Slide 1 KHÔNG GIAN VÉCTƠ Giảng viên T S TRỊNH THỊ HƯỜNG Bộ môn Toán Email trinhthihuong@tmu edu vn 1 Các khái niệm Định nghĩa
KHÔNG GIAN VÉCTƠ Giảng viên: T.S TRỊNH THỊ HƯỜNG Bộ mơn : Tốn Email: trinhthihuong@tmu.edu.vn Các khái niệm Định nghĩa: Một n số thực 𝑥𝑖 , 𝑖 = 1, 𝑛 xếp theo thứ tự 𝑋 = (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) Được gọi véctơ n chiều 𝑥𝑖 gọi thành phần thứ i vectơ X ● Véctơ không n chiều =(0, 0, …, 0) ● Véctơ đối véctơ X −𝑋 = (−𝑥1 , −𝑥2 , … , − 𝑥𝑛 ) ●Hai véc tơ n chiều 𝑋 = (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) 𝑌 = (𝑦1 , 𝑦2 , … , 𝑦𝑛 ) nếu: 𝑥𝑖 = 𝑦𝑖 , ∀𝑖 = 1, 𝑛 Cho hai véctơ: 𝑋 = (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) 𝑌 = (𝑦1 , 𝑦2 , … , 𝑦𝑛 ) • Phép cộng: 𝑋 + 𝑌 = (𝑥1 + 𝑦1 , … , 𝑥𝑛 + 𝑦𝑛 ) • Phép trừ: 𝑋 − 𝑌 = (𝑥1 − 𝑦1 , … , 𝑥𝑛 − 𝑦𝑛 ) • Nhân véctơ với số thực: 𝛼𝑋 = (𝛼𝑥1 , 𝛼𝑥2 , … , 𝛼𝑥𝑛 ) Định nghĩa: Tập hợp tất vectơ n chiều, xác định phép cộng hai véctơ phép nhân véctơ với số, thỏa mãn tính chất gọi không gian véctơ – n chiều 𝑛 Ký hiệu: ℝ Khái niệm 1.1 Tổ hợp tuyến tính hệ m véctơ n chiều Cho m véctơ n chiều: 𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑚 Một tổng có dạng: 𝜆1 𝑋1 + 𝜆2 𝑋2 + ⋯ + 𝜆𝑚 𝑋𝑚 𝜆𝑖 ∈ ℝ Được gọi tổ hợp tuyến tính m véctơ cho 1.2 Định nghĩa: Hệ m véctơ n chiều {𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑚 } gọi phụ thuộc tuyến tính tồn m số thực không đồng thời 𝑙à 𝜆1 , 𝜆2 , … , 𝜆𝑚 cho 𝜆1 𝑋1 + 𝜆2 𝑋2 + ⋯ + 𝜆𝑚 𝑋𝑚 = Nếu đẳng thức xảy 𝜆1 = 𝜆2 = ⋯ = 𝜆𝑚 = hệ véctơ độc lập tuyến tính Một số dấu hiệu nhận biết ĐLTT, PTTT 2.1 Hệ gồm véctơ ĐLTT ⇔ véctơ khác 2.2 Hệ gồm véctơ ĐLTT ⇔ chúng không tỷ lệ Hệ gồm véctơ PTTT ⇔ chúng tỷ lệ 2.3 Một hệ chứa véctơ PTTT 2.4.Một hệ có số véctơ nhiều số chiều PTTT 2.5 Một hệ véctơ PTTT ⇔ có véctơ hệ tổ hợp tuyến tính véctơ cịn lại Trong hệ m véctơ, ta lấy r véctơ (𝑟 ≤ 𝑚 ) r véctơ gọi hệ hệ m véctơ 2.6 Một hệ chứa hệ PTTT PTTT 2.7 Một hệ véctơ hệ ĐLTT ĐLTT Nhận xét: Hệ n véctơ n chiều ĐLTT⇔ định thức ma trận tạo thành từ n véc tơ khác (tức xếp véctơ thành cột định thức) Ví dụ 2: Cho véctơ 𝑋1 = (1,2,3,0,4) 𝑋2 = (−1, 3,4,1,2) 𝑋3 = (0,5,7,1,6) Tìm hệ véc tơ độc lập tuyến tính cực đại Định nghĩa 2: Mỗi hệ ĐLTT cực đại hệ véctơ gọi sở hệ véctơ Mỗi hệ véctơ có nhiều sở, số véctơ sở nhau, số gọi hạng hệ véctơ Kí hiệu: 𝑟{𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑚 } Ví dụ 3: Hạng hệ véctơ VD Định nghĩa 3: 𝑛 Trong không gian ℝ , hệ n véctơ độc lập tuyến tính gọi 𝑛 sở không gian ℝ Ví dụ 3: Trong ℝ𝑛 , n véctơ đơn vị: 𝑒1 = 1, 0, … , 𝑒2 = 0, 1, … , … 𝑒𝑛 = 0, 0, … 0, Lập thành sở ℝ𝑛 , gọi sở tắc Biểu diễn véctơ theo sở Định lý: Mỗi véctơ hệ biểu diễn cách dạng tổ hợp tuyến tính vectơ sở hệ Định nghĩa: Cho {𝑝1 , 𝑝2 , … , 𝑝𝑛 } sở 𝑛 KGVT ℝ Khi đó, véctơ n chiều X X có biểu diễn nhất: 𝑋 = 𝑘1 𝑝1 + 𝑘2 𝑝2 + ⋯ + 𝑘𝑛 𝑝𝑛 Bộ n số 𝑘1 , 𝑘2 , … , 𝑘𝑛 gọi tọa độ véctơ X không gian sở {𝑝1 , 𝑝2 , … , 𝑝𝑛 } Ví dụ 1: Biểu diễn tuyến tính véctơ X = (5, -5, -6) qua véctơ 𝑋1 = (1,2,3) 𝑋2 = (−1, 3,4) ... tham số a ? ?1 = (1, 2, ? ?1, −2