Hệ phương trình chứa tham số m I Lý thuyết Cho hệ phương trình ax by c (*) a ''''x b''''y c'''' + = + = Để giải hệ phương trình (*) ta thường dùng phương pháp thế hoặc cộng đại số Từ hai phương trình của h[.]
Hệ phương trình chứa tham số m I Lý thuyết ax + by = c Cho hệ phương trình (*) a 'x + b' y = c' - Để giải hệ phương trình (*) ta thường dùng phương pháp cộng đại số - Từ hai phương trình hệ phương trình (*), sau dùng phương pháp phương pháp cộng đại số, ta thu phương trình gồm ẩn Khi số nghiệm phương trình số nghiệm hệ phương trình cho Chú ý: Với trường hợp a ';b';c' Hệ phương trình có nghiệm Hệ phương trình vơ nghiệm a b ; a ' b' a b c = ; a ' b' c' Hệ phương trình vơ số nghiệm a b c = = a ' b' c' II Dạng tập Dạng 1: Giải biện luận hệ phương trình Phương pháp giải: Để giải biện luận hệ phương trình (*) ta làm sau: Bước 1: Sử dụng phương pháp giải hệ phương trình học thế, cộng đại số, ta thu phương trình (chỉ cịn ẩn) Bước 2: Giải biện luận phương trình mới, từ đến kết luận giải biện luận hệ phương trình cho Chú ý: Số nghiệm hệ phương trình (*) số nghiệm phương trình Ví dụ 1: Cho hệ phương trình với m tham số x + my = 2m (*) mx + y = − m a) Tìm m để hệ phương trình cho có nghiệm Tìm nghiệm b) Tìm m để hệ phương trình cho vơ nghiệm Lời giải: a) x + my = 2m (1) mx + y = − m (2) Từ (1) ta có: x = 2m – my thay vào (2) ta được: m ( 2m − my ) + y = − m 2m − m y + y − + m = (1 − m2 ) y + 2m2 + m − = (**) Để hệ (*) có nghiệm phương trình (**) phải có nghiệm (**) có nghiệm − m2 (1 − m)(1 + m) 1 − m 1 + m m m −1 Khi đó: (1 − m2 ) y = −2m2 − m + −2m2 − m + y= − m2 −2m2 − 2m + m + y= (1 − m )(1 + m ) y= −2m ( m + 1) + ( m + 1) (1 − m )( m + 1) y= ( m + 1)(1 − 2m ) = − 2m (1 − m )( m + 1) m + Vì x = 2m − my x = 2m − m x= − 2m m +1 2m ( m + 1) − m (1 − 2m ) m +1 2m2 + 2m − m + 2m x= m +1 4m + m x= m +1 Hệ phương trình có nghiêm m 1 nghiệm 4m + m − 2m ; m +1 m +1 b) Để hệ (*) vơ nghiệm phương trình (**) phải vô nghiệm 1 − m = (**) vô nghiệm 2m + m − (1 − m )(1 + m ) = 2m + 2m − m − m = m = −1 2m(m + 1) − (m + 1) m = m = −1 (m + 1)(2m − 1) m −1 m m =1 m = m = −1 Vậy m = hệ phương trình vơ nghiệm Ví dụ 2: Cho hệ phương trình với m tham số mx − y = 2m (I) 4x − my = m + Tìm điều kiện m để hệ phương trình có nghiệm Lời giải: mx − y = 2m (1) 4x − my = m + (2) Từ phương trình (1) ta có: y = mx – 2m thay vào phương trình (2) ta có: 4x − m(mx − 2m) = m + 4x − m x + 2m = m + (4 − m )x + 2m − m − = (II) Để hệ phương trình (I) có nghiệm phương trình (II) phải có nghiệm Để phương trình (II) có nghiệm ta có hai trường hợp sau: Trường hợp 1: (II) có nghiệm − m2 ( − m )( + m ) 2 − m 2 + m m m −2 Trường hợp 2: Phương trình (II) có vô số nghiệm 4 − m = 2m − m − = (2 − m)(2 + m) = 2m − 4m + 3m − = m = m = −2 2m m − + m − = ) ( ) ( m = m = −2 (m − 2)(2m + 3) = m = m = −2 m = m = m = −3 Kết hợp hai trường hợp ta m −2 hệ phương trình ln có nghiệm Dạng 2: Tìm điều kiện m để hệ phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp giải: Bước 1: Đặt điều kiện để hệ phương trình có nghĩa (nếu có) Bước 2: Tìm điều kiện để hệ phương trình có nghiệm Bước 3: Giải hệ phương trình tìm nghiệm (x; y) theo tham số m Bước 4: Thay x; y vào điều kiện đề giải điều kiện Bước 5: Kết luận Ví dụ 1: Cho hệ phương trình: 3x + my = (với m tham số) x + y = a) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm b) Tìm m để phương trình có nghiệm x < 0; y > Lời giải: a) Để hệ phương trình có nghiệm m m3 1 Vậy m hệ phương trình có nghiệm b) Với m = hệ phương trình vơ nghiệm nên hệ có nghiệm nghiệm Theo ta có: 3x + m (1 − x ) = 3x + my = x + y = 1 − x = y ( − m ) x = − m 3x + m − mx = 1 − x = y 1 − x = y 4−m 4−m x = x = 3−m 3− m y = − − m 1 − x = y 3−m 4−m 4−m x = x= 3− m 3− m y = −1 y = (3 − m ) − ( − m ) 3− m 3− m Để y > −1 0 3− m 3− m −m −3 m3 Để x < 4−m 0 3− m Trường hợp 1: 4 − m m 3 m − m m Trường hợp 2: 4 − m m (vơ lí) 3 − m m Kết hợp điều kiện x y ta thấy để y > x < < m < Ví dụ 2: Tìm m nguyên để hệ phương trình sau có nghiệm (x; y) x; y nguyên mx + 2y = m + (m tham số) 2x + my = 2m − Lời giải: + Với m = hệ trở thành: 0x + 2y = + 2x + 0y = 2.0 + 1 x = 2y = 2x = y = (loại khơng phải nghiệm nguyên) + Với m hệ phương trình có nghiệm nhẩt m m m2 m 2 Ta có: mx + 2y = m + 2y = m + − mx 2x + my = 2m − 2x + my = 2m − m + − mx y = 2x + m m + − mx = 2m − m + − mx y = 2 4x + m + m − m x = 4m − m + − mx y = ( − m ) x = −m − m + 4m − m + − mx y = x = −m + 3m − − m2 ( − m )( m − 1) x = ( − m )( + m ) y = m + − mx m −1 x = 2+m m −1 m + − m 2+m y = m −1 x = 2+m ( m + 1)( + m ) − ( m − m ) 2+m y = m −1 x = + m 2 y = 2m + + m + m − m + m 2(2 + m) m −1 m −1 x = x = 2+m 2+m y = 4m + y = 2m + 2(2 + m) 2+m Để x ngun m −1 2+m Ta có: m −1 m + − m + 3 = = − =1− 2+m m+2 m+2 m+2 m+2 Để m −1 2+m m+2 ( m + 2) Hay ( m + ) Ư(3) Ư(3) = 1; 3 m+2 m Để y ngun Ta có: 2m + 2+m -3 -5 -1 -3 -1 3 2m + 2m + − ( m + ) =2= = − m+2 2+m 2+m m+2 m+2 Để m −1 (tương tự câu a) 2+m m+2 Vậy để hệ phương trình có nghiệm (x; y) ngun m −5; −3; −1;1 Dạng 3: Tìm hệ thức liên hệ ẩn hệ phương trình khơng phụ thuộc vào tham số m Phương pháp giải: Ta thực theo ba bước Bước 1: Tìm điều kiện tham số m để hệ phương trình có nghiệm Bước 2: Dùng phương pháp cộng đại số làm tham số m Bước 3: Kết luận Ví dụ 1: Cho hệ phương trình sau: mx + y = −1 (m tham số) x + y = − m Khi hệ phương trình có nghiệm nhất, tìm hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào tham số m Lời giải: Hệ phương trình có nghiệm m m 1 1 Ta có: mx + y = −1 mx + y = −1 (1) x + y = −m m = − x − y (2) Thay (2) vào (1) ta được: x(-x – y) + y = -1 − x − xy + y + = Vậy hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m − x − xy + y + = Ví dụ 2: Cho hệ phương trình x + y = m + (m tham số) 2x + 3y = 4m Tìm hệ thức liên hệ x y khơng phụ thuộc vào tham số m Lời giải: x + y = m + (1) 2x + 3y = 4m (2) Từ (1) ta có: m = x + y – thay vào (2) ta được: 2x + 3y = 4(x + y – 4) 2x + 3y = 4x + 4y – 16 4x +4y – 16 – 2x – 3y = 2x + y - 16 = Vậy hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào tham số m 2x + y – 16 = III Bài tập vận dụng mx + 3y = Bài 1: Cho hệ phương trình (m tham số) Tìm điều kiện m để x + 2y = hệ phương trình vơ số nghiệm 2mx − 5y = −2 Bài 2: Cho hệ phương trình (m tham số) 5x − 2my = − 2m a) Tìm m để hẹ phương trình có nghiệm b) Tìm m ngun để nghiệm (x; y) cho x; y nguyên mx − y = 2m Bài 3: Cho hệ phương trình (m tham số) 4x − my = m + a) Giải phương trình m = b) Giải biện luận hệ phương trình cho theo m 2mx + y = Bài 4: Cho hệ phương trình (m tham số) x + 2my = − 4m a) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm b) Tìm giá trị nguyên m cho hệ phương trình có nghiệm (x; y) thỏa mãn x nguyên; y nguyên mx + y = Bài 5: Cho hệ phương trình (m tham số) 4x + my = Tìm điều kiện m để hệ phương trình có nghiệm nhât (x; y) thỏa mãn x > 2; y > −2mx + y = Bài 6: Cho hệ phương trình (m tham số) mx + 3y = a) Giải hệ phương trình m = b) Tìm giá trị tham số m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) thỏa mãn x – y = x − my = Bài 7: Cho hệ phương trình (với m tham số) mx − y = m + Tìm hệ thức liên hệ x y khơng phụ thuộc vào m 2x + 4y = m + Bài 8: Cho hệ phương trình (với m tham số) x − y = m + Tìm hệ thức liên hệ x y khơng phụ thuộc vào tham số m 2mx + 4y = Bài 9: Cho hệ phương trình (với m tham số) x − 2y = m + Tìm m để 2x – 3y = 2mx + y = Bài 10: Cho hệ phương trình (với m tham số) 8x + my = m + a) Giải hệ phương trình m = -1 b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (2; -6) c) Giải biện luận hệ phương trình theo m d) Tìm hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m e) Tìm m để 4x + 3y = f) Tìm m để x – y > ... = III Bài tập vận dụng mx + 3y = Bài 1: Cho hệ phương trình (m tham số) Tìm điều kiện m để x + 2y = hệ phương trình vơ số nghiệm 2mx − 5y = −2 Bài 2: Cho hệ phương trình (m tham số) 5x... kiện tham số m để hệ phương trình có nghiệm Bước 2: Dùng phương pháp cộng đại số làm tham số m Bước 3: Kết luận Ví dụ 1: Cho hệ phương trình sau: mx + y = −1 (m tham số) x + y = − m Khi hệ phương. .. (với m tham số) x + y = a) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm b) Tìm m để phương trình có nghiệm x < 0; y > Lời giải: a) Để hệ phương trình có nghiệm m m3 1 Vậy m hệ phương trình có nghiệm