Xác định đường tròn và tính chất đối xứng của đường tròn I Lý thuyết 1 Định nghĩa đường tròn Đường tròn tâm O bán kính R là tập hợp các điểm cách điểm O một khoảng không đổi là R (R > 0) Kí hiệu (O) h[.]
Xác định đường trịn tính chất đối xứng đường tròn I Lý thuyết Định nghĩa đường tròn Đường trịn tâm O bán kính R tập hợp điểm cách điểm O khoảng không đổi R (R > 0) Kí hiệu: (O) (O; R) Vị trí tương đối điểm M đường trịn tâm O bán kính R - Điểm M nằm đường trịn tâm O bán kính R OM = R - Điểm M nằm đường tròn tâm O bán kính R OM < R - Điểm M nằm ngồi đường trịn tâm O bán kính R OM > R Một số định lý xác định đường tròn - Đường tròn xác định biết tâm bán kính đường trịn đó, biết đoạn thẳng đường kính đường trịn - Ta vẽ đường trịn qua điểm khơng thẳng hàng Chú ý: Khơng vẽ đường trịn qua điểm khơng thẳng hàng - Đường trịn qua ba đỉnh tam giác gọi đường trịn ngoại tiếp tam giác Khi đó, ta gọi tam giác tam giác nội tiếp đường tròn Tâm đường tròn giao điểm ba đường trung trực tam giác Cho tam giác ABC có I giao ba đường trung trực tam giác Khi đường trịn tâm I bán kính IA đường tròn qua đỉnh tam giác - Đường trịn ngoại tiếp tam giác vng có tâm trung điểm cạnh huyền Tam giác ABC vuông A Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đường tròn (O) với O trung điểm cạnh BC - Đường trịn ngoại tiếp tam giác có tâm tâm tam giác Tam giác ABC tam giác G trọng tâm tam giác nên G tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Tính chất đối xứng đường trịn - Đường trịn hình có tâm đối xứng trục đối xứng - Tâm đối xứng tâm đường tròn - Trục đối xứng đường kính đường tròn II Các dạng tập Dạng 1: Chứng minh điểm cho trước nằm đường tròn Phương pháp giải: Ta có hai cách để chứng minh sau Cách 1: Chứng minh điểm cho trước cách điểm Cách 2: Dùng định lý: “Nếu tam giác có cạnh đường kính đường trịn ngoại tiếp tam giác tam giác tam giác vng ba đỉnh tam giác nằm đường trịn có đường kính cạnh huyền tam giác đó.” Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông A Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC trung điểm BC Lời giải: Gọi O trung điểm BC BO = CO = BC (1) Lại có: Tam giác ABC vng A AO đường trung tuyến ứng với cạnh huyền Do AO = BC (2) Từ (1) (2) BO = CO = AO = BC ba điểm A, B, C cách O hay A, B, C nằm đường trịn tâm O bán kính OA Vậy O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (điều phải chứng minh) Ví dụ 2: Cho tam giác ABC, đường cao BH CK Chứng minh bốn điểm B, H, C, K thuộc đường trịn Xác định tâm bán kính đường trịn Lời giải: Gọi I trung điểm BC Ta chứng minh bốn điểm B, K, H, C thuộc đường tròn tâm I Xét tam giác BKC vng K, trung tuyến KI ta có: BI = IC = IK = BC (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền) (1) Xét tam giác BHC vng H, trung tuyến HI ta có: BI = IC = IH = BC (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền) (2) Từ (1) (2) BI = IC = IH = IK = BC B, H, K, C cách I B, H, C, K thuộc đường trịn tâm I bán kính IB Ví dụ 3: Cho hình thoi ABCD Đường trung trực cạnh AB cắt BD E cắt AC F Chứng minh E, F tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tam giác ABD Lời giải: Gọi I trung điểm AB * Chứng minh E tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Gọi O giao điểm AC BD O trung điểm AC (tính chất hình thoi) BO đường trung tuyến tam giác ABC Lại có ABCD hình thoi nên AB = BC Tam giác ABC cân B BO đường trung trực tam giác ABC (tính chất) Ta có: BO đường trung trực tam giác ABC ứng với cạnh AC; FI đường trung trực tam giác ABC ứng với cạnh AB Giao điểm BO FI tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Mà BO FI điểm E E tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC * Chứng minh F tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD Xét tam giác BFO tam giác DFO có: FO chung BO = DO (O trung điểm BD) FOB = FOD = 90 (tính chất hai đường chéo hình thoi) Do BFO = DFO (c – g – c) BF = DF (1) Vì FI đường trung trực AB nên F cách A B FA = FB (2) Từ (1) (2) FA = FB = FD ba điểm A, B, D cách F F tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD Dạng 2: Xác định vị trí tương đối điểm với đường tròn Phương pháp giải: Muốn xác định vị trí M với đường trịn tâm O ta so sánh OM với bán kính xảy ba trường hợp sau - Điểm M nằm đường trịn tâm O bán kính R OM = R - Điểm M nằm đường tròn tâm O bán kính R OM < R - Điểm M nằm ngồi đường trịn tâm O bán kính R OM > R Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cạnh a Các đường cao BH CK Gọi O trung điểm BC a) Chứng minh: B, H, C, K thuộc đường tròn tâm O b) Gọi G giao điểm BH CK Chứng minh điểm G nằm trong, điểm A nằm ngồi đường trịn đường kính BC Lời giải: a) Xét tam giác BKC vuông K, trung tuyến KO ta có: BO = OC = OK = BC (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền) (1) Xét tam giác BHC vuông H, trung tuyến HO ta có: BO = OC = OH = BC (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền) (2) Từ (1) (2) BO = OC = OH = OK = BC B, H, K, C cách O B, H, C, K thuộc đường trịn tâm O đường kính BC b) Vì tam giác ABC tam giác nên BH CK đường trung tuyến nên G trọng tâm tam giác ABC A, O, G thẳng hàng Lại có AO đường trung tuyến AO ⊥ BC (tính chất tam giác đều) Xét tam giác AOB vng O ta có: AO2 + BO2 = AB2 (định lý py - ta - go) a Với AB = a; BO = BC = thay vào ta có: 2 a AO + = a 2 AO2 + a2 = a2 a2 AO = a − 2 AO2 = 3a AO = a a a nên A nằm ngồi đường trịn tâm O đường kính BC Vì AO > BO Lại có: OG = AO 3 OG = a = a a a nên G nằm đường trịn tâm O đường kính BC Vì OG < OB Ví dụ 2: Cho đường trịn (O) đường kính AD = 2R Vẽ đường trịn tâm D bán kính R, đường tròn cắt đường tròn tâm O B C Tứ giác OBDC hình gì? Vì sao? Lời giải: Xét đường trịn (O) có đường kính AD = 2R Bán kính OD = R Vì B giao (O; R) (D; R) nên ta có: B (O;R) B ( D;R ) OB = R (1) DB = R Vì C giao (O; R) (D; R) nên ta có: C (O;R) C ( D;R ) OC = R (2) DC = R Từ (1) (2) OB = OC = BD = DC = R Xét tứ giác OBCD có: OB = OC = BD = DC Tứ giác OBDC hình thoi (dấu hiệu nhận biết) Dạng 3: Xác định tâm, bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác số đo góc liên quan Phương pháp giải: - Sử dụng định lý py – ta – go - Sử dụng định lí đường trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vuông - Sử dụng hệ thức cạnh góc tam giác vng Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vng A, có AB = 4; AC = Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Lời giải: Gọi O trung điểm BC Xét tam giác ABC vng A Khi O tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC (định lí) Theo định lý Py – ta – go tam giác ABC vuông, ta có: AB2 + AC2 = BC2 42 + 32 = BC2 BC2 = 16 + BC2 = 25 BC = Lại có: Bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác vng ABC BO BO = BC:2 = 5:2 = 2,5 Ví dụ 2: Cho góc xAy = 60 điểm B tia Ay cho AB = 3cm a) Dựng đường tròn tâm O qua điểm A B cho tâm O thuộc tia Ox b) Tính bán kính đường trịn tâm O Lời giải: a) Gọi I trung điểm AB, ta dựng đường trung trực AB Đường trung trực AB cắt Ox O O tâm đường tròn qua A B tâm O thuộc Ox Chứng minh: Vì O nằm đường trung trực AB nên O cách A B OA = OB Lại có O giao điểm đường trung trực AB Ax nên ta dựng đường tròn cần tìm b) Gọi I trung điểm AB AI = IB = AB:2 = 1,5 Xét tam giác vng AOI vng I ta có: cosOAI = cos60 = AI AO 1,5 = AO AO = 1,5.2 = Vậy bán kính đường trịn cần tìm OA = 3cm Cách 2: Tam giác OAB có OA = OB (câu a) nên ∆OAB cân A Mà OAB = xAy = 60 Do ∆OAB nên OA = OB = AB = cm Vậy bán kính đường trịn cần tìm OA = cm III Bài tập vận dụng Phần 1: Bài tập trắc nghiệm Câu 1: Đường trịn có trục đối xứng A B C Khơng có D Vô số Câu 2: Cho tam giác ABC vuông A có AB = 6cm; AC = 8cm Bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC là: A 3cm B 4cm C 5cm D 6cm Câu 3: Nếu tam giác ABC tam giác tù tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nằm đâu A Bên tam giác B Bên tam giác C Nằm cạnh dài ba cạnh tam giác D Nằm cạnh ngắn ba cạnh tam giác Câu 4: Cho hình vng ABCD Tâm đường trịn qua bốn đỉnh hình vng A Giao điểm hai đường chéo B Không xác định C Trung điểm cạnh DC D Trọng tâm tam giác ABC Câu 5: Khẳng định sau sai: A Vẽ đường tròn qua ba điểm thẳng hàng B Qua ba điểm không thẳng hàng ta vẽ đường tròn qua ba điểm C Tâm đối xứng đường trịn tâm đường trịn D Có vơ số trục đối xứng hình trịn Phần 2: Tự luận Bài 1: Cho tam giác ABC cân A Đường cao AH = 2cm, BC = 8cm Đường thẳng vng góc với AC C cắt đường thẳng AH D a) Chứng minh bốn điểm A, B, C, D thuộc đường trịn b) Tính độ dài AD Bài 2: Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo vng góc với Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, BC, CD, DA Chứng minh M, N, P, Q thuộc đường tròn Bài 3: Cho tam giác ABC có đường cao AD trực tâm H Gọi I, K trung điểm HA, HB Gọi E, F trung điểm BC AC Chứng minh: a) Bốn điểm E, F, I, K thuộc đường tròn b) Điểm D thuộc đường tròn qua bốn điểm E, F, I, K Bài 4: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = cm; BC = 12 cm Chứng minh bốn điểm ABCD thuộc đường tròn tính bán kính đường trịn Bài 5: Cho tam giác ABC nhọn Vẽ đường trịn (O) có đường kính BC, cắt AB, AC theo thứ tự D E a) Chứng minh: CD ⊥ AB BE ⊥ AC b) Gọi K giao điểm BE CD Chứng minh BC ⊥ AK Bài 6: Cho hình vuông ABCD Gọi M, N trung điểm AB, BC E giao điểm CM DN a) Tính số đo góc CEN b) Chứng minh A, D, E, M thuộc đường tròn c) Xác định tâm đường tròn qua ba điểm B, D, E Bài 7: Cho đường trịn (O) đường kính AB, điểm C chạy đường trịn H hình chiếu C lên AB Trên OC lấy M cho OM = OH a) Khi C di chuyển M chạy đường nào? b) Trên BC lấy D cho CD = CB Hỏi C thay đổi điểm D chạy đường nào? Đáp án trắc nghiệm D C B A A ... tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác Tính chất đối xứng đường trịn - Đường trịn hình có tâm đối xứng trục đối xứng - Tâm đối xứng tâm đường tròn - Trục đối xứng đường kính đường trịn II Các dạng tập. .. C Tâm đối xứng đường tròn tâm đường tròn D Có vơ số trục đối xứng hình tròn Phần 2: Tự luận Bài 1: Cho tam giác ABC cân A Đường cao AH = 2cm, BC = 8cm Đường thẳng vng góc với AC C cắt đường thẳng... giao điểm CM DN a) Tính số đo góc CEN b) Chứng minh A, D, E, M thuộc đường tròn c) Xác định tâm đường tròn qua ba điểm B, D, E Bài 7: Cho đường trịn (O) đường kính AB, điểm C chạy đường trịn H hình