Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình I Lý thuyết Để giải một bài toán bằng cách lập hệ phương trình ta thực hiện qua ba bước sau Bước 1 Lập hệ phương trình Chọn các ẩn số và đặt điều kiện, đơn[.]
Giải tốn cách lập hệ phương trình I Lý thuyết Để giải toán cách lập hệ phương trình ta thực qua ba bước sau: Bước 1: Lập hệ phương trình: - Chọn ẩn số đặt điều kiện, đơn vị thích hợp cho ẩn số; - Biểu diễn đại lượng chưa biết theo đại lượng biết; - Lập hệ phương trình biểu diễn tương quan đại lượng Bước 2: Giải hệ phương trình vừa tìm Bước 3: Kiểm tra điều kiện ban đầu kết luận toán II Các dạng toán Dạng 1: Bài toán chuyển động Phương pháp giải: Vận dụng số kiến thức chuyển động sau: - Với ba đại lượng tham gia quãng đường (S); vận tốc (v); thời gian (t), ta có cơng thức liên hệ ba đại lượng sau: S = vt Với: S quang đường có đơn vị km; m… v vận tốc có đơn vị km/h; m/s… t thời gian có đơn vị h; s… - Khi vật chuyển động dịng nước ta có: vxuoi = vthuc + vnuoc v nguoc = v thuc − v nuoc Ví dụ 1: Một tơ dự định từ A đến B khoảng thời gian định Nếu xe chạy nhanh 10km đến sớm dự định 3h Nếu xe chạy chậm dự định 10km đến nơi chậm 5h Tính vận tốc xe lúc đầu thời gian dự định quãng đường AB Lời giải: Gọi vận tốc dự định ô tô x (km/h) (x > 10) Gọi thời gian dự định ô tô y (h) (y > 3) Quãng đường AB là: S = xy (km) (1) Nếu tơ tăng vận tốc 10 km/h vận tốc lúc x + 10 (km/h) Vì ô tô đến sớm 3h nên thời gian hết quãng đường AB y – (h) Quãng đường AB là: S = (x + 1)(y – 3) (km) (2) Từ (1) (2) ta có phương trình: xy = (x + 10)(y – 3) xy = xy – 3x + 10y – 30 3x – 10y = -30 (*) Nếu ô tô giảm vận tốc 10 km/h vận tốc lúc x – 10 (km/h) Vì tơ đến muộn 5h nên thời gian hết quãng đường AB y + (h) Quang đường AB là: (x – 10)(y + 5) (km) (3) Từ (1) (3) ta có phương trình: xy = (x – 10)(y + 5) xy = xy + 5x – 10y – 50 5x – 10y = 50 (**) Từ (*) (**) ta có hệ phương trình 3x − 10y = −30 (4) 5x − 10y = 50 (5) Lấy (5) – (4) ta được: ( 5x − 10y ) − ( 3x − 10y ) = 50 + 30 3x − 10y = −30 5x − 10y − 3x + 10y = 80 3x − 10y = −30 2x = 80 3x − 10y = −30 x = 80 : 3x − 10y = −30 x = 40 3.40 − 10y = −30 x = 40 10y = 120 + 30 x = 40 10y = 150 x = 40 (thỏa mãn) y = 15 Vậy vận tốc dự định ô tô 40 km/h thời gian dự định ô tơ hết qng đường AB 15h Ví dụ 2: Một ca nơ chạy dịng sơng 7h, biết chạy xi dịng 108km ngược dịng 63km Một lần khác ca nô chạy 7h chạy xi dịng 81km chạy ngược dịng 84km Tính vận tốc nước chảy vận tốc thực ca nô Lời giải: Gọi vận tốc thực ca nô x (km/h); vận tốc nước y (km/h) (x > y > 0) Vận tốc xi dịng ca nơ x + y (km/h) Vận tốc ngược dịng ca nơ x – y (km/h) Thời gian xi dịng 108km ca nơ 108 (h) x+y Thời gian ngược dịng 63km ca nơ 63 (h) x−y Vì tổng thời gian xi dịng ngược dịng lần thứ 7h nên ta có phương trình: 108 63 + = (1) x+y x−y Thời gian xi dịng 81km ca nơ 81 (h) x+y Thời gian ngược dịng 84km ca nơ 84 (h) x−y Vì tổng thời gian xi dịng ngược dịng lần thứ 7h nên ta có phương trình: 84 81 + = (2) x+y x−y Từ (1) (2) ta có hệ phương trình: 63 108 + x + y x − y = 81 + 84 = x + y x − y x + y = a Đặt =b x − y Khi hệ phương trình trở thành 108a + 63b = (3) 81a + 84b = (4) Nhân hai vế phương trình (3) với phương trình (4) với ta được: 324a + 189b = 21 (5) 324a + 336b = 28 (6) Lấy (6) – (5) ta được: ( 324a + 336b ) − ( 324a + 189b ) = 28 − 21 324a + 189b = 21 324a + 336b − 324a − 189b = 324a + 189b = 21 147b = 324a + 189b = 21 21 − 189b a = 324 b = 21 21 − 189 21 a = 324 b = 1 = a = x + y 27 27 b = = x − y 21 21 2x = 27 + 21 x + y = 27 y = 27 − x x − y = 21 x = 24 x = 24 2x = 48 (thỏa mãn) y = 27 − 24 y = y = 27 − x Vậy vận tốc thực ca nô 24 km/h vận tốc dịng nước km/h Dạng 2: Bài tốn cơng việc làm chung làm riêng Phương pháp giải: Khi giải tốn làm chung làm riêng cơng việc ta cần ý đến số đại lượng sau: - Có ba đại lượng tham gia tốn là: + Tồn cơng việc + Phần cơng việc làm đơn vị thời gian + Thời gian hoàn thành phần cơng việc tồn cơng việc - Nếu đội (một người,…) làm xong công việc x ngày ngày đội a làm (cơng việc), làm a ngày (cơng việc) x x - Ta thường coi tồn cơng việc Ví dụ 1: Hai bạn An Khoa làm chung công việc sau xong Biết làm xong cơng việc Khoa làm lâu An Tính thời gian làm xong cơng việc An, Khoa Lời giải: Gọi thời gian An làm xong công việc x (h); thời gian Khoa làm xong cơng việc y (h) (y > x > 9) Vì Khoa làm xong cơng việc lâu An 9h nên ta có phương trình y – x = (1) 1h An làm (công việc) x 1h Khoa làm (công việc) y Vì hai bạn làm sau xong cơng việc nên ta có phương trình: 1 1 6. + = x y 6 + = (2) x y Từ (1) (2) ta có hệ phương trình: 6 + =1 x y y − x = 6 + =1 x y y = x + 6 =1 + x x + y = x + 6(x + 9) + 6x =1 x ( x + 9) y = x + 6x + 54 + 6x =1 x ( x + 9) y = x + 12x + 54 = x + 9x y = x + x + 9x − 12x − 54 = y = x + x − 3x − 54 = y = x + x − 9x + 6x − 54 = y = x + x ( x − 9) + ( x − ) = y = x + ( x − )( x + ) = y = x + x − = x + = y = x + x = (tm) x = x = −6 (ktm) y = 18 y = x + Vậy An làm 9h xong cơng việc; Khoa làm 18h xong cơng việc Ví dụ 2: Hai vịi nước chảy vào bể sau 48 phút đầy bể Nếu vòi thứ chảy vòi hai chảy 75% bể Tính thời gian vịi chảy đầy bể Lời giải: Gọi thời gian vịi thứ chảy đầy bể x (h); vịi thứ hai chảy đầy bể y (h) (x; y > 0) Một vòi thứ chảy Một vòi thứ hai chảy (bể) x (bể) y Đổi 4h 48’ = 4,8h 75% = h Vì hai vịi chảy 4,8h đầy bể nên ta có phương trình: 1 1 4,8. + = x y 4,8 4,8 + = (1) x y Vì vịi thứ chảy 4h; vịi thứ hai chảy 3h phương trình: 3 + = (2) x y Thừ (1) (2) ta có hệ phương trình: 4,8 4,8 x + y = 4 + = x y 1 x = a 4,8a + 4,8b = Đặt hệ trở thành 4a + 3b = 0,75 1 = b y 4,8a + 4,8b = 4a = 0,75 − 3b 4,8a + 4,8b = 0,75 − 3b a = 0,75 − 3b a = 4,8 0,75 − 3b + 4,8b = 0,75 − 3b a = 1,2.( 0,75 − 3b ) + 4,8b = 0,75 − 3b a = 0,9 − 3,6b + 4,8b = (bể) nên ta có 0,75 − 3b a = 1,2b = − 0,9 0,75 − 3b a = 1,2b = 0,1 0,75 − 3b a = b = 0,1:1,2 0,75 − 3b a = b = 12 0,75 − 12 a = b = 12 a = b = 12 1 x = x = (thỏa mãn) 1 y = 12 = y 12 Vậy vòi thứ chảy sau 8h đầy bể; vịi thứ hai chảy sau 12h đầy bể Dạng 3: Bài toán quan hệ số Phương pháp giải: Ta sử dụng số kiến thức sau đây: - Biểu diễn số có hai chữ số ab = 10a + b a chữ số hàng chục b chữ số hàng đơn vị a ; b ( a,b ) - Biểu diễn số có ba chữ số abc = 100a + 10b + c , a chữ số hàng trăm b chữ số hàng trục; c chữ số hàng đơn vị a ; b ; c ( a, b,c ) Ví dụ 1: Cho số có hai chữ số Nếu đổi chỗ hai chữ số số lớn số cho 63 đơn vị Biết tổng số ban đầu số tạo thành 99 Tìm số ban đầu Lời giải: Gọi số cần tìm ab = 10a + b với a ; b ; a,b, Nếu đổi chỗ hai chữ số số ban đầu cho ta số ba = 10b + a Vì số lớn số ban đầu 63 đơn vị nên ta có phương trình: ba − ab = 63 (10b + a ) − (10a + b ) = 63 10b + a − 10a − b = 63 −9a + 9b = 63 −a + b = (1) Vì tổng hai số ban đầu số tạo thành 99 nên ta có phương trình: ba + ab = 99 (10b + a ) + (10a + b ) = 99 10b + a + 10a + b = 99 11a + 11b = 99 a + b = (2) Từ (1) (2) ta có hệ phương trình: −a + b = a + b = −a + b = (−a + b) + (a + b) = + −a + b = −a + b + a + b = 16 −a + b = −a + b = 2b = 16 b = 16 : −a + b = −a + = b = b = a = b = Vậy số ban đầu 18 Ví dụ 2: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết chữ số hàng trục chữ số hàng đơn vị hai đơn vị 2, viết xen chữ số vào chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị số tăng thêm 630 đơn vị Lời giải: Gọi số cần tìm ab ( a 9;0 b 9;a,b ) Ta có: ab = 10a + b Vì chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị hai đơn vị nên ta có phương trình a − b = Nếu viết xen chữ số vào chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị ta số a0b Ta có: a0b = 100a + b Vì số lớn số cũ 630 đơn vị nên ta có: a0b − ab = (100a + b ) − (10a + b ) = 630 100a + b − 10a − b = 630 90a = 630 a = 630 : 90 a = mà a – b = b=5 Vậy số có hai chữ số cần tìm 75 Dạng 4: Bài tốn hình học Phương pháp giải: Sử dụng đến cơng thức tính chu vi, diện tích hình vng; hình chữ nhật; hình thang;… Ví dụ 1: Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 60m Nếu tăng chiều dài lên lần chiều rộng lên lần chu vi khu vườn tăng 162m Tìm diện tích vườn Lời giải: Gọi chiều dài khu vườn x (m); chiều rộng khu vườn y (m) ( x y ) Vì chu vi khu vườn 60m nên ta có phương trình: 2.(x + y) = 60 x + y = 60:2 x + y = 30 (1) Nếu tăng chiều dài lên lần chiều dài 4x (m); tăng chiều rộng lên lần chiều rộng 3y (m) Chu vi khu vườn là: 2(4x + 3y) = 8x + 6y (m) Vì chu vi khu vườn chu vi khu vườn cũ 162m nên ta có phương trình: (8x + 6y) – 2(x + y) = 162 8x + 6y – 2x – 2y = 162 6x + 4y = 162 (2) Từ (1) (2) ta có hệ phương trình: x + y = 30 6x + 4y = 162 x = 30 − y 6 ( 30 − y ) + 4y = 162 x = 30 − y 180 − 6y + 4y = 162 x = 30 − y −2y = 162 − 180 x = 30 − y −2y = −18 x = 30 − y y = (−18) : (−2) x = 30 − y y = x = 30 − y = x = 21 (thỏa mãn) y = Diện tích khu vườn ban đầu là: S = 21.9 = 189 m cạnh đáy Nếu chiều cao tăng thêm 3dm cạnh đáy giảm 3dm diện tích tăng thêm 12 dm2 Tính chiều cao cạnh đáy tam giác Ví dụ 2: Một tam giác có chiều cao Lời giải: Gọi chiều cao tam giác x (dm); cạnh đáy tam giác y (dm) ( x y ) Vì chiều cao tam giác cạnh đáy nên ta có: y (1) x= Diện tích tam giác S = x.y ( dm2 ) Nếu chiều cao tam giác tăng thêm 3dm chiều cao tam giác x + (dm) Nếu cạnh đáy tam giác giảm 3dm cạnh đáy tam giác y – (dm) Diện tích tam giác S= 1 3 ( x + 3) ( y − 3) = xy − x + y − ( dm2 ) 2 2 Vì diện tích diện tích cũ 12 dm2 nên ta có phương trình 3 9 1 xy − x + y − - xy = 12 2 2 2 3 xy − x + y − − xy = 12 2 2 −3 x + y − = 12 2 −3x + 3y − = 12.2 −3x + 3y = 24 + −3x + 3y = 33 − x + y = 11 (2) Từ (1) (2) ta có hệ phương trình − x + y = 11 x = y x = y − y + y = 11 3 x = y x = y x = y y = 11 y = 11.4 y = 44 x = 44 x = 33 (thỏa mãn) y = 44 y = 44 Vậy chiều cao tam giác lầ 33dm; cạnh đáy tam giác 44dm Dạng 5: Bài toán thực tế Phương pháp giải: - Với toán suất lao động ta ý đến ba đại lượng: Tổng sản phẩm; số sản phẩm làm đơn vị thời gian; thời gian làm sản phẩm, ta có cơng thức liên hệ ba đại lượng sau: Tổng sản phẩm = thời gian số sản phẩm làm đơn vị thời gian - Với toán liên quan đến tỉ số phần trăm ta ý đến đại lượng sau Tổng sản phẩm, phần trăm vượt mức ta có cơng thức liên hệ hai đại lượng là: Tổng sản phẩm = (100 + a)%.x với x số sản phẩm dự định ban đầu, a phần trăm vượt mức Ví dụ 1: Một cơng ty dự định sản xuất 1000 hộp trang so với quy định Tuy nhiên dịch bệnh Covid – 19 bùng phát nên công ty đẩy nhanh tiến độ ngày 10 hộp trang để kịp phục vụ thị trường cơng ty hồn thành sớm kế hoạch ngày Hỏi theo kế hoạch ban đầu công ty dự kiến sản xuất ngày Lời giải: Gọi thời gian công ty dự định sản xuất trang x (ngày) (x > 5) Gọi suất làm vệc ban đầu công ty y (sản phẩm / ngàyy) ( y 0; y * ) Vì ban đầu cơng ty dự định sản xuất 1000 hộp trang nên ta có phương trình: xy = 1000 (1) Vì hồn thành sớm ngày nên thời gian thực tế cơng ty sản xuất x – (ngày) Vì ngày công ty làm thêm 10 hộp trang nên suất thực tế công ty y + 10 (sản phẩm / ngày) Ta có phương trình: 1000 = (x – 5)(y +10) (2) Từ (1) (2) ta có hệ phương trình: xy = 1000 ( x − )( y + 10 ) = 1000 xy = 1000 xy + 10x − 5y − 50 = 1000 xy = 1000 1000 + 10x − 5y − 50 = 1000 xy = 1000 10x − 5y = 1000 − 1000 + 50 xy = 1000 xy = 1000 2x − y = 10 10x − 5y = 50 x ( 2x − 10 ) = 1000 xy = 1000 y = 2x − 10 y = 2x − 10 2x − 10x − 1000 = y = 2x − 10 2x − 10x − 1000 = y = 2x − 10 2x ( x − 25 ) + 40 ( x − 25 ) = y = 2x − 10 ( x − 25 )( 2x + 40 ) = y = 2x − 10 x = 25 (tm) x − 25 = 2x + 40 = x = −20 (ktm) y = 2x − 10 y = 2x − 10 x = 25 x = 25 (tm) y = y 2.25 = − 40 10 Vậy thời gian công ty dự định sản xuất trang 25 ngày Ví dụ 2: Hai xí nghiệp tổng cộng phải làm 360 dụng cụ Trên thực tế xí nghiệp I vượt mức 12%, xí nghiệp II vượt mức 10% nên tổng dụng cụ làm 400 dụng cụ Tính số dụng cụ xí nghiệp phải làm so với dự định Lời giải: Gọi số dụng cụ xí nghiệp I phải làm x (dụng cụ) ( x 0;x Gọi số dụng cụ xí nghiệp II phải làm y (dụng cụ) ( y 0; y * ) * ) Vì ban đầu hai xí nghiệp phải làm 360 dụng cụ nên ta có phương trình: x + y = 360 (1) Vì xí nghiệp I vớt mức 12% nên số dụng cụ thực tế xí nghiệp I làm là: (100 + 12)%x = 112%x = 1,12x Vì xí nghiệp II vượt mức 10 % nên số dụng cụ thực tế xí nghiệp II làm là: (100 + 10)%y = 110%y = 1,1y Thực tế hai xí nghiệp làm 400 dụng cụ nên ta có phương trình: 1,12x + 1,1y = 400 (2) Từ (1) (2) ta có hệ phương trình: x + y = 360 1,12x + 1,1y = 400 x = 360 − y 1,12 ( 360 − y ) + 1,1y = 400 x = 360 − y 403,2 − 1,12y + 1,1y = 400 x = 360 − y −1,12y + 1,1y = 400 − 403,2 x = 360 − y −0,02y = −3,2 x = 360 − y y = ( −3,2 ) : ( −0,02 ) x = 360 − y y = 160 x = 360 − 160 x = 200 (thỏa mãn) y = 160 y = 160 Vậy số dụng cụ xí nghiệp I cần làm theo kế hoạch 200 dụng cụ; số dụng cụ xí nghiệp II cần làm theo kế hoạch 160 dụng cụ III Bài tập vận dụng Bài 1: Một tàu thủy xi dịng khúc sơng từ bến A đến bến B dài 160km Sau ngược dịng khúc sơng điểm C cách B 144km Thời gian tàu xi dịng thời gian tàu ngược dịng 30 phút Tính vận tốc riêng tàu vận tốc dịng nước Bài 2: Hai tổ cơng nhân may trang cho vùng có dịch Covid – 19 Nếu hai tổ làm sau 12h xong Họ làm chung với 4h tổ thứ bị điều làm việc khác, tổ thứ hai tiếp tục làm 10h xong cơng việc Hỏi tổ làm xong công việc Bài 3: Một tổ theo kế hoạch phải sản xuất 75 thùng trang số ngày dự định Trong thực tế, cải tiến kỹ thuật nên ngày tổ làm vượt mức thùng họ làm 80 thùng hoàn thành trước kế hoạch ngày Hỏi theo kế hoạch ngày tổ phải làm thùng trang Bài 4: Một công nhân dự định làm 70 sản phẩm thời gian quy định Nhưng thực tế xí nghiệp giao cho cơng nhân phải làm 84 sản phẩm Mặc dù người làm thêm sản phẩm hoàn thành chậm kế hoạch 35 phút Hỏi theo dự định lúc đầu, trung bình người phải làm sản phẩm Biết người làm không 10 sản phẩm Bài 5: Một ô to dự định quãng đường AB với vận tốc không đổi Khi nửa quãng đường, ô tơ dừng lại bị chặn tàu hỏa phút Vì vậy, để đến B thời gian quy định ô tô phải tăng vận tốc thêm 2km/h qng đường cịn lại Tính vận tốc dự định ô tô Bài 6: Một người xe đạp từ A đến B với vận tốc không đổi, hai địa điểm cách 30km Khi từ B A người chọn đường khác dễ dài đường cũ 6km Vì lúc người với vận tốc lớn lúc 3km/h Nên thời gian thời gian 3km Tính vận tốc ban đầu người Bài 7: Hai người thợ xây tường 3h 45 phút xong Nhưng sau làm chung 3h người thứ điều làm việc khác, người thứ làm tiếp chung 2h xong Hỏi làm người cần thời gian để xong công việc Bài 8: Một ca nô tuần tra hết 5h với qng đường xi dịng 96km ngược dịng 48km Một lần khác, ca nơ xi dịng hết 48km ngược dịng hết 60km 4h Tính vận tốc riêng nước vận tốc riêng ca nơ Bài 9: Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 36m Biết giảm chiều rộng 3m tăng chiều dài lên 10m diện tích hình chữ nhật tăng thêm 100 m Tính chiều dài chiều rộng hình chữ nhật Bài 10: Theo kế hoạch hai tổ cần sản xuất 330 sản phẩm Nhưng thực hiện, tổ I làm vượt mức 10% tổ II làm giảm mức 15% so với mức kế hoạch nên hai tổ làm 318 sản phẩm Tính số sản phẩm tổ dự định làm ... = 63 −9a + 9b = 63 −a + b = (1) Vì tổng hai số ban đầu số tạo thành 99 nên ta có phương trình: ba + ab = 99 (10b + a ) + (10a + b ) = 99 10b + a + 10a + b = 99 11a + 11b = 99 a +... (3) Từ (1) (3) ta có phương trình: xy = (x – 10)(y + 5) xy = xy + 5x – 10y – 50 5x – 10y = 50 (**) Từ (*) (**) ta có hệ phương trình 3x − 10y = −30 (4) 5x − 10y = 50 (5) Lấy (5) – (4)... Dạng 5: Bài toán thực tế Phương pháp giải: - Với toán suất lao động ta ý đến ba đại lượng: Tổng sản phẩm; số sản phẩm làm đơn vị thời gian; thời gian làm sản phẩm, ta có cơng thức liên hệ ba đại