Bài tập tính đơn điệu và cực trị của hàm số

Chứng minh rằng hàm số không thể luôn luôn đồng biến.. Trường THPT Lịch Hội Thượng Lop12.net..[r]

BAØI TẬP TÍNH ĐƠN ĐIỆU VAØ CỰC TRỊ CỦA HAØM SỐ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Bài 1: Cho hàm số y   m  1 x3   m  1 x  x  Xác định m để hàm số đồng biến trên  GIẢI TXĐ: D =  Đạo hàm: y   m  1 x   m  1 x  + Nếu m = thì y  x  3 Hàm số đồng biến và y   x  ( loại so với yêu cầu bài toán) + Nếu m = -1 thì y   x   Hàm số đồng biến trên  (nhận so với ycbt) (1) + Nếu m  1 thì HS đồng biến trên  và a  m   2    m  1  m   y  x       m  1  m   m  m   m  1  m   m  1   (2) m  1  m  m   m  1 Từ (1) và (2) suy hàm số đồng biến trên    m   Bài 2: Cho hàm số y  x   2m  1 x  12m   x  Định giá trị tham số m để hàm số luôn luôn đồng biến GIẢI TXĐ: D =  Đạo hàm: y  3x   2m  1 x  12m  Biệt số    2m  1  12m    36m  Để hàm số luôn luôn đồng biến x ta phải có: y  x 6 m 6 6 Vậy các giá trị m cần tìm là:   m  6     36m       2 Bài 3: Cho hàm số y  x   m  1 x  2m  3m  x  2m  2m  1 Chứng minh hàm số không thể luôn luôn đồng biến Trường THPT Lịch Hội Thượng Lop12.net GIẢI TXĐ: D =  Đạo hàm: y  3x   m  1 x   2m  3m   Biệt số    m  1   2m  3m    7m  7m    m  m  1 2 Vì m  m   m    m Do đó đạo hàm y  luôn có nghiệm phân biệt m Suy dương Vậy hàm số không luôn luôn đồng biến y không luôn luôn Bài 4: Định a để hàm số: y   x   a  1 x   a  3 x  Đồng biến trên khoảng (0;3) Lưu ý: 1) So sánh số  với các nghiệm phương trình bậc 2:  x1    x2  x1  x2      x1  x2  af        af      s  2     af      s  2 2) So sánh số  và  với các nghiệm phương trình bậc 2:  x1      x2    x1  x2   af      af        af      af       s    Trường THPT Lịch Hội Thượng Lop12.net GIẢI TXĐ: D =  Đạo hàm: y   x   a  1 x  a   g  x  Hàm số đồng biến trên khoảng (0;3)  y  x   0;3    a  1  a   a  a   a y có nghiệm phân biệt x1 , x2 Giả sử x1  x2 Bảng biến thiên: x x1  y - x2 (0;3) +  - y Để g  x   x   0;3  a  3  12  a     a x1    x2 ag    ag  3       a  3    a  12     12 Bài 5: Định m để hàm số: y  x3  x   m  1 x  4m Nghịch biến trên khoảng (-1;1) GIẢI TXĐ: D =  Đạo hàm: y  x  x  m   g  x  Để hàm số nghịch biến trên khoảng (-1;1)  y  x   1;1 x y  + x1 (-1;1) - x2  + y ag  1  Để g  x   x   1;1  x1  1   x2   ag 1  Trường THPT Lịch Hội Thượng Lop12.net 3  m    3  m  10   m       m  10 m  10 Bài 6: Định m để hàm số: y  x  2mx   m  2m  1 x  đồng biến trên khoảng 1;  GIẢI TXĐ: D =  2 Đạo hàm: y  x  4mx   m  2m  1 2 2 Biệt số   4m   m  2m  1  2m  4m    m  2m  1    m  1  - Nếu m  1 thì y  x  x    x  1  x Hàm số luôn luôn đồng biến  Hàm số đồng biến trên khoảng 1;  Do đó giá trị m  1 thích hợp (1) - Nếu m  1    y  có nghiệm phân biệt x1 , x2 Giả sử x1  x2 Bảng biến thiên: x  y + x1 - x2 (1) +  y Căn vào bảng biến thiên, để hàm số đồng biến trên khoảng 1;  là: y  x   x1  x2         y 1  s  1 2 m  1    m  6m   m   m  1  m   2 Từ (1) và (2), các giá trị m cần tìm là: (2) m  3 2 Bài 7: Cho hàm số: y  x   m   x   m  1 x  3m  Định m để hàm số đã cho: a) Luôn luôn đồng biến Trường THPT Lịch Hội Thượng Lop12.net b) Đồng biến trên khoảng  5;  GIẢI TXĐ: D =  Đạo hàm: y  x   m   x   m  1   9m  a) Khi m   y  x  12 x    x  1  : Hàm số luôn luôn đồng biến Vậy với b) Khi m  , hàm số luôn đồng biến m0   y có nghiệm phân biệt x1 , x2 Giả sử x1  x2 Bảng biến thiên: x  y + x1 - x2 (5) +  y Căn vào bảng biến thiên, để hàm số đồng biến trên khoảng  5;  là: y  x   x1  x2         y    s  5 2 9m    96  24m  m    m   m  m4 Vậy với m  hàm số đồng biến trên khoảng  5;  CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Bài 1: Cho hàm số: y   m   x3  mx  Với giá trị nào m thì đồ thị hàm số không có điểm cực đại và điểm cực tiểu GIẢI TXĐ: D =  Đạo hàm: y   m   x  m Để hàm số không có cực trị thì phương trình y  vô nghiệm có nghiệm kép      4.3m  m      m  Trường THPT Lịch Hội Thượng Lop12.net 2 Bài 2: Cho hàm số: y  x  mx   m  m  1 x  Tìm m để hàm số đạt cực tiểu điểm x  GIẢI TXĐ: D =  Đạo hàm: y  x  2mx  m  m  y  x  2m  y 1    Hàm số đạt cực tiểu x   y 1  m   m    m   m  3m      2m  Vậy không có giá trị nào m để hàm số đạt cực tiểu x  Bài 3: Cho hàm số y  x  x  x  a) Tìm cực trị hàm số b) Viết phương trình đường thẳng qua các điểm cực trị Lưu ý: Để tính giá trị cực trị hàm bậc 3: f  x   ax  bx  cx  d ta làm sau: f  x x   Ax  B  f  x f  x Gọi  f  x    Ax  B  f   x    x   (*) xi là nghiệm pt f   x   ( xi là các điểm cực trị) f  xi    Ax  B  f   xi    xi     f  xi    xi   0 Trong đó  x   là phần dư phép chia f  x f  x y x  Đường thẳng qua điểm cực trị là: ( Vì toạ độ điểm cực trị M  x; y  thoả pt f   x   , nên từ (*) ta suy y x  ) a) TXĐ: D =  Đạo hàm: y  x  x  GIẢI Trường THPT Lịch Hội Thượng Lop12.net x  1 2  y   x  x     Cho  x   Chia f  x  cho f   x  , ta được: 1 1 f  x   3x  3x   x    x  3 3   Giá trị cực trị là: f  x0   4 x0       f   3     f   3   Lập bảng biến thiên  CĐ, CT b) Phương trình đường thẳng qua các điểm cực trị là: y  4 x  Bài 4: Cho hàm số y  x  x   m   x  m  Xác định m cho: a) Hàm số có cực trị b) Hàm số có hai cực trị cùng dấu GIẢI a) TXĐ: D =  Đạo hàm: y  x  12 x   m   Cho y   x  x  m   (*)     m     m Để hàm số có cực trị thì:     m   m  b) Chia f  x  cho f   x  , ta được: 2 1 f  x   3 x  12 x   m     x    x  2mx  m  3 3  giá trị cực trị là: f  x0   4 x0  2mx0  m   x0  m    m    m   x0  1 Gọi x1 , x2 là điểm cực trị Hàm số có cực trị cùng dấu  f  x1  f  x2     m   x1  1 m   x2  1    m    x1  1 x2  1    m    x1 x2  x1  x2  1    m    x1 x2   x1  x2   1  Mặt khác: x1  x2  12  4, (1) x1.x2  m  Trường THPT Lịch Hội Thượng Lop12.net Do đó (1)   m     m    2.4  1    m    4m  17   17  m    m  Kết hợp với điều kiện có cực trị m  , ta được:  17 m2 Bài 5: Cho hàm số: y  mx   m  1 x   m   x  3 Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu x1, x2 thoả x1  x2  GIẢI TXĐ: D =  Đạo hàm: y  mx   m  1 x   m   m  Hàm số có cực trị      m  1  3m  m    m  m     (*) 6   m    m  m     2  Gọi x1 , x2 là nghiệm phương trình y  thì:   x1  x2  11   m  1    Từ (1) và (2)  x1   , x2  1   x1  x2  m  m m  3 m  2  3  x1.x2  m    3 m  2      Thay vào (3)    m  m m   3m  5m    m   m  (Nhận so với điều kiện) Vậy: m   m  x3 x Bài 6: Cho hàm số: y    mx (ĐH Y - Dược) Tìm m để hàm số đạt cực đại và cực tiểu có hoành độ lớn m GIẢI TXĐ: D =  Trường THPT Lịch Hội Thượng Lop12.net Đạo hàm: y  x  x  m Hàm số đạt cực trị điểm có hoành độ x  m  y  có nghiệm x1 , x2 thỏa m  x1  x2       y  m   s  m 2 Vậy  m  2  1  4m     m  2m     m   m    m  2  m   m     m  2 Bài 7: Cho hàm số: y  f  x   x3   m  1 x   m   x  (1) Tìm m để (1) có cực đại, cực tiểu và đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu song song với đường thẳng y  3 x  GIẢI TXĐ: D =  Đạo hàm: y  x   m  1 x   m   Cho y   x   m  1 x   m    Hàm số (1) có cực trị     m  1   m      m  3   m  Lấy (1) chia cho f   x  ta được: y   x  m  1 f   x    m  3 x  m  3m  Phương trình đường thẳng qua điểm cực trị là: y    m  3 x  m  3m  (d) 2 Để (d) song song với đường thẳng y  3 x  thì:   m  3  3  m 3    m  3 x  3x  x2 a) Tìm cực trị hàm số b) Viết phương trình đường thẳng qua các điểm cực trị Bài 8: Cho hàm số: y  Lưu ý: Tính giá trị cực đại, cực tiểu hàm số: u   x  v  x   u  x  v  x  ax  bx  c u  x  y  , y  ax  b v  x v  x   y   u   x  v  x   u  x  v  x   (1) Gọi xi là các nghiệm (1), từ (1) ta suy ra: Trường THPT Lịch Hội Thượng Lop12.net u   xi  v  xi   u  xi  v  xi    u  xi  v  xi   u   xi  v  xi  Các giá trị cực trị là: u  xi  u   xi  2axi  b y  xi     v  xi  v  xi  a Do đó pt đường thẳng qua điểm cực trị là: 2ax  b a GIẢI a) TXĐ: D   \ 2 Đạo hàm: y  y x2  4x   x  2  x  2   y   x  x     ,  x  2  Giá trị cực trị là: y  xo     u   x0  x0   v  x0  y 2   1  ,   y 2   1  Lập bảng biến thiên  CĐ, CT b) Phương trình đường thẳng qua điểm cực trị là: y  2x  x  mx  m  m   Tìm m để hàm số: xm a) Có cực đại và cực tiểu b) Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu Bài 9: Cho hàm số: y  GIẢI a) TXĐ: D   \ m Đạo hàm: y  x  2mx  m  m  x  m , y   x  2mx  m  m  (1) Hàm số có cực đại, cực tiểu  (1) có nghiệm phân biệt       m  m  m   m  b) Hàm số có giá trị cực trị trái dấu và khi: y  có nghiệm phân biệt Đồ thị không cắt trục ox ( Pt y  vô nghiệm) y  m  m     0m4   0  m    y  m  4m  Trường THPT Lịch Hội Thượng Lop12.net 10 mx  2mx  m  Bài 10: Cho hàm số: y  x 1 Tìm m để giá trị cực đại và giá trị cực tiểu hàm số cùng dấu GIẢI TXĐ: D   \ 1 Đạo hàm: y  mx  2mx  3m   x  1 , y   mx  2mx  3m   Hàm số có giá trị cực trị cùng dấu và y  có nghiệm phân biệt y  có nghiệm phân biệt (đồ thị cắt trục hoành điểm phân biệt)  y   4m  m  m    m    m   m  m   y  Vậy m Trường THPT Lịch Hội Thượng Lop12.net 11