Slide 1 HỌC PHẦN TOÁN CAO CẤP 1 CHƯƠNG 4 DẠNG TOÀN PHƯƠNG Giảng viên T S Trịnh Thị Hường Bộ môn Toán Email trinhthihuong@tmu edu vn I CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1 1 Các khái niệm Định nghĩa 1 Một tổng có dạ[.]
HỌC PHẦN TỐN CAO CẤP CHƯƠNG DẠNG TỒN PHƯƠNG Giảng viên: T.S Trịnh Thị Hường Bộ môn : Toán Email: trinhthihuong@tmu.edu.vn I CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1 Các khái niệm Định nghĩa 1: Một tổng có dạng 𝑛 𝐹 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 = 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑖 𝑥𝑗 (1) 𝑖,𝑗 =1 Trong 𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖 , ∀𝑖, 𝑗 = 1, 𝑛, 𝑖 ≠ 𝑗, 𝑎𝑖𝑗 ∈ 𝑅, gọi dạng toàn phương biến 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 Ma trận dạng toàn phương (1) 𝑎11 ⋯ 𝑎1𝑛 ⋱ ⋮ 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 = ⋮ 𝑎𝑛1 ⋯ 𝑎𝑛𝑛 Nhận xét: 𝐴 = 𝐴′ 𝑥1 Dạng ma trận: Đặt 𝑋 = ⋮ , suy 𝑥𝑛 𝑋 ′ = (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) ′ Khi đó, (1) trở thành 𝐹 𝑋 = 𝑋 𝐴𝑋 Định nghĩa 2: ❖ Hạng DTP:Hạng dạng toàn phương hạng ma trận dạng toàn phương ❖ Dạng tồn phương gọi suy biến 𝑟 𝐴 < 𝑛 hay ❖ Dạng toàn phương gọi không suy biến 𝑟 𝐴 = 𝑛 hay 𝐴 ≠ 1.2.Dạng tồn phương tắc, chuẩn tắc ❖ Dạng tồn phương tắc: Dạng tồn phương tắc dạng tồn phương có dạng 𝑛 𝑘𝑖 𝑥𝑖2 𝐹 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 = (2) 𝑖=1 ❖ Dạng toàn phương chuẩn tắc: Dạng tồn phương tắc gọi dạng tồn phương chuẩn tắc nhận giá trị Ví dụ 1: dạng tồn phương tắc Ma trận: dạng toàn phương chuẩn tắc Ma trận: 1.3 Phép biến đổi tuyến tính Xét dạng tồn phương F(X)=X’AX Định nghĩa 3: Cho ma trận 𝑆 = 𝑠𝑖𝑗 , 𝑆 ≠ 𝑛×𝑛 Phép biến đổi tuyến tính khơng suy biến từ biến X sang biến Y là: 𝑋 = 𝑆𝑌 Khi đó, dạng tồn phương (2) trở thành: 𝐹 𝑌 = 𝑌 ′ 𝐵𝑌, 𝐵 = 𝑆′𝐴𝑆 Ví dụ 2: DTP tắc đưa DTP chuẩn tắc phép đặt II Đưa DTP DTP tắc, chuẩn tắc 2.1 Phương pháp giá trị riêng Phương pháp 2.2 Phương pháp Jacobi 2.3 Phương pháp Lagrange 2.1 Phương pháp giá trị riêng ′ Xét dạng toàn phương 𝐹 𝑋 = 𝑋 𝐴𝑋 (1) Định thức 𝐴 − 𝑘𝐸 = gọi phương trình đặc trưng (ẩn k) (1) Định lý: Giả sử 𝑘1 , 𝑘2 , … , 𝑘𝑛 nghiệm phương trình đặc trưng dạng toàn phương (1) (kể nghiệm nghiệm bội) Khi đó, dạng tồn phương tắc (1) 2.2 Phương pháp Jacobi Cho ma trận 𝑎𝑖𝑗 Các định thức A D1 = 𝑎11 𝑎11 D2 = 𝑎 21 … … 𝐷𝑛 = 𝐴 𝑎12 𝑎22 𝑛×𝑛 ❖Định lý Jacobi: Nếu ma trận DTP có Di 0i = 1,2, n DTP tắc ❖Ví dụ 2: Đưa DTP sau DTP tắc D1 = 1, D2 = −3, D3 = D1 = 1, D2 = 1, D3 = 2.3 Phương pháp Lagrange Ví dụ 3: Đưa dạng tồn phương sau dạng toàn phương phương pháp Largange b) ❖Định luật quán tính Số hệ số mang dấu dương, số hệ số mang dấu âm số hệ số khơng dạng tồn phương tắc nhận không đổi ta đưa DTP DTP tắc phép biến đổi tuyến tính khơng suy biến khác III.DẤU CỦA DẠNG TỒN PHƯƠNG 3.1 Định nghĩa: dạng toàn phương 𝐹 𝑋 = 𝑋 ′ 𝐴𝑋 (2) gọi là: • Xác định dương • Xác định âm • Nửa xác định dương tồn cho F(X) = • Nửa xác định âm tồn cho F(X) = • Đổi dấu nhận giá trị âm giá trị dương (tức tồn cho F(X)F(Y) 0, ∀𝑖 = 1, 𝑛 • Xác định âm 𝑘𝑖 < 0, ∀𝑖 = 1, 𝑛 • Nửa xác định dương 𝑘𝑖 ≥ 0, ∀𝑖 = 1, 𝑛 ∃𝑖: 𝑘𝑖 = • Nửa xác định âm 𝑘𝑖 ≤ 0, ∀𝑖 = 1, 𝑛 ∃𝑖: 𝑘𝑖 = • Đổi dấu ∃𝑖, 𝑗: 𝑘𝑖 > 𝑣à 𝑘𝑗 < ❖ Định lý: Các phép biến đổi tuyến tính khơng suy biến khơng làm thay đổi tính xác định dấu dạng toàn phương 3.2 Định lý Sylverster Dạng toàn phương • Xác định dương định thức dương • Xác định âm định thức cấp lẻ âm cấp chẵn dương Định lý Sylverster mở rộng Dạng tồn phương • Nửa xác định dương định thức khơng âm có định thức • Nửa xác định âm định thức cấp lẻ khơng dương cấp chẵn khơng âm có định thức ... định thức A D1 = ? ?11 ? ?11 D2 =