Toán 11 ôn tập chương 4

Ôn tập chương 4 Bài tập 1 trang 141 SGK Toán lớp 11 Đại số Hãy lập bảng liệt kê các giới hạn đặc biệt của dãy số và các giới hạn đặc biệt của hàm số Lời giải Một vài giới hạn đặc biệt của dãy số và hà[.]

Ôn tập chương Bài tập trang 141 SGK Toán lớp 11 Đại số: Hãy lập bảng liệt kê giới hạn đặc biệt dãy số giới hạn đặc biệt hàm số Lời giải: Một vài giới hạn đặc biệt dãy số hàm số: Giới hạn dãy số =0 n lim k = 0,k  * n lim qn = 0, |q| < lim c = c limn k = +,k  * limq n = +,q  lim Giới hạn hàm số lim x = x0 x →x lim c=c x →x c = 0,k  * xk lim x k = + (nếu k chẵn) x →− lim x → lim x k = − (nếu k lẻ) x →− Bài tập trang 141 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho hai dãy số (un) (vn) Biết u n –  v n với n limvn = Có kết luận giới hạn dãy số (un)? Lời giải: Vì limvn = nên |vn| nhỏ số dương  bé tùy ý, kể từ số hạng trở Nghĩa v n   kể từ số hạng trở  u n −  v n  v n   hay u n –   bé tùy ý kể từ số hạng trở  lim(un − 2) = (theo định nghĩa dãy số có giới hạn 0)  lim un = Cách khác: Có thể sử dụng định lý giới hạn kẹp sau: Với n  * , ta có: u n −  v n  − v n  u n −  v n Mà lim(−vn) = lim(vn) = nên lim(un – 2) =  lim un – lim2 =  lim un = Bài tập trang 141 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tên học sinh mã hóa số 1530 Biết chữ số số giá trị biểu thức A, H, N, O với: A = lim 3n − ; n+2 H = lim ( N = lim n −2 ; 3n + O = lim 3n − 5.4n − 4n ) n + 2n − n ; Hãy cho biết tên học sinh này, cách thay chữ số chữ kí hiệu biểu thức tương ứng Lời giải: 1  n3 −  3− 3n − n n = 3−0 =3 +) A = lim = lim  = lim 1+ n+2  2 1+ n 1 +  n  n +) H = lim = ( n + 2n − n 2 + lim +1 n = ) (n = lim + 2n ) − n n + 2n + n = lim 2n   n  + + 1 n   = lim 2 1+ +1 n =1 1+ +1  2 n −  − n n n −2 n n = 0−0 =0  +) N = lim = lim = lim 7 3+ 3n +  3+ n3 +  n n  n   n  3  −      −5 0−5 4 3n − 5.4n   = lim = =5 = lim   +) O = lim n 1 −   1− −1 4n  n − 1 4n 4  n Vậy số 1530 mã số chữ HOAN tên học sinh cần tìm Bài tập trang 142 SGK Tốn lớp 11 Đại số: a) Có nhận xét cơng bội cấp số nhân lùi vơ hạn? b) Cho ví dụ cấp số nhân lùi vơ hạn có cơng bội số âm cấp số nhân lùi vơ hạn có cơng bội số dương tính tổng cấp số nhân Lời giải: a) Cơng bội q cấp số nhân lùi vô hạn phải thỏa mãn |q| < b) +) Ví dụ cấp số nhân lùi vơ hạn có cơng bội số âm: −1 −1  1 u n =  −  cấp số nhân lùi vơ hạn có số hạng đầu u1 = công bội q = 3  3 n −1 u Tổng Sn = = = − 1− q 1+ +) Ví dụ cấp số nhân lùi vơ hạn có cơng bội số dương: n 1 1 u n =   cấp số nhân lùi vơ hạn có số hạng đầu u1 = công bội q = 4 4 u Tổng Sn = = = 1− q 1− Bài tập trang 142 SGK Tốn lớp 11 Đại số: Tìm giới hạn sau: x+3 a) lim ; x →2 x +x+4 c) lim x →4 − 2x − ; x−4 x+3 e) xlim →− 3x − Lời giải: a) lim x →2 x+3 2+3 = = x + x + 22 + + x + 5x + b) lim ; x →−3 x + 3x d) lim ( − x + x − 2x + 1) ; x →+ x − 2x + − x f) xlim →− 3x − x + −3 + x + 5x + (x + 2)(x + 3) = lim = = b) lim = lim x →−3 x →− x →−3 x + 3x x −3 x(x + 3) x + 5x + = Vậy lim x →−3 x + 3x c) lim x →4 − 2x − x−4 Ta có: lim ( 2x − 5) = 2.4 − =  x → 4−   x −  0, x  Và  lim x − ) =   x →4 ( − Vậy lim x →4 − 2x − = − x−4 1  d) lim ( − x + x − 2x + 1) = lim x  −1 + − +  x →+ x →+ x x x   1  Vì lim x = + lim  −1 + − +  = −1  x →+ x →+ x x x   Vậy lim ( − x + x − 2x + 1) = − x →+ 3  x 1 +  1+ x+3  x  = lim x = 1+ = e) lim = lim x →− −3 −  x →− 3x − x →−  3− x3 −  x x  Vậy xlim →− x+3 = 3x −  4 x 1 − +  − x | x | 1− + − x x − 2x + − x  x x  x x = lim = xlim f) xlim →− →− x →− 3x − 3x − 3x −   4 x − − + −   −x − + − x − − + −1 x x   x x x x = xlim = xlim = xlim →− →− →− 1  3x − 3− x3 −  x x  = − − + − −2 = 3−0 x − 2x + − x −2 = Vậy xlim →− 3x − − x2 Bài tập trang 142 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho hai hàm số f (x) = x2 x3 + x + g(x) = x2 a) Tính limf (x) , limg(x) , lim f (x) lim g(x) x →0 x →0 x →+ x →+ b) Hai đường cong sau (h.60) đồ thị hai hàm số cho Từ kết câu a), xác định xem đường cong đồ thị hàm số Lời giải: a) − x2 (x) = lim = + +) limf x →0 x →0 x2 Vì: lim (1 − x ) =  lim x = 0;x  0, x  x →0 x →0 x3 + x + = lim = + +) limg(x) x →0 x →0 x2 Vì: lim ( x + x + 1) =  0,lim x = 0, x  0, x  x →0 x →0   x  − 1 1− x x  = lim  − 1 = −1 f (x) = lim = lim +) xlim  →+ x →+ x →+ x →+  x2 x2 x   1 1 x 1 + +  + + x + x +1 x x   x x = + g(x) = xlim +) xlim = xlim = xlim →+ →+ →+ →+ x 1 x3   x x b) Gọi (C1) (C2) hai đồ thị hàm số y = f(x) y = g(x) Vì lim f (x) = −1 nên (C1) có nhánh vơ tận tiến gầ đến đường thẳng y = -1 x →  x →+ Vì lim g(x) = + nên (C2) có nhánh vô tận lên x → + x →+ Dựa vào đặc điểm (C1) (C2) ta có (C1) đồ thị b (C2) đồ thị a Bài tập trang 143 SGK Tốn lớp 11 Đại số: Xét tính liên tục  x2 − x − neu x   g(x) =  x − 5 − x neu x  hàm số Lời giải: Ta có: lim g(x) = lim x → 2+ x → 2+ x2 − x − (x − 2)(x + 1) = lim = lim(x + 1) = (1) x →2 x →2 x−2 x−2 + + limg(x) = lim(5 − x) = (2) x →2− x →2− g(2) = – = (3) Từ (1), (2) (3) suy ra: limg(x) = g(2) x →2 Do hàm số y = g(x) liên tục x0 = Mặt khác (−,2) , g(x) hàm đa thức (2, +) , g(x) hàm số phân thức hữu tỉ xác định (2, +) nên hàm số g(x) liên tục hai khoảng (−,2) (2, +) Vậy hàm số y = g(x) liên tục Bài tập trang 143 SGK Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh phương trình x5 – 3x4 + 5x – = có ba nghiệm nằm khoảng (–2; 5) Lời giải: Đặt f(x) = x5 – 3x4 + 5x – 2, ta có: Hàm số f(x) hàm số đa thức liên tục f (0) = −2  f (1) = − + − =    f (2) = − 3.2 + 5.2 − = −8  f (3) = 35 − 3.34 + 5.3 − = 13  f (0).f (1)  (1)   f (1).f (2)  (2) f (2).f (3)  (3)  Do f(x) có nghiệm khoảng (0, 1); nghiệm khoảng (1, 2); nghiệm khoảng (2, 3) Mà khoảng (0, 1); (1, 2) (2, 3) đơi khơng có điểm chung Vậy phương trình x5 – 3x4 + 5x – = có ba nghiệm khoảng (– 2, 5) Bài tập trắc nghiệm Bài tập trắc nghiệm trang 143 SGK Toán lớp 11 Đại số: Mệnh đề sau mệnh đề đúng? (A) Một dãy số có giới hạn ln ln tăng luôn giảm (B) Nếu (un) dãy số tăng limu n = + (C) Nếu limu n = + lim = + lim(un – vn) = (D) Nếu un = an −1 < a < lim un = Lời giải: +) Câu A sai: “Một dãy số có giới hạn ln ln tăng ln giảm” mệnh đề sai Xét phần ví dụ sau: (−1) n (−1) n =0 Dãy số: u n = có lim n n 1 Ta có: u1 = −1  u = ,u =  u = − 2  Dãy số un không tãng không giảm +) Câu B sai “Nếu (un) dãy số tăng lim ( u n ) = + ” mệnh đề sai, chẳng hạn: Dãy số (un) với u n = − n 1   1 Xét hiệu: u n +1 − u n = 1 − = 0  − 1 −  = −  n +   n  n n + n(n + 1)  un dãy số tăng  1 lim u n = lim 1 −  =  n +) Câu C sai, xem phần ví dụ sau: n2 Hai dãy số u n = , = n +1 n+2 n2 lim u n = lim = lim n+2 n2 = lim = +  2 + n  + 2 n n2 n n  lim = lim(n + 1) = + 2  n  −3 −   n  −3n − n − (n + 1)  = lim = lim  Nhưng lim ( u n − v n ) = lim  n+2  2 n +  n 1 +   n 2 n = −3  = lim 1+ n −3 − +) Câu D lim qn = |q| < Do đó: −1 < a < lim an = Chọn đáp án D Bài tập trắc nghiệm 10 trang 143 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho dãy số (un) với + + + + n Mệnh đề sau mệnh đề đúng? un = n2 + (A) lim un = 0; (B) lim u n = ; (C) lim un = 1; (D) Dãy (un) khơng có giới hạn n → + Lời giải: Vì + + + + n = Nên u n = n(n + 1) n(n + 1) 2(n + 1)  1 n 1 +  1+ n(n + 1) n n =1 Do limu n = lim = lim  = lim 2 2  2(n + 1) 2+ 2 n2  +  n n   Chọn đáp án B Bài tập trắc nghiệm 11 trang 143 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho dãy số (un) với: un = + ( 2) + + ( 2) n Chọn mệnh đề mệnh đề sau: (A) lim u n = + ( 2) + + ( 2) n + = 1− ; (B) limu n = − ; (C) limu n = + ; (D) Dãy số (un) khơng có giới hạn n → + Lời giải: Ta có (un) tổng n số hạng cấp số nhân có số hạng đầu u1 = công bội q = nên: ( ) ( )  n − 1 1 − n  2 u1 (1 − q )     = un = = 1− q −1 1− n 2   lim u n = lim  nên lim Vì ( ) n 2 −1 ( 2) n − 1  = + = + Chọn đáp án C Bài tập trắc nghiệm 12 trang 144 SGK Toán lớp 11 Đại số: Chọn phương án đúng: −3x − lim x →1 x −1 − (B) − (A) −1 (C) −3 (D) + Lời giải: Ta có lim ( −3x − 1) = −4  x →1−  x −  0, x  lim x − = )  x →1 ( −  lim −3x − = + x −1 Chọn đáp án D Bài tập trắc nghiệm 13 trang 144 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho hàm số f (x) = − x2 x lim f (x) bằng: x →− (A) + Lời giải: Ta có: (B) (C) − (D) −1   x  − 1 −1 1− x x   x lim f (x) = xlim = lim = lim x →− →− x x x x 1  Vì lim  − 1 = −1  (1) x →− x  lim x →− 1 = 0, x → −   (2) x x Từ (1) (2) suy ra: lim f (x) = + x →− Chọn đáp án A Bài tập trắc nghiệm 14 trang 144 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho hàm số  3− x neu x   Hàm số cho liên tục x = m bằng: f (x) =  x + − m neu x =  (B) −1 (A) (D) −4 (C) Lời giải: Ta có: f(3) = m lim f (x) = lim x →3 x →3 = lim x →3 = (3 − x) ( ( (3 − x) x + + 3− x = lim x +1− x + − x →3 x +1 + −(3 − x) ) = lim x →3 ) x +1 + −1 +1 + = −4 −1 Hàm số y = f(x) liên tục x =  limf (x) = f (3)  m = −4 x →3 Chọn đáp án D Bài tập trắc nghiệm 15 trang 144 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho phương trình – 4x3 + 4x – = (1) Mệnh đề sai là: (A) Hàm số f(x)= − 4x3 + 4x − liên tục ; (B) Phương trình (1) khơng có nghiệm khoảng ( −;1) ; (C) Phương trình (1) có nghiệm khoảng (−2; 0); 1  (D) Phương trình (1) có hai nghiệm khoảng  −3;  2  Lời giải: Mệnh đề A f(x) hàm số đa thức nên liên tục Mệnh đề B sai vì: +) Xét hàm số f(x) = −4x3 + 4x – 1, ta có f(1) = −1; f(−2) = 23  f(1).f(−2) = −23 < +) Ta lại có hàm số f(x) liên tục (−2, 1) nên phương trình có nghiệm x  ( −2,1) Do đó, phương trình −4x3 + 4x – = có nghiệm ( −,1) Mệnh đề C vì: f(0) = −1, f(−2) = 23  f(−2).f(0) = −23 < nên phương trình f(x) = có nghiệm thuộc khoảng (−2; 0) 1 1 1 Mệnh đề D vì: f   = −4.  + − = 2 2 2 1 1  f ( ).f   = ( −1) = −  nên phương trình f(x) = có nghiệm 2 2  1 nghiệm thuộc khoảng  0;   2 Mà phương trình f(x) = có nghiệm thuộc khoảng (−2; 0) nên f(x) = có 1  1  nghiệm thuộc  −2;    −3;  2  2  Chọn đáp án B  ... +1 + −1 +1 + = ? ?4 −1 Hàm số y = f(x) liên tục x =  limf (x) = f (3)  m = ? ?4 x →3 Chọn đáp án D Bài tập trắc nghiệm 15 trang 144 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho phương trình – 4x3 + 4x – = (1) Mệnh...   −5 0−5 ? ?4? ?? 3n − 5.4n   = lim = =5 = lim   +) O = lim n 1 −   1− −1 4n  n − 1 4n ? ?4  n Vậy số 1530 mã số chữ HOAN tên học sinh cần tìm Bài tập trang 142 SGK Tốn lớp 11 Đại số: a)... x5 – 3x4 + 5x – = có ba nghiệm khoảng (– 2, 5) Bài tập trắc nghiệm Bài tập trắc nghiệm trang 143 SGK Toán lớp 11 Đại số: Mệnh đề sau mệnh đề đúng? (A) Một dãy số có giới hạn ln ln tăng luôn giảm