Một số bài toán dùng cực và đối cực Một số bài toán dùng cực và đối cực Cực và đối cực được áp dụng để giải khá nhiều các bài toán hình học phẳng Nhiều bài toán nếu không dùng cực và đối cực thì con đ[.]
Một số toán dùng cực đối cực Cực đối cực áp dụng để giải nhiều tốn hình học phẳng Nhiều tốn khơng dùng cực đối cực đường đến lời giải có lẽ phức tạp nhiều Trong viết tơi xin trình bày số tốn có sử dụng cực đối cực để giải Rất mong góp ý bạn Các toán nhỏ Đây toán chủ yếu suy trực tiếp từ tính chất cực đối cực Vì lời giải chúng thường ngắn gọn Cũng có số tốn dùng cực đối cực làm bước đệm lời giải chúng Bài toán (Australian-Polish 98): Cho điểm A, B, C, D, E, F thuộc đường tròn cho tiếp tuyến A D, đường thẳng BF, CE đồng quy Chứng minh đường thẳng AD, BC, EF đôi song song đồng quy Trường hợp đường thẳng đơi song song dễ thấy nên ta xét chúng có cắt Nếu gọi điểm đồng quy BF, CE K KA, KD tiếp tuyến K với đường tròn nên AD đường đối cực K Theo tính chất tứ giác nội tiếp BC EF cắt điểm thuộc đường đối cực K, tức thuộc AD Bài tốn 2: Cho tam giác ABC Đường trịn nội tiếp (I) tiếp xúc với BC, CA, AB D, E, F K điểm thuộc đường thẳng EF BK, CK cắt AC, AB E’, F’ Chứng minh E’F’ tiếp xúc với (I) Gọi giao điểm DK (I) J qua J kẻ tiếp tuyến với (I) cắt AC, AB M, N Ta thấy EF, DJ, BM CN đồng quy Rõ ràng điểm đồng quy K nên M trùng với E’, N trùng với F’, tức E’F’ tiếp xúc với (I) Chú ý tốn điểm K di chuyển đường thẳng EF mà kết không thay đổi Hơn gọi D’ giao điểm E’F’ với BC tương tự có CF’, AD’, FD AD’, BE’, DE đồng quy Phát biểu lại có điều kiện cần đủ để đường thẳng tiếp xúc với đường tròn nội tiếp sau: Cho tam giác ABC Đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với BC, CA, AB D, E, F Đường thẳng l cắt cạnh BC, CA, AB D’, E’, F’ Chứng minh l tiếp xúc với (I) điều kiện sau xảy ra: i) giao điểm BE’, CF’ thuộc EF ii) giao điểm CF’, AD’ thuộc FD iii) giao điểm AD’, BE’ thuộc DE Cần ý thêm chút điều kiện tương đương nên xảy điều kiện có nghĩa điều kiện xảy Bài toán (MOP 95): Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp (O) Tiếp điểm thuộc cạnh AB, BC, CD, DA M, N, P, Q AN, AP cắt (O) E, F Chứng minh ME, QF, AC đồng quy Gọi K cực AC Xét tứ giác nội tiếp MNPQ theo tính chất cực đối cực tứ giác nội tiếp ta có MQ NP cắt K Lại xét đến tứ giác nội tiếp EFPN có EF NP cắt K, suy MQ EF cắt K Ta thấy ME QF cắt điểm thuộc đường đối cực K tức thuộc AC hay ME, QF, AC đồng quy Bài toán 4: Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) AC cắt BD I (AOB), (COD) cắt điểm L khác O Chứng minh Gọi K giao điểm AB CD Ta thấy KA.KB = KC.KD nên K thuộc trục đẳng phương (AOB) (COD) nên K, L, O thẳng hàng Suy KL.KO = KA.KB = KM.KN (với M, N giao điểm KO với (O)) Từ suy (KOMN) = -1 hay L thuộc đường đối cực K Ta biết đường đối cực K qua I nên IL đường đối cực K, từ suy KO IL Bài tốn 5: Cho tam giác ABC Đường trịn đường kính AB cắt CA, CB P, Q Các tiếp tuyến P, Q với đường tròn cắt R Chứng minh CR AB Gọi O trung điểm AB S giao điểm PQ AB Áp dụng tính chất cực đối cực vào tứ giác nội tiếp APQB ta thấy CR đường đối cực S Do CR OS hay CR AB Bài toán 6: Cho tam giác ABC BB’, CC’ đường cao E, F trung điểm AC, AB EF cắt B’C’ K Chứng minh AK vng góc với đường thẳng Ơle tam giác ABC Gọi H, G, O trực tâm, trọng tâm tâm đường tròn Ơle tam giác ABC J giao điểm FB’ EC’ Áp dụng định lí Papuyt cho điểm BFC’ CEB’ suy J, H, G thẳng hàng, tức J thuộc đường thẳng Ơle tam giác ABC Mặt khác, tứ giác C’FB’E nội tiếp đường tròn Ơle, theo tính chất cực tứ giác nội tiếp AK đường đối cực điểm J, từ suy AK vng góc với OJ tức đường thẳng Ơle tam giác ABC Mở rộng thêm chút, xác định điểm K, L, M giao điểm cạnh tương ứng tam giác A’B’C’ DEF với A’, B’, C’ chân đường cao D, E, F trung điểm cạnh BC, CA, AB tương ứng thấy AK, BL, CM song song với vng góc với đường thẳng Ơle tam giác ABC Cực đối cực với đường tròn nội tiếp: Trong tam giác, đường tròn nội tiếp làm xuất tiếp tuyến với nó, điều thuận lợi cho việc áp dụng cực đối cực Vì tính liền mạch tốn với nên xin khơng phát biểu toán cụ thể riêng rẽ Hãy xét tam giác ABC có (I) đường trịn nội tiếp D, E, F tiếp điểm (I) với cạnh BC, CA, AB tương ứng Gọi D’, E’, F’ giao điểm EF, FD, DE với BC, CA, AB Ta thấy EF đường đối cực A, mà D’ thuộc EF nên đường đối cực D’ qua A Do D’D tiếp tuyến với (I) nên AD đường đối cực D’ Tương tự BE, CF đường đối cực E’, F’ Ta biết AD, BE, CF đồng quy điểm, gọi K, D’, E’, F’ phải thuộc đường đối cực K Từ suy D’, E’, F’ thẳng hàng đường thẳng D’E’F’ vng góc với IK Đường thẳng D’E’F’ gọi đường thẳng Giécgôn K gọi điểm Giécgôn Ta thấy D’ cực AD nên ID’ giác AA’D, D’DI đồng dạng Gọi tiếp tuyến Bây gọi (I) nên AD Nếu hạ đường cao AA’ dễ thấy tam đường đối cực giao điểm Lại ý (D’DBC) = -1 nên Từ suy (I) với (I) rõ ràng (I) tiếp tuyến với tiếp tuyến với đường tròn tiếp xúc với Mặt khác, từ đẳng thức thuộc trục đẳng phương (I) đường tròn ngoại tiếp (O) Nếu ta xác định điểm tương tự phương (I) (O) nên Thêm (I) thuộc IO Từ suy trục đẳng DM Ta biết ID’ AD Nếu có thêm điều kiện IO AD điểm O, I, D’ thẳng hàng, suy A, D, M thẳng hàng đường thẳng ADM đường đối cực D’ vừa (I) vừa (O) Ta biết AM đường đối trung tam giác ABC nên từ phát biểu toán: Cho tam giác ABC, đường tròn nội tiếp tiếp xúc với BC D Chứng minh OI AD AD đường đối trung tam giác ABC Nếu kéo dài tiếp tuyến A, B, C cho cắt tạo thành tam giác MNP MD, NE, PF đường đối cực D’, E’, F’ (O) Vì D’, E’, F’ thằng hàng nên MD, NE, PF đồng quy Ta phát biểu lại cho cân đối có tốn sau: Cho tam giác ABC, đường tròn nội tiếp tiếp xúc với BC, CA, AB D, E, F Đường tròn nội tiếp tam giác DEF tiếp xúc với EF, FD, DE M, N, P Chứng minh AM, BN, CP đồng quy Ta thấy DM, EN, CP đồng quy Ta mở rộng kết trên, liệu DM, EN, CP đồng quy AM, BN, CP có ln đồng quy không? Để chứng minh khẳng định đúng, ta chứng minh cực AM, BN, CP thẳng hàng Gọi M’ giao điểm NP EF (MM’EF) = -1 suy M’ thuộc đường đối cực M Mặt khác M’ thuộc EF, tức đường đối cực A, nên M’ cực AM Tương tự xác định N’, P’ cực BN, CP Dễ thấy điểm M’, N’, P’ thẳng hàng, từ suy AM, BN, CP đồng quy Thực kết cịn mở rộng nữa, tốn sau: Cho tam giác ABC D, E, F thuộc BC, CA, AB cho AD, BE, CF đồng quy M, N, P thuộc EF, FD, DE cho DM, EN, FP đồng quy Chứng minh AM, BN, CP đồng quy Tuy nhiên cách giải tốn lại khơng dùng cực đối cực, dễ hiểu khơng có đường trịn Vì tơi xin nêu cách chứng minh dùng tỉ số kép định lí Ceva Gọi M1, M’ giao điểm AM với BC, AD với EF Ta thấy từ A chiếu xuyên tâm F, M, M’, E biến thành B, Một cách tự nhiên ta nghĩ đến việc chứng minh cực điểm đường đối cực A tiếp tuyến tuyến (I) giao Đường đối cực A EF (I) Kí hiệu cực , D, C nên giao điểm EF với tiếp Tương tự ta xác định đồng dạng) = Tương tự ta có thêm tỉ số nữa, nhân chúng lại với nhau, ý Cho tam giác ABC, đường tròn nội tiếp tiếp xúc với BC, CA, AB D, E, F P điểm mặt phẳng PA, PB, PC cắt (I) X, Y, Z Chứng minh DX, EY, FZ đồng quy Có thể thấy dạng phát biểu dạng phát biểu nghịch toán Nhưng cách chứng minh hồn tồn ngược lại biến đổi ta Bây xét điểm M mặt phẳng, giả sử DM cắt EF (I) Ta biết Tương tự cực AT, nên cực giao điểm EF với AT Ta gọi điểm X Các điểm Y, Z xác định tương tự Khi XYZ đường đối cực điểm Vấn đề cần chứng minh đường thẳng PQR, TUV, XYZ đồng quy, hay đơn giản chứng minh PQ, TU, XY đồng quy Đây đường thẳng nối cặp điểm với nhau, điều khiến ta nghĩ đến định lí Đơgiácgiơ, theo định lí để chứng minh PQ, TU, XY đồng quy ta cần phải chứng minh giao điểm PT QU, TX UY, XP YQ thẳng hàng Dễ thấy PT tiếp tuyến , QU tiếp tuyến nên giao điểm PT QU cực TX TA, đường đối cực ; UY UB, đường đối cực nên giao điểm TX UB cực XP EF, YQ FD nên giao điểm XP YQ điểm F Vậy để chứng minh giao điểm thẳng hàng, ta chứng minh đường đối cực chúng đồng quy, tức cần phải chứng minh chứng minh thu điều phải Chỗ chứng minh cuối phát biểu riêng thành toán thú vị: Cho tam giác ABC, cạnh AC, AB lấy điểm D, E BD, CE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC M, N tương ứng Chứng minh DE, MN tiếp tuyến A đồng quy Đường thẳng OI đường thẳng Ơle: Phần tơi xin nói chút tính chất đường thẳng OI đường thẳng Ơle từ góc độ cực đối cực Các kết khơng nhiều cịn nhiều vấn đề mở Rất mong thảo luận bạn Trong tam giác ABC, đường tròn nội tiếp (I) tạo nên tam giác DEF tiếp điểm với cạnh tam giác Ở tam giác DEF có tính chất đặc biệt đường thẳng Ơle đường thẳng OI Bài tốn có nhiều cách giải, có lẽ ngắn dùng phép nghịch đảo Tuy nhiên khơng nêu lên thêm nhiều tính chất khác Các lời giải phép vị tự tuyệt Nhưng cịn có lời giải dùng cực đối cực độc đáo, lời giải sau: Qua I kẻ đường thẳng vng góc với IA, IB, IC cắt BC, CA, AB D’, E’, F’ Ta thấy DM D’D tiếp xúc với (I) nên DM đường đối cực D’ (I) Tương tự EN, FP đường đối cực E’, F’ (I) Từ suy đường thẳng D’E’F’ đường đối cực giao điểm DM, EN, FP tức trực tâm H tam giác DEF Suy D’E’F’ IH Kết hợp điều lại ta có I, O, H thẳng hàng, tức đpcm Có thể thấy lời giải dựa vào việc dựng đường đối cực trực tâm H tam giác DEF Đề nói đường thẳng Ơle, tức điểm quan trọng trọng tâm tam giác DEF Bằng cách tương tự ta dựng đường đối cực trọng tâm để tìm thêm tính chất Gọi X, Y, Z trung điểm cạnh EF, FD, DE Dễ thấy đường đối cực X, Y, Z phân giác ngồi góc A, B, C Đường đối cực D, E, F BC, CA, AB cực DX, EY, FZ giao điểm phân giác với cạnh đối diện, kí hiệu M, N, P Khi MNP đường đối cực trọng tâm G tam giác DEF, suy MNP IG Kết hợp với I, G, O thẳng hàng ta suy MNP OI Vậy ta có tốn: Cho tam giác ABC, phân giác ngồi góc A, B, C cắt cạnh đối diện M, N, P Chứng minh M, N, P thẳng hàng đường thẳng MNP vng góc với OI Bây ta kéo dài phân giác góc A, B, C cho chúng cắt tạo thành tam giác A’B’C’ (chính tâm đường trịn bàng tiếp) dễ thấy A’A, B’B, C’C đường cao tam giác A’B’C’, tức I trực tâm tam giác Điều có nghĩa OI đường thẳng Ơle tam giác A’B’C’ O tâm đường trịn Ơle Ta phát biểu lại kết tam giác A’B’C’ thay đổi tên điểm, ta có tốn sau: Cho tam giác ABC, đường cao AA’, BB’, CC’ B’C’, C’A’, A’B’ cắt BC, CA, AB M, N, P Chứng minh M, N, P thẳng hàng đường thẳng MNP vuông góc với đường thẳng Ơle tam giác ABC Bài viết xin kết thúc Hy vọng toán giúp bạn phần việc sử dụng cực đối cực Rất mong nhận trao đổi bạn Trong viết có sử dụng lời giải bạn Circle lovePearl_maytrang, toán diễn đàn toán học diễn đàn mathnfriend.net, xin chân thành cảm ơn bạn Lời cảm ơn cuối xin gửi tới MrMATH! ... giao điểm KO với (O)) Từ suy (KOMN) = -1 hay L thuộc đường đối cực K Ta biết đường đối cực K qua I nên IL đường đối cực K, từ suy KO IL Bài toán 5: Cho tam giác ABC Đường trịn đường kính AB cắt CA,... O trung điểm AB S giao điểm PQ AB Áp dụng tính chất cực đối cực vào tứ giác nội tiếp APQB ta thấy CR đường đối cực S Do CR OS hay CR AB Bài toán 6: Cho tam giác ABC BB’, CC’ đường cao E, F trung... PT QU cực TX TA, đường đối cực ; UY UB, đường đối cực nên giao điểm TX UB cực XP EF, YQ FD nên giao điểm XP YQ điểm F Vậy để chứng minh giao điểm thẳng hàng, ta chứng minh đường đối cực chúng