Vậy un dãy số không tăng khơng giảm Ta lại có: u n = (−1)n −1 sin 1 = sin   −1  u n  n n Vậy un dãy số bị chặn c) Ta có: un = n + − n = ( n + − n )( n + + n ) n +1− n = = n +1 + n n +1 + n n +1 + n Xét hiệu: u n +1 − u n = = 1 − (n + 1) + + n + n +1 + n 1 − n + + n +1 n +1 + n  n +  n + Ta có:   n +  n  n + + n +1  n +1 + n  1  n + + n +1 n +1 + n Suy un+1 – un < Vậy un là dãy số giảm Mặt khác: u n =  0, n  * n +1 + n Suy un dãy số bị chặn Ta lại có: với n  n +1 + n  +1 Suy u n = 1  n +1 + n +1 Suy un là dãy số bị chặn Vậy un là dãy số giảm bị chặn Bài tập trang 107 Toán lớp 11 Đại số: Tìm số hạng đầu u1 công sai d cấp số cộng (un), biết: 5u + 10u = a)  S4 = 14 u + u15 = 60 b)  2 u + u12 = 1170 Lời giải: u1 + ( u1 + 4d ) = 5u1 + 10u = 3u + 8d = u =  a)     u1 + ( u1 + 3d )      = 14 d = −3 4u1 + 6d = 14 S4 = 14   Vậy số hạng đầu u1 = 8, công sai d = -3  u + u15 = 60 2u + 20d = 60 u1 + 6d + u1 + 14d = 60 b)  72    21  2 2 u + 14u d + 65d = 585 u + 3d + u + 11d = 1170 ( ) ( ) u + u12 = 1170  1  1  u1 = 30 − 10d u1 = 30 − 10d    2 25d − 180d + 315 = (30 − 10d) + 14(30 − 10d)d + 65d = 585   u1 =   d =   u = −12   d = 21   u1 = −12 u1 =  Vậy số hạng đầu công sai   21 d = d = Bài tập trang 107 Toán lớp 11 Đại số: Tìm số hạng đầu u1 cơng bội q cấp số nhân (un), biết: u = 192 a)  u = 384 u − u = 72 b)  u − u = 144 u + u − u = 10 c)  u + u − u = 20 Lời giải: u1q = 192 (1) u = 192  a)  u = 384  u1q = 384 (2) Lấy (2) chia (1) theo vế với vế ta được: q = q =   u1.2 = 384  u1 = Vậy u1 = q = u1q ( q − 1) = 72 (1) u1q3 − u1q = 72 u − u = 72    b)   2 u − u = 144 u1q − u1q = 144 u1q ( q − 1) = 144 (2) Lấy (2) chia (1) theo vế với vế ta được: q = q = q =      2 12u1 = 144 u1 = 12 u1.2 ( − 1) = 144 Vậy u1 = 12 q = u1q (1 + q − q ) = 10 (1) u1q + u1q − u1q = 10 u + u − u = 10    c)  u + u − u = 20 u1q + u1q − u1q = 20 u1q (1 + q − q ) = 20 (2) Lấy (2) chia (1) theo vế với vế ta được: q = q =    u1.2.(1 + − ) = 10 u1 = Vậy u1 = q = Bài tập 10 trang 108 Toán lớp 11 Đại số: Tứ giác ABCD có số đo (độ) góc lập thành cấp số cộng theo thứ tự A, B, C, D Biết góc C gấp lần góc A Tính góc tứ giác Lời giải: Theo giả thiết ta có: A, B, C, D cấp số cộng C = 5A Giả sử cấp số cộng tạo thành có cơng sai là: d Theo tính chất cấp số cộng ta có: B = A + d , C = A + 2d , D = A + 3d  A + 2d = 5A  4A − 2d =  4A = 2d Mà tổng bốn góc tứ giác 360o nên: A + B + C + D = 360 ( ) ( ) ( )  A + A + d + A + 2d + A + 3d = 360  4A + 6d = 360 Thay 4A = 2d vào ta được: 8d = 360o Suy d = 45o Suy 4A − 2.45 =  A = 22,5 = 2230' B = A + 45 = 6730' C = A + 2.45 = 11230 ' D = A + 3.45 = 15730' Bài tập 11 trang 108 Toán lớp 11 Đại số: Biết ba số x, y, z lập thành cấp số nhân ba số x, 2y, 3z lập thành cấp số cộng Tìm cơng bội cấp số nhân Lời giải: Giả sử ba số x, y, z lập thành cấp số nhân với công bội q ta có: y = x.q z = y.q = x.q2 Ba số x, 2y, 3z lập thành cấp số cộng nên: x + 3z = 2.2y x + 3.(xq2) = 4.(xq) x + 3xq2 − 4xq = x.(1 + 3q2 – 4q) = Suy x = 3q2 – 4q + = Nếu x = x = y = z = 0, q không xác định (loại) q = Nếu x  3q – 4q + =   q =  Cách khác: Gọi công bội cấp số nhân x, y, z q Suy y = x.q, z = x.q2 Lại có: x, 2y, 3z lập thành cấp số cộng Khi 2y – x = 3z – 2y 2.xq – x = 3.xq2 – 2.xq x(2q – 1) = x.(3q2 – 2q) x.(3q2 – 4q + 1) = Nếu x = suy y = z = Suy q không xác định (loại) q = Nếu x  3q – 4q + =   q =  Vậy cấp số nhân có công bội q = q = Bài tập 12 trang 108 Toán lớp 11 Đại số: Người ta thiết kế tháp gồm 11 tầng Diện tích bề mặt tầng nửa diện tích mặt tầng bên diện tích bề mặt tầng nửa diện tích đế tháp Biết diện tích mặt đế tháp 12288 m2 Tính diện tích mặt Lời giải: Gọi diện tích đáy tháp S0; diện tích mặt tầng 1; tầng 2; tầng 3; …; tầng 11 S1; S2; S3; …; S11 Ta có: Diện tích đế tháp: S0 = 12288 m2 1 Diện tích tầng 1: S1 = S0 = 12288 = 6144 (m2) 2 Theo giả thiết diện tích bề mặt tầng nửa diện tích mặt tầng bên Do (Sn) cấp số nhân có số hạng đầu S1 = 6144 m2 công bội q = 10 1 Diện tích tầng 11 S11 = S1q = 6144.  = (m2) 2 10 Bài tập 13 trang 108 Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh a2, b2, c2 lập thành cấp số cộng (abc  0) số cấp số cộng Lời giải: 1 , , lập thành b+c c+a a+b Ta phải chứng minh: 1 1 − = − b+c c+a c+a a+b Thật vậy, 1 1 − = − b+c c+a c+a a+b  c+a −b−c a +b−c−a = (c + a)(b + c) (c + a)(a + b)  a −b b−c = b+c a+b  ( a – b )( a + b ) = ( b + c )( b – c )  a − b = b − c2 Do a2, b2, c2 lập thành cấp số cộng Vậy điều kiện để 1 , , cấp số cộng a2, b2, c2 cấp số cộng b+c c+a a+b Bài tập trắc nghiệm Bài tập 14 trang 108 Toán lớp 11 Đại số: Cho dãy số (un) biết un = 3n Hãy chọn phương án đúng: a) Số hạng un+1 bằng: (A) 3n + (B) 3n + (C) 3n.3 (D) 3(n + 1) (B) 9n (C) 3n + (D) 6n (B) 3n (C) 3n – (D) 3n – (B) 3n.3n-1 (C) 32n – (D) 32(n – 1) b) Số hạng u2n bằng: (A) 2.3n c) Số hạng un-1 bằng: (A) 3n – d) Số hạng u2n-1 bằng: (A) 32.3n – Lời giải: a) Thay n thành n + Ta un+1 = 3n+1 = 3n.3 Chọn đáp án C b) Thay n thành 2n Ta u2n = 32n = (32)n = 9n Chọn đáp án B c) Thay n thành n – 1 Ta u n −1 = 3n −1 = 3−1.3n = 3n Chọn đáp án B d) Thay n thành 2n – Ta u2n-1 = 32n-1 = 3n.3n-1 Chọn đáp án B Bài tập 15 trang 108 Toán lớp 11 Đại số: Hãy cho biết dãy số (un) dãy số tăng, biết công thức số hạng tổng quát un là: (A) ( −1) n +1 sin  n (B) (−1)2n(5n + 1) (C) (D) n +1 + n n n2 +1 Lời giải: (A) Ta có: u1 = sin  u = − sin  u = sin  Do (un) không tăng không giảm (B) Ta có: un+1 – un = (−1)2(n+1)(5n+1 + 1) − (−1)2n(5n + 1) = 5n+1 + − 5n – = 5n+1 − 5n > Vậy (un) dãy tăng (C) Ta có: u n +1 = 1  = un n + + n +1 n +1 + n Nên (un) dãy giảm (D) Ta có: −n − n + n +1 n =  0, n  * u n +1 − u n = − (n + 1) + n + n + (n + 1) + 1 ( ) Nên (un) dãy giảm Chọn đáp án B Bài tập 16 trang 109 Toán lớp 11 Đại số: Cho cấp số cộng −2, x, 6, y Hãy chọn kết kết sau: (A) x = −6; y = −2 (B) x = 1; y = (C) x = 2; y = (D) x = 2; y = 10 Lời giải: Theo giả thiết: -2, x, 6, y cấp số cộng 2x = (−2) + x =   2.6 = x + y  y = 10 Chọn đáp án D Bài tập 17 trang 109 Toán lớp 11 Đại số: Cho cấp số nhân −4, x, −9 Hãy chọn đáp án kết sau: (A) x = 36 (B) x = −6,5 (C) x = (D) x = −36 Lời giải: Ta có: −4, x, −9 ba số hạng cấp số nhân nên: x = x2 = (−4).( −9) = 36    x = −6 Chọn đáp án C Bài tập 18 trang 109 Toán lớp 11 Đại số: Cho cấp số cộng (un) Hãy chọn hệ thức hệ thức sau: (A) u10 + u 20 = u + u10 (B) u90 + u210 = 2u150 (C) u10.u30 = u20 (D) u10 u 30 = u 20 Lời giải: Giả sử (un) cấp số cộng có cơng sai d Ta có: u10 + u 20 u1 + 9d + u1 + 19d u1 + 4d + u1 + 9d + 15d u + u10 15d = = = +  u + u10 2 2 Suy (A) sai u90 + u210 = u1 + 89d + u1 + 209d = 2u1 + 298d = 2(u1 + 149d) = 2u150 Suy (B) u10  u 30 = ( u1 + 9d )( u1 + 29d )  u1 +19d = u 20 Suy (C) sai u10  u 30 ( u1 + 9d )( u1 + 29d ) =  u1 +19d = u 20 2 Suy (D) sai Chọn đáp án B Bài tập 19 trang 109 Toán lớp 11 Đại số: Trong dãy số cho công thức truy hồi sau, chọn dãy số cấp số nhân: u = (A)  u n +1 = u n u = −1 (B)  u n +1 = 3u n u = −3 (C)  u n +1 = u n + (D) 7, 77,777,, 777 n chu so7 Lời giải: Ta có: u = u u u  n +1 = u n  n +1  n +2 + un u n +1 un u n +1 = u n Suy (un) cấp số nhân u = −1 u  n +1 = 3n  + un u n +1 = 3u n (un) cấp số nhân với công bội q = 3, u1 = -1 u = −3 + u n +1 = u n + Đây cấp số cộng với u1 = 3; công sai d = + 7; 77; 777;…; 777…77 u u2 777 111 u u   = 11 , = = u 77 11 u1 u1 u Suy (un) không cấp số nhân Chọn đán án B  ... b) 3n3 + 15n chia hết cho Lời giải: a) Với n = 1, ta có: 131 –1 = 13 –1 = 12 ( ) Giả sử: 13k − với k  ( ) Ta chứng minh: 13k +1 − Thật vậy: 13k+1 – = 13k+1 − 13k + 13k – = (13k+1 − 13k) + (13k... 13k( 13 − 1) + (13k − 1) = 12.13k + 13k − ( ( ) ) Vì 12.13k 13k – (theo giả thiết quy nạp) ( ) Nên 13k +1 – Vậy 13n − chia hết cho với n  * b) Với n = 1, ta có: 3. 13 + 15.1 = 18 Giả sử: ( 3k... ) Ta chứng minh: 3( k + 1) + 15 ( k + 1) Thật vậy: 3( k + 1 )3 + 15(k + 1) = 3. (k3 + 3k2 + 3k + 1) + 15k + 15 = 3k3 + 9k2 + 9k + 15k + 18 = (3k3 + 15k) + 9(k2 + k + 2) ( ) Vì 3k + 15k (theo giả