Góc nội tiếp I Lý thuyết 1 Định nghĩa góc nội tiếp Góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh là hai dây cung của đường tròn là góc nội tiếp Góc BACcó đỉnh A nằm trên đường tròn (O) và AB, AC là hai[.]
Góc nội tiếp I Lý thuyết Định nghĩa góc nội tiếp - Góc có đỉnh nằm đường trịn hai cạnh hai dây cung đường tròn góc nội tiếp Góc BAC có đỉnh A nằm đường tròn (O) AB, AC hai cạnh góc hai dây đường trịn Do BAC góc nội tiếp đường trịn (O) Định lý - Trong đường tròn, số đo góc nội tiếp nửa số đo cung bị chắn Hệ Trong đường tròn - Các góc nội tiếp chắn cung - Các góc nội tiếp chắn cung chắn cung - Góc nội tiếp (có số đo nhỏ 90 ) có số đo nửa số đo góc tâm chắn cung - Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn góc vng II Các dạng tập Dạng 1: Chứng minh hai góc nhau, đoạn thẳng nhau, tam giác đồng dạng Phương pháp giải: Dùng hệ phần tóm tắt lí thuyết để chứng minh hai góc nhau, hai đoạn thẳng Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn đường cao AH nội tiếp đường trịn (O) Vẽ đường kính AM a) Tính ACM b) Chứng minh BAH = OCA Lời giải: a) Ta có: ACM có đỉnh C nằm đường trịn (O) AC BC dây đường tròn (O) Do ACM góc nội tiếp đường trịn (O) Mặt khác AM đường kính nên ACM góc nội tiếp chắn đường trịn ACM = 90 (do góc nội tiếp chắn nửa đường trịn góc vng) b) ABC có đỉnh B nằm đường tròn (O) BA, BC hai dây đường trịn Do ABC góc nội tiếp đường trịn (O) chắn AC Đặt góc ABC = x ( x 90) Xét tam giác AHB vng H có: BAH + ABH + AHB = 180 (định lý tổng ba góc tam giác) BAH + x + 90 = 180 BAH = 180 − 90 − x BAH = 90 − x (1) Lại có AOC góc tâm chắn cung AC ABC góc nội tiếp chắn cung AC AOC = 2.ABC = 2x Xét tam giác OAC có: OA = OC tam giác OAC cân O OAC = OCA Ta có: OAC + OCA + AOC = 180 (định lí tổng ba góc tam giác) 2OCA + 2x = 180 ( ) OCA + x = 180 OCA + x = 180 : OCA + x = 90 OCA = 90 − x (2) Từ (1) (2) OCA = BAH Ví dụ 2: Cho đường trịn (O) điểm I khơng nằm đường (O) Qua điểm I nằm đường tròn ta vẽ dây cung AB CD cho A nằm B I; C nằm I D a) So sánh cặp góc ACI ABD ; CAI CDB b) Chứng minh tam giác IAC đồng dạng với tam giác IDB c) Chứng minh IA.IB = IC.ID Lời giải: a) Ta có: ABD góc nội tiếp đường trịn (O) chắn AD nhỏ ABD = sđ AD nhỏ (định lí) (1) Lại có: ACD góc nội tiếp đường tròn (O) chắn AD lớn ACD = sđ AD lớn (định lí) (2) Ta có: sđ AD nhỏ + sđ AD lớn = 360 1 sđ AD nhỏ + sđ AD = 180 (3) 2 Từ (1); (2); (3) ACD + ABD = 180 (4) Ta có ACD + ACI = 180 (do hai góc kề bù) (5) Từ (4) (5) ABD = ACI (hai góc bù với góc ACD ) Chứng minh tương tự cho hai góc CAI CDB (hai góc bù với góc BAC ) CAI = CDB b) Vì I, A, B thẳng hàng nên ABD = IBD , IBD = ACI Vì I, C, D thẳng hàng nên CDB = IDB , IDB = CAI Xét hai tam giác IDB tam giác IAC có: IBD = ACI (chứng minh trên) IDB = CAI (chứng minh trên) Do IDB đồng dạng với IAC (g – g) c) Vì IDB đồng dạng với IAC ID IB = (hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ) IA IC IA.IB = IC.ID Dạng 2: Chứng minh đường thẳng vuông góc, ba điểm thẳng hàng Phương pháp giải: Sử dụng định lí, tính chất, hệ góc tâm, góc nội tiếp Áp dụng quan hệ từ vng góc đến song song, tiên đề Ơ clit Ví dụ 1: Cho đường trịn (O), đường kính AB S điểm nằm bên ngồi đường trịn SA SB cắt đường tròn M, N Gọi P giao điểm BM AN Chứng minh SP vng góc với AB Lời giải: Vì AMB góc nội tiếp chắn nửa đường trịn (do AB đường kính) AMB góc vng BM ⊥ SA BM đường cao tam giác SAB Vì ANB góc nội tiếp chắn nửa đường trịn (do AB đường kính) ANB góc vng AN ⊥ SB AN đường cao tam giác SAB Giao điểm BM AN trực tâm tam giác SAB P trực tâm tam giác SAB SP ⊥ AB (điều phải chứng minh) Ví dụ 2: Cho đường trịn (O) đường kính AB, điểm D thuộc đường trịn Gọi E điểm đối xứng với A qua D a) Tam giác ABE tam giác gì? b) Gọi K giao điểm EB với (O) Chứng minh OD vng góc với AK Lời giải: a) Ta có: ADB góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (do AB đường kính) ADB góc vng ADB = 90 Xét tam giác ABE có: ADB = 90 nên BD ⊥ AE BD đường cao tam giác ABE (1) Mặt khác A đối xứng với E qua D nên D trung điểm cuả AE BD đường trung tuyến tam giác ABE (2) Từ (1) (2) ta thấy BD vừa đường cao vừa đường trung tuyến tam giác ABE Tam giác ABE tam giác cân B b) Ta có: D trung điểm AE O trung điểm AB Do DO đường trung bình tam giác ABE DO // EB Lại có AKB góc nội tiếp chắn nửa đường trịn (do AB đường kính) AKB góc vng AKB = 90 AK ⊥ BE Ta có: AK ⊥ BE AK ⊥ DO (quan hệ từ vng góc đến song song) DO / /BE III Bài tập vận dụng Bài 1: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB Lấy M điểm tùy ý nửa đường tròn (M khác A B) Kẻ MH vng góc với AB (H thuộc AB) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn (O) vẽ hai nửa đường trịn tâm O1 , đường kính AH đường trịn O2 , đường kính BH Đoạn MA MB cắt hai nửa đường tròn ( O1 ) ( O ) P Q Chứng minh: a) MH = PQ; b) Các tam giác MPQ MBA đồng dạng; c) PQ tiếp tuyến chung hai đường tròn ( O1 ) ( O ) Bài 2: Cho đường trịn (O) có dây cung AB; BC; CA Gọi M điểm cung nhỏ AB Vẽ dây MN song song với BC Gọi S giao điểm MN AC Chứng minh SM = SC SN = SA Bài 3: Cho đường tròn (O) hai dây song song AB, CD Trên cung nhỏ AB lấy điểm M tùy ý Chứng minh AMC = BMD Bài 4: Cho đường tròn (O) hai dây AM BM vng góc với Gọi I, K điểm cung nhỏ MA MB a) Chứng minh ba điểm A, O, B thẳng hàng b) Gọi P giao điểm AK BI Chứng minh P tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB Bài 5: Cho đường tròn (O) hai dây AB, AC Qua A vẽ cát tuyến cắt dây BC D cắt (O) E Chứng minh AB2 = AH.AD Bài 6: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), hai đường cao BD CE cắt H Vẽ đường kính AF a) Tứ giác BFCH hình gì? Vì sao? b) Gọi M trung điểm BC Chứng minh ba điểm H, M, F thẳng hàng c) Chứng minh AH = 2OM Bài 7: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R), đường cao AH, biết AB = 8cm, AC = 15cm, AH = 5cm Tính bán kính đường trịn (O) Bài 8: Cho tam giác ABC có đường cao AH nội tiếp đường trịn (O), đường kính AD Chứng minh: AB.AC = AH.AD Bài 9: Cho tam giác ABC (AB < AC) nội tiếp đường trịn (O) Vẽ đường kính MN vng góc với BC (điểm M thuộc cung BC khơng chứa A) Chứng minh tia AM, AN tia phân giác góc góc ngồi đỉnh A tam giác ABC Bài 10: Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB = 2R điểm C nằm ngồi nửa đường trịn phía với nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng AB chứa nửa đường tròn Đường thẳng CA cắt nửa đường tròn M, CB cắt nửa đường tròn N Gọi H giao điểm AN BM a) Chứng minh CH vng góc với AB b) Gọi I trung điểm CH Chứng minh MI tiếp tuyến nửa đường tròn (O) Bài 11: Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt A B Vẽ đường kính AC AD hai đường tròn (O) (O’) Chứng minh ba điểm B, C, D thẳng hàng Bài 12: Cho đường trịn (O) đường kính AB điểm C chạy nửa đường tròn Vẽ đường tròn (I) tiếp xúc với (O) C tiếp xúc với đường kính AB D a) Nêu cách vẽ đường trịn (I) nói b) Đường trịn (I) cắt CA, CB điểm thứu hai M, N Chứng minh M, I, N thẳng hàng c) Chứng minh đường thẳng CD qua điểm nửa đường trịn (O) khơng chứa C ... dây đường trịn (O) Do ACM góc nội tiếp đường trịn (O) Mặt khác AM đường kính nên ACM góc nội tiếp chắn đường tròn ACM = 90 (do góc nội tiếp chắn nửa đường trịn góc vng) b) ABC có đỉnh B nằm đường... AKB góc nội tiếp chắn nửa đường trịn (do AB đường kính) AKB góc vng AKB = 90 AK ⊥ BE Ta có: AK ⊥ BE AK ⊥ DO (quan hệ từ vng góc đến song song) DO / /BE III Bài tập vận dụng Bài 1:... AN Chứng minh SP vuông góc với AB Lời giải: Vì AMB góc nội tiếp chắn nửa đường trịn (do AB đường kính) AMB góc vng BM ⊥ SA BM đường cao tam giác SAB Vì ANB góc nội tiếp chắn nửa đường trịn