ƯƠM MẦM TRI THỨC UOMMAM VN Họ và tên thí sinh Số báo danh Người coi thi số 1 Người coi thi số 2 Câu I (2,0 điểm) 1 Rút gọn biểu thức 1 6 2 5 20 5 2 A = + + − − 2 Cho biểu thức 1 2 2 6 93 1 x xB xx x [.]
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN Năm học 2022-2023 Mơn: Tốn (Đề chung) Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề UBND TỈNH HÀ NAM SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC Câu I (2,0 điểm) Rút gọn biểu thức = A + + − 20 5−2 x x +6 (với x ≥ 0, x ≠ 1, x ≠ ) Cho biểu = thức B + x −1 x +3 x−9 Rút gọn biểu thức B tìm giá trị x để B = Câu II (2,0 điểm) Giải phương trình x − x − = 2 ( x + 1) + y = Giải hệ phương trình x ( x + ) + y =2 + x Câu III (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol ( P ) có phương trình y = x đường thẳng (d ) có phương trình = y x + b (với b tham số) Xác định b để đường thẳng ( d ) cắt parabol ( P ) điểm có hồnh độ −1 Cho phương trình x + ( m + 1) x + m − m − = (với m tham số) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x12 − ( m + 1) x2 + m − m − = 16 Câu IV (3,5 điểm) Cho đường tròn ( O; R ) đường kính AB, lấy điểm M đường tròn ( M khác A B ) Qua điểm H thuộc đoạn OB ( H khác O B ) kẻ đường thẳng d vng góc với AB, đường thẳng d cắt đường thẳng MA, MB điểm D, C Chứng minh bốn điểm A, M , C , H thuộc đường tròn Tia AC cắt đường tròn ( O; R ) điểm E Chứng minh ba điểm D, E , B thẳng hàng Tiếp tuyến đường tròn ( O; R ) điểm M cắt đường thẳng d điểm I Chứng minh IE tiếp tuyến đường tròn ( O; R ) Khi điểm M di động đường tròn ( O; R ) Chứng minh đường thẳng ME qua điểm cố định Câu V (0,5 điểm) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn x + y ≤ z Tìm giá trị nhỏ 2 2 + + y z x biểu thức P = ( x + y + z ) - HẾT Thí sinh khơng sử dụng tài liệu, người coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:………………………………… Số báo danh: Người coi thi số 1…………………………Người coi thi số 2…………… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NAM KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN Năm học 2022-2023 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN (ĐỀ CHUNG) Lưu ý: - Các cách giải khác đáp án cho điểm tương ứng theo hướng dẫn chấm - Tổng điểm tồn khơng làm trịn Câu Ý Nội dung + + − 20 5−2 Rút gọn biểu thức = A = A (1,0 điểm) = ( 5+2 )( 5+2 + ( 5−4 5−2 + ) + 1) − 5+2 Điểm ( 5) + + − 4.5 0,25 0,25 = + + +1− = 0,25 0,25 x x +6 (với x ≥ 0, x ≠ 1, x ≠ ) + x −1 x +3 x−9 Rút gọn biểu thức B tìm giá trị x để B = x +3 x = B + x +3 x −1 x +3 x −3 0,25 Cho biểu= thức B I (2,0 điểm) ( (1,0 điểm) = = ( ( x −3+ x x +3 )( x −3 x −3 x +3 )( x −3 ) )( 2( ) ( ( ) x + 3) ) x −1 x +3 x −1 ) = x −3 = 3⇔ x −3= x −3 ⇔ x = ⇔ x = 25 (thỏa mãn điều kiện) Giải phương trình x − x − = Có a − b + c = − ( −6 ) + ( −7 ) = + − = B = 3⇒ (1,0 điểm) II (2,0điểm) Nên phương trình cho có hai nghiệm x1 = −1, x2 = 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 2 ( x + 1) + y = x ( x + ) + y =2 + x Giải hệ phương trình (1,0 điểm) 2 ( x + 1) + y = 5 2 x + + y = ⇔ 2 x ( x + ) + y =2 + x x + x + y =2 + x 0,25 3 2 x + y = 2 x + y = ⇔ ⇔ 2 x + y = x + y = x = ⇔ x + y = 0,25 0,25 x = Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y= ⇔ ) ( 2; −1) 0,25 y = − Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol ( P ) có phương trình y = x đường thẳng ( d ) có phương trình = y x + b (với b tham số) Xác định b để đường thẳng ( d ) cắt parabol ( P ) điểm có hồnh độ −1 Thay x = −1 vào ( P ) : y = x ta y =4 ( −1) =4 (1,0 điểm) III (2,0 điểm) y x + b ta Thay x = −1 y = vào ( d ) : = 0,25 0,25 = ( −1) + b 0,25 ⇔b= Vậy b = đường thẳng d cắt parabol ( P ) điểm có hồnh độ 0,25 −1 Cho phương trình x + ( m + 1) x + m − m − = (với m tham số) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x12 − ( m + 1) x2 + m − m − = 16 Phương trình có hai nghiệm phân biệt ∆′ > ⇔ ( m + 1) − m + m + > ⇔ 3m + > ⇔ m > −2 (*) Vì x1 nghiệm phương trình 2 (1,0 điểm) x12 + ( m + 1) x1 + m − m − = −16 Kết hợp với giả thiết ta ( m + 1) x1 + ( m + 1) x2 = 0,25 0,25 0,25 ⇔ ( m + 1)( x1 + x2 ) = −16 ⇔ ( m + 1) ( −2 ( m + 1) ) = −16 ⇔ ( m + 1) = 16 ⇔ ( m + 1) = 2 0,25 m = Kết hợp với (*) , m = ⇔ m = −3 Cho đường tròn ( O; R ) đường kính AB, lấy điểm M đường tròn ( M khác A IV (3,5 điểm) B ) Qua điểm H thuộc đoạn OB ( H khác O B ) kẻ đường thẳng d vng góc với AB, đường thẳng d cắt đường thẳng MA, MB điểm D, C 3 (Học sinh khơng vẽ hình ý khơng chấm điểm ý đó) Chứng minh bốn điểm A, M , C , H thuộc đường tròn Ta có AMB= 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay AMC= 90° (1,0 điểm) (1,0 điểm) 0,25 Lại có CH ⊥ AB H (giả thiết) ⇒ AHC =° 90 0,25 Có AEB= 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) ⇒ AE ⊥ EB (1) 0,25 0,25 Xét tứ giác AMCH có AMC + AHC = 180° Suy tứ giác AMCH nội tiếp Vậy bốn điểm A, M , C , H 0,25 thuộc đường tròn Tia AC cắt đường tròn ( O; R ) điểm E Chứng minh ba điểm D, E , B thẳng hàng Xét ∆ABD có BM ⊥ AD (vì AMB= 90° ) DH ⊥ AB (giả thiết) Mà DH cắt BM C Suy C trực tâm ∆ABD ⇒ AC ⊥ DB hay AE ⊥ DB ( ) Từ (1) , ( ) suy EB ≡ DB Vậy D, E , B thẳng hàng 0,25 0,25 0,25 Tiếp tuyến đường tròn ( O; R ) điểm M cắt đường thẳng d điểm I Chứng minh IE tiếp tuyến đường tròn ( O; R ) (0,75 điểm) + OHI = 90° + 90°= 180° suy tứ giác Tứ giác MIHO có OMI MIHO nội tiếp đường trịn đường kính OI (1) = Tứ giác AMCH nội tiếp (cmt) ⇒ CMH CAH ) = EAB (hai góc nội tiếp chắn cung EB Trong ( O; R ) có EMB = EMC ⇒ HME = Suy CMH BME ) (góc tâm góc nội tiếp chắn cung EB = BAE Lại có HOE 0,25 0,25 ⇒ tứ giác MEHO nội tiếp ( ) = ⇒ HOE HME Từ (1) , ( ) suy điểm I , M , O, H , E thuộc đường trịn đường = kính OI ⇒ IEO 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) ⇒ IE ⊥ OE Vậy IE tiếp tuyến đường tròn ( O; R ) (0,75 điểm) 0,25 Khi điểm M di động đường tròn ( O; R ) Chứng minh đường thẳng ME qua điểm cố định Gọi K giao điểm OI ME ⇒ OI ⊥ ME K (tính chất hai tiếp tuyến) 0,25 2 Tam giác OMI vuông M MK ⊥ OI ⇒ OM = OK OI = R Gọi P giao điểm AB ME OK OP 0,25 ∆OKP ∽ ∆OHI ⇒ ⇒ OK OI =OH OP OI R2 ⇒ OH OP = R ⇒ OP = OH Mà điểm O, H cố định R không đổi nên điểm P cố định Vậy đường thẳng ME qua điểm cố định Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn x + y ≤ z Tìm giá trị nhỏ biểu thức OH = 0,25 2 2 + y2 + z2 ) + + y z x x2 y P 1 x2 y 2 = ( x + y + z ) + + = 3+ + + z + + + y z z y y x x x z P= (x Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có: x2 y x2 y + ≥ = , dấu “=” xảy ⇔ x = y y x2 y x2 0,25 x2 P z2 y2 z 15 z 1 ⇒ ≥ 5+ + + + + 2+ 2 y z 16 x z 16 y 16 x V (0,5 điểm) Áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có: x2 z2 x2 z z , dấu “=” xảy ⇔ x = + ≥ = 2 2 z 16 x z 16 x y2 z2 y2 z2 + ≥ = , dấu “=” xảy ⇔ y = z 2 2 z 16 y z 16 y 1 2 y Lại có + ≥ ≥ = , dấu “=” xảy ⇔ x = x y xy x + y ( x + y) 15 z 1 15 z 15 z 15 + ≥ = Suy ≥ 16 x y 16 ( x + y ) x+ y z (vì x + y ≤ z ), dấu “=” xảy ⇔ x + y = 0,25 P 1 15 z ≥ + + + ⇔ P ≥ 27 Đẳng thức xảy x= y= 2 2 z Vậy giá trị nhỏ P 27 x= y= Trường hợp vẽ hình khác câu IV Cho đường trịn ( O; R ) đường kính AB, lấy điểm M đường trịn ( M khác A B ) Qua điểm H thuộc đoạn OB ( H khác O B ) kẻ đường thẳng d vng góc với AB, đường thẳng d cắt đường thẳng MA, MB điểm D, C IV (3,5 điểm) (Học sinh khơng vẽ hình ý khơng chấm điểm ý đó) Chứng minh bốn điểm A, M , C , H thuộc đường trịn Ta có AMB= 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) hay (1,0 điểm) AMC= 90° Lại có CH ⊥ AB H (giả thiết) ⇒ AHC =° 90 Xét tứ giác AHMC có AMC= AHC= 90° Suy tứ giác AHMC nội tiếp Vậy bốn điểm A, M , C , H 0,25 0,25 0,25 0,25 thuộc đường tròn Tia AC cắt đường tròn ( O; R ) điểm E Chứng minh ba điểm D, E , B thẳng hàng Có AEB= 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) ⇒ AE ⊥ EB (1) (1,0 điểm) Xét ∆ABD có BM ⊥ AD (vì AMB= 90° ) DH ⊥ AB (giả thiết) Mà DH cắt BM C Suy C trực tâm ∆ABD ⇒ AC ⊥ DB hay AE ⊥ DB ( ) Từ (1) , ( ) suy EB ≡ DB Vậy D, E , B thẳng hàng 0,25 0,25 0,25 0,25 Tiếp tuyến đường tròn ( O; R ) điểm M cắt đường thẳng d điểm (0,75 điểm) I Chứng minh IE tiếp tuyến đường tròn ( O; R ) = OHI = 90° suy tứ giác MIOH nội tiếp Tứ giác MIOH có OMI đường trịn đường kính OI (1) + = Tứ giác AEDH nội tiếp ( AED DAH AHD = 180° ) ⇒ DEH ) = MAB (hai góc nội tiếp chắn cung MB Trong ( O; R ) có MEB ⇒ HEM = MEB = Suy DEH BEM ) = BAM (góc tâm góc nội tiếp chắn cung MB Lại có HOM = ⇒ tứ giác EMHO nội tiếp ( ) ⇒ HOM HEM Từ (1) , ( ) suy điểm I , M , O, H , E thuộc đường tròn đường = kính OI ⇒ IEO 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒ IE ⊥ OE Vậy IE tiếp tuyến đường tròn ( O; R ) (0,75 điểm) 0,25 0,25 0,25 Khi điểm M di động đường tròn ( O ) Chứng minh đường thẳng ME qua điểm cố định Gọi K giao điểm OI ME ⇒ OI ⊥ ME K (tính chất hai tiếp tuyến) 0,25 2 Tam giác OMI vuông M MK ⊥ OI ⇒ OM = OK OI = R Gọi P giao điểm AB ME OK OP 0,25 ∆OKP ∽ ∆OHI ⇒ ⇒ OK OI =OH OP OI R2 ⇒ OH OP = R ⇒ OP = OH Mà điểm O, H cố định R không đổi nên điểm P cố định Vậy đường thẳng ME qua điểm cố định OH = 0,25 ... 202 2-2 023 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN (ĐỀ CHUNG) Lưu ý: - Các cách giải khác đáp án cho điểm tương ứng theo hướng dẫn chấm - Tổng điểm toàn khơng làm trịn Câu Ý Nội dung + + − 20 5−2 Rút gọn biểu thức. .. 0, x ≠ 1, x ≠ ) + x −1 x +3 x−9 Rút gọn biểu thức B tìm giá trị x để B = x +3 x = B + x +3 x −1 x +3 x −3 0,25 Cho biểu= thức B I (2,0 điểm) ( (1,0 điểm) = = ( ( x −3+ x... biểu thức OH = 0,25 2 2 + y2 + z2 ) + + y z x x2 y P 1 x2 y 2 = ( x + y + z ) + + = 3+ + + z + + + y z z y y x x x z P= (x Áp dụng bất đẳng thức