Slide 1 HỌC PHẦN TOÁN CAO CẤP 2 CHƯƠNG 9 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Giảng viên T S TRỊNH THỊ HƯỜNG Bộ môn Toán Email trinhthihuong@tmu edu vn ĐẶT VẤN ĐỀ Giải phương trình dao động điều hòa trong vật lý I CÁ[.]
HỌC PHẦN TỐN CAO CẤP CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Giảng viên: T.S TRỊNH THỊ HƯỜNG Bộ môn : Tốn Email: trinhthihuong@tmu.edu.vn ĐẶT VẤN ĐỀ Giải phương trình dao động điều hòa vật lý: I CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN Định nghĩa: Phương trình vi phân phương trình liên hệ biến độc lập, hàm chưa biết đạo hàm vi phân Ví dụ 𝑥𝑑𝑦 + −𝑦 + 𝑑𝑥 = CẤP CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN • Cấp phương trình vi phân cấp cao đạo hàm vi phân hàm số có mặt phương trình • Phương trình vi phân cấp n phương trình có dạng Trong đó, khơng khuyết NGHIỆM CỦA PTVP Định nghĩa: Nghiệm phương trình vi phân cấp n hàm số khả vi đến cấp n mà thay vào phương trình ta đồng thức II PTVP CẤP 1 Các khái niệm a Các dạng biểu diễn • Dạng tổng quát: • Dạng giải theo đạo hàm 𝑦 ′ = 𝑓(𝑥, 𝑦) • Dạng đối xứng b Các dạng nghiệm ptvp cấp ❖ ❖ ❖ ❖ Nghiệm tổng quát: Nghiệm có dạng y , với C tùy ý Nghiệm riêng: với C= số xác định Tích phân tổng quát: Nghiệm có dạng , C số tùy ý Tích phân riêng: Nghi với số xác định , c Sự tồn nghiệm (SGT trang 206) • Bài tốn: Cho phương trình vi phân cấp một: với điều kiện ban đầu • Định lí: ✓ Nếu hàm f(x, y) liên tục lân cận 𝑈0 (𝑥0 , 𝑦0 ) tốn có nghiệm ✓ Nếu đạo hàm riêng 𝑓𝑦′ (𝑥, 𝑦) liên tục lân cận nghiệm PTVP cấp có biến phân ly a Khái niệm: Phương trình vi phân cấp biến số phân li có dạng (1) b Cách giải: ➢ Đưa dạng (1) ➢ Lấy tích phân hai vế 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑔 𝑦 𝑑𝑦 ⇔ ∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑔 𝑦 𝑑𝑦 + 𝐶 Ví dụ: Tìm tích phân tổng qt phương trình 𝑦𝑑𝑦 + −𝑥 + 𝑑𝑥 = 𝑦 + 1𝑑𝑥 = 𝑥𝑦𝑑𝑦 Chú ý: Phương trình dạng đối xứng có nghiệm dạng 𝑥 = 𝑥0 , 𝑦𝜖𝑅 c Nghiệm PTVP cấp Giải PTVP cấp hai, kết dạng số tùy ý đẳng thức gọi nghiệm tổng quát PTVP Nếu thay giá trị cụ thể nghiệm tổng quát nghiệm nghiệm riêng phương trình vào gọi MỘT SỐ TRƯỜNG HỢP GIẢM CẤP ĐƯỢC Xét phương trình vi phân cấp dạng a Trường hợp vế phải khơng phụ thuộc y, y’ Phương trình có dạng: Cách giải: Lấy tích phân liên tiếp hai lần Ví dụ: Giải phương trình 𝑦 ′′ = 𝑥𝑒 −𝑥 b Trường hợp vế phải không phụ thuộc y Phương trình có dạng: 𝑦 ′′ = 𝑓 𝑥, 𝑦 ′ (1) Cách giải: - Đổi biến 𝑦 ′ = 𝑝 𝑥 - Đưa ptvp cấp với p, từ giải y Ví dụ: Giải phương trình vi phân ′ 𝑦 𝑦 ′′ − = 𝑥(𝑥 − 1) 𝑥−1 ... phân li có dạng (1) b Cách giải: ➢ Đưa dạng (1) ➢ Lấy tích phân hai vế