Đang tải... (xem toàn văn)
Khi đó tập hợp các điểm M’ liên hợp với M là một đường thẳng vuông góc với MO... K là giao điểm hai đường chéo.[r]
(1)CỰC VÀ ĐỐI CỰC A) lý thuyết
I)Đường tròn trực giao
1) Định nghĩa
- Cho hai (O1),(O2) cắt taị hai điểm A,B; 1, 2 lần
lượt tiếp tuyến (O1), (O2) qua A Khi góc hai
đường thẳng 1, 2 gọi góc hai đường tròn
-Hai đường tròn gọi trực giao góc chúng 900
2)Các định lý a)Định lý
(O1), (O2) cắt A , 1, 2 tiếp tuyến
của (O1), (O2) qua A Khi O1) (O2) trực giao
1 qua O2
2 qua O1
b)Định lý
Cho (01,r1) (01,r2) (01)và (02) trực giao
r12+r22 = O2O12
c)Định lý
(O1,R1) trực giao (O2,R2)
PO2/(O1)=R22
PO1/(O2)=R12
d)Định lý
Cho (O),(O’), MN đường kính (O) cắt (O’) P,Q Khi đó: (O) trực giao (O’) (MNPQ)= -1
II)Cực đối cực
1)Hai điểm liên hợp a)Định nghĩa
(O) hai điểm M,M’ Khi M,M’ gọi liên hợp (O) đường trịn đường kính MM’ trực giao với (O)
b)Định lí
(2)c)Định lí
Cho (O), không qua O Khi tồn điểm M cho với M’ thuộc ta có M,M’ liên hợp (O)
2)Cực đối cực a)Định nghĩa
-Đường thẳng nói định lý gọi đường đối cực M (O)
-Điểm M nói định lý gọi cực đường thẳng (O)
3)Tính chất
a)Đối cực M qua M’ đối cực M’ qua M
b)Khi M chạy đường thẳng cố định thi đối cực M qua điểm cố định
c) quay quanh điểm cố định thi cực chạy đường thẳng cố định
4)Cách vẽ cực đối cực a)Tam giác tự liên hợp
Bài toán:Cho tức giác ABCD nội tiếp (O), E,F,K giác AB,CD; AD,BC; AC,BD
CMR:E,K liên hợp (O) E,F liên hợp (O) F,K liên hợp (O) EFK gọi tam giác tự liên hợp
b)Vẽ đối cực Nguyên tắc Cho (O),M khác O
+)Lấy M’ cho M,M’ liên hợp (O) +)Lấy M’,M’’ cho M,M’ liên hợp với (O)
M,M’’ liên hợp với (O) Khi trùng M’M’’
-) M thuộc (O) đối cực M tiếp tuyến (O) M
(3)-) M nằm (O) thì:
+ dựng dây cung AB qua M (O) , qua A,B vẽ hai tiếp tuyến cắt tai M’, đối cực M đường thẳng qua M vng góc OM
+ dựng tứ giác có M giao hai đường chéo, đối cực M đường thẳng qua giao điểm cạnh đối tứ giác
+ dựng giao tiếp tuyến (O) đỉnh đối tứ giác , đố đường thẳng qua giao điểm đối cực M
c)vẽ cực Nguyên tắc
Cho (O), không qua O +)Lấy M’ Trên
Đối cực M’ giao với đường thẳng qua O vng góc với cực
+)Lấy M’,M’’ , đối cực M’ giao đối cực M’’ cực
B) BÀI TẬP
Bài 1:
CMR:(O1) trực giao (O2)
tập hợp điểm M thỏa mãn PM/(O1)+PM/(O2)=
đường tròn đường kính O1O2
Bài 2:
(O) trực giao với (O1) (O2) CMR: PO/(O1)=PO/(O2)
Bài 3:
ABC ngoại tiếp (I), tiếp xúc với cạnh BC,CA,AB A1,B1,C1 A2,B2,C2 giao IA,IB,IC với (I) Tiếp (I)
A2,B2,C2 cắt BC A3,B3,C3 CMR: A3 ,B3,C3 thẳng hàng
Gợi ý: Chứng minh A3,B3,C3 thuộc đối cực điểm
bằng việc chứng minh A3,B3,C3 liên hợp với điểm
(4)Tứ giác ABCD nội tiếp (O) ngoại tiếp (I) K giao điểm hai đường chéo CMR: O,I,K thẳng hàng
Bài 5:
Cho (I) nội tiếp ABC tiếp xúc với cạnh BC,CA,AB D,E,F AD cắt (I) L , EF cắt BC K
a)CMR:KL tiếp tuyến (I)
b)Gọi J giao EF AD CMR: IJ vng góc AL Gợi ý: Chứng minh K,L liên hợp với (I)
Bài :
Cho ABC nội tiếp (O) , điểm M nằm , AM,BM,CM cắt (O) A1,B1,C1 B1C1 cắt BC A2, C1A1 cắt CA
tại B2 ,A1B1 cắt AB C2 CMR: A2,B2,C2 thẳng hàng OM
vng góc A2B2C2
Bài :
Cho (I) nội tiếp tứ giác ABCD , tiếp xúc với cạnh Ab,CD,BC,AD M,N,P,Q E,F giao MP,NQ MQ, NP
a) CMR: MN,PQ,AC,BD đồng quy b) CMR: B,D, F thẳng hàng
A,C,E thẳng hàng
Bài 8:
Cho ABCD nội tiếp (O); (AOB),(COD) giao L khác O CMR: góc ILO 900
Gợi ý:Dùng tâm đẳng phương chứng minh IL đối cực S (O)
Bài 9:
Cho ABC vuông cân A , (I) nội tiếp tiếp xúc BC D, Ah đường cao, K trung điểm AH , N giao DK (I) CMR: (NBC) tiếp xúc (I)
Bài 10:
ABC nội tiếp (O) , tiếp tuyến B,C cắt S, ó cắt BC M , N thuộc BC AN đường đối trung tam giác ABC thỏa mãn điếu kiện sau:
(5)+) N thuộc AS
áp dụng biết giải sau:
ABC nội tiếp (O), (I) tiếp xúc cạnh BC,CA,AB D,E,F cho OI vng góc AD CMR AD đường đối trung ABC
Bài 11:
ABC vuông C ,(I) tiếp xúc BC,CA,AB A’,B’,C’, K giao B’C’ đường thẳng qua A’ vng góc AA’ CMR: BC qua trung điểm AK
Gợi ý: đường tròn đường kính AK trực giao (I)
Bài 12:
Tứ giác ABCD nội tiếp (O) , OH vng góc AC CMR: góc BHC =góc DHC
Bài 13:
Cho (O) , dây AB , (O1),(O2) tiếp xúc với (O) ,tiếp xúc
AB tiếp xúc với T Tiếp tuyến T (O1) (O2)
cắt (O) C CMR: T tâm đường tròn nội tiếpABC
Bài 14:
Cho (O) , hai dây AC,BD , OH vng góc AC, OK vng góc BD góc BHA=góc DHA CMR: góc AKB = góc CKB
Gợi ý: Dùng kết hợp hàng điểm điều hòa
Bài 15:
Cho (O) hai điểm P,Q , gọi P, Q đối cực P,Q
(O); M,N hình chiếu P,Q lên P, Q CMR:PO chia PM=
QO chia QN
Gợi ý: OS vng góc PQ, BA vng góc AS sau sử dụng tam giác đồng dạng
Bài 16:
Cho (O), hai đường kính XY,ZT ,M thuộc (O); A,B hình chiếu M lên XY,ZT; N cực AB với (O) ; H,K hình chiếu N lên XY,ZT CMR:HK tiếp xúc (O) tai M
Gợi ý: Chứng minh đường trịn đường kính MH,MK trực giao (O)
(6)SA,SB hai tiếp tuyến (O)(A,B tiếp điểm ) ,OS AB= H , K trung điểm SH K : OS M ,