Slide 1 HỌC PHẦN TOÁN CAO CẤP 1 CHƯƠNG 6 PHÉP TÍNH VI PHÂN Giảng viên T S TRỊNH THỊ HƯỜNG Bộ môn Toán Email trinhthihuong@tmu edu vn 1 ĐẠO HÀM CẤP MỘT Định nghĩa 1 Cho hàm
HỌC PHẦN TỐN CAO CẤP CHƯƠNG PHÉP TÍNH VI PHÂN Giảng viên: T.S TRỊNH THỊ HƯỜNG Bộ môn : Toán Email: trinhthihuong@tmu.edu.vn ĐẠO HÀM CẤP MỘT Định nghĩa 1: Cho hàm 𝑓(𝑥) xác định khoảng (𝑎, 𝑏) Đạo hàm hàm 𝑓(𝑥) điểm 𝑥0 ∈ (𝑎, 𝑏) (nếu có) giới hạn hữu hạn tỉ số Δ𝑦 Δ𝑥 Δ𝑥 → kí hiệu 𝑓 ′ (𝑥0 ) hay 𝑦 ′ 𝑥0 𝑓 ′ 𝑥0 Δ𝑦 f x0 + Δx − f(x0 ) = lim = lim Δ𝑥→0 Δ𝑥 Δ𝑥→0 Δ𝑥 Nhận xét: Hàm 𝑓(𝑥) có đạo hàm 𝑥0 liên tục 𝑥0 Điều ngược lại khơng Định nghĩa (Các đạo hàm phía) ′ 𝑓 𝑥 + 𝑓 ′ 𝑥 −0 f x0 + Δx − f(x0 ) = lim + Δ𝑥→0 Δ𝑥 f x0 + Δx − f(x0 ) = lim − Δ𝑥→0 Δ𝑥 Định lý 1: Điều kiện cần đủ để hàm 𝑓(𝑥) có đạo hàm điểm 𝑥0 tồn đạo hàm phải đạo hàm trái 𝑥0 chúng Tức 𝑓 ′ 𝑥 +0 = 𝑓 ′ 𝑥 −0 = 𝑓 ′ 𝑥0 VI PHÂN HÀM SỐ 2.1 Định nghĩa Định nghĩa 3: Cho hàm số 𝑓(𝑥) xác định lân cận 𝑥0 Nếu tồn số A cho 𝑥0 ta có Δ𝑓 𝑥0 = 𝑓 𝑥0 + Δ𝑥 − 𝑓 𝑥0 = 𝐴 Δ𝑥 + 𝛼 Δ𝑥 𝛼 Δ𝑥 VCB bậc cao Δ𝑥 Δ𝑥 → 0, ta nói hàm 𝑓(𝑥) khả vi 𝑥0 biểu thức 𝐴 Δ𝑥 gọi vi phân hàm 𝑓(𝑥) 𝑥0 Kí hiệu 𝑑𝑦 𝑥0 = 𝑑𝑓 𝑥0 = 𝐴 Δ𝑥 Định lý: Nếu hàm 𝑓(𝑥) có đạo hàm 𝑥0 khả vi 𝑥0 𝑑𝑓(𝑥0 ) = 𝑓 ′ 𝑥0 Δ𝑥 Nếu hàm 𝑓(𝑥) khả vi 𝑥0 có đạo hàm 𝑥0 𝑓 ′ 𝑥0 = 𝐴 Nhận xét: Ký hiệu Δ𝑥 = 𝑑𝑥 Ký hiệu thường dùng khác đạo 𝑑𝑓(𝑥) ′ 𝑓 𝑥 = 𝑑𝑥 2.2 Ứng dụng vi phân để tính gần Định lý: Nếu Δ𝑥 đủ bé ta có 𝑓 𝑥0 + Δ𝑥 ≈ 𝑓 𝑥0 + 𝑓 ′ 𝑥0 Δ𝑥 Đạo hàm cấp cao 𝑓 ′′ 𝑥 = (𝑓 ′ (𝑥))′ 𝑓 (𝑛) 𝑥 = (𝑓 (𝑛−1) (𝑥))′ .. .1 ĐẠO HÀM CẤP MỘT Định nghĩa 1: Cho hàm