Ôn tập chương II Câu hỏi Câu hỏi 1 trang 126 Toán lớp 9 tập 1 Thế nào là đường tròn ngoại tiếp một tam giác ? Nêu cách xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác Lời giải Đường tròn ngoại tiếp ta[.]
Ôn tập chương II Câu hỏi Câu hỏi trang 126 Toán lớp tập 1: Thế đường tròn ngoại tiếp tam giác ? Nêu cách xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Lời giải: - Đường tròn ngoại tiếp tam giác đường tròn qua ba đỉnh tam giác - Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác giao điểm đường trung trực cạnh tam giác Câu hỏi trang 126 Toán lớp tập 1: Thế đường tròn nội tiếp tam giác ? Nêu cách xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác Lời giải: - Đường tròn nội tiếp tam giác đường tròn tiếp xúc với ba cạnh tam giác - Tâm đường tròn nội tiếp tam giác giao điểm tia phân giác góc tam giác Câu hỏi trang 126 Toán lớp tập 1: Chỉ rõ tâm đối xứng đường tròn, trục đối xứng đường tròn Lời giải: - Tâm đường tròn tâm đối xứng đường trịn - Mọi đường kính đường tròn trục đối xứng đường tròn Câu hỏi trang 126 Toán lớp tập 1: Chứng minh định lí: Trong dây đường trịn, dây lớn đường kính Lời giải: Giả sử ta có đường trịn tâm O đường kính AB = 2R dây CD Ta cần chứng minh CD 2R Nếu CD đường kính CD = AB = 2R (1) Nếu CD không đường kính, ta có: Xét tam giác COD Theo bất đẳng thức tam giác ta có: CD < OC + OD Mà OC = OD = R CD < R + R CD < 2R (2) Từ (1) (2) ta suy CD 2R (đcpcm) Câu hỏi trang 126 Toán lớp tập 1: Phát biểu định lí quan hệ vng góc đường kính dây Lời giải: Định lí: Nếu đường kính vng góc với dây qua trung điểm dây Ngược lại, đường kính qua trung điểm dây (không qua tâm) vng góc với dây Câu hỏi trang 126 Toán lớp tập 1: Phát biểu định lí liên hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây Lời giải: Trong đường tròn: - Hai dây cách tâm ngược lại, hai dây cách tâm - Dây lớn gần tâm ngược lại, dây gần tâm lớn Câu hỏi trang 126 Toán lớp tập 1: Nêu vị trí tương đối đường thẳng đường trịn Ứng với vị trí đó, viết hệ thức d (khoảng cách từ tâm đến đường thẳng) R (bán kính đường trịn) Lời giải: Vị trí tương đối đường thẳng đường tròn Số điểm chung Hệ thức d R Đường thẳng đường tròn cắt dR Câu hỏi trang 126 Toán lớp tập 1: Phát biểu định nghĩa tiếp tuyến đường trịn Phát biểu tính chất tiếp tuyến dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến Phát biểu tính chất hai tiếp tuyến cắt Lời giải: - Định nghĩa: Nếu đường thẳng qua điểm đường trịn vng góc với bán kính qua điểm đường thẳng tiếp tuyến đường trịn - Tính chất dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến: + Tiếp tuyến với đường trịn đường thẳng có điểm chung với đường trịn + Tiếp tuyến với đường trịn vng góc với bán kính qua tiếp điểm - Tính chất hai tiếp tuyến cắt + Nếu hai tiếp tuyến đường tròn cắt điểm thì: Điểm cách hai tiếp điểm Tia kẻ từ điểm qua tâm tia phân giác góc tạo hai tiếp tuyến Tia kẻ từ tâm qua điểm tia phân giác góc tạo hai bán kính qua tiếp điểm Câu hỏi trang 126 Toán lớp tập 1: Nêu vị trí tương đối hai đường trịn Ứng với vị trí đó, viết hệ thức đoạn nối tâm d với bán kính R, r Lời giải: Câu hỏi 10 trang 126 Toán lớp tập 1: Tiếp điểm hai đường tròn tiếp xúc có vị trí đường nối tâm ? Các giao điểm hai đường tròn cắt có vị trí đường nối tâm ? Lời giải: - Tiếp điểm hai đường trịn tiếp xúc với nằm đường nối tâm - Các giao điểm hai đường trịn cắt đối xứng với qua đường nối tâm Bài tập Bài 41 trang 128 Toán lớp tập 1: Cho đường trịn (O) có đường kính BC, dây AD vng góc với BC H Gọi E, F theo thứ tự chân đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC Gọi (I), (K) theo thứ tự đường tròn ngoại tiếp tam giác HBE, HCF a) Hãy xác định vị trí tương đối đường tròn: (I) (O); (K) (O); (I) (K) b) Tứ giác AEHF hình ? Vì ? c) Chứng minh đẳng thức AE AB = AF AC d) Chứng minh EF tiếp tuyến chung hai đường tròn (I) (K) e) Xác định vị trí điểm H để EF có độ dài lớn Lời giải: a) Có : OI = OB – IB nên (I) tiếp xúc với (O) OK = OC – KC nên (K) tiếp xúc với (O) IK = IH + KH nên (I) tiếp xúc với (K) b) Theo đề bài, ta có: HE AB E AEH 90o HF AC F AFH 90o Và BAC 90o (do A thuộc đường tròn đường kính BC) Xét tứ giác AEHF có: EAF AEH AFH 90o Do đó, tứ giác AEHF hình chữ nhật c) Xét tam giác ABH vng H có HE đường cao Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ta có: AH AE.AB Xét tam giác ACH vng H có HF đường cao Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ta có: AH AF.AC Do đó, AE AB = AF AC (vì AH ) d) Gọi M giao điểm AH EF, ta có: ME = MF = MH = MA (do AEHF hình chữ nhật) Xét tam giác MEI tam giác MHI có: ME = MH IE = IH (cùng bán kính đường trịn (I)) MI chung Do đó, tam giác MEI tam giác MHI (theo trường hợp cạnh – cạnh – cạnh) MEI MHI Mà AD vng góc với BC H nên MHI 90o MEI 90o ME EI E Mà IE bán kính đường trịn (I) Do đó, ME hay EF tiếp tuyến đường tròn (I) Mặt khác ta lại có: Xét tam giác MFH có: MF = MH (chứng minh trên) Do đó, tam giác MFH cân M MHF MFH (hai góc đáy) (1) Xét tam giác KFH có: KF = KH (cùng bán kính đường trịn (K)) Do đó, tam giác KFH cân K KHF KFH (hai góc đáy) (2) Từ (1) (2) ta có: MHF KHF MFH HFK KFM MHK 90o (do AH BC H) MF FK F Mà KF bán kính đường trịn (K) nên MF hay EF tiếp tuyến đường tròn (K) Vậy EF tiếp tuyến chung hai đường trịn (I) (K) e) Do AEHF hình chữ nhật nên ta có: EF = AH Mà dây cung ln nhỏ đường kính nên nửa dây cung ln nhỏ bán kính nên ta có: AH AO Do đó, EF AO R (với R bán kính đường trịn (O) không đổi) Dấu xảy H trùng với O Vậy dây AD vng góc với BC O EF có độ dài lớn Bài 42 trang 128 Toán lớp tập 1: Cho hai đường trịn (O) (O’) tiếp xúc ngồi A, BC tiếp tuyến chung ngoài, B (O), C (O’) Tiếp tuyến chung A cắt BC điểm M Gọi E giao điểm OM AB, F giao điểm O’M AC Chứng minh rằng: a) Tứ giác AEMF hình chữ nhật b) ME.MO = MF.MO’ c) OO’ tiếp tuyến đường trịn có đường kính BC d) BC tiếp tuyến đường trịn có đường kính OO’ Lời giải: a) Ta có: MB, MA tiếp tuyến đường trịn (O) nên MA = MB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) (1) Ta lại có MA, MC tiếp tuyến đường tròn (O’) nên MA = MC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) (2) Từ (1) (2) suy MA = MB = MC MA BC Xét tam giác ABC Có MA trung tuyến MA BC Do đó, tam giác ABC vng A BAC 90o Xét tam giác MBA cân M (do MA = MB ) Có EM phân giác nên ME đường cao ME AB AEM 90o Xét tam giác MCA cân M (do MA = MC) Có FM phân giác nên MF đường cao MF AC AFM 90o Xét tứ giác AEMF có BAC 90o AFM 90o AEM 90o Do đó, AEMF hình chữ nhật b) Xét tam giác AOM vng A (do AM tiếp tuyến) Có: AE MO nên AE đường cao Áp dụng hệ thức lượng tam giác ta có: MA ME.MO (3) Xét tam giác AO’M vuông A (do AM tiếp tuyến) Có AF MO ' nên AF đường cao Áp dụng hệ thức lượng tam giác ta có: MA2 MF.MO' (4) Từ (3) (4) ME MO = MF MO’ c) Ta có MA = MB = MC (chứng minh câu a) Do đó, A, B, C nằm đường trịn tâm M bán kính MA Mặt khác OO' MA A Do đó, OO’ tiếp tuyến đường trịn tâm M đường kính BC d) OB BC Ta có: OB / /O'C O'C BC Do đó, tứ giác OBCO’ hình thang Gọi I trung điểm OO’ Ta có M trung điểm BC Do đó, MI đường trung bình hình thang OBCO’ MI / /OB / /O'C OB BC Mà MI BC (5) O'C BC Ta có AEMF hình chữ nhật nên OMO' EMF 90o Do đó, tam giác OMO’ vng M Ta lại có MI trung tuyến tam giác OMO’ nên MI = IO = IO’ (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền) Do đó, O, M, O’ nằm đường trịn tâm I đường kính OO’ (6) Từ (5) (6) ta suy BC tiếp tuyến đường tròn tâm I đường kính OO’ Bài 43 trang 128 Tốn lớp tập 1: Cho hai đường tròn (O; R) (O’; r) cắt A B (R > r) Gọi I trung điểm OO’ Kẻ đường thẳng vng góc với IA A, đường thẳng cắt đường tròn (O; R) (O’; r) theo thứ tự C D (khác A) a) Chứng minh AC = AD b) Gọi K điểm đối xứng với điểm A qua điểm I Chứng minh KB vng góc với AB Lời giải: a) Vẽ OM AC M, O’N AD N Xét đường trịn (O) Có: OM AC MA MC AC (định lý đường kính vng góc với dây) Xét đường trịn (O') Có: O' N AD NA ND AD (định lý đường kính vng góc với dây) Mặt khác, ta có OM CD,IA CD,O' N CD OM / /IA / /O' N Do đó, tứ giác OMNO' hình thang Xét hình thang OMNO' Có: IA // OM // O’N IO = IO’ MA = NA (do đường thẳng song song với hai đáy hình thang qua trung điểm cạnh bên qua trung điểm cạnh bên cịn lại) Do đó, 2MA = 2NA AC = AD b) Ta có (O) (O’) cắt A, B Do đó, OO’ đường trung trực đoạn thẳng AB (tính chất đường nối tâm hai đường trịn cắt nhau) IA = IB (tính chất đường trung trực đoạn thẳng) Mặt khác IA = IK (vì K đối xứng với A qua I) Do đó, IA IB IK AK Xét tam giác KBA Có BI đường trung tuyến BI AK Do đó, tam giác KBA vng B KB AB (đpcm) ... thức tam giác ta có: CD < OC + OD Mà OC = OD = R CD < R + R CD < 2R (2) Từ (1) (2) ta suy CD 2R (đcpcm) Câu hỏi trang 126 Toán lớp tập 1: Phát biểu định lí quan hệ vng góc đường kính dây... đường cao ME AB AEM 90 o Xét tam giác MCA cân M (do MA = MC) Có FM phân giác nên MF đường cao MF AC AFM 90 o Xét tứ giác AEMF có BAC 90 o AFM 90 o AEM 90 o Do đó, AEMF hình chữ... Theo đề bài, ta có: HE AB E AEH 90 o HF AC F AFH 90 o Và BAC 90 o (do A thuộc đường trịn đường kính BC) Xét tứ giác AEHF có: EAF AEH AFH 90 o Do đó, tứ giác AEHF hình chữ nhật