Đường tròn nội tiếp, đường tròn ngoại tiếp I Lý thuyết 1 Đường tròn ngoại tiếp a) Khái niệm đường tròn ngoại tiếp Đường tròn ngoại tiếp đa giác là đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của đa giác Đa giác[.]
Đường tròn nội tiếp, đường tròn ngoại tiếp I Lý thuyết Đường tròn ngoại tiếp a) Khái niệm đường tròn ngoại tiếp - Đường tròn ngoại tiếp đa giác đường tròn qua tất đỉnh đa giác - Đa giác gọi đa giác nội tiếp đường trịn Các hình vẽ thể đường tròn ngoại tiếp tam giác, đường tròn ngoại tiếp tứ giác, đường tròn ngoại tiếp ngũ giác b) Cách xác định đường tròn ngoại tiếp đa giác - Tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác giao đường trung trực tất cạnh đa giác - Để xác định đường tròn ngoại tiếp ta làm sau: Bước 1: Kẻ đường trung trực cạnh xác định giao điểm Bước 2: Vẽ đường trịn có tâm giao điểm đường trung trực bán kính khoảng cách từ giao điểm đến đỉnh Chú ý: Đa giác có đường tròn ngoại tiếp đường trung trực tất cạnh đa giác đồng quy điểm Cho tứ giác ABCD, ta vẽ đường trung trực cạnh AB, BC, CD, AD Nhận thấy đường trung trực gia O (O; OA) đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD Đường tròn nội tiếp a) Khái niệm - Đường tròn nội tiếp đa giác đường tròn tiếp xúc với tất cạnh đa giác Cách hình vẽ thể đường tròn nội tiếp tam giác, đường tròn nội tiếp tứ giác, đường tròn nội tiếp ngũ giác b) Cách xác định đường tròn nội tiếp đa giác Tâm đường tròn nội tiếp đa giác giao đường phân giác tất góc đa giác Để xác định đường tròn nội tiếp đa giác ta làm sau: Bước 1: Kẻ đường phân giác góc xác định giao điểm chúng Bước 2: Kẻ đường thẳng qua giao điểm vng góc với cạnh để xác định bán kính Chú ý: Một đa giác có đường tròn nội tiếp đường phân giác góc đa giác đồng quy Cho tứ giác ABCD, vẽ phân giác góc tứ giác, đường thẳng đồng quy O (O; OI) đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD với I hình chiếu O lên DC Một số định lí - Bất kỳ đa giác có đường trịn ngoại tiếp, có đường trịn nội tiếp - Tâm đường tròn nội tiếp tâm đường trịn ngoại tiếp đa giác trùng đa giác đa giác tâm tâm đa giác II Dạng tập Dạng 1: Xác định tâm bán kính đường trịn nội tiếp, ngoại tiếp Ví dụ 1: Cho đường trịn bán kính r nội tiếp tam giác vng cân ABC R vuông cân A đường trịn bán kính R ngoại tiếp tam giác Tính r Lời giải: Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Giả sử tam giác ABC vng cân A có cạnh góc vng AB = AC = a Xét tam giác vuông ABC vuông A ta có: AB2 + AC2 = BC2 a + a = BC2 BC2 = 2a BC = 2a Vì ABC tam giác vng A tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC trung điểm cạnh huyền (định lí) Do O trung điểm BC R = OB = BC 2a = 2 Vì ABC tam giác vng cân A AO đường trung tuyến đường phân giác, đường cao tam giác ABC A, I, O thẳng hàng AO ⊥ BC 2a (do O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC) Ta có AO = Xét tam giác AOC có: CI đường phân giác C CI cắt AO I nên ta có: CA AI (tính chất đường phân giác tam giác) = CO OI a AI = 2a OI AI = OI AI = 2OI Mà AI + OI = AO 2OI + OI = OI ( ) +1 = OI = 2− a Vậy r = 2− a 2a 2a 2 a R = =1+ r 2− a Ví dụ 2: Cho đờng trịn (O; R) điểm M nằm ngồi đường trịn Qua điểm M kẻ hai tiếp tuyến MA Mb với đường tròn (O) Qua M kẻ cát tuyến MCD khơng qua tâm O cắt đường trịn hai điểm C D cho C nằm M D Gọi I trung điểm dây CD Khi MAOIB có ngũ giác nội tiếp hay khơng? Nếu có xác định tâm bán kính đường trịn Lời giải: Vì MA tiếp tuyến đường tròn (O), A tiếp điểm nên MA vng góc với OA MAO = 90 Vì MB tiếp tuyến đường tròn (O), B tiếp điểm nên MB vng góc với OB MBO = 90 Vì I trung điểm CD nên OI vng góc với CD (tính chất) MOI = 90 Gọi trung điểm MO E Tam giác OAM vuông A với E trung điểm MO OE = EM = AE = MO (định lí đường trung tuyến ứng với cạnh huyền) (1) Tam giác OBM vuông B với E trung điểm MO OE = EM = BE = MO (định lý đường trung tuyến ứng với cạnh huyền) (2) Tam giác OIM vuông I có E trung điểm MO OE = ME = IE = MO (định lí đường trung tuyến ứng với cạnh huyền) (3) Từ (1); (2); (3) OE = EM = IE = AE = BE = MO Hay điểm A, B, M, I, O cách điểm E Hay ngũ giác AOIBM nội tiếp đường tròn (E; OE) với E trung điểm MO Dạng 2: Tính đại lượng liên quan đến đa giác nội tiếp ngoại tiếp Phương pháp giải: Ta sử dụng số khái niệm công thức sau: - Bán kính đường trịn ngoại tiếp đa giác khoảng cách từ tâm đường tròn đến đỉnh đa giác - Bán kính đường tròn nội tiếp đa giác khoảng cách từ tâm đường tròn đến cạnh đa giác - Cho đa giác n – cạnh có cạnh a ta có: + Chu vi đa giác là: c = n.a (đơn vị độ dài) + Mỗi góc đỉnh đa giác có số đo + Mỗi góc tâm đa giác có số đo + Bán kính đường trịn ngoại tiếp: R = + Bán kính đường trịn nội tiếp: r = ( n − ).180 n 360 n a 180 a = 2R.sin 180 n 2sin n a 180 a = 2r.tan 180 n tan n + Diện tích đa giác đều: S = n.a.r (đơn vị diện tích) Ví dụ 1: Tính diện tích hình lục giác có cạnh a? Lời giải: Vì hình lục giác nên ta có n = Bán kính đường trịn nội tiếp lục giác có cạnh a là: r= a a = 180 180 2.tan 2.tan n r= a = 2.tan 30 a 3 = 3a (đơn vị độ dài) Áp dụng công thức ta có diện tích hình lục giác có cạnh a là: 3a 3a = S = n.a.r = 6.a (đơn vị diện tích) 2 2 Ví dụ 2: Cho tam giác ABC cân A, có BAC = 120 BC = 6cm Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Lời giải Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, H giao điểm OA BC Xét tam giác OAC, có OA = OC tam giác OAC cân O Ta có tam giác ABC cân A AO đường trung trực tam giác đường phân giác tam giác CAO = BAO = BAC 120 = = 60 2 Do tam giác OAC tam giác Đặt OA = OC = AC = x Vì OA đường trung trực BC nen H trung điểm BC BC = = 3cm 2 BH = CH = Vì CH vng góc với OA nên CH đường trung tuyến nên H trung điểm AO AH = OH = OA x = (cm) 2 Xét tam giác ACH vng H ta có: AC2 = AH + CH (định lý Py – ta – go) x x = + 32 2 x2 x = +9 x2 x − =9 3x =9 x2 = : x = 12 x = cm Dạng 3: Chứng minh tứ giác ngoại tiếp đường tròn Phương pháp giải: - Một tứ giác tứ giác ngoại tiếp đường tròn đường phân giác góc đồng quy điểm - Tứ giác có tổng cặp cạnh đối tứ giác ngoại tiếp Ví dụ 1: Chứng minh tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn AB + CD = AD + BC Lời giải: * Chứng minh chiều thuận: Nếu ABCD ngoại tiếp đường trịn AB + CD = AD + BC Gọi O tâm đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD Vẽ OE, OF, OG, OH theo thứ tự vuông góc với AB, BC, CD, AD E, F, G, H Vì OE vng góc với AB (O) tiếp xúc với AB E nên AB tiếp tuyến đường trịn (O) Vì OF vng góc với BC (O) tiếp xúc với BC F nên BC tiếp tuyến đường tròn (O) Hai tiếp tuyến AB BC cắt B BE = BF (tính chất) (1) Chứng minh tương tự ta CF = CG; DG = DH; AH = AE (2) Ta có: AE + EB = AB (3) BF + CF = BC (4) CG + GD = CD (5) AH + DH = AD (6) Từ (1); (2); (3); (4); (5); (6) AB + CD = AD + BC * Chiều ngược lại: Nếu AB + CD = AD + BC tứ giác ABCD tứ giác ngoại tiếp - Nếu AB = AD CD = CB Khi giao điểm I AC với đường phân giác góc B tâm đường trịn nội tiếp tứ giác ABCD Ta có điều phải chứng minh - Khơng tính tổng qt ta xem AB > AD Vì AB + CD = AD + CB nên BC > CD Do tồn điểm E F theo thứ tự AB, BC cho AE = AD, CF = CD Ta có: AB + CD = AD + CB AE + BE + CD = AD + CF + FB BE = FB Ta có: Tam giác ADE cân A AD = AE Tam giác BEF cân B BE = BF Tam giác CFD cân C CF = CD Vì tam giác ADC cân A nên đường phân giác góc A đường trung trực ED Vì tam giác BEF cân B nên đường phân giác góc B đường trung trực EF Vì tam giác CFD cân C nên đường phân giác góc C đường trung trực FD Mà ba điểm E, F, D không thẳng hàng nên E, F, D tạo thành tam giác ba đường trung trực EF, ED, FD đồng quy Hay ba đường phân giác ba góc tứ giác ABCD đồng quy Do tứ giác ABCD tứ giác ngoại tiếp Ví dụ 2: Cho hình thang ABCD vng A D Biết AB = 10cm, BC = 13cm, CD = 15cm Chứng minh hình thang ABCD ngọa tiếp đường trịn, tìm bán ính đường trịn Lời giải: Vì ABCD hình thang vng A D A = D = 90 Vẽ BH vng góc với CD H BHD = 90 Xét tứ giác ABHD có: A = D = BHD = 90 tứ giác ABCD hình chữ nhật AB = DH = 10cm Lại có: DH + CH = CD mà CD = 15cm nên CH = 5cm Xét tam giác BHC vng H ta có: BH + CH = BC2 (định lý Py – ta – go) BH + 52 = 132 BH + 25 = 169 BH = 169 − 25 BH = 144 BH = 12cm Mà ABHD hình chữ nhật nên AD = BH = 12cm Xét hình thang ABCD có: AB + CD = 10 + 15 = 25cm AD + BC = 12 + 13 = 25cm Do đó: AB + CD = AD + BC hình thang ABCD ngoại tiếp đường tròn Gọi O tâm đường trịn nội tiếp hình thang ABCD, đo O AB CD Vẽ OE vng góc với AB; OF vng góc với CD Do AB // CD nên O, E, F thẳng hàng hay EF = BH = 12cm Lại có OE = OF nên OE = OF = 6cm Vậy bán kính đường trịn nội tiếp hình thang ABCD 6cm III Bài tập tự luyện Bài 1: Các đường cao AD, BE tam giác ABC cắt H (góc C khác góc vng) cắt đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC I K a) Chứng minh tứ giác CDHE nội tiếp xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác b) Chứng minh tam giác CKI cân Bài 2: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn (O; R) Ba đường cao tam giác AF, BE, CD cắt H Chứng minh tứ giác BDEC tứ giác nội tiếp Xác định tâm I đường tròn ngoại tiếp tứ giác Bài 3: Cho tam giác ABC vuông A có AB < AC, đường cao AH (H thuộc BC) Lấy điểm D cho H trung đểm BD Gọi E chân đường vng góc hạ từ C xuống đường thẳng AD Chứng minh tứ giác AHEC nội tiếp xác định vị trí tâm O đuờng trịn ngoại tiếp tứ giác Bài 4: Cho ngũ giác có cạnh a a) Tính chu vi diện tích ngũ giác b) Tính số đo góc ngũ giác Bài 5: Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn, biết tia AB, CD cắt E, tia AD BC cắt F Chứng minh rằng: a) AE + CF = AF + CE b) BE + BF = DE + DF Bài 6: Cho hình thang ABCD (AB // CD) ngoại tiếp đường tròn (O) Tiếp điểm AB, CD theo thứ tự E F Chứng minh AC, BD, EF đồng quy Bài 7: Tính cạnh hình 12 cạnh theo bán kính đường trịn ngoại tiếp hình 12 cạnh Bài 8: Cho đường trịn (O) nội tiếp hình thang ABCD (AB // CD) tiếp xúc với cạnh AB E với cạnh CD F a) Chứng minh: BE DF = AE CF b) Bết AB = a, CB = b (a < b), BE = 2.AE Tính diện tích hình thang ABCD Bài 9: Cho tam giác ABC ngoại tiếp (O) Trên BC lấy M, BA lấy N, CA lấy P cho B = BN CM = CP Chứng minh rằng: a) O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP b) Tứ giác ANOP nội tiếp đường tròn c) Tìm vị trí điểm M, N, P cho NP nhỏ Bài 10: Cho đường (O; R) nội tiếp hình thang ABCD (AB // CD), với G tiếp điểm đyờng tròn (o; R) với cạnh CD, biết AB = R BC = R Tính tỉ số GD GC ... hình vẽ thể đường tròn nội tiếp tam giác, đường tròn nội tiếp tứ giác, đường tròn nội tiếp ngũ giác b) Cách xác định đường tròn nội tiếp đa giác Tâm đường tròn nội tiếp đa giác giao đường phân... vẽ đường trung trực cạnh AB, BC, CD, AD Nhận thấy đường trung trực gia O (O; OA) đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD Đường tròn nội tiếp a) Khái niệm - Đường tròn nội tiếp đa giác đường tròn tiếp. .. có đường trịn ngoại tiếp, có đường trịn nội tiếp - Tâm đường tròn nội tiếp tâm đường trịn ngoại tiếp đa giác trùng đa giác đa giác tâm tâm đa giác II Dạng tập Dạng 1: Xác định tâm bán kính đường